直線の表し方（一般形か傾き切片形か）を選び、係数と点の座標を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、数式の数字を直接書き換えても計算できます。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。x や y が付く項の係数の空欄は 1（x は 1x の意味）、定数項と座標の空欄は 0 として扱います。
計算結果・図形
左の入力欄に直線の係数と点の座標を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と図が表示されます。
このページでできること
- 点 \(\mathrm{P}(x_0,\ y_0)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離（点から直線に下ろした垂線の長さ＝最短距離）を、係数と座標を入れるだけでその場で計算できます
- 答えは \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) のように分母を有理化した厳密値と、小数（有効12桁）の両方で表示します
- 距離だけでなく、垂線の足 \(\mathrm{H}\)（直線上で点 \(\mathrm{P}\) に最も近い点）の座標と、垂線そのものの式も求められます
- 直線は一般形 \(ax + by + c = 0\) と傾き切片形 \(y = mx + k\) のどちらでも入力できます（傾き切片形のときは一般形に直す途中式も表示します）
- 平行な2直線 \(ax + by + c_1 = 0\) と \(ax + by + c_2 = 0\) の距離も同じ画面で計算できます
- 計算結果は座標平面の図でも確認できます。公式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています
係数・座標には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます。扱うのは平面（2次元）の直線です。
この計算は何の役に立つ？
カーナビ・地図アプリが「今どの道路を走っているか」を判断する
スマートフォンやカーナビが受け取る位置情報には数メートルから数十メートルの誤差があり、そのまま点を打つと建物の中や田んぼの真ん中に表示されてしまいます。そこで地図アプリは、測った点と周辺の道路（地図の上では線分の集まり）との距離を片っ端から計算し、一番近い道路の上に点を載せ直しています。この処理はマップマッチングと呼ばれ、その中心にあるのが点と直線の距離の計算です。
垂線の足の座標まで求めれば「その道路上のどこにいるか」まで決まるので、残り何メートルで交差点か、といった案内もできるようになります。
建築・土木の設計と測量で「基準線からの離れ」を出す
建築の図面には通り芯、道路や鉄道の設計には中心線という基準の直線が引かれていて、柱・壁・縁石・杭の位置は「基準線からどれだけ離れているか」で指定されます。この離れ（オフセット）はまさに点と直線の距離で、現場ではトータルステーションなどで測った座標から計算し、設計値とのずれを確認します。
道路の中心線から幅員の半分だけ離れた位置に縁石を並べる、といった作業も、同じ計算の繰り返しで位置を決めています。
機械学習が「2つのグループを分ける境界線」を選ぶ
サポートベクターマシンという分類の手法は、2つのグループのデータを分ける直線（高次元では平面）を引くとき、「どちらのグループのデータ点からもできるだけ遠い」直線を選びます。この「遠さ」を測っているのが、まさに点と直線の距離です。すき間（マージン）を最大にする直線を選ぶことで、まだ見ていないデータに対しても間違えにくい境界になると考えられています。
迷惑メールの判定や画像の分類など、深層学習が広まる前から使われてきた定番の手法で、今でも学習データが少ない場面では有力な選択肢です。
写真や点群から直線を見つけ出す（画像処理・自動運転）
自動運転の車線認識や、書類をスキャンしたときの傾き補正では、画像から検出した点の集まりに「一番よく当てはまる直線」を引きます。当てはまりの良さは、各点とその直線との距離の2乗を合計した値で測り、これが最小になる直線を選びます。
外れ値を除きながら直線を当てはめるRANSACという手法でも、「その直線からの距離が一定以内にある点を仲間と数える」という形で点と直線の距離が使われています。
地図やグラフィックスの折れ線を軽くする
地図アプリで縮尺を小さくすると、海岸線や道路の細かい凹凸が自動的に省かれます。このとき使われるのがラマー・ダグラス・ポイカー法という手法で、折れ線の両端を結ぶ直線からの距離が一番大きい点を探し、その距離が決めた値より小さければ間の点をまとめて省く、という判断を繰り返します。
データ量を大きく減らしても見た目の形が崩れないのは、「直線からどれだけ外れているか」を距離できちんと測っているからです。
式と図
点と直線の距離
図
数学表記
（一般的な数式）
\(d\)
\(=\)
\(\left|a x_0 + b y_0 + c\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
点 \(\mathrm{P}\) と直線の距離 \(d\)
\(=\)
①
点の座標を \(ax + by + c\) に代入した値の絶対値
\(\div\)
②
法線ベクトルの大きさ \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
式を日本語で読むと
①
点の座標 \((x_0,\ y_0)\) を \(ax + by + c\) に代入した値の絶対値
を
②
法線ベクトル \((a,\ b)\) の大きさ \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
で割ると
③
点 \(\mathrm{P}\) と直線の距離 \(d\)
になる
簡単な例
