Choisissez ce que vous voulez calculer et saisissez les probabilités. La probabilité conditionnelle notée ici P(B|A) s’écrit P_A(B) dans les manuels de lycée (c’est la même chose). La formule ci-dessous est reliée aux champs de saisie : vous pouvez aussi calculer en modifiant directement les nombres dans la formule.
Vous pouvez saisir une probabilité sous la forme « 0,3 », « 30 % » ou « 3/10 ».
Résultat et graphique
Saisissez les probabilités dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et une figure s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Saisissez \(P(A)\) et \(P(A \cap B)\) : vous obtenez aussitôt la probabilité conditionnelle \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\) (qu’on écrit aussi \(P(B \mid A)\))
- En mode formule de Bayes, vous partez de la probabilité d’une cause, \(P(A)\), et de la probabilité d’un résultat B avec et sans cette cause, \(P_{A}(B)\) et \(P_{\overline{A}}(B)\). Le calculateur remonte alors à « la probabilité que la cause soit A, sachant que B s’est produit », \(P_{B}(A)\)
- Vous suivez comment \(P(B)\) se construit avec la formule des probabilités totales, par des étapes chiffrées et par un arbre pondéré ou un modèle d’aire
- Les réponses s’affichent sous forme de fraction irréductible (valeur exacte), comme \(\dfrac{10}{109}\), et aussi en décimal et en pourcentage
- Vous pouvez saisir une probabilité sous la forme 0,3, 30 % ou 3/10. Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont incluses
La probabilité conditionnelle s’utilise même quand les deux événements ne sont pas indépendants. C’est même précisément l’outil qu’il faut quand un résultat change la probabilité de l’autre.
À quoi sert ce calcul ?
Bien lire un résultat de test (positif ne veut pas dire presque certain)
« Positif à un test fiable à 90 % » donne l’impression d’avoir 90 % de risques d’être atteint. Mais si l’on suppose, par exemple, que 1 % des personnes sont atteintes, la probabilité d’être réellement atteint après un test positif (la valeur prédictive positive) n’est que d’environ 9 %. Les rares vrais positifs sont noyés parmi les faux positifs issus du grand groupe des personnes non atteintes.
C’est l’exemple le plus célèbre de la formule de Bayes, et en médecine la règle de base est de lire un résultat de test en tenant compte de la probabilité a priori. (Les vraies probabilités varient selon le test et la situation : ces chiffres ne sont qu’un exemple de calcul.)
Les filtres anti-spam (filtres bayésiens)
Le fondement classique de la détection des spams dans les messageries est le filtre bayésien. À partir de « la probabilité que ce mot apparaisse dans un spam » et de « la probabilité qu’il apparaisse dans un e-mail normal », il utilise la formule de Bayes pour remonter à « la probabilité qu’un e-mail contenant ce mot soit un spam ».
Estimer le sens « résultat vers cause » à partir de statistiques « cause (spam) vers résultat (le mot apparaît) » est une application type de la formule de Bayes.
Contrôle qualité dans l’industrie (de quelle ligne vient le défaut ?)
Une usine a une machine X qui fabrique 60 % des produits (2 % défectueux) et une machine Y qui en fabrique 40 % (5 % défectueux). La probabilité qu’un produit défectueux trouvé au contrôle vienne de la machine X est, par la formule de Bayes, \(\dfrac{0{,}6 \times 0{,}02}{0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05} = \dfrac{3}{8}\) (37,5 %).
Décider « quelle ligne contrôler en premier quand un défaut apparaît » peut alors se faire avec des chiffres plutôt qu’à l’intuition.
Les probabilités après un tirage, à la tombola ou aux cartes (probabilités composées)
Quand on tire 2 billets sans remise parmi 10 billets dont 3 gagnants, la probabilité que les deux soient gagnants est \(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{15}\). Le premier résultat change la probabilité du second (ils ne sont pas indépendants) : c’est un travail pour la probabilité conditionnelle et la formule des probabilités composées.
Calculer ses chances pour la suite du paquet à partir des « cartes déjà visibles », au poker, au blackjack ou dans d’autres jeux de cartes, c’est exactement le même calcul.
Évaluation des risques en assurance et en crédit (des risques affinés selon les conditions)
Pour fixer une prime d’assurance auto, les assureurs ne regardent pas « la probabilité d’accident » comme un seul chiffre pour tout le monde. Ils l’estiment comme une probabilité conditionnelle selon chaque condition (jeune conducteur, historique de sinistres via le bonus-malus, lieu de résidence…) et en tiennent compte dans des primes différentes.
