Choisissez « Simplifier une racine » ou « Deux racines », puis saisissez le nombre devant la racine et le nombre sous la racine. L’expression ci-dessous est liée aux champs de saisie : vous pouvez aussi modifier directement ses nombres.
Saisissez des nombres avec des chiffres. Un coefficient vide vaut 1 ; il peut être décimal, négatif ou une fraction comme 3/4. Le nombre sous la racine doit être un nombre entier supérieur ou égal à 1.
Résultat et graphique
Saisissez le nombre sous la racine dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». La forme simplifiée et une droite graduée s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et figures
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Simplifiez une racine carrée comme \(\sqrt{48}\) en \(4\sqrt{3}\) (la forme avec le plus petit nombre entier possible sous la racine). Les étapes montrent la décomposition en facteurs premiers du radicande et comment le carré parfait sort de la racine
- Vérifiez aussi que lorsque le radicande est un carré parfait, la racine disparaît et on obtient un nombre entier, comme \(\sqrt{36} = 6\)
- Additionnez, soustrayez, multipliez et divisez des racines comme \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) ou \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\), avec un résultat exact sous forme simplifiée
- Quand une division laisse une racine au dénominateur, le résultat est donné avec un dénominateur rationnel. Exemple : \(6 \div \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- La valeur exacte est le résultat principal, accompagnée de sa valeur décimale et des deux entiers qui l’encadrent. Une droite graduée montre aussi sa taille
- Le calculateur affiche la racine comme on l’écrit à la main, et vous pouvez modifier directement le nombre sous la racine ou devant elle
Cette page traite les racines carrées de nombres entiers positifs. Elle ne traite pas les racines carrées de nombres négatifs, les racines cubiques ou d’indice supérieur, ni les racines imbriquées comme \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\).
À quoi sert ce calcul ?
Le format des feuilles A4 et A3 (normes du quotidien)
Les feuilles au format A (A4, A3…) sont définies pour que le rapport entre leurs côtés soit \(1 : \sqrt{2}\). Avec ce rapport, plier une feuille en deux dans la longueur ne change pas sa forme : une A3 pliée en deux donne exactement une A4. Une A4 mesure 210 mm × 297 mm, et \(297 \div 210 \approx 1{,}4143\) est presque égal à \(\sqrt{2} \approx 1{,}4142\).
En fixant l’aire de l’A0 à 1 mètre carré et en gardant ce rapport, l’A0 mesure 841 mm × 1 189 mm. Le « 141 % » affiché par une photocopieuse pour passer de l’A4 à l’A3 n’est autre que ce facteur \(\sqrt{2}\).
Calculer une longueur en diagonale (bâtiment, conception, topographie)
Quand on calcule une diagonale à partir de deux côtés perpendiculaires (théorème de Pythagore), le résultat est souvent une racine. La diagonale d’un carré de 1 m de côté mesure \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\) m, et pour des côtés de 3 m et 4 m, \(\sqrt{25} = 5\) m.
Sur un chantier, on mesure cette diagonale pour vérifier qu’un angle est bien droit (la règle du 3-4-5). Sur un plan, plutôt que d’écrire \(\sqrt{18}\), on écrit la forme simplifiée \(3\sqrt{2}\) : on voit tout de suite que c’est 3 fois \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), soit environ 4,24 m.
L’écart-type, la dispersion des données (statistique et contrôle qualité)
L’écart-type est la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts à la moyenne (la variance). Élever au carré puis prendre la racine carrée ramène le résultat à la même unité que les données de départ.
Par exemple, les cinq valeurs 4, 6, 8, 10 et 12 ont une moyenne de 8 et une variance de 8 : l’écart-type vaut \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2{,}83\). Notes d’examen, variations de production en usine, valeurs de référence des analyses médicales : les racines carrées apparaissent partout où l’on traite des données.
La durée d’une chute et la période d’un pendule (physique)
Un objet lâché d’une hauteur de \(h\) mètres touche le sol au bout de \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) secondes (\(g\), l’accélération de la pesanteur, vaut environ 9,8 m/s²). Depuis 5 m, cela fait environ 1,01 seconde. La durée d’un aller-retour d’un pendule est elle aussi proportionnelle à la racine carrée de sa longueur (environ 2,0 secondes pour un pendule de 1 m).
Cette relation, « la durée est proportionnelle à la racine carrée de la distance », sert dans des situations très concrètes : conception d’horloges et de jeux pour enfants, enquêtes sur des chutes.
Retrouver la vitesse d’un véhicule à partir des traces de freinage (expertise d’accident)
À partir de la longueur des traces de freinage laissées par les pneus, on estime la vitesse au début du freinage par \(\sqrt{2\mu g d}\) (\(\mu\) est le coefficient de frottement entre le pneu et la route, \(g\) l’accélération de la pesanteur et \(d\) la longueur des traces). Sur route sèche, avec \(\mu = 0{,}7\) et des traces de 20 m, on obtient \(\sqrt{274{,}4} \approx 16{,}6\) m/s, soit environ 60 km/h.
Cette estimation est réellement utilisée dans les expertises d’accidents. Elle explique aussi une règle de sécurité essentielle : quand la vitesse double, la distance de freinage (depuis le début du freinage jusqu’à l’arrêt) est multipliée par 4, car elle est proportionnelle au carré de la vitesse.
Formules et figures
Le sens de la racine carrée et du radical
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(\sqrt{a}\), le nombre positif dont le carré est \(a\), élevé à nouveau au carré
\(=\)
②
\(a\) : nombre sous la racine
La formule en mots
①
Pour un nombre \(a\) positif ou nul, en prenant
\(\sqrt{a}\), le nombre positif dont le carré est \(a\), élevé à nouveau au carré
②
on retrouve le
\(a\) : nombre sous la racine
lui-même
Exemple simple
La racine carrée de \(2\), \(\sqrt{2}\), est la longueur de la diagonale d’un carré de côté \(1\). En l’élevant au carré, on obtient
la diagonale \(\sqrt{2}\) au carré
\(=\)
nombre sous la racine, \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\)
L’idée clé
Imaginez un carré d’aire \(a\) : la longueur de son côté vaut exactement \(\sqrt{a}\). En élevant le côté au carré, on retrouve l’aire \(a\) : c’est le sens du radical.
\(\sqrt{2}\) et \(\sqrt{3}\) ne peuvent pas s’écrire sous forme de fraction (ce sont des nombres irrationnels). Leur écriture décimale ne s’arrête jamais et ne se répète jamais. Plutôt que d’écrire \(1{,}41421356\dots\) sans fin, le seul symbole \(\sqrt{2}\) donne la valeur exacte.
Deux nombres ont pour carré \(a\) : \(+\sqrt{a}\) et \(-\sqrt{a}\). Par convention, le symbole \(\sqrt{a}\) désigne uniquement le positif.
Simplifier une racine (faire sortir le carré parfait)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
une racine carrée dont le radicande est un carré parfait \(a^2\) multiplié par le reste \(b\)
\(=\)
①
\(a\) : racine du carré parfait (sort de la racine)
②
\(\sqrt{b}\) : racine carrée du reste (reste sous la racine)
La formule en mots
①
Pour des nombres \(a\) et \(b\) positifs ou nuls, on écrit le radicande comme « carré parfait × reste ». On fait sortir de la racine le
\(a\) : racine du carré parfait
②
, on laisse sous la racine la
\(\sqrt{b}\) : racine carrée du reste
, et on multiplie. Le résultat est égal à la
③
racine carrée de départ \(\sqrt{a^2b}\)
Exemple simple
\(48 = 2^4 \times 3 = 4^2 \times 3\), donc \(\sqrt{48}\) devient
racine carrée de départ \(\sqrt{48}\)
\(=\)
\(4\) sort de la racine
\(\sqrt{3}\) reste dedans
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 6{,}9282\)
L’idée clé
Pour comprendre pourquoi il peut sortir, on écrit \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\). \(\sqrt{a^2}\) est « le nombre positif dont le carré est \(a^2\) », c’est-à-dire \(a\). Seul \(a\) sort donc de la racine, et \(\sqrt{b}\) reste dedans.
