「1つの根号を簡約する」か「2つの根号の四則演算」を選び、根号の前の数と根号の中の数を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、数式の数字の部分を直接書き換えても計算できます。
数値は半角で入力してください。根号の前の数は空欄なら 1 として扱い、小数・負の数・3/4 のような分数も使えます。根号の中は1以上の整数だけです。
計算結果・グラフ
左の入力欄に根号の中の数を入れて「計算する」を押すと、ここに簡約した形と数直線が表示されます。
目次
このページでできること
- \(\sqrt{48}\) のような平方根を \(4\sqrt{3}\)（根号の中をできるだけ小さい整数にした形）に簡約できます。根号の中の素因数分解と、2乗のかたまりを外に出す途中式も見られます
- \(\sqrt{36} = 6\) のように、根号の中が平方数のときは根号が外れて整数になることも確かめられます
- \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\)、\(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\) のような根号どうしの足し算・引き算・掛け算・割り算を、簡約した厳密な形で計算できます
- 割り算で分母に根号が残るときは、分母から根号を消した形（分母の有理化ずみの形）で答えます。例：\(6 \div \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- 答えは厳密な形が主役で、小数の値と「どの整数とどの整数の間にあるか」も添えます。数直線で大きさも確かめられます
- 計算機には手書きと同じ形の根号の式が表示され、根号の中や前の数を直接書き換えて計算することもできます
扱うのは根号の中が正の整数の平方根（2乗根）です。負の数の平方根、3乗根などの累乗根、\(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) のような二重根号には対応していません。
この計算は何の役に立つ？
コピー用紙のA判・B判の縦横比（身の回りの規格）
A4・A3などのA判用紙は、縦と横の比が \(1 : \sqrt{2}\) になるように決められています。この比だと、長い方を半分に折っても比が変わらないため、A3を半分に折るとぴったりA4になります。実際にA4は 210mm × 297mm で、\(297 \div 210 \fallingdotseq 1.4143\) と \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.4142\) がほぼ一致します。
A0の面積を1平方メートルと決めたうえでこの比を使うと、A0は 841mm × 1189mm になります。コピー機の拡大縮小に「A4→A3 141%」と表示されるのも、この \(\sqrt{2}\) 倍が正体です。
斜めの長さを求める（建築・設計・測量）
直角に交わる2辺の長さから斜めの長さを出すとき（三平方の定理）、答えは多くの場合、根号の形になります。1辺1mの正方形の対角線は \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\) m、たて3m・横4mなら \(\sqrt{25} = 5\) m です。
建築や大工の現場では、この対角線の長さを測って直角が出ているかを確かめます。設計図では \(\sqrt{18}\) のような値をそのまま書かず、\(3\sqrt{2}\) と簡約した形にしておくと、\(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\) の3倍でおよそ4.24mだと即座に見当が付きます。
データのばらつきを表す標準偏差（統計・品質管理）
標準偏差は、平均からのずれを2乗して平均した値（分散）の平方根です。2乗してから平方根を取ることで、もとのデータと同じ単位に戻す仕組みになっています。
例えば 4, 6, 8, 10, 12 という5つの値なら、平均は8、分散は8なので、標準偏差は \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \fallingdotseq 2.83\) です。テストの偏差値、工場での製品のばらつき管理、健康診断の基準値など、平方根はデータを扱うあらゆる場面に現れます。
落ちる時間・振り子の周期を求める（物理）
高さ \(h\) メートルから物を落としたとき地面に届くまでの時間は \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) 秒（\(g\) は重力加速度でおよそ 9.8）で、5mなら約1.01秒です。振り子が1往復する時間も、糸の長さの平方根に比例します（長さ1mの振り子で約2.0秒）。
「時間は距離の平方根に比例する」というこの関係は、時計・遊具の設計や落下事故の検証など、身近な場面で使われています。
ブレーキ痕から事故時の速度を割り出す（交通事故の鑑定）
タイヤが路面に残したブレーキ痕（スリップ痕）の長さから、ブレーキをかけ始めたときの速度を \(\sqrt{2\mu g d}\)（\(\mu\) は路面とタイヤの摩擦係数、\(g\) は重力加速度、\(d\) はブレーキ痕の長さ）で推定できます。乾いた舗装路で \(\mu = 0.7\)、痕が20mなら、\(\sqrt{274.4} \fallingdotseq 16.6\) m/s、時速にしておよそ60kmです。
この推定は交通事故の鑑定で実際に使われており、速度が2倍になるとブレーキが効き始めてから止まるまでの距離（制動距離）が4倍になる（＝制動距離は速度の2乗に比例する）という、安全運転の根拠にもなっています。
式と図
平方根と根号の意味
図
数学表記
（一般的な数式）
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
2乗すると \(a\) になる正の数 \(\sqrt{a}\) を、あらためて2乗したもの