L’idée de la probabilité conditionnelle, « la probabilité change dès que l’on connaît la condition », est au cœur de l’assurance, de l’octroi de crédits et du scoring.
Formules et figures
Probabilité conditionnelle
Modèle d’aire
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(P_{A}(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(A)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(P_{A}(B)\) : probabilité de B sachant A
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\) : probabilité que A et B se produisent tous les deux
\(\div\)
②
\(P(A)\) : probabilité de A
La formule en mots
①
On prend la
②
on la divise par la
③
et on obtient la
Exemple simple
On lance un dé une fois. Sachant que le nombre obtenu est pair (probabilité \(\dfrac{1}{2}\)), la probabilité qu’il soit supérieur ou égal à 4 est (les nombres pairs supérieurs ou égaux à 4 sont 4 et 6, de probabilité \(\dfrac{1}{3}\))
\(P_{A}(B)\) : au moins 4 sachant pair
\(=\)
pair et au moins 4 \(\dfrac{1}{3}\)
\(\div\)
pair \(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}\)
L’idée clé
Une probabilité ordinaire est « la part de l’ensemble (probabilité 1) occupée par B ». Avec la probabilité conditionnelle, dès que l’on sait que A s’est produit, le monde que l’on regarde se réduit de l’ensemble à A seulement. On remplace donc le dénominateur 1 par \(P(A)\) : la probabilité conditionnelle, c’est « la part de A occupée par B ».
L’erreur classique est de la confondre avec la probabilité que les deux se produisent, \(P(A \cap B)\). Dans l’exemple du dé ci-dessus, la probabilité de « pair et au moins 4 » sur l’ensemble est \(\dfrac{1}{3}\), alors que la probabilité conditionnelle parmi les seuls nombres pairs est \(\dfrac{2}{3}\). Les formules se ressemblent, mais ce sont deux probabilités différentes, car l’ensemble de référence (le dénominateur) n’est pas le même.
Il existe deux notations. Les manuels de lycée en France écrivent \(P_{A}(B)\) (A en petit en bas), et l’on rencontre aussi \(P(B \mid A)\) (la condition à droite de la barre), surtout dans le supérieur et en statistique. Les deux se lisent « probabilité de B sachant A » et veulent dire exactement la même chose.
Formule des probabilités composées (probabilité que les deux se produisent)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P_{A}(B)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(P(A \cap B)\) : probabilité que A et B se produisent tous les deux
\(=\)
①
\(P(A)\) : probabilité de A
\(\times\)
②
\(P_{A}(B)\) : probabilité de B sachant A
La formule en mots
①
On prend la
②
on la multiplie par la
③
et on obtient la
Exemple simple
Une urne contient 10 billets de tombola, dont 3 gagnants. On tire 2 billets l’un après l’autre sans remettre le premier. Le premier est gagnant avec une probabilité de \(\dfrac{3}{10}\). S’il l’est, il reste 2 gagnants parmi les 9 billets restants, donc le second est aussi gagnant avec une probabilité de \(\dfrac{2}{9}\). La probabilité que les deux soient gagnants est
\(P(A \cap B)\) : les deux gagnent
\(=\)
le 1er gagne \(\dfrac{3}{10}\)
\(\times\)
le 2e gagne, sachant que le 1er a gagné \(\dfrac{2}{9}\)
\(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}\)
L’idée clé
C’est simplement la formule de la probabilité conditionnelle dont on a multiplié les deux membres par le dénominateur \(P(A)\) : elle dit la même chose sous une autre forme. On peut la voir comme une multiplication des probabilités dans l’ordre du temps : « d’abord A se produit, puis, sachant cela, B se produit aussi ». Sur un arbre pondéré, c’est la règle « on multiplie les probabilités le long d’un chemin ».
Si A et B sont indépendants (un résultat n’influence pas l’autre), alors \(P_{A}(B) = P(B)\), et la formule redevient la formule bien connue \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\). Autrement dit, « multiplier pour des événements indépendants » est un cas particulier de la formule des probabilités composées.
