試行回数 n・1回で成功する確率 p・成功する回数 k を入力してください。ちょうど k 回の確率、k 回以下・k 回以上の累積確率、期待値・分散・標準偏差と、分布全体の棒グラフをまとめて表示します。
数値は半角で入力してください。確率 p は 0〜1 の小数（例：25%なら 0.25）か 1/4 のような分数、n は 1〜50 の整数、k は 0〜n の整数です。
計算結果・グラフ
左の入力欄に回数と確率を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と分布の棒グラフが表示されます。
このページでできること
- 「確率 \(p\) のことを \(n\) 回くり返して、ちょうど \(k\) 回起こる確率」\(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\) を、3つの数値を入れるだけでその場で計算できます
- 答えは \(\dfrac{3}{8}\) のような約分済みの分数（厳密値）と小数・パーセントの両方で表示。組み合わせの数 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) の途中式も見られます
- 「\(k\) 回以下になる確率 \(P(X \leqq k)\)」「\(k\) 回以上になる確率 \(P(X \geqq k)\)」の累積確率も同時に計算します
- 期待値 \(E(X) = np\)・分散 \(V(X) = np(1-p)\)・標準偏差 \(\sigma\) と、正規分布で近似できるかの目安判定も表示します
- 起こる回数が0回から \(n\) 回までの分布全体を棒グラフで描くので、「どのあたりの回数が起こりやすいか」がひと目でわかります
使えるのは「毎回同じ確率で、毎回の結果が互いに影響しない（独立な）」くり返しです。引いたくじを戻さずに続けて引く場合のように、回ごとに確率が変わるものには使えません。
この計算は何の役に立つ？
ガチャ・くじの「n回中k回当たる」を見積もる（ゲーム・娯楽）
提供割合1%のガチャを100回引いたときの当たりの回数は、二項分布 \(B(100,\ 0.01)\) に従います（各回の確率が同じで独立、と公表されている場合）。1回も当たらない確率は \(0.99^{100} \fallingdotseq 36.6\%\) もあり、「100回引けば1%でもほぼ確実」という直感が危ないことが分布から読み取れます。
課金の予算を考えるときの「期待値 \(np\) 回＋ばらつき」という見積もりは、まさにこのページの計算です。
抜き取り検査の合格基準を設計する（製造・品質管理）
工場では全数検査の代わりに「ロットから \(n\) 個抜き取り、不良が \(c\) 個以下なら合格」という抜き取り検査が使われます。不良率 \(p\) のロットが合格する確率は二項分布の累積確率 \(P(X \leqq c)\) そのもので、例えば不良率1%のロットから20個抜いて不良0個なら合格とすると、合格する確率は \(0.99^{20} \fallingdotseq 81.8\%\) です。
「どのくらいの不良率までなら高い確率で合格させ、悪いロットは落とせるか」という検査基準の設計に、この計算が使われています。
選択式テストの「まぐれ当たり」を見積もる（教育・資格試験）
4択問題20問を全部あてずっぽうで答えると、正解数は二項分布 \(B(20,\ 0.25)\) に従い、期待値は \(20 \times 0.25 = 5\) 問です。8問以上まぐれで正解できる確率は約10%しかなく、「勘だけでは合格ラインに届きにくい」ことが確率で裏付けられます。
試験を作る側も、合格ラインをまぐれで超えにくいように、この分布を意識して問題数や基準を決めています。
スポーツの成功回数のばらつきを読む（バスケットボール等）
成功率70%のフリースローの選手が10本投げたとき、ちょうど7本決まる確率は \({}_{10}\mathrm{C}_{7} \times 0.7^{7} \times 0.3^{3} \fallingdotseq 26.7\%\) しかありません（各回が独立で成功率が一定と見なした場合）。「7割の選手が10本中7本決める」のは意外と当たり前ではなく、6本や8本になることも普通に起こります。
好調・不調に見える結果のどこまでが「確率的に普通のばらつき」なのかを見分けるのに、二項分布が使われます。
世論調査・視聴率調査の誤差の根拠（統計調査）
「支持率」や「視聴率」の調査では、調査対象 \(n\) 人のうち該当する人数が二項分布に従うと考えます。誤差の目安として使われる「±数ポイント」は、標準偏差 \(\sqrt{np(1-p)}\) と正規分布による近似から計算されたものです。
「何人に聞けば誤差をどこまで小さくできるか」というサンプルサイズの設計は、二項分布の性質そのものが根拠になっています。
式とグラフ
二項分布の確率（ちょうど \(k\) 回起こる確率）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(P(X = k)\)
\(=\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(\times\)
\(p\)
\(k\)
\(\times\)
\((1 - p)\)
\(n - k\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
⑥