\(=\)
②
根号の中の数 \(a\)
式を日本語で読むと
①
\(a\) を0以上の数として、
2乗すると \(a\) になる正の数 \(\sqrt{a}\) を、あらためて2乗したもの
は
②
根号の中の数 \(a\)
そのものに戻る
簡単な例
\(2\) の平方根 \(\sqrt{2}\) は、1辺 \(1\) の正方形の対角線の長さです。これを2乗すると
対角線の長さ \(\sqrt{2}\) を2乗したもの
\(=\)
根号の中の数 \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41421356\)
考え方のポイント
面積が \(a\) の正方形を思い浮かべると、その1辺の長さがちょうど \(\sqrt{a}\) です。1辺を2乗すれば面積 \(a\) に戻る、というのが根号の意味そのものです。
\(\sqrt{2}\) や \(\sqrt{3}\) は、分数では表せない数（無理数）で、小数にすると終わりも繰り返しもありません。だから \(1.41421356\dots\) と書き続けるかわりに \(\sqrt{2}\) という記号1つで正確な値を表します。
なお、2乗して \(a\) になる数は \(+\sqrt{a}\) と \(-\sqrt{a}\) の2つあります。記号 \(\sqrt{a}\) が指すのは、そのうち正の方だけという約束です。
根号の簡約（2乗のかたまりを外に出す）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
根号の中が「2乗の数 \(a^2\)」と「残り \(b\)」の掛け算になっている平方根
\(=\)
①
2乗のかたまりのもとの数 \(a\)（根号の外へ出る）
②
残った \(b\) の平方根（根号の中に残る）
式を日本語で読むと
①
\(a\)・\(b\) を0以上の数として、根号の中を「2乗のかたまり × 残り」に分けたとき、
2乗のかたまりのもとの数 \(a\)
を根号の外に出し
②
残った \(b\) の平方根 \(\sqrt{b}\)
を根号の中に残して掛けると
③
もとの平方根 \(\sqrt{a^2b}\)
と同じ値になる
簡単な例
\(\sqrt{48}\) は、\(48 = 2^4 \times 3 = 4^2 \times 3\) と分けられるので
もとの平方根 \(\sqrt{48}\)
\(=\)
外に出る \(4\)
中に残る \(\sqrt{3}\)
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \fallingdotseq 6.9282\)
考え方のポイント
なぜ外に出せるのかは、\(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\) と分けて考えるとわかります。\(\sqrt{a^2}\) は「2乗すると \(a^2\) になる正の数」なので \(a\) そのもの。だから \(a\) だけが根号の外に出て、残りの \(\sqrt{b}\) が中に残ります。
2乗のかたまりを見つける確実な方法が素因数分解です。同じ素因数が2個そろうごとに、その素因数を1個ずつ根号の外に出せて、ペアを作れずに余った素因数だけが中に残ります。例えば \(72 = 2^3 \times 3^2\) なら、\(2\) は3個あるので1ペアできて \(2\) が1個外に出て \(2\) が1個中に残り、\(3\) は2個でちょうど1ペアなので \(3\) が1個外に出ます。したがって \(\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\) です。
簡約する理由は2つあります。1つは大きさがつかみやすくなること（\(\sqrt{48}\) と言われてもピンときませんが、\(4\sqrt{3}\) なら \(\sqrt{3} \fallingdotseq 1.73\) の4倍でおよそ6.9とすぐ見当がつきます）。もう1つは、同じ値が同じ形になるので、答え合わせや式の整理ができるようになることです。
根号の足し算・引き算（同類項をまとめる）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
\(\sqrt{a}\) が \(p\) 個分
\(+\)
②
\(\sqrt{a}\) が \(q\) 個分
\(=\)
③
\(\sqrt{a}\) が \(p+q\) 個分
式を日本語で読むと
①
根号の中が同じ \(a\) のとき、
\(\sqrt{a}\) が \(p\) 個分
と
②
\(\sqrt{a}\) が \(q\) 個分
は、同じ大きさのまとまりの個数どうしを足せるので
③
\(\sqrt{a}\) が \(p+q\) 個分
になる
簡単な例
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) は、どちらも \(\sqrt{2}\) のまとまりなので
\(\sqrt{2}\) が3個分
\(+\)
\(\sqrt{2}\) が5個分
\(=\)
\(\sqrt{2}\) が8個分
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \fallingdotseq 11.3137\)
考え方のポイント
「3個のりんご＋5個のりんご＝8個のりんご」と同じ考え方です。文字式で \(3x + 5x = 8x\) とまとめるときの \(x\) が、ここでは \(\sqrt{2}\) になっているだけで、これを「同類項をまとめる」といいます。