点 \(\mathrm{P}(4,\ 3)\) と直線 \(x + 2y - 3 = 0\) の距離は
距離 \(d\)
\(=\)
代入した値の絶対値（\(|4 + 6 - 3| = 7\)）
\(\div\)
法線ベクトルの大きさ（\(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\)）
\(d = \dfrac{\left|1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \fallingdotseq 3.13\)
考え方のポイント
「点と直線の距離」とは、点から直線に下ろした垂線の長さのことです。直線上の点はいくらでもありますが、そのうち点 \(\mathrm{P}\) に一番近いのは垂線の足だけで、それ以外の点までの長さは必ずそれより長くなります（斜辺は直角をはさむ辺より長い、という直角三角形の性質から言えます）。だから「距離＝最短距離＝垂線の長さ」と決めても迷いが生じません。
分母を \(\sqrt{5}\) のまま残さず \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) と書き直すのが有理化です。分母に根号があると値の大きさをつかみにくく、他の値と足し引きしにくいため、高校の答案では有理化した形にそろえるのが慣例です。
\(a\) と \(b\) が両方 0 のときは \(ax + by + c = 0\) が直線を表さないので、この公式は使えません。
なぜこの式で距離が出るのか（法線ベクトルによる説明）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(d\)
\(=\)
\(\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\)
\(\div\)
\(\left|\vec{n}\right|\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
点 \(\mathrm{P}\) と直線の距離 \(d\)
\(=\)
①
法線ベクトルと \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) の内積の絶対値
\(\div\)
②
法線ベクトル \(\vec{n}\) の大きさ
式を日本語で読むと
①
直線上のどこでもよい点を \(\mathrm{A}\)、直線に垂直なベクトル（法線ベクトル）を \(\vec{n} = (a,\ b)\) として、
\(\vec{n}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) の内積の絶対値
を
②
法線ベクトル \(\vec{n}\) の大きさ \(|\vec{n}|\)
で割ると
③
点 \(\mathrm{P}\) と直線の距離 \(d\)
になる
簡単な例
直線 \(x + 2y - 3 = 0\) 上の点 \(\mathrm{A}(3,\ 0)\) と点 \(\mathrm{P}(4,\ 3)\) で試すと（\(\vec{n} = (1,\ 2)\)、\(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1,\ 3)\)）
距離 \(d\)
\(=\)
内積の絶対値（\(|1 \times 1 + 2 \times 3| = 7\)）
\(\div\)
法線ベクトルの大きさ（\(\sqrt{5}\)）
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 1 \times 1 + 2 \times 3 = 7\)
\(d = \dfrac{\left|7\right|}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \fallingdotseq 3.13\)
考え方のポイント
直線 \(ax + by + c = 0\) の \(x\) の係数と \(y\) の係数をそのまま並べたベクトル \(\vec{n} = (a,\ b)\) は、その直線と垂直になります。これを法線ベクトルといいます。直線上の2点を \((x_1,\ y_1)\)、\((x_2,\ y_2)\) とすると、それぞれ式を満たすので引き算して \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0\) となり、\(\vec{n}\) と直線に沿ったベクトルの内積が 0、つまり垂直だとわかります。
点 \(\mathrm{A}\) が直線上にあるとき \(ax_1 + by_1 + c = 0\) なので、\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\) を展開すると \(ax_0 + by_0 + c\) と一致します。距離の公式の分子が「点の座標を式に代入した値」になっているのは、これが理由です。
内積 \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) は「\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) を \(\vec{n}\) の向きに真上から落とした影の長さ」に \(|\vec{n}|\) を掛けた値です（影が \(\vec{n}\) と逆向きに落ちるときは符号がマイナスになるので、絶対値をとって長さにそろえます）。