ちょうど \(k\) 回起こる確率 \(P(X = k)\)
\(=\)
⑤
どの回で成功するかの並び方の数 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
\(\times\)
①
成功する確率 \(p\)
②
成功する回数 \(k\)
\(\times\)
③
失敗する確率 \(1 - p\)
④
失敗する回数 \(n - k\)
式を日本語で読むと
①
成功する確率 \(p\)
を
②
成功する回数 \(k\)
の分だけくり返し掛け
③
失敗する確率 \(1 - p\)
を
④
失敗する回数 \(n - k\)
の分だけくり返し掛け
⑤
どの回で成功するかの並び方の数 \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
を掛けると
⑥
ちょうど \(k\) 回起こる確率 \(P(X = k)\)
になる
簡単な例
コイン（表が出る確率 \(\dfrac{1}{2}\)）を4回投げて、表がちょうど2回出る確率は
ちょうど2回出る確率 \(P(X = 2)\)
\(=\)
並び方の数 \({}_{4}\mathrm{C}_{2}\)
\(\times\)
表の確率 \(\dfrac{1}{2}\) を2回分
\(\times\)
裏の確率 \(\dfrac{1}{2}\) を2回分
\({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
\(P(X = 2) = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37.5\%)\)
考え方のポイント
「成功が \(k\) 回・失敗が \(n-k\) 回」という並び1通りの確率は \(p^{k} (1-p)^{n-k}\) です。この並び方（何回目に成功するかの選び方）が \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) 通りあるので、それを掛けたものが答えになります。数学Aで習う「反復試行の確率」と同じ式です。
起こる回数 \(X\) が取る値（0回、1回、…、\(n\) 回）それぞれの確率をひとまとめにした分布を二項分布といい、\(B(n,\ p)\) と書きます。このページの計算機は、その分布全体を棒グラフで描きます。
累積確率（\(k\) 回以下・\(k\) 回以上になる確率）
数学表記
（一般的な数式）
\(P(X \leqq k)\)
\(=\)
\(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)
\(P(X \geqq k)\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\(P(X \leqq k - 1)\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
②
\(k\) 回以下になる確率 \(P(X \leqq k)\)
\(=\)
①
ちょうど0回〜ちょうど \(k\) 回の確率の合計
⑤
\(k\) 回以上になる確率 \(P(X \geqq k)\)
\(=\)
③
全体の確率 \(1\)
\(-\)
④
\(k-1\) 回以下になる確率
式を日本語で読むと
①
ちょうど0回、ちょうど1回、…、ちょうど \(k\) 回の確率
を全部足すと
②
\(k\) 回以下になる確率 \(P(X \leqq k)\)
になる
③
「\(k\) 回以上」は余事象を使うと計算が短く、
全体の確率 \(1\)
から
④
\(k-1\) 回以下になる確率 \(P(X \leqq k-1)\)
を引くと
⑤
\(k\) 回以上になる確率 \(P(X \geqq k)\)
になる
簡単な例
コインを4回投げたとき、表が2回以下になる確率と、2回以上になる確率は
2回以下になる確率 \(P(X \leqq 2)\)
\(=\)
0回・1回・2回の確率の合計
\(P(X \leqq 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68.75\%)\)
\(P(X \geqq 2) = 1 - P(X \leqq 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68.75\%)\)
考え方のポイント
「以下」「以上」はその回数自身を含みます（2回以下＝0回・1回・2回）。「\(k\) 回以下」はちょうどの確率を足すだけ、「\(k\) 回以上」は全体の1から「\(k-1\) 回以下」を引く（余事象）のが定石です。
「少なくとも1回起こる確率」は \(P(X \geqq 1) = 1 - P(X = 0)\) のことで、余事象の一番よく出る使い方です。
二項分布の期待値・分散・標準偏差
数学表記
（一般的な数式）
\(E(X)\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\(p\)
\(V(X)\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\(p\)
\(\times\)
\((1 - p)\)
\(\sigma\)
\(=\)
\(\sqrt{V(X)}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
期待値（平均して起こる回数）\(E(X)\)
\(=\)
①
試行回数 \(n\)
\(\times\)
②
成功する確率 \(p\)
⑤
分散（ばらつきの大きさ）\(V(X)\)
\(=\)
試行回数 \(n\)
\(\times\)
成功する確率 \(p\)
\(\times\)
④
失敗する確率 \(1 - p\)
⑦
標準偏差（ばらつきの目安）\(\sigma\)
\(=\)
⑥
分散 \(V(X)\) にルートを付けたもの
式を日本語で読むと
①
試行回数 \(n\)
に
②
成功する確率 \(p\)
を掛けると
③
期待値（平均して起こる回数）\(E(X)\)
になり
④
さらに
失敗する確率 \(1 - p\)
を掛けると
⑤
分散（ばらつきの大きさ）\(V(X)\)
になる
⑥
分散 \(V(X)\) にルート（平方根）を付けたもの
が
⑦
標準偏差（ばらつきの目安）\(\sigma\)
になる
簡単な例
サイコロを30回投げて1の目が出る回数（\(n = 30\)、\(p = \dfrac{1}{6}\)）では
期待値 \(E(X)\)
\(=\)
試行回数 \(30\)
\(\times\)
1の目の確率 \(\dfrac{1}{6}\)
\(E(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)
\(V(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)
\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \fallingdotseq 2.04\)
考え方のポイント
期待値 \(np\) は「確率 \(\dfrac{1}{6}\) のことを30回やれば、平均すると \(30 \times \dfrac{1}{6} = 5\) 回くらい起こる」という直感そのままの式です。
分散・標準偏差は「実際の回数が期待値からどれくらいずれやすいか」の目安です。標準偏差が約2なら、「5回ちょうど」ではなく「だいたい3〜7回におさまることが多い」と読めます。
同じ \(n\) なら、分散 \(np(1-p)\) は \(p = \dfrac{1}{2}\) のとき最大になります（成功と失敗が半々のときが一番結果を予想しにくい、ということです）。
正規分布による近似（\(np \geqq 5\) かつ \(n(1-p) \geqq 5\) が目安）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(B(n,\ p)\)
\(\fallingdotseq\)
\(N(np,\ np(1 - p))\)
①
二項分布 \(B(n,\ p)\)
\(\fallingdotseq\)
②
平均 \(np\)・分散 \(np(1-p)\) の正規分布
式を日本語で読むと
①
二項分布 \(B(n,\ p)\)
は、\(np \geqq 5\) かつ \(n(1-p) \geqq 5\) が目安のとき
②
平均 \(np\)・分散 \(np(1-p)\) の正規分布 \(N(np,\ np(1-p))\)
でおおよそ置き換えられる
簡単な例
コインを20回投げて表が出る回数（\(n = 20\)、\(p = \dfrac{1}{2}\)）は
二項分布 \(B(20,\ \dfrac{1}{2})\)
\(\fallingdotseq\)
正規分布 \(N(10,\ 5)\)
\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \geqq 5,\quad n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \geqq 5\)
\(B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right) \fallingdotseq N(10,\ 5)\)
考え方のポイント
\(n\) を大きくしていくと、二項分布の棒グラフは左右対称の釣り鐘型に近づき、正規分布とほとんど同じ形になります。だから \(n\) が大きいときは、二項分布の面倒な足し算を正規分布の表（やZスコア）で置き換えて計算できます。これが正規近似で、\(np \geqq 5\) かつ \(n(1-p) \geqq 5\) はそのための代表的な目安です。
\(N(np,\ np(1-p))\) の括弧の中は「平均、分散」の順です。近似したあとの「〇回以上になる確率」などの計算は、当サイトの「正規分布の確率」ページでできます。
二項分布は「確率 \(p\) のことを \(n\) 回くり返したときに起こる回数」の分布で、ちょうど \(k\) 回の確率は \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\)、期待値は \(np\)、分散は \(np(1-p)\) です。\(n\) が大きいときは正規分布 \(N(np,\ np(1-p))\) で近似できます。
用語・記号の解説
記号
| \(X\) | エックス | 「起こる回数」を表す確率変数。結果が確率で決まる数には、アルファベットの終わりの方の大文字 \(X,\ Y,\ Z\) を使う慣例があります。 |