逆に、根号の中が違うものは1つにまとめられません。ここで一番多い間違いが、根号の中どうしを足して \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\) としてしまうことです。この式は成り立ちません。整数になる例で確かめるとはっきりします。\(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\) ですが、\(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\) で、全く違う数です。引き算も同じで、\(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) が \(\sqrt{a-b}\) になることもありません。
ですから \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) は \(\sqrt{5}\) にはならず（実際、\(\sqrt{2} + \sqrt{3} \fallingdotseq 3.1463\) に対して \(\sqrt{5} \fallingdotseq 2.2361\) です）、\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) のまま置いておくのが答えです。まとめられないものを無理にまとめないことが、正しい答え方です。
見た目が違っても、簡約すると同類項になることがあります。\(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) は一見まとまらなさそうに見えますが、\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) なので \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\) とまとまります。足し算・引き算では、まず両方を簡約するのが手順の第一歩です。
根号の掛け算（中どうしを掛けて1つにまとめる）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
\(a\) の平方根
\(\times\)
②
\(b\) の平方根
\(=\)
③
中どうしを掛けた数 \(ab\) の平方根
式を日本語で読むと
①
\(a\)・\(b\) をどちらも0以上の数として、
\(a\) の平方根 \(\sqrt{a}\)
と
②
\(b\) の平方根 \(\sqrt{b}\)
を掛けると、根号の中どうしが掛け合わさって
③
\(ab\) の平方根 \(\sqrt{ab}\)
になる
簡単な例
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\) は、中どうしを掛けて \(\sqrt{18}\) にしてから簡約すると
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\)（簡約すると \(3\sqrt{2}\)）
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \fallingdotseq 4.2426\)
考え方のポイント
たてが \(\sqrt{a}\)、横が \(\sqrt{b}\) の長方形の面積が \(\sqrt{ab}\) になる、と考えると納得しやすい式です。掛け算では足し算と違って、根号の中が違っていても1つの根号にまとめられます。
根号の前に数が付いている場合は、前の数どうし・根号の中どうしを別々に掛けます。例えば \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12}\) となり、さらに \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\) と簡約して \(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\) が答えです。掛けた後は根号の中が大きくなって2乗のかたまりが生まれやすいので、最後に簡約するのを忘れないようにします。
同じ数どうしを掛けると根号が外れます（\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)）。これは1つ目の式 \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) と同じことを言っています。
なお、この式が成り立つのは \(a\)・\(b\) がどちらも0以上のときだけです。負の数の平方根（虚数）まで広げるとこの通りにはならないので、根号の中に負の数が入る式にこの計算を当てはめてはいけません。
根号の割り算と分母の有理化
数学表記
（一般的な数式）
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
分母に根号が残っている形
\(=\)
②
分母・分子の両方に \(\sqrt{b}\) を掛けた形
\(=\)
③
分母が整数 \(b\) になった形
式を日本語で読むと
①
\(a\) を0以上の数、\(b\) を正の数（分母なので0は不可）として、割り算を分数の形に書いた
分母に根号が残っている形
を
②
分母・分子の両方に \(\sqrt{b}\) を掛けた形
に書き換えると、分母は \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\) となって根号が消え
③
分母が整数 \(b\) になった形
になる
簡単な例
\(1 \div \sqrt{3}\) を分母に根号が残らない形に直すと
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
分母・分子に \(\sqrt{3}\) を掛けた形
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \fallingdotseq 0.5774\)
考え方のポイント
分母と分子に同じ数を掛けても分数の値は変わりません。その性質を使って、分母だけから根号を消すのが分母の有理化です。値は変えずに見た目だけを整える操作なので、\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) と \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) はどちらも同じ数（およそ0.5774）です。