では、なぜその影の長さが求めたい距離になるのでしょうか。垂線の足を \(\mathrm{H}\) とすると、\(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{AH}} + \overrightarrow{\mathrm{HP}}\) と2本に分けられます。\(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) は直線に沿った向きなので \(\vec{n}\) と垂直で、\(\vec{n}\) の向きに落とした影は 0 です。残る \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}\) は \(\vec{n}\) と平行なので、影はその長さそのもの、つまり点 \(\mathrm{P}\) と直線の距離 \(d\) になります。点 \(\mathrm{A}\) を直線上のどこにとっても答えが変わらないのは、動かした分がすべて \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) 側に吸収され、影に影響しないからです。
以上から、内積を \(|\vec{n}|\) で割れば距離に戻ります。分母の \(\sqrt{a^2 + b^2}\) は、この \(|\vec{n}|\) のことです。
傾き切片形 \(y = mx + k\) のときの距離
数学表記
（一般的な数式）
\(d\)
\(=\)
\(\left|m x_0 - y_0 + k\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{m^{2} + 1}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
点 \(\mathrm{P}\) と直線の距離 \(d\)
\(=\)
①
点の座標を \(mx - y + k\) に代入した値の絶対値
\(\div\)
②
法線ベクトル \((m,\ -1)\) の大きさ \(\sqrt{m^2 + 1}\)
式を日本語で読むと
①
直線 \(y = mx + k\) を \(mx - y + k = 0\) と書き直してから、
点の座標を \(mx - y + k\) に代入した値の絶対値
を
②
法線ベクトル \((m,\ -1)\) の大きさ \(\sqrt{m^2 + 1}\)
で割ると
③
点 \(\mathrm{P}\) と直線の距離 \(d\)
になる
簡単な例
点 \(\mathrm{P}(4,\ 3)\) と直線 \(y = 2x + 1\) の距離は（一般形に直すと \(2x - y + 1 = 0\)）
距離 \(d\)
\(=\)
代入した値の絶対値（\(|8 - 3 + 1| = 6\)）
\(\div\)
法線ベクトルの大きさ（\(\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\)）
\(y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0\)
\(d = \dfrac{\left|2 \times 4 - 3 + 1\right|}{\sqrt{2^{2} + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \fallingdotseq 2.68\)
考え方のポイント
グラフの式が \(y = mx + k\) の形で与えられているときは、右辺を左辺に移して \(mx - y + k = 0\) と直します。一般形 \(ax + by + c = 0\) と見比べると \(a = m\)、\(b = -1\)、\(c = k\) なので、分母は \(\sqrt{m^2 + (-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}\) になります。
つまり新しい公式を覚える必要はなく、一般形に直してから同じ公式に入れるだけです。この計算機で「傾き切片形」を選んだときも、内部では一般形に直してから計算し、その直し方を途中式に表示します。
なお \(y\) 軸に平行な直線（\(x = 3\) など）は傾き \(m\) が決まらないため \(y = mx + k\) の形に書けません。その場合は一般形で \(a = 1\)、\(b = 0\)、\(c = -3\) のように入力してください。
垂線の足 \(\mathrm{H}\) の座標
図
数学表記
（一般的な数式）
\(\mathrm{H}\)
\(=\)
\(\left(x_0,\ y_0\right)\)
\(-\)
\(t\,(a,\ b)\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
垂線の足 \(\mathrm{H}\) の座標
\(=\)
①
点 \(\mathrm{P}\) の座標 \((x_0,\ y_0)\)
\(-\)
②
法線ベクトル \((a,\ b)\) を \(t\) 倍したもの
式を日本語で読むと
①
倍率 \(t\) を \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\) と決めておいて、
点 \(\mathrm{P}\) の座標 \((x_0,\ y_0)\)
から
②
法線ベクトル \((a,\ b)\) を \(t\) 倍したもの
を引くと
③
垂線の足 \(\mathrm{H}\) の座標
になる
簡単な例
点 \(\mathrm{P}(4,\ 3)\) から直線 \(x + 2y - 3 = 0\) に下ろした垂線の足は（\(t = \dfrac{7}{5}\)）
垂線の足 \(\mathrm{H}\)
\(=\)
点 \(\mathrm{P}\) の座標（\((4,\ 3)\)）
\(-\)
法線ベクトルの \(\dfrac{7}{5}\) 倍（\(\left(\dfrac{7}{5},\ \dfrac{14}{5}\right)\)）
\(t = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)}{1^{2} + 2^{2}} = \dfrac{7}{5}\)
\(\mathrm{H} = \left(4 - \dfrac{7}{5} \times 1,\ \ 3 - \dfrac{7}{5} \times 2\right) = \left(\dfrac{13}{5},\ \dfrac{1}{5}\right)\)