| \(P(X = k)\) | ピー・エックス・イコール・ケー | 起こる回数 \(X\) がちょうど \(k\) 回になる確率。\(P\) は probability（確率）の頭文字です。 |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) | エヌ・シー・ケー コンビネーション | \(n\) 個から \(k\) 個を選ぶ組み合わせの数。\(C\) は combination（組み合わせ）の頭文字です。海外や大学の本では \(\dbinom{n}{k}\) とも書きます。 |
| \(n\) | エヌ | 試行回数（くり返す回数）。回数や個数には number（数）の頭文字 \(n\) がよく使われます。 |
| \(p\) | ピー | 1回の試行で成功する確率。probability（確率）の頭文字で、小文字は「1回分の確率」に使うことが多い文字です。 |
| \(1 - p\) | いち・ひく・ピー | 1回の試行で失敗する確率（成功しない確率）。成功と失敗のどちらかは必ず起こるので、全体の \(1\) から \(p\) を引いた残りです。\(q\) と書くこともあります。 |
| \(k\) | ケー | 成功する回数。\(0\) から \(n\) までの整数です。「何回起こるか」を指定する文字として \(k\) がよく使われます。 |
| \(P(X \leqq k)\) | ピー・エックス・しょうなりイコール・ケー | 起こる回数が \(k\) 回以下（0回〜\(k\) 回のどれか）になる確率。「ちょうどの確率」を \(k\) 回まで足し合わせた累積確率です。 |
| \(P(X \geqq k)\) | ピー・エックス・だいなりイコール・ケー | 起こる回数が \(k\) 回以上（\(k\) 回〜\(n\) 回のどれか）になる確率。全体の \(1\) から \(P(X \leqq k-1)\) を引くと（余事象）、足し算を短くして求められます。 |
| \(E(X)\) | イー・エックス | 期待値（平均して起こる回数）。\(E\) は expectation（期待値）の頭文字です。二項分布では \(E(X) = np\) になります。 |
| \(V(X)\) | ブイ・エックス | 分散（ばらつきの大きさ）。\(V\) は variance（分散）の頭文字です。二項分布では \(V(X) = np(1-p)\) になります。 |
| \(\sigma\) | シグマ | 標準偏差。ギリシャ文字の小文字シグマで、standard deviation の s にあたる文字です。分散の平方根 \(\sigma = \sqrt{V(X)}\) で、期待値からのずれの目安を表します。 |
| \(B(n,\ p)\) | ビー・エヌ・ピー | 試行回数 \(n\)・成功確率 \(p\) の二項分布。\(B\) は binomial（二項の）の頭文字です。「\(X\) は二項分布に従う」を \(X \sim B(n,\ p)\) と書きます。 |
| \(N(\mu,\ \sigma^2)\) | エヌ・ミュー・シグマじじょう | 平均 \(\mu\)・分散 \(\sigma^2\) の正規分布。\(N\) は normal distribution（正規分布）の頭文字です。括弧の中は「平均、分散」の順で書く慣例です。 |
| \(\fallingdotseq\) | ニアリーイコール | おおよそ等しいことを表す記号。このページでは「二項分布が正規分布でおおよそ置き換えられる」ことを表すのに使っています。 |
用語
| 二項分布 | にこうぶんぷ | 「確率 \(p\) のことを \(n\) 回くり返したとき、何回起こるか」の確率の分布。名前は、式に出てくる \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) が二項係数（二項定理の係数）と同じものであることに由来します。高校では数学Bの「統計的な推測」で学びます。 |
| 確率変数 | かくりつへんすう | 値が確率で決まる変数のこと。このページでは「起こる回数」が確率変数で、0回から始まって最大でn回までの値を、それぞれ決まった確率で取ります。 |
| 試行 | しこう | コインを投げる・くじを1回引くなど、結果が偶然で決まる実験や観察の1回分のこと。 |
| 反復試行 | はんぷくしこう | 同じ試行を、毎回同じ確率で、互いの結果に影響しないように（独立に）くり返すこと。二項分布は反復試行での「成功回数」の分布です。 |
| 独立 | どくりつ | ある試行の結果が、別の試行の結果に影響しないこと。サイコロの1回目と2回目は独立ですが、引いたくじを戻さずに引き続ける場合は独立ではありません（前の結果で残りの当たりの数が変わるため）。 |
| 組み合わせ | くみあわせ | \(n\) 個から \(k\) 個を「順番を区別せずに」選ぶ選び方。その総数が \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) です。二項分布では「\(n\) 回のうちどの回で成功するか」の選び方の数として登場します。 |
| 累積確率 | るいせきかくりつ | 「ちょうど \(k\) 回」の確率を、ある回数まで足し合わせた確率。「\(k\) 回以下になる確率」\(P(X \leqq k)\) がその代表です。 |
| 余事象 | よじしょう | ある出来事が「起こらない」方の事象。確率の合計は必ず1なので、「\(k\) 回以上」のような確率は、1から反対側（\(k-1\) 回以下）の確率を引くと簡単に求められます。 |
| 期待値 | きたいち | その試行を何度も行ったときの平均の値。二項分布では「平均して何回起こるか」で、\(np\) というシンプルな式になります。 |