Formule des probabilités totales (on additionne les chemins qui mènent à B)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(P(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(+\)
\(P(\overline{A} \cap B)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(P(B)\) : probabilité de B
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\) : arriver à B en passant par A
\(+\)
②
\(P(\overline{A} \cap B)\) : arriver à B en passant par non A
La formule en mots
①
On prend la
②
on ajoute la
③
et on obtient la
Exemple simple
Supposons que tout le monde passe un certain test de dépistage. Admettons que 1 % des personnes soient atteintes (et aient un test positif dans 90 % des cas) et que 99 % ne le soient pas (et aient un test positif par erreur dans 9 % des cas). Par la formule des probabilités composées, \(P(A \cap B) = 0{,}01 \times 0{,}9 = 0{,}009\) et \(P(\overline{A} \cap B) = 0{,}99 \times 0{,}09 = 0{,}0891\), donc la probabilité d’un test positif est
\(P(B)\) : test positif
\(=\)
atteint et positif (0,009)
\(+\)
non atteint mais positif (0,0891)
\(0{,}009 + 0{,}0891 = 0{,}0981\ \ (9{,}81\,\%)\)
L’idée clé
Il n’y a que deux chemins qui mènent à B : passer par A, ou passer par non A (l’événement contraire \(\overline{A}\)). Ces deux chemins ne peuvent pas se produire en même temps (ils sont incompatibles). Il suffit donc d’additionner la probabilité de chaque chemin pour obtenir \(P(B)\).
La probabilité de chaque chemin vient de la formule des probabilités composées : \(P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B)\) et \(P(\overline{A} \cap B) = P(\overline{A}) \times P_{\overline{A}}(B)\). En écrivant tout d’un coup : \(P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\). Sur un arbre pondéré, cela revient à « additionner toutes les branches qui aboutissent à B ».
Formule de Bayes (remonter d’un résultat à sa cause)
Arbre pondéré
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(P_{B}(A)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(B)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(P_{B}(A)\) : probabilité que la cause soit A, sachant B
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\) : arriver à B en passant par A
\(\div\)
②
\(P(B)\) : probabilité de B
La formule en mots
①
On prend la
②
on la divise par la
③
et on obtient la
Exemple simple
Suite de l’exemple de la formule des probabilités totales ci-dessus. Quand le test est positif (B), la probabilité que la personne soit réellement atteinte (A) est
\(P_{B}(A)\) : réellement atteint, sachant positif
\(=\)
atteint et positif (0,009)
\(\div\)
test positif (0,0981)
\(\dfrac{0{,}009}{0{,}0981} = \dfrac{90}{981} = \dfrac{10}{109} \approx 0{,}092\ \ (9{,}2\,\%)\)
L’idée clé
La forme est exactement celle de la probabilité conditionnelle, avec la condition passée de A à B. Mais on l’utilise dans le sens inverse. Ce que l’on connaît, c’est la probabilité de la cause vers le résultat (\(P_{A}(B)\) : 90 % de tests positifs chez les personnes atteintes). Ce que l’on veut, c’est la probabilité du résultat vers la cause (\(P_{B}(A)\) : la probabilité d’être réellement atteint quand le test est positif). C’est la formule de Bayes qui fait ce changement de sens.
On l’écrit souvent en développant le dénominateur \(P(B)\) par la formule des probabilités totales, \(P_{B}(A) = \dfrac{P(A)\,P_{A}(B)}{P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)}\), mais le contenu est le même.
La réponse de l’exemple, « environ 9 % seulement après un test positif, pour un test fiable à 90 % », est étonnamment faible. C’est parce que seulement 1 % des personnes sont atteintes au départ : les rares vrais positifs sont noyés parmi les nombreux faux positifs. La probabilité avant de voir le résultat, \(P(A)\), s’appelle la probabilité a priori, et la probabilité après avoir vu le résultat, \(P_{B}(A)\), la probabilité a posteriori.
La probabilité conditionnelle \(P_{A}(B)\) est « la part de B à l’intérieur de A », obtenue en remplaçant le dénominateur 1 (l’ensemble) par \(P(A)\) (l’événement connu). La formule de Bayes s’appuie dessus pour remonter de la probabilité « cause vers résultat » à la probabilité « résultat vers cause ». Son dénominateur \(P(B)\) se construit avec la formule des probabilités totales (on additionne les chemins).