考え方のポイント
点 \(\mathrm{P}\) から法線ベクトル \(\vec{n} = (a,\ b)\) と平行にまっすぐ動けば、必ず直線にぶつかります。そのぶつかる場所が垂線の足 \(\mathrm{H}\) です。式が \(\mathrm{H} = (x_0,\ y_0) - t\,(a,\ b)\) と引き算になっているとおり、倍率 \(t\) は「\(\vec{n}\) 何個分だけ戻れば直線に届くか」を表しています。\(t\) が正なら \(\vec{n}\) と反対の向きへ、負なら \(\vec{n}\) と同じ向きへ動くことになります。
\(t\) の分子は距離の公式の分子（絶対値を付ける前の値）と同じで、分母は \(a^2 + b^2\)、つまり \(|\vec{n}|^2\) です。距離の公式が \(|\vec{n}|\) で1回しか割らないのに、こちらが2回割る形になるのには理由があります。動く長さは距離 \(d\) で、\(\vec{n}\) 1個分の長さは \(|\vec{n}|\) ですから、必要な倍率は \(d \div |\vec{n}|\) です。ここに \(d = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{|\vec{n}|}\) を入れると、\(|\vec{n}|\) で2回割った形になります。
垂線の足がわかると、点 \(\mathrm{P}\) を直線について折り返した点（対称点）も \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\) ですぐ求められます。図形問題では、この折り返しがそのまま解法になることが少なくありません。
平行な2直線の距離
図
数学表記
（一般的な数式）
\(d\)
\(=\)
\(\left|c_1 - c_2\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
2直線の距離 \(d\)
\(=\)
①
定数項の差の絶対値 \(|c_1 - c_2|\)
\(\div\)
②
法線ベクトルの大きさ \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
式を日本語で読むと
①
\(x\) と \(y\) の係数がそろった2直線 \(ax + by + c_1 = 0\)、\(ax + by + c_2 = 0\) について、
定数項の差の絶対値 \(|c_1 - c_2|\)
を
②
法線ベクトルの大きさ \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
で割ると
③
2直線の距離 \(d\)
になる
簡単な例
直線 \(x + 2y - 3 = 0\) と直線 \(x + 2y + 7 = 0\) の距離は
2直線の距離 \(d\)
\(=\)
定数項の差の絶対値（\(|-3 - 7| = 10\)）
\(\div\)
法線ベクトルの大きさ（\(\sqrt{5}\)）
\(d = \dfrac{\left|(-3) - 7\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \fallingdotseq 4.47\)
考え方のポイント
2直線が平行かどうかは、\(x\) と \(y\) の係数の比で決まります。\(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) と \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) なら、\(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\) が成り立つときです（比がそろっている、を掛け算の形で書いただけの式で、係数に 0 があっても使えます）。\(2x + 4y - 6 = 0\) と \(x + 2y + 7 = 0\) はこの条件を満たすので平行です。ただし係数がそろっていないとこの公式の分子は使えないので、片方の式を何倍かして \(x\) と \(y\) の係数を完全にそろえてから当てはめてください。この計算機では \(x\) と \(y\) の係数を1組だけ入力し、定数項を2つ入れる形にしているので、そろえ忘れる心配がありません。
平行な2直線の距離は、片方の直線上のどこに点をとっても同じ値になります。そこで「片方の直線の上に点を1つとり、その点ともう片方の直線との距離を、点と直線の距離の公式で求める」と考えれば、この式はすぐ導けます。\(ax + by + c_1 = 0\) 上の点は \(ax_0 + by_0 = -c_1\) を満たすので、\(|ax_0 + by_0 + c_2| = |c_2 - c_1|\) となるからです。
\(c_1\) と \(c_2\) が等しいときは2つの式が同じ直線を表していて、距離は 0 になります。反対に平行でない2直線は必ず1点で交わるので、離れている幅というものが無く、2直線の距離は 0 です。この公式が平行な2直線専用なのは、そのためです。
点 \(\mathrm{P}(x_0,\ y_0)\) と直線 \(ax + by + c = 0\) の距離は、点の座標を式に代入した値の絶対値 \(|ax_0 + by_0 + c|\) を、法線ベクトル \((a,\ b)\) の大きさ \(\sqrt{a^2 + b^2}\) で割れば求められます。この距離は点から直線に下ろした垂線の長さで、垂線の足は \(\mathrm{H} = (x_0 - ta,\ y_0 - tb)\)（\(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\)）です。
用語・記号の解説
記号
| \(d\) | ディー | 距離を表すのによく使われる文字。distance（距離）の頭文字です。このページでは、点と直線の距離（＝垂線の長さ）を表します。 |