| 分散 | ぶんさん | 実際の値が期待値からどれくらいずれやすいか（ばらつき）を表す量。ずれの2乗の平均として定義されます。 |
| 標準偏差 | ひょうじゅんへんさ | 分散の平方根。分散は「2乗」の単位になってしまうので、平方根をとって元の単位（このページでは回数）に戻した、ばらつきの目安です。 |
| 正規分布 | せいきぶんぷ | 平均の近くが最も起こりやすく、平均から離れるほど起こりにくくなる、左右対称の釣り鐘型の分布。身長や測定誤差など世の中の多くの量がこの形に近く、二項分布も \(n\) が大きいと正規分布に近づきます。 |
| 正規近似 | せいききんじ | \(n\) が大きいときに、二項分布を正規分布 \(N(np,\ np(1-p))\) で置き換えて計算すること。\(np \geqq 5\) かつ \(n(1-p) \geqq 5\) が代表的な目安です。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 確率の基本（中学2年） |
|
| 分数の計算（小学5年〜中学1年） |
|
| 累乗・指数（中学1年〜高校 数学I） |
|
| 場合の数・組み合わせ（高校 数学A） |
|
| 反復試行の確率・余事象（高校 数学A） |
|
| 確率変数と期待値・分散（高校 数学B） |
|
| 正規分布（高校 数学B） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「ちょうど k 回起こる確率」を求める表
| 試行回数 n | 4 |
| 1回で成功する確率 p | 0.5 |
| 成功する回数 k | 2 |
| ちょうど k 回起こる確率 P(X=k) | =BINOM.DIST(B3,B1,B2,FALSE) |
「累積確率（k 回以下・k 回以上）」を求める表
| 試行回数 n | 4 |
| 1回で成功する確率 p | 0.5 |
| 成功する回数 k | 2 |
| k 回以下になる確率 P(X≦k) | =BINOM.DIST(B3,B1,B2,TRUE) |
| k 回以上になる確率 P(X≧k) | =1-BINOM.DIST(B3-1,B1,B2,TRUE) |
「期待値・分散・標準偏差」を求める表
| 試行回数 n | 30 |
| 1回で成功する確率 p | =1/6 |
| 期待値 E(X) = np | =B1*B2 |
| 分散 V(X) = np(1-p) | =B1*B2*(1-B2) |
| 標準偏差 σ | =SQRT(B4) |
「正規分布による近似の目安」を確かめる表
| 試行回数 n | 20 |
| 1回で成功する確率 p | 0.5 |
| np | =B1*B2 |
| n(1-p) | =B1*(1-B2) |
| 目安の判定 | =IF(AND(B3>=5,B4>=5),"目安を満たす","目安を満たさない") |
貼り付けると、上の行（n・p・k）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
BINOM.DIST は二項分布の関数で、引数は「成功回数, 試行回数, 成功確率, 累積かどうか」の順です。最後を FALSE にすると「ちょうどの確率」、TRUE にすると「その回数以下の累積確率」になります。
1つ目の表はコインを4回投げて表がちょうど2回出る例で、答えは 0.375（= 3/8）になります。
2つ目の表の答えはどちらも 0.6875 です。「k 回以上」は「k−1 回以下」を1から引いて求めています（k に 0 を入れるとこの式はエラーになりますが、0回以上になる確率は必ず 1 です）。
3つ目の表はサイコロ30回で1の目が出る回数の例で、期待値 5・分散 4.1667・標準偏差 2.0412 になります。
4つ目の表は np と n(1−p) の両方が 5 以上かどうかで、正規分布による近似の目安を判定します。
BINOM.DIST は二項分布の関数で、引数は「成功回数, 試行回数, 成功確率, 累積かどうか」の順です。最後を FALSE にすると「ちょうどの確率」、TRUE にすると「その回数以下の累積確率」になります。
1つ目の表はコインを4回投げて表がちょうど2回出る例で、答えは 0.375（= 3/8）になります。
2つ目の表の答えはどちらも 0.6875 です。「k 回以上」は「k−1 回以下」を1から引いて求めています（k に 0 を入れるとこの式はエラーになりますが、0回以上になる確率は必ず 1 です）。
3つ目の表はサイコロ30回で1の目が出る回数の例で、期待値 5・分散 4.1667・標準偏差 2.0412 になります。
4つ目の表は np と n(1−p) の両方が 5 以上かどうかで、正規分布による近似の目安を判定します。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「ちょうど k 回起こる確率」を求める表
| 試行回数 n | 4 |
| 1回で成功する確率 p | 0.5 |
| 成功する回数 k | 2 |
| ちょうど k 回起こる確率 P(X=k) | =BINOMDIST(B3,B1,B2,FALSE) |
「累積確率（k 回以下・k 回以上）」を求める表
| 試行回数 n | 4 |
| 1回で成功する確率 p | 0.5 |
| 成功する回数 k | 2 |