答えを分母に根号が無い形にそろえるのは、そうしておくと大きさがつかみやすく、答え合わせもしやすいからです。\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) のままだと「1を1.73…で割る」という手間が必要ですが、\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) なら「1.73…を3で割る」だけで見当が付きます。
根号の前に数が付いていても手順は同じで、前の数どうしを割ってから根号の部分を有理化します（例：\(6\sqrt{6} \div 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)）。なお、分母が \(\sqrt{3} + 1\) のように2つの項でできているときは、掛ける相手を変える別の手順（共役な式を使う方法）が必要になります。この計算機が扱うのは、分母が根号1つの場合です。
根号の簡約とは、根号の中を素因数分解して2乗のかたまりを見つけ、そのもとの数を根号の外に出す操作です（\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)）。足し算・引き算は根号の中が同じもの（同類項）どうししかまとめられず、掛け算・割り算は根号の中どうしを掛けたり割ったりできます。割り算の答えは、分母に根号を残さない形（分母の有理化ずみの形）にそろえるのが約束です。
用語・記号の解説
記号
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | ルート こんごう | 平方根を表す記号。ラテン語で根を意味する radix の頭文字 r を崩した形に由来するといわれます。日本語では根号、読み方としてはルートが一般的です。\(\sqrt{9} = 3\) のように、根号の中の数に対して「2乗するとその数になる正の数」を表します。 |
| \(\sqrt{a}\) | ルートエー | \(a\) の平方根のうち正の方。2乗すると \(a\) に戻ります（\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)）。根号の中に入る \(a\) は0以上の数に限られます。 |
| \(a\sqrt{b}\) | エー・ルートビー | \(a\) と \(\sqrt{b}\) の掛け算（掛ける記号は省略されています）。根号の簡約の答えはこの形になり、\(a\) が根号の外に出た数、\(b\) が根号の中に残った数です。 |
| \(a^2\) | エーの2乗 | \(a\) を2回掛けたもの（\(a \times a\)）。右上に小さく書く2が「掛ける回数」を表します。根号の簡約では、根号の中からこの形を探し出すのが最初の作業です。 |
| \(\fallingdotseq\) | ニアリーイコール | およそ等しいことを表す記号。根号の値は割り切れないため、小数で書くときは \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41421356\) のようにこの記号を使います。 |
| \(p, q\) | ピー・キュー | 根号の前に掛かっている数を表すのによく使う文字。このページでは \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\) のように、「\(\sqrt{a}\) が何個分か」を表す数として使っています。 |
| \(<\) | しょうなり | 左が右より小さいことを表す記号。このページでは \(6 < 4\sqrt{3} < 7\) のように、根号の値がどの整数とどの整数の間にあるかを表すのに使います。 |
用語
| 平方根 | へいほうこん | 2乗するとその数になる数のこと。\(9\) の平方根は \(3\) と \(-3\) の2つです。このうち正の方を \(\sqrt{9}\)、負の方を \(-\sqrt{9}\) と書きます。「平方」は2乗のことです。 |
| 根号 | こんごう | 平方根を表す記号のこと。ルートとも読みます。\(\sqrt{5}\) のように、中に入れた数の平方根（正の方）を表します。 |
| 簡約 | かんやく | 式の値は変えずに、より簡単な形に直すこと。根号の簡約では、根号の中の数ができるだけ小さい整数になるように、2乗のかたまりを根号の外に出します（\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)）。 |
| 平方数 | へいほうすう | \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots\) のように、整数を2乗してできる数。根号の中がこの形なら根号が外れて整数になります（\(\sqrt{36} = 6\)）。 |
| 平方因子 | へいほういんし | ある数の約数のうち、平方数になっているもの。\(48\) には \(16 = 4^2\) という平方因子があるので、\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) と簡約できます。平方因子が \(1\) しか無い数（\(2, 3, 5, 6, 7, 10, \dots\)）は、それ以上簡約できません。 |
| 素因数分解 | そいんすうぶんかい | 整数を素数だけの掛け算で表すこと（\(48 = 2^4 \times 3\)）。素因数は2個1組にすると1個ずつ根号の外に出せるので、指数が偶数の素因数は全部が外に出て、指数が奇数の素因数だけが1個ずつ中に残ります。2乗のかたまりを見つける確実な方法です。 |
| 素数 | そすう | \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\) のように、1とその数自身でしか割り切れない2以上の整数。素因数分解の材料になります。 |