Symboles et termes
Symboles
| \(P(A)\) | P de A | La probabilité que l’événement A se produise. P est l’initiale de « probabilité ». |
| \(P_{A}(B)\) | P indice A de B (probabilité de B sachant A) | La probabilité que B se produise, sachant que A s’est produit (la probabilité conditionnelle). Le petit A en bas à droite indique la condition. C’est la notation des manuels de lycée en France. |
| \(P(B \mid A)\) | P de B sachant A | Une autre notation, de même sens exactement que \(P_{A}(B)\). Ce qui est à droite de la barre \(\mid\) est la condition, et la barre se lit « sachant ». On la rencontre surtout dans le supérieur, en statistique et dans les logiciels. Attention : \(P(B \mid A)\) et \(P(A \mid B)\) ne veulent pas dire la même chose. |
| \(\overline{A}\) | A barre (événement contraire) | Une barre au-dessus de A désigne l’événement « A ne se produit pas », l’événement contraire de A. On le calcule avec \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | inter (intersection) | Le symbole de « et ». \(A \cap B\) est l’événement « A et B se produisent tous les deux ». Dans un diagramme de Venn, c’est la partie où les deux cercles se chevauchent. |
| \(P(A \cap B)\) | P de A inter B | La probabilité que A et B se produisent tous les deux. C’est le numérateur de la probabilité conditionnelle. Elle ne peut jamais dépasser \(P(A)\), car « les deux se produisent » fait partie de A. |
Termes
| événement | Quelque chose qui se produit ou non, comme « obtenir un nombre pair au dé » ou « avoir un test positif ». En probabilités, on donne aux événements des noms comme A et B. |
| probabilité conditionnelle | La probabilité qu’un événement B se produise, sachant qu’un autre événement A s’est produit. Elle se calcule par \(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\). C’est « la part de B dans un monde réduit de l’ensemble à A seulement ». |
| formule des probabilités composées | La formule \(P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B)\). C’est la formule de la probabilité conditionnelle sans dénominateur ; elle donne la probabilité de « d’abord A, puis B aussi » en multipliant dans l’ordre. Sur un arbre pondéré, c’est la multiplication le long d’un chemin. |
| formule des probabilités totales | Une règle qui donne la probabilité de B en la séparant en « le chemin qui passe par A » et « le chemin qui passe par non A », puis en les additionnant : \(P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)\). Elle sert à construire le dénominateur de la formule de Bayes. |
| formule de Bayes | Une règle qui remonte de la probabilité « cause vers résultat » à la probabilité « résultat vers cause » : \(P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\). On dit aussi théorème de Bayes. Elle porte le nom de Thomas Bayes, pasteur anglais du XVIIIe siècle, et elle est au cœur de technologies modernes comme les filtres anti-spam. |
| probabilité a priori | La probabilité de la cause A, \(P(A)\), estimée avant de voir le résultat (les données). Dans l’exemple du test, c’est « la proportion de personnes atteintes au départ ». |
| probabilité a posteriori | La probabilité de la cause A mise à jour après avoir vu le résultat B, \(P_{B}(A)\). On peut décrire la formule de Bayes comme une règle qui « met à jour la probabilité a priori en probabilité a posteriori grâce à ce que l’on a observé ». |
| événement contraire | L’événement opposé : la chose ne se produit pas. Son symbole est \(\overline{A}\) et sa probabilité \(1 - P(A)\). Dans la formule des probabilités totales, il correspond au « chemin qui ne passe pas par A ». |
| incompatible | Se dit de deux événements qui ne peuvent pas se produire en même temps. « Arriver à B en passant par A » et « arriver à B en passant par non A » sont incompatibles : dans la formule des probabilités totales, on peut donc simplement les additionner. |
| indépendant | Se dit de deux événements quand le résultat de l’un ne change pas la probabilité de l’autre. Avec la probabilité conditionnelle : A et B sont indépendants quand \(P_{A}(B) = P(B)\) (savoir que A s’est produit ne change pas la probabilité de B). |
| faux positif | Un résultat de test « positif » alors que la personne n’est pas réellement atteinte. Même quand le taux de faux positifs est faible, si la plupart des gens ne sont pas atteints, les faux positifs peuvent être plus nombreux que les vrais positifs. |
| arbre pondéré | Un schéma qui représente les cas possibles comme les branches d’un arbre, avec une probabilité écrite sur chaque branche. En multipliant le long d’un chemin, on obtient la probabilité de ce chemin. C’est le meilleur schéma pour suivre à l’œil la probabilité conditionnelle et la formule de Bayes. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qui vous aide à utiliser le calcul de cette page en le comprenant vraiment, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir les notions de cette liste est le moyen le plus rapide d’avancer.
| Premières notions de probabilités (collège, 5e-3e, 12-15 ans) |
|
| Pourcentages et nombres décimaux (6e, 11-12 ans) |
|
| Multiplication et division des fractions (4e, 13-14 ans) |
|
| Dénombrement et arbres (3e-seconde, 14-16 ans) |
|
| Ensembles et diagrammes de Venn (seconde, 15-16 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la probabilité conditionnelle P_A(B)
| Probabilité de A, P(A) | 0,5 |
| A et B à la fois, P(A∩B) | 0,2 |
| Probabilité conditionnelle P_A(B) | =B2/B1 |
Tableau pour trouver la probabilité que les deux se produisent, P(A∩B) (probabilités composées)
| Probabilité de A, P(A) | 0,5 |
| B sachant A, P_A(B) | 0,4 |
| A et B à la fois, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tableau pour trouver la probabilité de B, P(B) (probabilités totales)
| Probabilité de la cause A, P(A) | 0,01 |
| B sachant A, P_A(B) | 0,9 |
| B sachant non A, P_A̅(B) | 0,09 |
| Probabilité de B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tableau pour trouver la probabilité de la cause, P_B(A) (formule de Bayes)
| Probabilité de la cause A, P(A) | 0,01 |
| B sachant A, P_A(B) | 0,9 |
| B sachant non A, P_A̅(B) | 0,09 |
| A et B à la fois, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Probabilité de B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| Cause A sachant B, P_B(A) | =B4/B5 |
Après le collage, la colonne A contient les libellés et la colonne B les nombres. Les lignes du haut sont vos valeurs, et les formules des lignes du bas calculent à partir d’elles.
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule », « * » est la multiplication et « / » la division.
Le premier tableau donne 0,2 ÷ 0,5 = 0,4, et le deuxième 0,5 × 0,4 = 0,2.
Le troisième tableau donne 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,09 = 0,0981, en additionnant chemin par chemin la probabilité d’un test positif.
Dans le quatrième tableau, B4 vaut 0,009 et B5 vaut 0,0981, et la dernière cellule, B6, vaut 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 0,0917 (environ 9,2 %).
Dans une formule, « B1 » et « B2 » veulent dire « prendre le nombre de cette cellule », « * » est la multiplication et « / » la division.
Le premier tableau donne 0,2 ÷ 0,5 = 0,4, et le deuxième 0,5 × 0,4 = 0,2.
Le troisième tableau donne 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,09 = 0,0981, en additionnant chemin par chemin la probabilité d’un test positif.
Dans le quatrième tableau, B4 vaut 0,009 et B5 vaut 0,0981, et la dernière cellule, B6, vaut 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 0,0917 (environ 9,2 %).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la probabilité conditionnelle P_A(B)
| Probabilité de A, P(A) | 0,5 |
| A et B à la fois, P(A∩B) | 0,2 |
| Probabilité conditionnelle P_A(B) | =B2/B1 |
Tableau pour trouver la probabilité que les deux se produisent, P(A∩B) (probabilités composées)
| Probabilité de A, P(A) | 0,5 |
| B sachant A, P_A(B) | 0,4 |
| A et B à la fois, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tableau pour trouver la probabilité de B, P(B) (probabilités totales)
| Probabilité de la cause A, P(A) | 0,01 |
| B sachant A, P_A(B) | 0,9 |
| B sachant non A, P_A̅(B) | 0,09 |
| Probabilité de B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tableau pour trouver la probabilité de la cause, P_B(A) (formule de Bayes)
| Probabilité de la cause A, P(A) | 0,01 |
| B sachant A, P_A(B) | 0,9 |
| B sachant non A, P_A̅(B) | 0,09 |
| A et B à la fois, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Probabilité de B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| Cause A sachant B, P_B(A) | =B4/B5 |
Les mêmes formules que dans Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau et collez-le dans la cellule A1 : les lignes du haut sont vos valeurs et les lignes du bas les résultats calculés.
Il suffit de remplacer les valeurs saisies par vos propres probabilités.
Il suffit de remplacer les valeurs saisies par vos propres probabilités.
Calculer avec Python
from fractions import Fraction
# ===== Probabilité conditionnelle P_A(B) = P(A∩B) ÷ P(A) =====
p_a = Fraction(1, 2) # P(A) : probabilité de l’événement A (connu)
p_a_and_b = Fraction(1, 3) # P(A∩B) : probabilité que les deux se produisent
p_b_given_a = p_a_and_b / p_a
print(f"Probabilité conditionnelle P_A(B) : {p_b_given_a} = {float(p_b_given_a):.4f}")
# ===== Formule de Bayes (dénominateur obtenu par la formule des probabilités totales) =====
prior = Fraction(1, 100) # P(A) : probabilité de la cause A (probabilité a priori)
p_b_given_a2 = Fraction(90, 100) # P_A(B) : probabilité de B sachant A
p_b_given_not_a = Fraction(9, 100) # P_nonA(B) : probabilité de B sachant non A
p_joint = prior * p_b_given_a2 # P(A∩B)
p_b = p_joint + (1 - prior) * p_b_given_not_a # P(B) (probabilités totales)
posterior = p_joint / p_b # P_B(A) (probabilité a posteriori)
print(f"Probabilité de B, P(B) : {p_b} = {float(p_b):.4f}")
print(f"Probabilité que la cause soit A, P_B(A) : {posterior} = {float(posterior):.4f}")
Avec le module fractions de la bibliothèque standard, on calcule avec des fractions exactes, sans erreur d’arrondi. À l’exécution, la probabilité conditionnelle s’affiche « 2/3 », et l’exemple de la formule de Bayes donne P(B) = 981/10000 (0,0981) et P_B(A) = 10/109 (environ 0,0917). Modifiez les probabilités, puis exécutez (0,5 peut s’écrire sous forme de fraction, par exemple Fraction(5, 10)).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Probabilité conditionnelle
P_A(B) = P(A∩B) / P(A)
P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P_A(B) = P(A nn B) / P(A)
pAandB/pA
pBgivenA := pAandB/pA;
p_b_given_a = p_a_and_b/p_a;
P_A (B) = P(A∩B)/P(A)
Formule des probabilités composées (probabilité que les deux se produisent)
P(A∩B) = P(A) × P_A(B)
P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) xx P_A(B)
pA*pBgivenA
pAandB := pA*pBgivenA;
p_a_and_b = p_a*p_b_given_a;
P(A∩B) = P(A) × P_A (B)
Formule des probabilités totales (on additionne les chemins qui mènent à B)
P(B) = P(A) × P_A(B) + P(A̅) × P_A̅(B)
P(B) = P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<msub><mi>P</mi><mi>A</mi></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>)</mo>
<msub><mi>P</mi><mover><mi>A</mi><mo>¯</mo></mover></msub><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(B) = P(A) xx P_A(B) + P(bar(A)) xx P_(bar(A))(B)
pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA
pB := pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA;
p_b = p_a*p_b_given_a + (1 - p_a)*p_b_given_not_a;
P(B) = P(A)P_A (B) + P(A̅)P_A̅ (B)
Formule de Bayes (remonter d’un résultat à sa cause)
P_B(A) = P(A∩B) / P(B)
P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A)\,P_{A}(B)}{P(A)\,P_{A}(B) + P(\overline{A})\,P_{\overline{A}}(B)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>P</mi><mi>B</mi></msub><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P_B(A) = P(A nn B) / P(B)
pA*pBgivenA/(pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA)
pAgivenB := pAandB/pB;
p_a_given_b = p_a_and_b/p_b;
P_B (A) = P(A∩B)/P(B)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul de probabilités (probabilité conditionnelle et formule de Bayes). Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). La probabilité de la cause A (probabilité a priori) est 1 %. La probabilité du résultat B sachant A, P_A(B), est 90 %. La probabilité de B sachant non A, P_Ā(B), est 9 %. Calcule : 1. La probabilité que A et B se produisent tous les deux, P(A∩B) 2. La probabilité de B, P(B) (avec la formule des probabilités totales, en donnant aussi le détail par chemin) 3. La probabilité que la cause soit A sachant que B s’est produit, P_B(A) (formule de Bayes ; donne-la en fraction irréductible et en écriture décimale) En Python, utilise le module fractions de la bibliothèque standard pour calculer de façon exacte, et présente dans un tableau les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
Probabilité de deux événements indépendants (et, ou)
Calcule, à partir de deux probabilités, la probabilité que les deux se produisent, qu’au moins l’un se produise, etc.
Probabilité d’épreuves répétées (n fois de suite, au moins une fois)
Calcule la probabilité qu’un événement se produise n fois de suite, ou au moins une fois en n essais