| k 回以下になる確率 P(X≦k) | =BINOMDIST(B3,B1,B2,TRUE) |
| k 回以上になる確率 P(X≧k) | =1-BINOMDIST(B3-1,B1,B2,TRUE) |
「期待値・分散・標準偏差」を求める表
| 試行回数 n | 30 |
| 1回で成功する確率 p | =1/6 |
| 期待値 E(X) = np | =B1*B2 |
| 分散 V(X) = np(1-p) | =B1*B2*(1-B2) |
| 標準偏差 σ | =SQRT(B4) |
「正規分布による近似の目安」を確かめる表
| 試行回数 n | 20 |
| 1回で成功する確率 p | 0.5 |
| np | =B1*B2 |
| n(1-p) | =B1*(1-B2) |
| 目安の判定 | =IF(AND(B3>=5,B4>=5),"目安を満たす","目安を満たさない") |
Googleスプレッドシートでは関数名が BINOMDIST になります（引数の順番はExcelのBINOM.DISTと同じ「成功回数, 試行回数, 成功確率, 累積かどうか」です）。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、n・p・k を自分の数値に書き換えてください。
「k 回以上」の式は k に 0 を入れるとエラーになる点もExcelと同じです（0回以上になる確率は必ず 1 です）。
「k 回以上」の式は k に 0 を入れるとエラーになる点もExcelと同じです（0回以上になる確率は必ず 1 です）。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt
trial_count = 4 # 試行回数 n
success_prob = Fraction(1, 2) # 1回で成功する確率 p（0.3 のような小数でも可）
success_count = 2 # 成功する回数 k
failure_prob = 1 - success_prob
# ちょうど k 回起こる確率 P(X=k) = nCk × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
* success_prob ** success_count
* failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"ちょうど{success_count}回の確率: {exact_prob} = {float(exact_prob)}")
# 累積確率（k 回以下・k 回以上）
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"{success_count}回以下の確率: {prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"{success_count}回以上の確率: {prob_ge} = {float(prob_ge)}")
# 期待値・分散・標準偏差
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"期待値: {mean} 分散: {variance} 標準偏差: {sqrt(variance)}")
標準ライブラリだけで動きます。fractions モジュールを使うと、小数の丸め誤差なしの厳密な分数のまま計算できます（comb は組み合わせの数 nCk）。この例はコインを4回投げて表がちょうど2回出るケースで、実行すると確率 3/8 = 0.375、2回以下・2回以上はどちらも 11/16 = 0.6875、期待値 2・分散 1・標準偏差 1.0 が表示されます。n・p・k の3つの数値を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
二項分布の確率（ちょうど \(k\) 回起こる確率）
P(X = k) = nCk pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ
P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
PDF[BinomialDistribution[n, p], k]
binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);
binopdf(k, n, p)
P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)
累積確率（\(k\) 回以下・\(k\) 回以上になる確率）
P(X ≦ k) = Σ[i=0→k] nCi pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ
P(X \leqq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i} (1 - p)^{n - i}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>≦</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>k</mi>
</munderover>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>i</mi></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
P(X <= k) = sum_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)
CDF[BinomialDistribution[n, p], k]
add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);
binocdf(k, n, p)
P(X≤k) = Σ_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)
二項分布の期待値・分散・標準偏差
E(X) = np, V(X) = np(1 − p), σ = √(np(1 − p))
E(X) = np, \quad V(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
<mo>,</mo>
<mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
<mi>n</mi><mi>p</mi>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>,</mo>
<mi>σ</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
E(X) = np, V(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))
{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}
n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));
[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);
E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))
正規分布による近似（\(np \geqq 5\) かつ \(n(1-p) \geqq 5\) が目安）
B(n, p) ≒ N(np, np(1 − p))
B(n,\ p) \approx N(np,\ np(1 - p))
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
<mo>≒</mo>
<mi>N</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>,</mo>
<mi>n</mi><mi>p</mi>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
B(n, p) ~~ N(np, np(1-p))
NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]
Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));
pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));
B(n, p) ≈ N(np, np(1-p))
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（確率・統計）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 当たり確率 1/6 のくじを10回引くとき、当たりの回数の二項分布について次を求めてください。 1. ちょうど2回当たる確率 P(X=2)（約分済みの分数と小数の両方で） 2. 2回以下になる確率 P(X≦2) と、2回以上になる確率 P(X≧2) 3. 期待値 E(X)・分散 V(X)・標準偏差 σ 4. np ≧ 5 かつ n(1−p) ≧ 5 という正規分布による近似の目安を満たすかどうか Pythonでは標準ライブラリの fractions と math.comb を使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
無料で回数無制限の変換
専門知識不要、直感的で簡単な操作
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「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
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透かしなし
ウォーターマークなし
クレジット表記不要
クレジット表記不要
商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
商用利用許諾の連絡も不要です
関連機能
くり返したときの確率（n回連続・少なくとも1回）
n回連続で起こる確率・少なくとも1回は起こる確率・一度も起こらない確率を計算します
期待値計算機（確率変数の平均・分散・標準偏差）
確率分布表から期待値 E(X)・分散 V(X)・標準偏差を計算します。二項分布に限らない一般の分布用です
順列・組み合わせ計算機（nPr・nCr）
二項分布の式に登場する組み合わせの数 nCr（nCk）を、途中式付きで単独計算できます