| 同類項 | どうるいこう | 式の中で、文字の部分がまったく同じ項どうし。\(3x\) と \(5x\) のような関係です。根号では \(3\sqrt{2}\) と \(5\sqrt{2}\) のように根号の中が同じものが同類項で、これだけが1つにまとめられます。 |
| 分母の有理化 | ぶんぼのゆうりか | 分母に根号がある分数を、分母と分子に同じ数を掛けて、分母から根号を消した形に直すこと。値は変わりません（\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)）。 |
| 有理数 | ゆうりすう | 整数どうしの分数で表せる数。整数・有限小数・循環小数はすべて有理数です。「有理」は比（ratio）で表せるという意味です。 |
| 無理数 | むりすう | 分数では表せない数。小数にすると終わりも繰り返しもありません。\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、円周率 \(\pi\) などが無理数です。 |
| 実数 | じっすう | 有理数と無理数を合わせた、数直線上の点に対応するすべての数。このページで扱うのは実数の範囲の平方根です。 |
| 近似値 | きんじち | 正確な値のかわりに使う、およその値。\(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\) の右辺が近似値です。根号の値は割り切れないため、小数で書けば必ず近似値になります。 |
| 虚数 | きょすう | 実数ではない数のこと。2乗して \(-1\) になる数を \(i\) と決めると、\(-4\) の平方根は \(2i\) と \(-2i\) のように表せます。負の数の平方根はこの虚数になり、数直線の上には置けません。高校では数学IIの複素数の単元で学びます。 |
| 二重根号 | にじゅうこんごう | \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) のように、根号の中にさらに根号が入っている式。条件が合えば \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\) のように根号1つの形に直せます。この計算機では扱いません。 |
| 数直線 | すうちょくせん | 数を1本の直線上の点として並べたもの。根号の値がどのあたりの大きさなのか、どの整数とどの整数の間にあるのかを目で確かめられます。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 累乗と2乗（中学1〜2年） |
|
| 素因数分解（中学3年） |
|
| 平方根の意味（中学3年） |
|
| 文字式の同類項（中学1〜2年） |
|
| 分数の計算と約分（小学5年〜中学1年） |
|
| 三平方の定理（中学3年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「平方根と根号の意味」を確かめる表
| 根号の中の数 a | 3 |
| √a の値 | =SQRT(B1) |
| √a を2乗した値（B1に戻る） | =B2^2 |
「根号の簡約」を確かめる表
| 根号の外に出す数 a | 4 |
| 根号の中に残る数 b | 3 |
| もとの数 a²×b | =B1^2*B2 |
| √(a²b) の値 | =SQRT(B3) |
| a√b の値（同じ値になる） | =B1*SQRT(B2) |
「根号の足し算」を確かめる表
| 根号の中の数 a | 2 |
| 1つ目の根号の前の数 p | 3 |
| 2つ目の根号の前の数 q | 5 |
| p√a + q√a の値 | =B2*SQRT(B1)+B3*SQRT(B1) |
| (p+q)√a の値（同じ値になる） | =(B2+B3)*SQRT(B1) |
「根号の掛け算」を確かめる表
| 1つ目の根号の中の数 a | 3 |
| 2つ目の根号の中の数 b | 6 |
| √a × √b の値 | =SQRT(B1)*SQRT(B2) |
| √(ab) の値（同じ値になる） | =SQRT(B1*B2) |
| 簡約した 3√2 の値（同じ値になる） | =3*SQRT(2) |
「分母の有理化」を確かめる表
| 根号の中の数 b | 3 |
| 1 ÷ √b の値 | =1/SQRT(B1) |
| √b ÷ b の値（同じ値になる） | =SQRT(B1)/B1 |
表をコピーしてA1セルに貼り付けると、上の行が入力欄、下の行が自動計算の結果になります。SQRT が平方根を求める関数、「^」がべき乗の記号です。
1つ目の表は a に 3 を入れた例で、√3 は 1.732050808…、それを2乗すると 3 に戻ることが確かめられます。
2つ目の表は a に 4、b に 3 を入れた例です。もとの数は 48 になり、√48 と 4√3 がどちらも 6.928203230… で一致します。
3つ目の表は 3√2 + 5√2 の例で、両方の計算が 11.31370850… で一致します。4つ目の表は √3 × √6 の例で、3つの式がすべて 4.242640687… になります。
5つ目の表は 1 ÷ √3 の例で、有理化した √3 ÷ 3 とどちらも 0.5773502692… です。値を書き換えれば、どの組み合わせでも成り立つことが確かめられます。
なお、Excelが表示するのは小数の近似値です。4√3 のような厳密な形は、このページの計算機で確認してください。
1つ目の表は a に 3 を入れた例で、√3 は 1.732050808…、それを2乗すると 3 に戻ることが確かめられます。
2つ目の表は a に 4、b に 3 を入れた例です。もとの数は 48 になり、√48 と 4√3 がどちらも 6.928203230… で一致します。
3つ目の表は 3√2 + 5√2 の例で、両方の計算が 11.31370850… で一致します。4つ目の表は √3 × √6 の例で、3つの式がすべて 4.242640687… になります。
5つ目の表は 1 ÷ √3 の例で、有理化した √3 ÷ 3 とどちらも 0.5773502692… です。値を書き換えれば、どの組み合わせでも成り立つことが確かめられます。
なお、Excelが表示するのは小数の近似値です。4√3 のような厳密な形は、このページの計算機で確認してください。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「平方根と根号の意味」を確かめる表
| 根号の中の数 a | 3 |
| √a の値 | =SQRT(B1) |
| √a を2乗した値（B1に戻る） | =B2^2 |
「根号の簡約」を確かめる表
| 根号の外に出す数 a | 4 |
| 根号の中に残る数 b | 3 |
| もとの数 a²×b | =B1^2*B2 |
| √(a²b) の値 | =SQRT(B3) |
| a√b の値（同じ値になる） | =B1*SQRT(B2) |
「根号の足し算」を確かめる表
| 根号の中の数 a | 2 |
| 1つ目の根号の前の数 p | 3 |
| 2つ目の根号の前の数 q | 5 |
| p√a + q√a の値 | =B2*SQRT(B1)+B3*SQRT(B1) |
| (p+q)√a の値（同じ値になる） | =(B2+B3)*SQRT(B1) |
「根号の掛け算」を確かめる表
| 1つ目の根号の中の数 a | 3 |
| 2つ目の根号の中の数 b | 6 |
| √a × √b の値 | =SQRT(B1)*SQRT(B2) |
| √(ab) の値（同じ値になる） | =SQRT(B1*B2) |
| 簡約した 3√2 の値（同じ値になる） | =3*SQRT(2) |
「分母の有理化」を確かめる表
| 根号の中の数 b | 3 |
| 1 ÷ √b の値 | =1/SQRT(B1) |
| √b ÷ b の値（同じ値になる） | =SQRT(B1)/B1 |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、数値を自分のものに書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# √n を a√b（b は平方因子を持たない）の形に直して (a, b) を返す
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# 小数の値でも確かめる（同じ値になる）
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# 根号の中が平方数なら根号が外れる
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
標準ライブラリだけで書けます。d を 2 から順に試して、d の2乗で割り切れる間は割り続け、割った回数だけ d を根号の外へ出す、という手順です。実行すると「√48 = 4√3」と表示され、続けて 6.928203230275509 が2つ並んで、簡約前と簡約後が同じ値だと確かめられます。最後の行は √36 が根号の外れる場合で、(6, 1) と 6 が表示されます。数を書き換えて試してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
平方根と根号の意味
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
根号の簡約（2乗のかたまりを外に出す）
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
根号の足し算・引き算（同類項をまとめる）
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
根号の掛け算（中どうしを掛けて1つにまとめる）
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
根号の割り算と分母の有理化
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（平方根）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 1. √48 を、根号の中ができるだけ小さい整数になる形に簡約してください。 2. その途中で使った48の素因数分解も示してください。 3. 3√2 + 5√2 と 2√6 × 3√2 と 6 ÷ √3 を、それぞれ簡約した形（割り算は分母に根号が残らない形）で答えてください。 Pythonでは、根号の中の数を素因数分解して2乗のかたまりを取り出す関数を自分で書き、簡約前と簡約後の小数の値が一致することも確認してください。使ったコードと実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
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専門知識不要、直感的で簡単な操作
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関連機能
累乗根計算機（平方根・立方根・n乗根）
√27 のような平方根から立方根・n乗根まで、値を小数で計算します。負の数の奇数乗根にも対応
素因数分解計算機（掛け算の形・指数の形・はしご算・約数の個数）
整数を素因数分解します。根号の簡約で使う「2乗のかたまり探し」の土台になる計算です
二次方程式の解の公式 計算機（判別式・虚数解対応）
係数a・b・cを入れるだけで二次方程式の解を計算します。答えに現れる根号も簡約した形で表示
分母の有理化 計算機（√を分母から消す・共役な式・途中式付き）
1/√3 や 2/(3−√5) の分母から根号を消します。1項は√を、2項は共役な式を掛ける途中式付きです
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