| \(a,\ b,\ c\) | エー・ビー・シー | 直線の式 \(ax + by + c = 0\) の係数。\(a\) は \(x\) に付く数、\(b\) は \(y\) に付く数、\(c\) は数字だけの項（定数項）です。「決まった数」を表すときはアルファベットの最初の方の文字を使う慣例があります。 |
| \(x_0,\ y_0\) | エックス・ゼロ、ワイ・ゼロ | 距離を測りたい点 \(\mathrm{P}\) の座標。右下に小さく書く 0 は添え字で、「動く変数 \(x\) ではなく、ある特定の1点の座標」を表すために付けています。 |
| \(\mathrm{P},\ \mathrm{H},\ \mathrm{A}\) | ピー・エイチ・エー | 点に付ける名前。\(\mathrm{P}\) は point（点）、\(\mathrm{H}\) は垂線の足に使う慣例の文字で、真下に下ろす意味の Height（高さ）や Foot の位置づけで使われます。\(\mathrm{A}\) は直線上にとった補助の点です。 |
| \(\left|\ \right|\) | ぜったいち | 絶対値の記号。中身が正ならそのまま、負なら符号を取り去った値になります（\(|-7| = 7\)）。距離はマイナスにならないので、公式では代入した値を絶対値にします。 |
| \(\sqrt{\ }\) | ルート | 平方根（2乗するとその数になる、0以上の数）を表す記号。\(\sqrt{5}\) は2乗すると 5 になる数です。root（根）の頭文字 r を変形した形に由来するといわれます。 |
| \(\vec{n}\) | エヌ・ベクトル | 法線ベクトル。直線に垂直な向きを表すベクトルで、normal（法線・垂直）の頭文字 n を使います。直線 \(ax + by + c = 0\) では \(\vec{n} = (a,\ b)\) です。 |
| \(\left|\vec{n}\right|\) | エヌ・ベクトルのおおきさ | ベクトルの大きさ（矢印の長さ）。\(\vec{n} = (a,\ b)\) なら \(|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2}\) で、これが距離の公式の分母です。 |
| \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) | ないせき | 2つのベクトルの内積。成分どうしを掛けて足した値（\((a,\ b)\) と \((p,\ q)\) なら \(ap + bq\)）で、2つの向きがどれだけそろっているかを表します。中黒（・）は掛け算とは別の演算を表す記号です。 |
| \(t\) | ティー | 点 \(\mathrm{P}\) から法線ベクトル何個分だけ進めば直線に届くかを表す倍率。「動かせる量」を表す文字として、時間を表す time の頭文字 \(t\) がそのまま使われます。 |
| \(m,\ k\) | エム・ケー | 傾き切片形 \(y = mx + k\) の傾きと切片。\(m\) は傾きを表す文字として世界的に使われています。切片は日本の教科書では \(b\) と書くことが多いのですが、このページでは一般形の \(b\) と紛らわしいので \(k\) を使っています。 |
| \(c_1,\ c_2\) | シー・イチ、シー・ニ | 平行な2直線それぞれの定数項。右下の小さい数字は添え字で、「1本目」「2本目」を区別するための番号です。 |
| \(\ell_1,\ \ell_2\) | エル・イチ、エル・ニ | 直線に付ける名前。直線を表す文字には line（直線）の頭文字 l の筆記体 \(\ell\) を使う慣例があります。 |
用語
| 点と直線の距離 | てんとちょくせんのきょり | 点から直線に下ろした垂線の長さのこと。直線上のどの点までの長さよりも短いので、点と直線の「最短距離」でもあります。高校では数学IIの図形と方程式で学びます。 |
| 垂線 | すいせん | ある直線に垂直に交わるように引いた直線・線分のこと。点から直線に垂線を下ろすと、その長さが点と直線の距離になります。 |
| 垂線の足 | すいせんのあし | 点から下ろした垂線が、もとの直線と交わる点のこと。直線上で、その点に一番近い場所です。 |
| 一般形 | いっぱんけい | 直線の式を \(ax + by + c = 0\) の形で書いた表し方。\(y\) 軸に平行な直線（\(x = 3\) など）も書けるので、すべての直線を同じ形で扱えます。 |
| 傾き切片形 | かたむきせっぺんけい | 直線の式を \(y = mx + k\) の形で書いた表し方。傾きと \(y\) 軸との交点がひと目でわかる反面、\(y\) 軸に平行な直線は書けません。 |
| 法線ベクトル | ほうせんベクトル | 直線（や平面）に垂直な向きを表すベクトル。直線 \(ax + by + c = 0\) の法線ベクトルは \((a,\ b)\) です。点と直線の距離の公式は、この法線ベクトルの向きに測った長さを求めています。 |
| 内積 | ないせき | 2つのベクトルから1つの数を作る計算。成分どうしを掛けて足したもの（\((a,\ b)\cdot(p,\ q) = ap + bq\)）で、\(|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\) とも等しくなります。値が 0 なら2つのベクトルは垂直です。 |
| 正射影 | せいしゃえい | あるベクトルを、別のベクトルの向きに真上から光を当てて落とした影のこと。点と直線の距離は、\(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) を法線ベクトルの向きに落とした影の長さにあたります。 |
| 絶対値 | ぜったいち | 数から符号を取り去った大きさ。数直線上で0からの距離にあたります（\(|-7| = 7\)、\(|7| = 7\)）。距離は負にならないので、公式では絶対値を使います。 |
| 有理化 | ゆうりか | 分母に残った根号を、分母と分子に同じ数を掛けて消すこと。\(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) の分母と分子に \(\sqrt{5}\) を掛けて \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) にする操作です。中学3年で学び、高校の答案でも有理化した形にそろえるのが慣例です。 |
| 平行 | へいこう | 2直線が交わらない（どこまで延ばしてもぶつからない）関係のこと。一般形 \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\)、\(a_2x + b_2y + c_2 = 0\) では、\(x\) と \(y\) の係数の比が等しいとき（式で書くと \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)）に平行または一致になり、定数項まで同じ比なら2直線は重なります。 |
| 対称点 | たいしょうてん | ある直線について、鏡に映したように折り返した点のこと。垂線の足 \(\mathrm{H}\) がわかれば、点 \(\mathrm{P}\) の対称点は \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\) で求められます。 |
| 座標平面 | ざひょうへいめん | \(x\) 軸と \(y\) 軸を引いて、平面上の点を \((x,\ y)\) の組で表せるようにした平面のこと。図形の問題を式の計算に置き換えられるのが利点です。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 座標平面と点の座標（中学1〜2年） |
|
| 直線の式（中学2年〜高校 数学II） |
|
| 平方根と有理化（中学3年） |
|
| 絶対値（中学1年〜高校 数学I） |
|
| 三平方の定理と2点間の距離（中学3年〜高校 数学II） |
|
| ベクトルと内積（高校 数学C） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「点と直線の距離」を求める表
| x の係数 a | 1 |
| y の係数 b | 2 |
| 定数項 c | -3 |
| 点 P の x 座標 | 4 |
| 点 P の y 座標 | 3 |
| 分子 |a*x0+b*y0+c| | =ABS(B1*B4+B2*B5+B3) |
| 分母 √(a^2+b^2) | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 距離 d | =B6/B7 |
「法線ベクトルによる説明」を確かめる表
| x の係数 a | 1 |
| y の係数 b | 2 |
| 直線上の点 A の x 座標 | 3 |
| 直線上の点 A の y 座標 | 0 |
| 点 P の x 座標 | 4 |
| 点 P の y 座標 | 3 |
| 内積 n・AP | =B1*(B5-B3)+B2*(B6-B4) |
| 法線ベクトルの大きさ |n| | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 距離 d | =ABS(B7)/B8 |
「傾き切片形のときの距離」を求める表
| 傾き m | 2 |
| 切片 k | 1 |
| 点 P の x 座標 | 4 |
| 点 P の y 座標 | 3 |
| 距離 d | =ABS(B1*B3-B4+B2)/SQRT(B1^2+1) |
「垂線の足 H の座標」を求める表
| x の係数 a | 1 |
| y の係数 b | 2 |
| 定数項 c | -3 |
| 点 P の x 座標 | 4 |
| 点 P の y 座標 | 3 |
| 倍率 t | =(B1*B4+B2*B5+B3)/(B1^2+B2^2) |
| H の x 座標 | =B4-B1*B6 |
| H の y 座標 | =B5-B2*B6 |
「平行な2直線の距離」を求める表
| x の係数 a | 1 |
| y の係数 b | 2 |
| 1本目の定数項 c1 | -3 |
| 2本目の定数項 c2 | 7 |
| 距離 d | =ABS(B3-B4)/SQRT(B1^2+B2^2) |
貼り付けると、上の行（係数と座標）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
「^」はべき乗、ABS は絶対値、SQRT は平方根を求める関数です。
1つ目の表は点(4, 3)と直線 x + 2y - 3 = 0 の例で、分子が 7、分母が約 2.2360679775、距離が約 3.1304951685 になります。
2つ目の表は、同じ距離が「法線ベクトルと AP の内積 ÷ 法線ベクトルの大きさ」でも求まることを確かめる表で、内積は 7、距離は1つ目の表と同じ約 3.1304951685 になります。
3つ目の表は点(4, 3)と直線 y = 2x + 1 の例で、距離は約 2.683281573 です。
4つ目の表の答えは 1.4 と 2.6 と 0.2 で、垂線の足が(2.6, 0.2)＝(13/5, 1/5)だとわかります。
5つ目の表は x + 2y - 3 = 0 と x + 2y + 7 = 0 の距離で、答えは約 4.472135955 です。
「^」はべき乗、ABS は絶対値、SQRT は平方根を求める関数です。
1つ目の表は点(4, 3)と直線 x + 2y - 3 = 0 の例で、分子が 7、分母が約 2.2360679775、距離が約 3.1304951685 になります。
2つ目の表は、同じ距離が「法線ベクトルと AP の内積 ÷ 法線ベクトルの大きさ」でも求まることを確かめる表で、内積は 7、距離は1つ目の表と同じ約 3.1304951685 になります。
3つ目の表は点(4, 3)と直線 y = 2x + 1 の例で、距離は約 2.683281573 です。
4つ目の表の答えは 1.4 と 2.6 と 0.2 で、垂線の足が(2.6, 0.2)＝(13/5, 1/5)だとわかります。
5つ目の表は x + 2y - 3 = 0 と x + 2y + 7 = 0 の距離で、答えは約 4.472135955 です。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「点と直線の距離」を求める表
| x の係数 a | 1 |
| y の係数 b | 2 |
| 定数項 c | -3 |
| 点 P の x 座標 | 4 |
| 点 P の y 座標 | 3 |
| 分子 |a*x0+b*y0+c| | =ABS(B1*B4+B2*B5+B3) |
| 分母 √(a^2+b^2) | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 距離 d | =B6/B7 |
「法線ベクトルによる説明」を確かめる表
| x の係数 a | 1 |
| y の係数 b | 2 |
| 直線上の点 A の x 座標 | 3 |
| 直線上の点 A の y 座標 | 0 |
| 点 P の x 座標 | 4 |
| 点 P の y 座標 | 3 |
| 内積 n・AP | =B1*(B5-B3)+B2*(B6-B4) |
| 法線ベクトルの大きさ |n| | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 距離 d | =ABS(B7)/B8 |
「傾き切片形のときの距離」を求める表
| 傾き m | 2 |
| 切片 k | 1 |
| 点 P の x 座標 | 4 |
| 点 P の y 座標 | 3 |
| 距離 d | =ABS(B1*B3-B4+B2)/SQRT(B1^2+1) |
「垂線の足 H の座標」を求める表
| x の係数 a | 1 |
| y の係数 b | 2 |
| 定数項 c | -3 |
| 点 P の x 座標 | 4 |
| 点 P の y 座標 | 3 |
| 倍率 t | =(B1*B4+B2*B5+B3)/(B1^2+B2^2) |
| H の x 座標 | =B4-B1*B6 |
| H の y 座標 | =B5-B2*B6 |
「平行な2直線の距離」を求める表
| x の係数 a | 1 |
| y の係数 b | 2 |
| 1本目の定数項 c1 | -3 |
| 2本目の定数項 c2 | 7 |
| 距離 d | =ABS(B3-B4)/SQRT(B1^2+B2^2) |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数と座標を自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
# 直線 ax + by + c = 0（3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける）
a = Fraction(1)
b = Fraction(2)
c = Fraction(-3)
# 点 P の座標
x0 = Fraction(4)
y0 = Fraction(3)
# 点の座標を式に代入した値（符号付き）と、法線ベクトルの大きさの2乗
substituted = a * x0 + b * y0 + c
square = a * a + b * b
distance = abs(float(substituted)) / float(square) ** 0.5
print(f"分子 |a*x0+b*y0+c| = {abs(substituted)}")
print(f"分母 √(a^2+b^2) = √{square}")
print(f"距離 d = {distance}")
# 垂線の足 H（法線ベクトルの向きに t 倍だけ戻った点）
t = substituted / square
foot_x = x0 - a * t
foot_y = y0 - b * t
print(f"倍率 t = {t}")
print(f"垂線の足 H = ({foot_x}, {foot_y})")
標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、分子・分母・垂線の足を丸め誤差なしの分数のまま計算できます。この例は点(4, 3)と直線 x + 2y - 3 = 0 の距離を求めるもので、実行すると分子が 7、分母が √5、距離が 3.1304951684997055、倍率 t が 7/5、垂線の足が (13/5, 1/5) と表示されます。係数と座標を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
点と直線の距離
d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)
d = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(a*x_0 + b*y_0 + c)/sqrt(a^2 + b^2)
d = Abs[a x0 + b y0 + c]/Sqrt[a^2 + b^2]
d := abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);
d = abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);
d = |a x_0+b y_0+c|/√(a^2+b^2)
なぜこの式で距離が出るのか（法線ベクトルによる説明）
d = |n・AP| ÷ |n|
d = \frac{\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover>
<mo>|</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>|</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(vec n * vec(AP))/abs(vec n)
d = Abs[n . ap]/Norm[n]
d := abs(DotProduct(n, ap))/Norm(n, 2);
d = abs(dot(n, ap))/norm(n);
d = |n\vec ∙AP\vec |/|n\vec |
傾き切片形 \(y = mx + k\) のときの距離
d = |m·x₀ − y₀ + k| ÷ √(m² + 1)
d = \frac{\left|m x_0 - y_0 + k\right|}{\sqrt{m^{2} + 1}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>k</mi>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(m*x_0 - y_0 + k)/sqrt(m^2 + 1)
d = Abs[m x0 - y0 + k]/Sqrt[m^2 + 1]
d := abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);
d = abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);
d = |m x_0-y_0+k|/√(m^2+1)
垂線の足 \(\mathrm{H}\) の座標
H = (x₀ − t·a, y₀ − t·b) t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)
\mathrm{H} = \left(x_0 - t a,\ y_0 - t b\right),\quad t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi mathvariant="normal">H</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>a</mi></mrow>
<mo>,</mo>
<mrow><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>b</mi></mrow>
<mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
H = (x_0 - t*a, y_0 - t*b), t = (a*x_0 + b*y_0 + c)/(a^2 + b^2)
t = (a x0 + b y0 + c)/(a^2 + b^2); h = {x0 - t a, y0 - t b}
t := (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H := [x0 - t*a, y0 - t*b];
t = (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H = [x0 - t*a, y0 - t*b];
H = (x_0-t a, y_0-t b), t = (a x_0+b y_0+c)/(a^2+b^2)
平行な2直線の距離
d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)
d = \frac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(c_1 - c_2)/sqrt(a^2 + b^2)
d = Abs[c1 - c2]/Sqrt[a^2 + b^2]
d := abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);
d = abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);
d = |c_1-c_2|/√(a^2+b^2)
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（図形と方程式）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 点(4, 3)と直線 x + 2y - 3 = 0 について、次を求めてください。 1. 点と直線の距離（分母を有理化した厳密値と、小数の両方で） 2. 点から直線に下ろした垂線の足の座標（約分した分数で） 3. その垂線（点を通り直線に垂直な直線）の式 Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールと sympy を使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
無料で回数無制限の変換
専門知識不要、直感的で簡単な操作
専門知識不要、直感的で簡単な操作
会員登録不要
アクセス直後に利用可能
個人情報を登録することなく使用できます
個人情報を登録することなく使用できます
安全・安心
通信を高度に暗号化
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
高速
ストレスのない快適な表示速度・変換速度
透かしなし
ウォーターマークなし
クレジット表記不要
クレジット表記不要
商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
商用利用許諾の連絡も不要です
関連機能
傾き計算機（直線の傾き・距離・角度）
2点の座標から直線の傾き・2点間の距離・傾斜角・直線の式を計算します
2点間の距離計算機（座標から距離・直線の式）
2点の座標から2点を結ぶ線分の長さと、その2点を通る直線の式を計算します
ベクトル計算機（和・差・実数倍・大きさ・内積・なす角）
成分表示されたベクトルの和・差・実数倍・大きさ・内積・なす角・単位ベクトルをまとめて計算します
