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点 \(\mathrm{P}(1,\ 2)\) と直線 \(3x + 4y - 5 = 0\) の距離を求めましょう。
解答：\(\dfrac{6}{5}\)
点と直線の距離の公式に、そのまま代入します。
\(d = \dfrac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)
分子は点の座標を \(3x + 4y - 5\) に代入して絶対値をとります。
\(\left|3 \times 1 + 4 \times 2 - 5\right| = \left|6\right| = 6\)
分母は \(x\) と \(y\) の係数から求めます。
\(\sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
よって距離は次のようになります。
\(d = \dfrac{6}{5}\)
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原点 \(\mathrm{O}(0,\ 0)\) と直線 \(x + y - 4 = 0\) の距離を求めましょう。
解答：\(2\sqrt{2}\)
原点は \(x_0 = 0\)、\(y_0 = 0\) なので、分子には定数項だけが残ります。
\(\left|1 \times 0 + 1 \times 0 - 4\right| = \left|-4\right| = 4\)
分母は次のとおりです。
\(\sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
分母に根号が残るので、分母と分子に \(\sqrt{2}\) を掛けて有理化します。
\(d = \dfrac{4}{\sqrt{2}} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\)
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点 \(\mathrm{P}(2,\ -1)\) と直線 \(y = 2x + 3\) の距離を求めましょう。
解答：\(\dfrac{8\sqrt{5}}{5}\)
公式は一般形 \(ax + by + c = 0\) に対するものなので、まず右辺を左辺に移します。
\(y = 2x + 3 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 3 = 0\)
\(a = 2\)、\(b = -1\)、\(c = 3\) として代入します。
負の数を代入するときは、かっこを付けてから計算します。
\(\left|2 \times 2 + (-1) \times (-1) + 3\right| = \left|8\right| = 8\)
分母は次のとおりです。
\(\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{5}\)
有理化して答えを整えます。
\(d = \dfrac{8}{\sqrt{5}} = \dfrac{8\sqrt{5}}{5}\)
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平行な2直線 \(3x - 4y + 2 = 0\) と \(3x - 4y - 8 = 0\) の距離を求めましょう。
解答：\(2\)
\(x\) と \(y\) の係数がそろっているので、平行な2直線の距離の公式がそのまま使えます。
\(d = \dfrac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}\)
分子は定数項の差の絶対値です。
\(\left|2 - (-8)\right| = \left|10\right| = 10\)
分母は次のとおりです。
\(\sqrt{3^{2} + (-4)^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
よって距離は次のようになります。
\(d = \dfrac{10}{5} = 2\)
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点 \(\mathrm{P}(3,\ 1)\) から直線 \(x - y - 4 = 0\) に下ろした垂線の足 \(\mathrm{H}\) の座標を求めましょう。
解答：\(\mathrm{H}(4,\ 0)\)
まず倍率 \(t\) を求めます。
\(t = \dfrac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}} = \dfrac{1 \times 3 + (-1) \times 1 - 4}{1^{2} + (-1)^{2}} = \dfrac{-2}{2} = -1\)
次に、点 \(\mathrm{P}\) から法線ベクトル \((1,\ -1)\) の \(t\) 倍を引きます。
\(\mathrm{H} = \left(3 - (-1) \times 1,\ \ 1 - (-1) \times (-1)\right) = (4,\ 0)\)
求めた点が直線の上にあるか、式に代入して確かめます。
\(4 - 0 - 4 = 0\)
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点 \(\mathrm{P}(-2,\ 5)\) と直線 \(x = 3\) の距離を求めましょう。
解答：\(5\)
\(x = 3\) は \(y\) 軸に平行な直線で、一般形では \(y\) の係数が 0 になります。
\(x - 3 = 0 \;\;(a = 1,\ b = 0,\ c = -3)\)
公式に代入します。
\(d = \dfrac{\left|1 \times (-2) + 0 \times 5 - 3\right|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2}}} = \dfrac{\left|-5\right|}{1} = 5\)
\(y\) 軸に平行な直線と点の距離は、\(x\) 座標の差の絶対値そのものです。
実際に \(\left|-2 - 3\right| = 5\) となり、公式の答えと一致します。
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直線 \(2x - y + 1 = 0\) 上の点 \(\mathrm{A}(0,\ 1)\) と点 \(\mathrm{P}(3,\ 4)\) について、法線ベクトル \(\vec{n}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) の内積を使って、点 \(\mathrm{P}\) と直線の距離を求めましょう。
解答：\(\dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)
法線ベクトルは、直線の式の \(x\) と \(y\) の係数をそのまま並べたものです。
\(\vec{n} = (2,\ -1)\)
点 \(\mathrm{A}\) から点 \(\mathrm{P}\) へ向かうベクトルを、成分の引き算で求めます。
\(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (3 - 0,\ 4 - 1) = (3,\ 3)\)
内積は成分どうしを掛けて足します。
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 2 \times 3 + (-1) \times 3 = 3\)
これを法線ベクトルの大きさで割り、有理化します。
\(d = \dfrac{\left|3\right|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \dfrac{3}{\sqrt{5}} = \dfrac{3\sqrt{5}}{5}\)
点の座標を式に代入する公式でも \(\left|2 \times 3 - 4 + 1\right| = 3\) となり、分子が同じ値になります。