La décomposition en facteurs premiers est le moyen sûr de trouver les facteurs carrés. Chaque paire d’un même facteur premier en fait sortir un exemplaire, et seuls les facteurs premiers restés sans partenaire restent sous la racine. Par exemple, \(72 = 2^3 \times 3^2\). Il y a trois 2, soit une paire : un 2 sort et un 2 reste. Il y a deux 3, exactement une paire : un 3 sort. Donc \(\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
On simplifie pour deux raisons. D’abord, la taille se voit mieux : \(\sqrt{48}\) ne dit pas grand-chose au premier coup d’œil, mais \(4\sqrt{3}\), c’est 4 fois \(\sqrt{3} \approx 1{,}73\), soit environ 6,9. Ensuite, des valeurs égales prennent la même forme : on peut vérifier des résultats et réduire des expressions.
Additionner et soustraire des racines (réduire les termes semblables)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(p\) fois \(\sqrt{a}\)
\(+\)
②
\(q\) fois \(\sqrt{a}\)
\(=\)
③
\(p+q\) fois \(\sqrt{a}\)
La formule en mots
①
Quand les radicandes sont le même \(a\),
\(p\) fois \(\sqrt{a}\)
②
plus
\(q\) fois \(\sqrt{a}\)
, ce sont des parts de même taille : on additionne leur nombre et on obtient
③
\(p+q\) fois \(\sqrt{a}\)
Exemple simple
Dans \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\), les deux sont faits de parts \(\sqrt{2}\), donc
3 fois \(\sqrt{2}\)
\(+\)
5 fois \(\sqrt{2}\)
\(=\)
8 fois \(\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \approx 11{,}3137\)
L’idée clé
C’est la même idée que « 3 pommes + 5 pommes = 8 pommes ». Quand on réduit \(3x + 5x = 8x\) en calcul littéral, le \(x\) est ici simplement \(\sqrt{2}\) : c’est la réduction des termes semblables.
En revanche, des racines de radicandes différents ne se regroupent pas en une seule. L’erreur la plus fréquente consiste à additionner les nombres sous les racines, en écrivant \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\). C’est faux. Un exemple avec des entiers le montre clairement : \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\), mais \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\), un nombre complètement différent. De même, \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) n’est pas \(\sqrt{a-b}\).
Donc \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) n’est pas \(\sqrt{5}\) (en fait \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3{,}1463\), alors que \(\sqrt{5} \approx 2{,}2361\)). Le résultat est \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) tel quel. Ne pas forcer le regroupement de ce qui ne se regroupe pas, c’est la bonne réponse.
Des racines d’aspect différent peuvent devenir des termes semblables une fois simplifiées. \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) ne semble pas se regrouper, mais \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), donc \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\). Pour additionner ou soustraire, la première étape est toujours de simplifier les deux racines.
Multiplier des racines (multiplier les radicandes pour n’en faire qu’une)
Figure
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
racine carrée de \(a\)
\(\times\)
②
racine carrée de \(b\)
\(=\)
③
racine carrée du produit des radicandes, \(ab\)
La formule en mots
①
Pour des nombres \(a\) et \(b\) tous deux positifs ou nuls, multiplier la
racine carrée de \(a\), \(\sqrt{a}\)
②
par la
racine carrée de \(b\), \(\sqrt{b}\)
revient à multiplier les radicandes entre eux, ce qui donne la
③
racine carrée de \(ab\), \(\sqrt{ab}\)
Exemple simple
Pour \(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\), on multiplie les radicandes pour obtenir \(\sqrt{18}\), puis on simplifie
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\) (simplifiée : \(3\sqrt{2}\))
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}2426\)
L’idée clé
Cette formule se comprend bien avec un rectangle de largeur \(\sqrt{a}\) et de longueur \(\sqrt{b}\) : son aire vaut \(\sqrt{ab}\). Contrairement à l’addition, la multiplication regroupe les racines en une seule même quand les radicandes sont différents.
S’il y a des nombres devant les racines, on multiplie séparément les coefficients entre eux et les radicandes entre eux. Par exemple, \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12}\). On simplifie ensuite \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) pour obtenir \(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\). Après une multiplication, le radicande grandit et contient souvent un carré parfait : n’oubliez pas de simplifier à la fin.
Multiplier une racine par elle-même fait disparaître la racine (\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)). C’est la même chose que la première formule, \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\).
Attention, cette formule n’est vraie que si \(a\) et \(b\) sont tous deux positifs ou nuls. Elle ne fonctionne pas de la même façon pour les racines carrées de nombres négatifs (nombres imaginaires) : ne l’utilisez pas avec un nombre négatif sous la racine.
Diviser des racines et rendre rationnel le dénominateur
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
une racine reste au dénominateur
\(=\)
②
numérateur et dénominateur multipliés par \(\sqrt{b}\)
\(=\)
③
le dénominateur est devenu le nombre entier \(b\)
La formule en mots
①
Pour \(a\) positif ou nul et \(b\) strictement positif (c’est un dénominateur, donc pas 0), on écrit la division sous forme de fraction :
une racine reste au dénominateur
②
. On la réécrit avec le
numérateur et dénominateur multipliés par \(\sqrt{b}\)
. Le dénominateur devient \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\), la racine disparaît, et
③
le dénominateur est devenu le nombre entier \(b\)
Exemple simple
En écrivant \(1 \div \sqrt{3}\) sans racine au dénominateur, on obtient
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
les deux multipliés par \(\sqrt{3}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0{,}5774\)
L’idée clé
Multiplier le numérateur et le dénominateur par un même nombre ne change pas la valeur d’une fraction. Pour rendre rationnel le dénominateur, on utilise cette propriété afin de supprimer la racine du dénominateur seulement. L’écriture change, pas la valeur : \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) et \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) sont le même nombre (environ 0,5774).
On écrit les résultats sans racine au dénominateur parce que leur taille est plus facile à estimer et qu’ils sont plus faciles à comparer. Avec \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\), il faudrait diviser 1 par 1,73… ; avec \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\), il suffit de diviser 1,73… par 3.
La méthode est la même s’il y a des nombres devant les racines : on divise les coefficients, puis on rend rationnel le dénominateur de la partie avec racine (exemple : \(6\sqrt{6} \div 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)). Quand le dénominateur a deux termes, comme \(\sqrt{3} + 1\), il faut une autre méthode (multiplier par la quantité conjuguée). Ce calculateur ne traite que les dénominateurs formés d’une seule racine.
Simplifier une racine, c’est décomposer le radicande en facteurs premiers, trouver les carrés parfaits et faire sortir leurs racines (\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)). Pour additionner ou soustraire, seules les racines de même radicande (termes semblables) se regroupent. Pour multiplier ou diviser, on multiplie ou on divise les radicandes entre eux. Par convention, un quotient s’écrit sans racine au dénominateur (dénominateur rendu rationnel).
Symboles et termes
Symboles
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | racine carrée (radical) | Le symbole de la racine carrée, appelé radical. On dit qu’il vient d’un r stylisé, initiale du latin radix, « racine ». Il désigne le nombre positif dont le carré est le nombre écrit dessous, comme \(\sqrt{9} = 3\). |
| \(\sqrt{a}\) | racine de a | Le nombre positif dont le carré est \(a\). Au carré, il redonne \(a\) (\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)). Le nombre \(a\) sous la racine doit être positif ou nul. |
| \(a\sqrt{b}\) | a racine de b | \(a\) multiplié par \(\sqrt{b}\) (le signe × n’est pas écrit). Une racine simplifiée a cette forme : \(a\) est le nombre sorti de la racine, \(b\) le nombre resté dessous. |
| \(a^2\) | a au carré | \(a\) multiplié par lui-même (\(a \times a\)). Le petit 2 en haut à droite indique combien de fois on multiplie. Pour simplifier une racine, on commence par chercher cette forme sous la racine. |
| \(\approx\) | environ égal à | Le symbole de « environ égal ». La valeur d’une racine ne tombe pas juste : quand on l’écrit en nombre décimal, on utilise ce symbole, comme dans \(\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\). |
| \(p, q\) | p, q | Des lettres souvent utilisées pour les nombres devant les racines. Sur cette page, comme dans \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\), elles indiquent combien de fois on a \(\sqrt{a}\). |
| \(<\) | est inférieur à | Le symbole qui indique que le membre de gauche est plus petit que celui de droite. Sur cette page, il montre entre quels entiers se trouve une racine, comme dans \(6 < 4\sqrt{3} < 7\). |
Termes
| racine carrée | Pour un nombre \(a\) positif, \(\sqrt{a}\) est le nombre positif dont le carré est \(a\). Deux nombres ont pour carré \(9\) : \(3\) et \(-3\) ; le positif s’écrit \(\sqrt{9}\), le négatif \(-\sqrt{9}\). |
| radical | Le symbole √ de la racine carrée. Une expression comme \(\sqrt{5}\) désigne la racine carrée (positive) du nombre écrit dessous. |
| radicande | Le nombre placé sous le radical. Dans \(\sqrt{48}\), le radicande est 48. |
| forme simplifiée | L’écriture obtenue en simplifiant une racine sans changer sa valeur : les carrés parfaits sortent de la racine pour que le radicande soit le plus petit nombre entier possible (\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)), et aucune racine ne reste au dénominateur. |
| carré parfait | Un nombre obtenu en élevant un nombre entier au carré, comme \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots\). Si le radicande est un carré parfait, la racine disparaît et on obtient un nombre entier (\(\sqrt{36} = 6\)). |
| facteur carré | Un diviseur d’un nombre qui est un carré parfait. \(48\) a pour facteur carré \(16 = 4^2\), donc \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\). Les nombres dont le seul facteur carré est \(1\) (\(2, 3, 5, 6, 7, 10, \dots\)) ne peuvent pas être simplifiés. |
| décomposition en facteurs premiers | Écrire un nombre entier comme un produit de nombres premiers uniquement (\(48 = 2^4 \times 3\)). Chaque paire d’un facteur premier en fait sortir un de la racine : les facteurs premiers d’exposant pair sortent entièrement, ceux d’exposant impair en laissent un dessous. C’est le moyen sûr de trouver les carrés parfaits. |
| nombre premier | Un nombre entier supérieur ou égal à 2 qui n’est divisible que par 1 et par lui-même, comme \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\). Les nombres premiers sont les briques de la décomposition en facteurs premiers. |
| termes semblables | Des termes dont la partie littérale est exactement la même, comme \(3x\) et \(5x\). Pour les racines, les termes de même radicande, comme \(3\sqrt{2}\) et \(5\sqrt{2}\), sont semblables, et seuls ceux-là se regroupent. |
| rendre rationnel le dénominateur | Réécrire une fraction qui a une racine au dénominateur en multipliant le numérateur et le dénominateur par un même nombre, pour qu’il ne reste plus de racine au dénominateur. La valeur ne change pas (\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)). |
| nombre rationnel | Un nombre qui peut s’écrire comme une fraction de deux nombres entiers. Les nombres entiers, les nombres décimaux et les écritures décimales périodiques sont tous rationnels. « Rationnel » vient de ratio, « rapport ». |
| nombre irrationnel | Un nombre qui ne peut pas s’écrire sous forme de fraction. Son écriture décimale ne s’arrête pas et ne se répète pas. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) et \(\pi\) sont irrationnels. |
| nombre réel | L’ensemble des nombres rationnels et des nombres irrationnels, qui correspondent aux points d’une droite graduée. Cette page travaille avec les racines carrées dans les nombres réels. |
| valeur approchée | Une valeur proche de la valeur exacte, utilisée à sa place. Dans \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\), le membre de droite est une valeur approchée. Une racine ne tombe jamais juste : toute écriture décimale qu’on en donne est une valeur approchée. |
| nombre imaginaire | Un nombre qui n’est pas réel. Si \(i\) est le nombre dont le carré vaut \(-1\), les nombres dont le carré vaut \(-4\) sont \(2i\) et \(-2i\). Les racines carrées de nombres négatifs sont imaginaires et ne peuvent pas être placées sur une droite graduée. En France, on les étudie avec les nombres complexes en Terminale (option maths expertes). |
| racine imbriquée | Une racine qui contient une autre racine, comme \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\). Quand les conditions s’y prêtent, on peut la réécrire sans imbrication, ici \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\). Ce calculateur ne les traite pas. |
| droite graduée | Les nombres placés comme des points sur une droite. Elle permet de voir la taille d’une racine et les deux entiers qui l’encadrent. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser le calcul de cette page en le comprenant, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
Si vous bloquez, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Puissances et carrés (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| La décomposition en facteurs premiers (3e, 14-15 ans) |
|
| Le sens de la racine carrée (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Les termes semblables en calcul littéral (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Les fractions et leur simplification (CM2-5e, 10-13 ans) |
|
| Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour vérifier le sens d’une racine carrée
| Nombre sous la racine a | 3 |
| Valeur de √a | =RACINE(B1) |
| √a au carré (on retrouve B1) | =B2^2 |
Tableau pour vérifier une racine simplifiée
| Nombre qui sort de la racine a | 4 |
| Nombre qui reste sous la racine b | 3 |
| Nombre de départ a²×b | =B1^2*B2 |
| Valeur de √(a²b) | =RACINE(B3) |
| Valeur de a√b (la même) | =B1*RACINE(B2) |
Tableau pour vérifier l’addition de racines
| Nombre sous la racine a | 2 |
| Premier coefficient p | 3 |
| Deuxième coefficient q | 5 |
| Valeur de p√a + q√a | =B2*RACINE(B1)+B3*RACINE(B1) |
| Valeur de (p+q)√a (la même) | =(B2+B3)*RACINE(B1) |
Tableau pour vérifier la multiplication de racines
| Nombre sous la première racine a | 3 |
| Nombre sous la deuxième racine b | 6 |
| Valeur de √a × √b | =RACINE(B1)*RACINE(B2) |
| Valeur de √(ab) (la même) | =RACINE(B1*B2) |
| Valeur de la forme simplifiée 3√2 (la même) | =3*RACINE(2) |
Tableau pour vérifier qu’on peut rendre rationnel le dénominateur
| Nombre sous la racine b | 3 |
| Valeur de 1 ÷ √b | =1/RACINE(B1) |
| Valeur de √b ÷ b (la même) | =RACINE(B1)/B1 |
Copiez un tableau et collez-le dans la cellule A1. Les lignes du haut sont vos données, les lignes du bas se calculent automatiquement. RACINE est la fonction racine carrée, et « ^ » la puissance.
Le premier tableau met 3 dans a : √3 vaut 1,732050808…, et son carré redonne 3.
Le deuxième tableau met 4 dans a et 3 dans b. Le nombre de départ est 48, et √48 comme 4√3 donnent 6,928203230….
Le troisième tableau calcule 3√2 + 5√2 : les deux formules donnent 11,31370850…. Le quatrième calcule √3 × √6 : les trois formules donnent 4,242640687….
Le cinquième calcule 1 ÷ √3, et la forme sans racine au dénominateur √3 ÷ 3 donne le même 0,5773502692…. Changez les valeurs pour vérifier que cela marche avec n’importe quels nombres.
Attention, Excel affiche des valeurs approchées décimales. Pour voir les formes exactes comme 4√3, utilisez le calculateur de cette page.
Le premier tableau met 3 dans a : √3 vaut 1,732050808…, et son carré redonne 3.
Le deuxième tableau met 4 dans a et 3 dans b. Le nombre de départ est 48, et √48 comme 4√3 donnent 6,928203230….
Le troisième tableau calcule 3√2 + 5√2 : les deux formules donnent 11,31370850…. Le quatrième calcule √3 × √6 : les trois formules donnent 4,242640687….
Le cinquième calcule 1 ÷ √3, et la forme sans racine au dénominateur √3 ÷ 3 donne le même 0,5773502692…. Changez les valeurs pour vérifier que cela marche avec n’importe quels nombres.
Attention, Excel affiche des valeurs approchées décimales. Pour voir les formes exactes comme 4√3, utilisez le calculateur de cette page.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour vérifier le sens d’une racine carrée
| Nombre sous la racine a | 3 |
| Valeur de √a | =RACINE(B1) |
| √a au carré (on retrouve B1) | =B2^2 |
Tableau pour vérifier une racine simplifiée
| Nombre qui sort de la racine a | 4 |
| Nombre qui reste sous la racine b | 3 |
| Nombre de départ a²×b | =B1^2*B2 |
| Valeur de √(a²b) | =RACINE(B3) |
| Valeur de a√b (la même) | =B1*RACINE(B2) |
Tableau pour vérifier l’addition de racines
| Nombre sous la racine a | 2 |
| Premier coefficient p | 3 |
| Deuxième coefficient q | 5 |
| Valeur de p√a + q√a | =B2*RACINE(B1)+B3*RACINE(B1) |
| Valeur de (p+q)√a (la même) | =(B2+B3)*RACINE(B1) |
Tableau pour vérifier la multiplication de racines
| Nombre sous la première racine a | 3 |
| Nombre sous la deuxième racine b | 6 |
| Valeur de √a × √b | =RACINE(B1)*RACINE(B2) |
| Valeur de √(ab) (la même) | =RACINE(B1*B2) |
| Valeur de la forme simplifiée 3√2 (la même) | =3*RACINE(2) |
Tableau pour vérifier qu’on peut rendre rationnel le dénominateur
| Nombre sous la racine b | 3 |
| Valeur de 1 ÷ √b | =1/RACINE(B1) |
| Valeur de √b ÷ b (la même) | =RACINE(B1)/B1 |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les nombres par les vôtres.
Calculer avec Python
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# Écrit √n sous la forme a√b (b sans facteur carré) et renvoie (a, b)
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# Vérification avec les valeurs décimales (elles sont égales)
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# Si le radicande est un carré parfait, la racine disparaît
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
Fonctionne avec la seule bibliothèque standard. On essaie d = 2, 3, 4… à tour de rôle : tant que le nombre est divisible par le carré de d, on continue de diviser et on fait sortir un d de la racine à chaque fois. L’exécution affiche « √48 = 4√3 », puis deux fois la même valeur décimale 6,928203230275509 (écrite par Python avec un point), ce qui montre que la valeur est la même avant et après simplification. La dernière ligne traite √36, où la racine disparaît : elle affiche (6, 1) et 6. Changez les nombres pour essayer.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Le sens de la racine carrée et du radical
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
Simplifier une racine (faire sortir le carré parfait)
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
Additionner et soustraire des racines (réduire les termes semblables)
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
Multiplier des racines (multiplier les radicandes pour n’en faire qu’une)
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
Diviser des racines et rendre rationnel le dénominateur
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul en mathématiques, spécialiste des racines carrées. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). 1. Simplifie √48 pour que le nombre sous la racine soit le plus petit nombre entier possible. 2. Donne aussi la décomposition de 48 en facteurs premiers utilisée en chemin. 3. Donne 3√2 + 5√2, 2√6 × 3√2 et 6 ÷ √3 sous forme simplifiée (pour la division, sans racine au dénominateur). En Python, écris ta propre fonction qui décompose le radicande en facteurs premiers et fait sortir les carrés parfaits, et vérifie que les valeurs décimales avant et après simplification sont égales. Présente le code utilisé et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
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2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
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3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
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Fonctions connexes
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Décomposition en facteurs premiers
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