Probabilité d’épreuves répétées (n fois de suite, au moins une fois)

Saisissez la probabilité pour une épreuve et le nombre de répétitions. Les événements A et B sont calculés en même temps, et les probabilités de leurs combinaisons s’affichent aussi.

Probabilité de A pour une épreuve

Nombre de répétitions de A

Probabilité de B pour une épreuve

Nombre de répétitions de B

Entrez les probabilités sous la forme d’un nombre entre 0 et 1 (par exemple, 25 % s’écrit 0,25) et les nombres de répétitions sous la forme d’un entier de 1 à 1000. Si un seul événement vous intéresse, mettez quand même des valeurs provisoires pour B (par exemple 0,5 et 1).

Résultat

Saisissez les probabilités et les nombres de répétitions dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formule
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez la probabilité pour une épreuve et le nombre de répétitions : vous obtenez aussitôt la probabilité que l’événement se produise \(n\) fois de suite
Le calculateur donne aussi, en même temps, la probabilité qu’il se produise au moins une fois et celle qu’il ne se produise jamais
Il traite deux événements, A et B, en même temps : vous obtenez aussi des combinaisons comme « A se produit au moins une fois et B jamais »
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page

Ce calcul ne vaut que si la probabilité est la même à chaque fois et que les résultats ne s’influencent pas (ils sont indépendants). Les dés, les pièces et les tirages de jeux (gacha) dont les taux sont publiés conviennent. Il ne convient pas quand la probabilité change d’un essai à l’autre, comme « tirer des billets sans les remettre ».

À quoi sert ce calcul ?

Estimer ses chances avec les tirages (gacha) et les loteries des jeux

« Si je fais 100 tirages à 1 % de chance, je vais forcément l’avoir au moins une fois. » En réalité, la probabilité d’au moins un succès est \(1 - 0{,}99^{100} \approx 0{,}634\) (63,4 %) : environ 1 joueur sur 3 n’a toujours rien après 100 tirages.
Connaître la formule « au moins une fois » permet de prévoir ses dépenses et son nombre de tirages avec des chiffres plutôt qu’au feeling.

Ne pas paniquer devant un « faux positif » lors d’un dépistage (santé)

Un test peut revenir « positif » alors que vous n’avez pas la maladie (faux positif), et cela arrive quelques pour cent du temps à chaque test. Si c’est 5 % par test, la probabilité d’avoir au moins un faux positif en 10 ans de dépistage annuel atteint \(1 - 0{,}95^{10} \approx 0{,}4\) (40 %).
Savoir qu’un résultat anormal ne veut pas dire que l’on est malade, et que presque tout le monde en aura un s’il répète assez souvent un test, aide à rester calme quand on vous demande un contrôle. C’est l’un des usages les plus utiles de cette formule pour remettre une grosse inquiétude à sa juste place.

Ce que veut vraiment dire une « crue centennale » (prévention des risques)

Une crue centennale est une crue qui a 1 % de chances de se produire chaque année. Sur la durée d’un prêt immobilier de 25 ans, la probabilité de connaître au moins une telle crue est \(1 - 0{,}99^{25} \approx 0{,}22\) (22 %), plus d’une chance sur 5. (Les vraies études de risque d’inondation utilisent des modèles plus détaillés, mais l’idée est la même.)
Une fois cette formule comprise, on voit que « rien ne s’est passé cette année » ne met pas à l’abri, et que la probabilité s’accumule à mesure que la période s’allonge. Cela aide pour des décisions comme choisir un logement en zone inondable ou préparer un kit d’urgence.

Contrôle qualité (probabilité que toutes les pièces soient bonnes)

Dans un produit composé de 10 pièces ayant chacune un taux de défaut de 0,5 %, la probabilité qu’aucune pièce ne soit défectueuse est \((1 - 0{,}005)^{10} \approx 0{,}951\) (95,1 %).
Plus il y a de pièces, plus la probabilité que « toutes soient bonnes » baisse. Les industriels utilisent cette formule pour estimer le taux de conformité du produit entier, et remontent le calcul pour fixer le taux de défaut acceptable pour chaque pièce.

Combien de fois participer à un jeu-concours pour avoir une chance réaliste

Si vous participez 7 fois à un tirage au sort où chaque participation a 10 % de chances de gagner, la probabilité de gagner au moins une fois est \(1 - 0{,}9^{7} \approx 0{,}52\) (52 %), à peine plus d’une chance sur deux.
Savoir calculer « combien d’essais pour environ 50 % de chances » aide à décider où mettre son temps et ses efforts.

Formule

Probabilité qu’il se produise \(n\) fois de suite

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

\(P\) \(=\) \(p\) \(n\)

③ \(P\) : probabilité de \(n\) fois de suite \(=\) ① \(p\) : probabilité pour une épreuve ② \(n\) : nombre d’épreuves

La formule en mots

① On prend la

② on la multiplie par elle-même autant de fois que le

③ et on obtient la

Exemple simple

La probabilité d’obtenir « pile » (probabilité 0,5) 3 fois de suite avec une pièce est

\(P\) : 3 fois de suite \(=\) une épreuve (0,5) épreuves (3)

\(0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\ \ (12{,}5\,\%)\)

L’idée clé

Cette formule ne vaut que si la probabilité est la même à chaque fois et ne dépend pas des résultats précédents (les épreuves sont indépendantes). Les dés, les pièces et les tirages de jeux dont les taux sont publiés conviennent. Elle ne convient pas quand la probabilité change d’un essai à l’autre, comme « tirer des billets sans les remettre ».

Probabilité qu’il ne se produise jamais en \(n\) épreuves

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(P\) \(=\) \((1-p)\) \(n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(P\) : probabilité qu’il ne se produise jamais \(=\) ① \((1-p)\) : probabilité qu’il ne se produise pas pour une épreuve ② \(n\) : nombre d’épreuves

La formule en mots

① On prend la

② on la multiplie par elle-même autant de fois que le

③ et on obtient la

Exemple simple

Si vous faites 4 tirages dans un jeu où chaque tirage donne un objet rare avec une probabilité de 0,25, la probabilité de rater les 4 fois est

\(P\) : rater les 4 fois \(=\) rater une fois (0,75) épreuves (4)

\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\ \ (31{,}6\,\%)\)

L’idée clé

La probabilité qu’il ne se produise pas pour une épreuve s’obtient avec l’événement contraire : 1 − (la probabilité qu’il se produise pour une épreuve). Si la probabilité d’un objet rare est 0,25, celle de rater est \(1 - 0{,}25 = 0{,}75\).

Probabilité qu’il se produise au moins une fois en \(n\) épreuves

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(P\) \(=\) \(1\) \(-\) \((1-p)\) \(n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(P\) : probabilité d’au moins une fois \(=\) ③ \(1\) : probabilité totale \(-\) ① \((1-p)\) : probabilité qu’il ne se produise pas pour une épreuve ② \(n\) : nombre d’épreuves

La formule en mots

① On prend la

② on la multiplie par elle-même autant de fois que le pour obtenir la probabilité qu’il ne se produise jamais

③ on retire ce résultat de la

④ et on obtient la

Exemple simple

Si vous faites 4 tirages dans un jeu où chaque tirage donne un objet rare avec une probabilité de 0,25, la probabilité d’obtenir au moins un objet rare est

\(P\) : au moins un objet rare \(=\) \(1\) : probabilité totale \(-\) rater une fois (0,75) épreuves (4)

\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\)

\(1 - 0{,}316 = 0{,}684\ \ (68{,}4\,\%)\)

L’idée clé

Pour compter « au moins une fois » directement, il faudrait additionner « exactement une fois », « exactement deux fois », etc., ce qui est long. Le cas opposé (l’événement contraire), « jamais », tient en une seule formule. On le calcule donc, puis on le retire de la probabilité totale, 1. C’est l’idée clé de la formule. De plus, ajouter des épreuves ne fait que rapprocher la probabilité de 1 (100 %) : elle n’atteint jamais 100 %. « Avec 100 tirages à 1 % de chance, la probabilité d’obtenir au moins un objet rare n’est que d’environ 63 %. »

Pour des épreuves répétées, la règle de base est : multiplier la probabilité pour une épreuve par elle-même autant de fois qu’il y a d’épreuves. Pour « au moins une fois », l’astuce est de calculer l’événement contraire, « jamais », puis de le retirer du total, 1.

Symboles et termes

Symboles

\(p\)	p	La probabilité que l’événement se produise pour une épreuve. (Exemple : un tirage qui donne un objet rare avec une probabilité de 0,25)
\(n\)	n	Le nombre de répétitions. (Exemple : pour 4 tirages, \(n = 4\))
\(p^n\)	p puissance n	\(p\) multiplié par lui-même \(n\) fois. Le petit \(n\) en haut à droite est l’exposant, qui veut dire « multiplier \(n\) fois ». (Exemple : \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\))
\(1-p\)	un moins p	La probabilité que l’événement ne se produise pas pour une épreuve (la probabilité de l’événement contraire).
\(P\)	P majuscule	La probabilité cherchée. Sur cette page, elle désigne par exemple la probabilité de \(n\) fois de suite ou celle d’au moins une fois.

Termes

événement	Quelque chose qui se produit ou non, comme « obtenir un 6 au dé » ou « gagner à une tombola ». En probabilités, on appelle cela un événement.
épreuve	Une seule réalisation d’une expérience au résultat aléatoire, comme un lancer de dé ou le tirage d’un billet. Les formules de cette page concernent la répétition \(n\) fois de la même épreuve.
indépendant	Se dit d’épreuves dont le résultat précédent ne change pas la probabilité du suivant. Les dés et les pièces ont la même probabilité à chaque lancer, quel que soit le nombre de lancers : les lancers sont indépendants.
épreuves répétées	Le fait de répéter plusieurs fois la même épreuve dans les mêmes conditions. Au lycée, la répétition d’épreuves indépendantes à deux issues (succès ou échec) s’appelle un schéma de Bernoulli ; c’est la base de la loi binomiale.
événement contraire	L’événement opposé, où la chose ne se produit pas. L’événement contraire de « se produit au moins une fois » est « ne se produit jamais », et ce changement de point de vue est la clé de la troisième formule de cette page.
exposant	Dans une puissance (un même nombre multiplié plusieurs fois par lui-même), le petit nombre écrit en haut à droite, comme le 3 de \(0{,}5^3\). Il indique combien de fois on multiplie.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Premières notions de probabilités (collège, 5e-3e, 12-15 ans)	Savoir qu’une probabilité est un nombre entre 0 et 1, et que la probabilité qu’une chose se produise et celle qu’elle ne se produise pas font 1 au total Savoir que la probabilité que des événements indépendants se produisent l’un après l’autre se calcule par une multiplication
Puissances et exposants (4e, 13-14 ans)	Savoir que « puissance \(n\) » veut dire multiplier le même nombre \(n\) fois, comme \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5\)
L’événement contraire (de la 3e à la seconde, 14-16 ans)	Savoir que le contraire de « se produit au moins une fois » est « ne se produit jamais » Savoir que, quand une probabilité est difficile à compter directement, on peut calculer le cas contraire et le retirer de 1
Multiplication des nombres décimaux (CM2-6e, 10-12 ans)	Savoir multiplier des nombres décimaux, comme \(0{,}75 \times 0{,}75\) Sentir que le résultat devient de plus en plus petit chaque fois qu’on multiplie par un nombre inférieur à 1

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la probabilité de n fois de suite

Probabilité pour une épreuve p	0,25
Nombre de répétitions n	4
Probabilité de n fois de suite	=B1^B2

Tableau pour trouver la probabilité de jamais en n épreuves

Probabilité pour une épreuve p	0,25
Nombre de répétitions n	4
Probabilité de jamais	=(1-B1)^B2

Tableau pour trouver la probabilité d’au moins une fois

Probabilité pour une épreuve p	0,25
Nombre de répétitions n	4
Probabilité d’au moins une fois	=1-(1-B1)^B2

Après le collage, B1 et B2 sont vos valeurs et B3 se calcule automatiquement.
« ^ » est le symbole de la puissance (combien de fois on multiplie). « =B1^B2 » veut dire « multiplier la valeur de B1 par elle-même B2 fois ».
Dans le troisième tableau, par exemple, B3 affiche environ 0,684 (environ 68 %). Il suffit de remplacer B1 et B2 par vos propres nombres.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour trouver la probabilité de n fois de suite

Probabilité pour une épreuve p	0,25
Nombre de répétitions n	4
Probabilité de n fois de suite	=B1^B2

Tableau pour trouver la probabilité de jamais en n épreuves

Probabilité pour une épreuve p	0,25
Nombre de répétitions n	4
Probabilité de jamais	=(1-B1)^B2

Tableau pour trouver la probabilité d’au moins une fois

Probabilité pour une épreuve p	0,25
Nombre de répétitions n	4
Probabilité d’au moins une fois	=1-(1-B1)^B2

Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez B1 et B2 par vos propres nombres.

Calculer avec Python

probability_per_trial = 0.25  # probabilité pour une épreuve
number_of_trials = 4          # nombre de répétitions

p_every_time = probability_per_trial ** number_of_trials        # probabilité de n fois de suite
p_never = (1 - probability_per_trial) ** number_of_trials       # probabilité de jamais
p_at_least_once = 1 - p_never                                   # probabilité d’au moins une fois

print(f"Probabilité de {number_of_trials} fois de suite : {p_every_time}")
print(f"Probabilité de jamais : {p_never}")
print(f"Probabilité d’au moins une fois : {p_at_least_once}")

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. « ** » est le symbole de la puissance (puissance n). Modifiez la probabilité et le nombre de répétitions au début, puis exécutez. (En Python, les décimales s’écrivent avec un point.)

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Probabilité qu’il se produise \(n\) fois de suite

P = pⁿ

P = p^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>p</mi><mi>n</mi></msup>
  </mrow>
</math>

P = p^n

p^n

P := p^n;

P = p^n;

P = p^n

Probabilité qu’il ne se produise jamais en \(n\) épreuves

P = (1 − p)ⁿ

P = (1-p)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P = (1 - p)^n

(1 - p)^n

P := (1 - p)^n;

P = (1 - p)^n;

P = (1 - p)^n

Probabilité qu’il se produise au moins une fois en \(n\) épreuves

P = 1 − (1 − p)ⁿ

P = 1 - (1-p)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P = 1 - (1 - p)^n

1 - (1 - p)^n

P := 1 - (1 - p)^n;

P = 1 - (1 - p)^n;

P = 1 - (1 - p)^n

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul de probabilités. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé).

Je fais 4 tirages dans un jeu. À chaque tirage, la probabilité d’obtenir un objet rare est 0,25. Les résultats sont indépendants.
Calcule :
1. La probabilité d’obtenir un objet rare les 4 fois
2. La probabilité de rater les 4 fois
3. La probabilité d’obtenir au moins un objet rare

Présente les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule