Simplifier une fraction (fraction irréductible)

Saisissez la fraction telle qu’on l’écrit (case du haut = numérateur, case du bas = dénominateur). Pour un nombre comme \(2 + \dfrac{21}{98}\), mettez aussi la partie entière dans la case à gauche de la fraction : les deux s’additionnent. Pour une fraction ordinaire, laissez cette case vide.

Pour une fraction négative, mettez le signe moins dans la case de la partie entière. Les nombres décimaux comme 1,5 sont acceptés ; le numérateur et le dénominateur sont multipliés par 10, 100, etc. pour obtenir des nombres entiers avant de simplifier. Le dénominateur ne peut pas être 0.

Résultat

Saisissez le numérateur et le dénominateur à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat s’affiche ici.

Table des matières

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Ce que vous pouvez faire sur cette page
À quoi sert ce calcul ?
Mode d'emploi
Formule
Symboles et termes
- Symboles
- Termes
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Calculer avec Excel
Calculer avec Google Sheets
Calculer avec Python
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Faire faire le calcul par ChatGPT
Les atouts de DataChef
Fonctions connexes
Liste des calculatrices NumberChef

Ce que vous pouvez faire sur cette page

Saisissez le numérateur et le dénominateur : la fraction est simplifiée jusqu’à la fraction irréductible (la forme qu’on ne peut plus simplifier)
Un nombre avec une partie entière, comme \(2 + \dfrac{21}{98}\), se simplifie aussi tel quel ; le résultat s’affiche à la fois en une seule fraction (fraction supérieure à 1) et sous la forme « entier + fraction »
Les fractions négatives et les fractions avec des nombres décimaux, comme \(\dfrac{1{,}5}{2}\), fonctionnent aussi. La valeur en nombre décimal et chaque étape du calcul s’affichent également
Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets et Python sont réunies sur cette page

Simplifier une fraction ne change pas sa valeur. On divise le numérateur et le dénominateur par un même nombre (leur PGCD) pour que la fraction s’écrive le plus simplement possible.

À quoi sert ce calcul ?

Ne plus perdre de points en oubliant de simplifier (maths)

En contrôle comme au brevet ou au bac, on attend en général un résultat sous forme de fraction irréductible, et oublier de simplifier coûte souvent des points.
« Quand on obtient un résultat, on vérifie à la fin que le numérateur et le dénominateur n’ont plus de diviseur commun. » C’est un réflexe de base, de l’école primaire jusqu’au lycée. En divisant par le PGCD, on termine en une seule étape, et la vérification est rapide.

Le « 16:9 » des écrans et des télévisions vient d’une simplification

Un écran Full HD fait 1920 × 1080 pixels, mais on dit que son format est 16:9 : \(\dfrac{1920}{1080}\) simplifiée par le PGCD 120 donne \(\dfrac{16}{9}\).
Écrire un rapport sous forme irréductible permet de voir d’un coup d’œil si deux formes sont identiques : on s’en sert tous les jours en vidéo, en graphisme et en impression.

Lire le braquet d’un vélo ou le rapport d’un engrenage

Sur un vélo avec un plateau de 48 dents à l’avant et un pignon de 18 dents à l’arrière, le rapport \(\dfrac{48}{18}\) se simplifie en \(\dfrac{8}{3}\). On voit tout de suite qu’« un tour de pédalier fait tourner la roue arrière de \(\dfrac{8}{3}\) tours (environ 2,67 tours) ».
En conception mécanique, le rapport simplifié est le langage de base pour décrire un engrenage.

Retenir un dosage sous forme de rapport pour en préparer autant qu’on veut

Pour un verre de sirop, on mélange par exemple 50 mL de sirop avec 350 mL d’eau. En simplifiant \(\dfrac{50}{350}\) en \(\dfrac{1}{7}\), on retient « 1 volume de sirop pour 7 volumes d’eau », et on obtient le même goût pour un verre comme pour une carafe.
Les recettes de professionnels s’écrivent souvent sous forme de rapports comme « 1 pour 7 », justement parce qu’ils ont été simplifiés au maximum.

Lire une probabilité comme « une fois sur tant »

La probabilité que la somme de deux dés fasse 3 vaut \(\dfrac{2}{36}\) si l’on compte simplement les cas, mais une fois simplifiée en \(\dfrac{1}{18}\), elle se lit « environ une fois sur 18 lancers ».
Les probabilités sortent souvent d’un calcul sans être simplifiées : des chances de gagner au loto aux calculs d’assurance, simplifier est indispensable dès qu’on explique une probabilité à quelqu’un.

Formule

Simplifier (diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(N\) \(=\) \(n\) \(\div\) \(g\)

\(D\) \(=\) \(d\) \(\div\) \(g\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(N\) : numérateur simplifié \(=\) ① \(n\) : numérateur de départ \(\div\) ② \(g\) : PGCD

⑥ \(D\) : dénominateur simplifié \(=\) ④ \(d\) : dénominateur de départ \(\div\) ⑤ \(g\) : PGCD

La formule en mots

① On divise le \(n\) : numérateur de départ

② par le \(g\) : PGCD

③ pour obtenir le \(N\) : numérateur simplifié

④ On divise le \(d\) : dénominateur de départ

⑤ par le même \(g\) : PGCD

⑥ pour obtenir le \(D\) : dénominateur simplifié

Exemple simple

Simplifier \(\dfrac{12}{18}\) (le PGCD de 12 et 18 est 6)

\(N\) : numérateur simplifié \(=\) numérateur de départ (12) \(\div\) PGCD (6)

\(D\) : dénominateur simplifié \(=\) dénominateur de départ (18) \(\div\) PGCD (6)

\(12 \div 6 = 2\,;\quad 18 \div 6 = 3\)

\(\dfrac{12}{18} = \dfrac{2}{3}\)

L’idée clé

Une fraction garde la même valeur si l’on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre. Simplifier, c’est utiliser cette propriété. En divisant par le PGCD, on arrive en une seule division à la forme qu’on ne peut plus simplifier (fraction irréductible). Diviser par un diviseur commun plus petit (par exemple 2) n’est pas faux, mais il faut alors simplifier encore.

Trouver le PGCD \(g\)

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(g\) \(=\) \(\gcd(\) \(n\) \(,\) \(d\) \()\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

③ \(g\) : PGCD \(=\) \(\gcd(\) ① \(n\) : numérateur \(,\) ② \(d\) : dénominateur \()\)

La formule en mots

① Parmi les nombres qui divisent à la fois le \(n\) : numérateur

② et le \(d\) : dénominateur (les diviseurs communs), le plus grand est le

③ \(g\) : PGCD

Exemple simple

Le PGCD de 12 et 18 (on décompose chaque nombre en facteurs premiers et on multiplie les facteurs premiers communs)

\(g\) : PGCD \(=\) \(\gcd(\) numérateur (12) \(,\) dénominateur (18) \()\)

\(12 = 2 \times 2 \times 3\,;\quad 18 = 2 \times 3 \times 3\)

\(g = 2 \times 3 = 6\)

L’idée clé

Pour de petits nombres, il suffit d’écrire la liste des diviseurs et de chercher le plus grand qu’ils ont en commun (les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12, ceux de 18 sont 1, 2, 3, 6, 9 et 18 : le plus grand diviseur commun est 6). Pour de grands nombres, on peut utiliser la décomposition en facteurs premiers et multiplier les facteurs premiers communs, ou l’algorithme d’Euclide (on divise le plus grand nombre par le plus petit, puis on recommence avec le reste). Dans Excel en français, la fonction PGCD le donne d’un coup, et en Python, math.gcd.

Écrire « entier + fraction » comme une seule fraction

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(N\) \(=\) \(w\) \(\times\) \(d\) \(+\) \(n\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

④ \(N\) : numérateur de la fraction unique \(=\) ① \(w\) : partie entière \(\times\) ② \(d\) : dénominateur \(+\) ③ \(n\) : numérateur

La formule en mots

① On multiplie la \(w\) : partie entière

② par le \(d\) : dénominateur

③ et on ajoute le \(n\) : numérateur

④ pour obtenir le \(N\) : numérateur de la fraction unique (le dénominateur ne change pas)

Exemple simple

Écrire \(2 + \dfrac{21}{98}\) comme une seule fraction

\(N\) : numérateur de la fraction unique \(=\) partie entière (2) \(\times\) dénominateur (98) \(+\) numérateur (21)

\(2 \times 98 + 21 = 217\)

\(2 + \dfrac{21}{98} = \dfrac{217}{98}\)

L’idée clé

Sous la forme « entier + fraction », la simplification est peu pratique : on écrit donc d’abord le nombre comme une seule fraction (une fraction supérieure à 1, dont le numérateur est au moins égal au dénominateur). Pour comprendre la formule, voyez la partie entière comme autant de fractions égales à 1 avec le même dénominateur (2, c’est deux fois \(\dfrac{98}{98}\), soit \(\dfrac{196}{98}\)). Dans les pays anglo-saxons, on écrit ce nombre collé, \(2\tfrac{21}{98}\) (un « nombre mixte ») ; en France, on écrit la somme \(2 + \dfrac{21}{98}\).

Écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme « entier + fraction »

Notation mathématique (l’écriture habituelle)

\(N\) \(=\) \(q\) \(\times\) \(D\) \(+\) \(r\)

En mots (les symboles remplacés par des mots)

① \(N\) : numérateur de la fraction \(=\) ③ \(q\) : quotient (la partie entière) \(\times\) ② \(D\) : dénominateur \(+\) ④ \(r\) : reste (le nouveau numérateur)

La formule en mots

① On divise le \(N\) : numérateur de la fraction

② par le \(D\) : dénominateur :

③ le \(q\) : quotient devient la partie entière, et

④ le \(r\) : reste devient le numérateur de la fraction (le dénominateur reste \(D\))

Exemple simple

Écrire \(\dfrac{31}{14}\) sous la forme « entier + fraction » (31 ÷ 14 : quotient 2, reste 3)

numérateur de la fraction (31) \(=\) quotient (2) \(\times\) dénominateur (14) \(+\) reste (3)

\(31 = 2 \times 14 + 3\)

\(\dfrac{31}{14} = 2 + \dfrac{3}{14}\)

L’idée clé

Avec le quotient et le reste de la division euclidienne du numérateur par le dénominateur, on écrit une fraction supérieure à 1 comme la somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. Pour une fraction négative, on enlève le signe, on fait le même calcul, puis on remet le signe devant tout le nombre (par exemple \(-\dfrac{31}{14} = -\left(2 + \dfrac{3}{14}\right)\)).

Pour simplifier une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Un nombre de la forme « entier + fraction » s’écrit d’abord comme une seule fraction avant d’être simplifié ; le résultat se relit ensuite, si besoin, sous la forme « entier + fraction » ou en nombre décimal.

Symboles et termes

Symboles

\(n\)	n minuscule	Le numérateur (nombre du haut) de la fraction avant simplification. (Exemple : le 21 de \(\dfrac{21}{98}\))
\(d\)	d minuscule	Le dénominateur (nombre du bas) de la fraction avant simplification. (Exemple : le 98 de \(\dfrac{21}{98}\))
\(g\)	g	Le PGCD du numérateur et du dénominateur. Pour simplifier, on divise les deux par ce nombre. (Exemple : pour 21 et 98, c’est 7)
\(N\)	N majuscule	Le nouveau numérateur après un calcul. Sur cette page, c’est le numérateur simplifié, ou le numérateur obtenu en écrivant « entier + fraction » comme une seule fraction.
\(D\)	D majuscule	Le nouveau dénominateur après simplification. (Exemple : le 14 de \(\dfrac{3}{14}\), forme simplifiée de \(\dfrac{21}{98}\))
\(w\)	w	La partie entière, de l’initiale de l’anglais « whole » (entier). (Exemple : le 2 de \(2 + \dfrac{3}{14}\))
\(q\)	q	Le quotient de la division du numérateur par le dénominateur (initiale de « quotient »). Il devient la partie entière.
\(r\)	r	Le reste de la division du numérateur par le dénominateur (initiale de « reste »). Il devient le numérateur de la fraction inférieure à 1.
\(\gcd(n, d)\)	PGCD de n et d	La notation internationale du « PGCD de \(n\) et \(d\) » (gcd, de l’anglais greatest common divisor). En France, on écrit plutôt \(\mathrm{PGCD}(n\,;\,d)\).

Termes

simplifier	Diviser le numérateur et le dénominateur d’une fraction par un diviseur commun pour l’écrire plus simplement. La valeur de la fraction ne change pas.
fraction irréductible	Une fraction qu’on ne peut plus simplifier : le PGCD de son numérateur et de son dénominateur vaut 1. Quand un exercice demande de « simplifier le résultat », c’est cette forme qu’il faut donner.
diviseur commun	Un nombre qui divise à la fois deux nombres ou plus. (Exemple : les diviseurs communs de 12 et 18 sont 1, 2, 3 et 6)
PGCD (plus grand commun diviseur)	Le plus grand des diviseurs communs.
fraction supérieure à 1	Une fraction comme \(\dfrac{31}{14}\), dont le numérateur est plus grand que le dénominateur (ou égal). Sa valeur est au moins 1. (Au Québec, on dit « fraction impropre ».)
nombre mixte	Un nombre écrit comme une partie entière plus une fraction inférieure à 1. En France, on écrit la somme, \(2 + \dfrac{3}{14}\) ; les pays anglo-saxons l’écrivent collé, \(2\tfrac{3}{14}\). Il a la même valeur que la fraction supérieure à 1 correspondante, mais on se représente mieux sa taille.
fraction inférieure à 1	Une fraction comme \(\dfrac{3}{14}\), dont le numérateur est plus petit que le dénominateur. Sa valeur est inférieure à 1.
décomposition en facteurs premiers	Écrire un nombre comme un produit de nombres premiers (par exemple \(12 = 2 \times 2 \times 3\)). En multipliant les facteurs premiers communs à deux nombres, on obtient leur PGCD.
algorithme d’Euclide	Une méthode pour trouver le PGCD en divisant le plus grand nombre par le plus petit, puis en recommençant avec le couple « diviseur et reste ». Elle est rapide même pour de grands nombres.

Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer

Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant, et pas seulement en appuyant sur le bouton.

Le sens d’une fraction (CM1-CM2, 9-11 ans)	Savoir qu’une fraction désigne « un certain nombre de parts égales de 1 » Connaître le nom et le rôle du numérateur (nombre du haut) et du dénominateur (nombre du bas)
Diviseurs, diviseurs communs et PGCD (6e-3e, 11-15 ans)	Savoir écrire la liste de tous les diviseurs d’un nombre (par exemple, les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12) Savoir que le plus grand des diviseurs communs à deux nombres (leurs diviseurs communs) est leur PGCD
Fractions égales, simplification et écriture « entier + fraction » (CM2-5e, 10-13 ans)	Savoir que multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la valeur d’une fraction Savoir passer d’une seule fraction à l’écriture « entier + fraction » et inversement (par exemple \(\dfrac{31}{14} = 2 + \dfrac{3}{14}\))
La division euclidienne (CE2-CM1, 8-10 ans)	Savoir faire une division avec quotient et reste, comme « 31 ÷ 14 : quotient 2, reste 3 » (\(31 = 14 \times 2 + 3\))

Calculer avec Excel

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour simplifier (diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD)

Numérateur de départ n	21
Dénominateur de départ d	98
PGCD g	=PGCD(B1;B2)
Numérateur simplifié N	=B1/B3
Dénominateur simplifié D	=B2/B3

Tableau pour trouver le PGCD

Premier nombre (numérateur)	12
Deuxième nombre (dénominateur)	18
PGCD g	=PGCD(B1;B2)

Tableau pour écrire « entier + fraction » comme une seule fraction

Partie entière w	2
Numérateur n	21
Dénominateur d	98
Numérateur de la fraction unique N	=B1*B3+B2

Tableau pour écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme « entier + fraction »

Numérateur de la fraction N	31
Dénominateur D	14
Partie entière (quotient) q	=QUOTIENT(B1;B2)
Reste (numérateur de la fraction inférieure à 1) r	=MOD(B1;B2)

Une fois collé, les lignes du haut sont vos données et les cellules qui commencent par « = » se calculent automatiquement.
PGCD donne le PGCD, QUOTIENT le quotient (la partie entière) et MOD le reste.
Dans le premier tableau, par exemple, B3 affiche le PGCD 7, B4 le numérateur simplifié 3 et B5 le dénominateur simplifié 14 (\(\dfrac{21}{98}\) → \(\dfrac{3}{14}\)).
Pour écrire une fraction négative sous la forme « entier + fraction », calculez sans le signe et remettez-le devant à la fin.

Calculer avec Google Sheets

Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.

Tableau pour simplifier (diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD)

Numérateur de départ n	21
Dénominateur de départ d	98
PGCD g	=PGCD(B1;B2)
Numérateur simplifié N	=B1/B3
Dénominateur simplifié D	=B2/B3

Tableau pour trouver le PGCD

Premier nombre (numérateur)	12
Deuxième nombre (dénominateur)	18
PGCD g	=PGCD(B1;B2)

Tableau pour écrire « entier + fraction » comme une seule fraction

Partie entière w	2
Numérateur n	21
Dénominateur d	98
Numérateur de la fraction unique N	=B1*B3+B2

Tableau pour écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme « entier + fraction »

Numérateur de la fraction N	31
Dénominateur D	14
Partie entière (quotient) q	=QUOTIENT(B1;B2)
Reste (numérateur de la fraction inférieure à 1) r	=MOD(B1;B2)

Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles (PGCD, QUOTIENT et MOD existent aussi dans Google Sheets en français).
Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres de la colonne B par votre propre fraction.

Calculer avec Python

from fractions import Fraction
from math import gcd

whole = 2          # partie entière (0 pour une fraction ordinaire)
numerator = 21     # numérateur
denominator = 98   # dénominateur

improper_numerator = whole * denominator + numerator    # numérateur de la fraction unique
g = gcd(improper_numerator, denominator)                # PGCD du numérateur et du dénominateur
simplified = Fraction(improper_numerator, denominator)  # fraction irréductible (Fraction simplifie automatiquement)
q, r = divmod(abs(simplified.numerator), simplified.denominator)  # partie entière et reste pour la forme entier + fraction

print(f"En une seule fraction : {improper_numerator}/{denominator}")
print(f"PGCD : {g}")
print(f"Fraction irréductible : {simplified}")
print(f"Entier + fraction : {q} + {r}/{simplified.denominator}")
print(f"En nombre décimal : {float(simplified)}")

Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. Fraction est un type qui simplifie automatiquement les fractions, et math.gcd une fonction qui calcule le PGCD. Changez les trois nombres en haut et exécutez.

Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)

Simplifier (diviser le numérateur et le dénominateur par le PGCD)

n/d = (n ÷ g)/(d ÷ g)

\dfrac{n}{d} = \dfrac{n \div g}{d \div g}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac><mi>n</mi><mi>d</mi></mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
      <mrow><mi>d</mi><mo>&#x00F7;</mo><mi>g</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n/d = (n -: g)/(d -: g)

(n/g)/(d/g)

(n/g)/(d/g);

N = n/g; D = d/g;

n/d = (n/g)/(d/g)

Trouver le PGCD \(g\)

g = gcd(n, d)

g = \gcd(n,\ d)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>gcd</mi>
    <mo stretchy="false">(</mo>
    <mi>n</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>d</mi>
    <mo stretchy="false">)</mo>
  </mrow>
</math>

g = gcd(n, d)

GCD[n, d]

g := gcd(n, d);

g = gcd(n, d);

g = gcd(n, d)

Écrire « entier + fraction » comme une seule fraction

N = w × d + n

N = w \times d + n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>w</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>d</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

N = w xx d + n

w*d + n

N := w*d + n;

N = w*d + n;

N = w × d + n

Écrire une fraction supérieure à 1 sous la forme « entier + fraction »

N = q × D + r

N = q \times D + r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>q</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mi>D</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

N = q xx D + r

q*d + r  (* d en minuscule, car D (opérateur de dérivation) est réservé dans Mathematica *)

N := q*d + r;  # d en minuscule, car D (opérateur de dérivation) est réservé dans Maple

N = q*D + r;

N = q × D + r

Faire faire le calcul par ChatGPT

Tu es un assistant de calcul de fractions. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation).

Simplifie le nombre 2 + 21/98 jusqu’à sa forme la plus simple.
Donne chacun des éléments suivants :
1. Le nombre écrit comme une seule fraction
2. Le PGCD du numérateur et du dénominateur
3. La fraction irréductible (en une seule fraction et sous la forme « entier + fraction inférieure à 1 »)
4. La valeur en nombre décimal (avec une virgule)

Présente les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.

Mode d'emploi

1

Saisissez vos nombres

Tapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
2

Calculez

Appuyez sur le bouton « Calculer »
3

Lisez le résultat

Le résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule