円順列・じゅず順列計算機（円形に並べる場合の数）

並べ方の種類を選び、並べるものの個数 n を入力してください。円形に並べる場合の数を、途中式と図付きで計算します。

並べ方の種類

並べるものの個数 n

円形に並べる個数 r

n は1以上1000以下の半角整数で入力してください。r の欄は「n個からr個選んで円形に並べる」を選んだときだけ使います。答えは丸めずに全桁表示します。

計算結果・図形

左の入力欄で並べ方の種類と個数を選んで「計算する」を押すと、ここに結果と図が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

円形のテーブルに \(n\) 人が座る座り方（円順列）\((n-1)!\) を、人数を入れるだけで計算できます
\(n\) 個から \(r\) 個だけ選んで円形に並べる場合の数 \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\) にも対応しています
ネックレスのように「裏返して重なるものは同じ」と数えるじゅず順列 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) も計算できます（そのまま割ると誤りになる \(n = 1,\ 2\) の場合も正しく処理します）
「特定の2人が隣り合う」「隣り合わない」座り方も、2人を1つの塊とみなす途中式付きで計算できます
答えは丸めずに全桁表示します。桁数が多いときは \(1.23\times10^{35}\) のような概数も添えるので、大きさがひと目でつかめます
「なぜ \(n!\) を \(n\) で割るのか」を回転の図で確かめられます。Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

並べるものはすべて区別できる（同じものが混ざっていない）場合を扱います。1列に並べる順列 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)・組合せ \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) そのものは、ページ下部の関連ページで計算できます。

この計算は何の役に立つ？

円卓の席次を決める（会食・会議・結婚式）

円形のテーブルでは、テーブルごと回しても「誰の隣が誰か」という関係は変わりません。だから席順の数は直線に並べる \(n!\) 通りではなく、円順列の \((n-1)!\) 通りになります。6人なら 120 通り、8人なら 5,040 通りです。
席次に「この2人は隣どうしにしたい（または離したい）」という要望が入ると数は大きく変わり、6人で特定の2人を隣にする座り方は 48 通り、隣にしない座り方は 72 通りです。幹事が悩む「席替え案は何パターンあるのか」を、感覚ではなく数で押さえられます。

配送ルートの数を見積もる（物流・巡回セールスマン問題）

営業所も1つの立ち寄り先と数えて、全部で \(n\) 箇所を1回ずつ通って一周するルートを考えます。同じ道順なら、どこを出発点にしても輪としては同じ（回転）で、行きと帰りで距離が変わらない道なら逆回りも同じ距離になります（裏返し）。そのため区別できるルートの数はじゅず順列と同じ \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) 通りです。
営業所を含めて10箇所なら 181,440 通り、15箇所なら約 \(4.36\times10^{10}\) 通り。全部試して一番短いものを選ぶのは現実的ではないため、配送計画のソフトは近道を探す工夫（最適化の手法）を使います。「全部調べる作戦が通用しない」ことを示す根拠が、この場合の数です。

ブレスレット・ネックレスをデザインする（アクセサリー）

色や形の違うビーズ \(n\) 個を1周につなぐデザインの数は、じゅず順列の \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) 通りです。輪は回しても裏返しても同じ品物なので、円順列をさらに \(2\) で割ります。ビーズが5個なら 12 通り、6個なら 60 通りです。
ただし、ビーズの片面だけに模様があるなど「表と裏が区別できて、ひっくり返して使えない」作りなら、裏返しを同じとみなせません。そのときは \(2\) で割らずに円順列の \((n-1)!\) 通り（6個なら 120 通り）で数えます。裏返して使えるかどうかだけで、デザインの数は2倍変わります。

ゲームの手番の回り順（ボードゲーム・カードゲーム）

多くのゲームは手番が座席に沿って一定方向に回ります。この「誰の次が誰か」という回り順の型は、席を丸ごと回しても変わらないので、円順列の \((n-1)!\) 通りです。4人なら 6 通り、5人なら 24 通りになります。
先手が有利なゲームでは、誰が最初に打つかまで区別したくなります。その場合は回り順の型 \((n-1)!\) 通りに、先手を選ぶ \(n\) 通りを掛けて \(n!\) 通り（4人なら 24 通り）。「席の並びだけの問題」と「先手も含めた問題」を分けて数えられると、公平な決め方を考えるときに迷いません。

当番・シフトのローテーションを組む（学校・職場）

「この順番で回して、最後まで行ったら先頭に戻る」という当番表は、誰から始めても同じ循環になるので円順列で数えます。5人の当番表なら \((5-1)! = 24\) 通りです。
ここに「この2人は続けて（隣に）しない」という条件が入ると、全体から2人が隣り合う場合を引いて \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\) 通り。5人なら 24 − 12 = 12 通りに絞られます。条件を1つ足すだけで候補が半分になることが、式から具体的に見えます。

式と図

円順列 \((n-1)!\)（\(n\) 個すべてを円形に並べる）

図

数学表記（一般的な数式）

\(N\) \(=\) \(\dfrac{n!}{n}\) \(=\) \((n-1)!\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 円順列の総数 \(N\) \(=\) ① \(\dfrac{n\text{ 個を1列に並べる並べ方 }n!}{\text{回転すると重なる並べ方 }n\text{ 通り}}\) \(=\) ② \(1\) つ少ない \(n-1\) 個の階乗 \((n-1)!\)

式を日本語で読むと

① \(n\) 個を1列に並べる並べ方 \(n!\) を、回転すると重なる \(n\) 通りで割った数は

② \(1\) つ少ない \(n-1\) 個の階乗 \((n-1)!\) と等しく

③ 円順列の総数 \(N\) が求められる

簡単な例

\(4\) 人が円形のテーブルに座る座り方は

4人の円順列の総数 \(=\) \(\dfrac{4\text{ 人を1列に並べる }24\text{ 通り}}{\text{回転すると重なる }4\text{ 通り}}\) \(=\) \(3\) 個の階乗 \(3!\)

\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

\(\dfrac{24}{4} = 6\)

\((4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)

考え方のポイント

円形に並べるときは「回して重なる並べ方は、同じ1通りと数える」のが決まりです。円卓に座った顔ぶれをテーブルごと回しても、誰の隣が誰かという関係は何も変わらないからです。なぜ \(n\) で割るのかは、\(4\) 人 A・B・C・D で確かめるのが一番はやいです。1列の並べ方 ABCD・BCDA・CDAB・DABC は、文字の順番としては全部別物です。ところが円形に置いて上から時計回りに読むと、どれも「Aの右がB、Bの右がC、Cの右がD、Dの右がA」というまったく同じ輪になります。先頭の1文字を後ろに送っただけだからです。つまり、1つの輪に対して1列の並べ方がちょうど \(n\) 通りずつ対応します（1周のあいだに \(n\) 回ずらせるので、\(n\) 通りより多くも少なくもなりません）。\(n!\) 通りの中で同じ輪を \(n\) 回ずつ重ねて数えているので、\(n\) で割ると重なりが消えて、輪の種類の数そのものになります。もう1つの考え方が「1つを固定する」です。誰か1人の席を先に決めてしまえば、もう回して重ねることはできません。残りの \(n-1\) 人を並べるだけなので \((n-1)!\) 通り。同じ答えに、割り算なしでたどり着けます。

円順列 \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)（\(n\) 個から \(r\) 個選んで円形に並べる）

図

数学表記（一般的な数式）

\(N\) \(=\) \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② 円形に並べる並べ方の総数 \(N\) \(=\) ① \(\dfrac{n\text{ 個から }r\text{ 個選んで1列に並べる並べ方 }{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{\text{回転すると重なる並べ方 }r\text{ 通り}}\)

式を日本語で読むと

① \(n\) 個から \(r\) 個選んで1列に並べる並べ方 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) を、回転すると重なる \(r\) 通りで割った数は

② 円形に並べる並べ方の総数 \(N\) になる

簡単な例

\(8\) 人から \(3\) 人を選んで、3人がけの円形のテーブルに座らせる座り方は

8人から3人を選ぶ円順列の総数 \(=\) \(\dfrac{8\text{ 人から3人を1列に並べる }336\text{ 通り}}{\text{回転すると重なる }3\text{ 通り}}\)

\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)

\(\dfrac{336}{3} = 112\)

考え方のポイント

席が \(r\) 個だけの円卓に、\(n\) 人の候補から選んで座らせるイメージです。並んでいるものは \(r\) 個なので、回して重なるのも \(r\) 通りずつ。うっかり \(n\) で割らないよう注意してください。 \(r = n\) のときは \({}_{n}\mathrm{P}_{n} = n!\) なので \(\dfrac{n!}{n} = (n-1)!\) となり、1つ前の式とぴたりと一致します。つまりこちらが一般の形で、\((n-1)!\) はその特別な場合です。

じゅず順列 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)（裏返して重なるものは同じとみなす）

図

数学表記（一般的な数式）

\(M\) \(=\) \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② じゅず順列の総数 \(M\) \(=\) ① \(\dfrac{\text{円順列の総数 }(n-1)!}{\text{裏返すと重なる並べ方 }2\text{ 通り}}\)

式を日本語で読むと

① 円順列の総数 \((n-1)!\) を、裏返すと重なる \(2\) 通りで割った数は

② じゅず順列の総数 \(M\) になる（ただし \(n\) が \(3\) 以上のとき）

簡単な例

色の違う \(5\) 個の玉をつないで輪のブレスレットを作る作り方は

5個の玉のじゅず順列の総数 \(=\) \(\dfrac{\text{5個の円順列 }24\text{ 通り}}{\text{裏返すと重なる }2\text{ 通り}}\)

\((5-1)! = 4! = 24\)

\(\dfrac{24}{2} = 12\)

考え方のポイント

ネックレスやブレスレットは、机の上でひっくり返せば左右が入れ替わります。輪を回しても裏返しても同じ品物なので、円順列をさらに \(2\) で割ります。「回転で \(n\) 通り、裏返しで \(2\) 通り、合わせて \(2n\) 通りずつ重なっている」と考えて \(\dfrac{n!}{2n}\) と書いても同じです。円順列とじゅず順列の分かれ目は「持ち上げてひっくり返せるかどうか」です。円卓の座り方は、人が席に座ったままテーブルを裏返すことはできないので円順列。ブレスレットは手に取って裏返せるのでじゅず順列。問題文が「輪」「ネックレス」「ブレスレット」「じゅず」なら裏返しを疑う、と覚えておくと取り違えません。注意が必要なのは \(n = 1\) と \(n = 2\) です。玉が1個や2個の輪は、裏返しても並びがまったく変わりません。「\(2\) 通りずつ重なっている」が成り立たないため、公式をそのまま使うと \(\dfrac{1}{2}\) 通りという答えになってしまいます。正しくはどちらも \(1\) 通りです（この計算機は自動で場合分けします）。 \(n = 3\) 以上なら、必ずどの並びも「元の並び」と「裏返した並び」の \(2\) 通りが対になるので、\(2\) で割って正しく数えられます。

特定の2つが隣り合う円順列 \(2 \times (n-2)!\)

図

数学表記（一般的な数式）

\(A\) \(=\) \((n-2)!\) \(\times\) \(2\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 2つが隣り合う並べ方の総数 \(A\) \(=\) ① 塊を1個とみなした \(n-1\) 個の円順列 \((n-2)!\) \(\times\) ② 塊の中での2つの並び順 \(2\) 通り

式を日本語で読むと

① 隣り合わせたい2つを1つの塊とみなした、\(n-1\) 個の円順列 \((n-2)!\) に

② 塊の中での2つの並び順 \(2\) 通りを掛けると

③ 2つが隣り合う並べ方の総数 \(A\) が求められる

簡単な例

\(6\) 人が円形のテーブルに座るとき、太郎さんと花子さんが隣り合う座り方は

2人が隣り合う座り方の総数 \(=\) 2人を塊とみなした5個の円順列 \(4!\) \(\times\) 塊の中での2人の並び順 \(2\) 通り

\((6-2)! = 4! = 24\)

\(24 \times 2 = 48\)

考え方のポイント

「必ず隣り合う」という条件は、その2つをひもで縛って1つの塊にしてしまうのが定石です。6人のうち2人を塊にすると、円形に並べるものは「塊＋残りの4人」の5個。5個の円順列なので \((5-1)! = 4!\) 通りになります。最後に、塊の中で「太郎さん・花子さん」の順か「花子さん・太郎さん」の順かの \(2\) 通りを掛けます。塊を作ったら中身の並び順を掛け忘れない、が最大の注意点です。 \(n = 2\) のときだけは例外です。2人しかいなければ必ず隣り合うので答えは \(1\) 通りですが、塊の式をそのまま使うと \(2 \times 0! = 2\) 通りになってしまいます（この計算機は自動で場合分けします）。

特定の2つが隣り合わない円順列 \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)

図

数学表記（一般的な数式）

\(B\) \(=\) \((n-1)!\) \(-\) \((n-2)!\) \(\times\) \(2\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 2つが隣り合わない並べ方の総数 \(B\) \(=\) ① 条件を付けない円順列の総数 \((n-1)!\) \(-\) ② 塊を1個とみなした \(n-1\) 個の円順列 \((n-2)!\) \(\times\) ③ 塊の中での2つの並び順 \(2\) 通り

式を日本語で読むと

① 条件を付けない円順列の総数 \((n-1)!\) から

② 隣り合わせたい2つを1つの塊とみなした、\(n-1\) 個の円順列 \((n-2)!\) に

③ 塊の中での2つの並び順 \(2\) 通りを掛けた数（＝2つが隣り合う並べ方）を引くと

④ 2つが隣り合わない並べ方の総数 \(B\) が求められる

簡単な例

\(6\) 人が円形のテーブルに座るとき、太郎さんと花子さんが隣り合わない座り方は

2人が隣り合わない座り方の総数 \(=\) 6人の円順列 \(5!\) \(-\) 2人を塊とみなした5個の円順列 \(4!\) \(\times\) 塊の中での2人の並び順 \(2\) 通り

\((6-1)! = 5! = 120\)

\(2 \times (6-2)! = 2 \times 24 = 48\)

\(120 - 48 = 72\)

考え方のポイント

「隣り合わない」を正面から数えようとすると、どこに置いてよいかの場合分けが増えて大変です。そこで「全部の並べ方」から「隣り合ってしまう並べ方」を引きます。求めたい条件の裏返し（余事象）を数えて全体から引く、という定番の手です。式を整理すると \((n-1)! - 2(n-2)! = (n-1)(n-2)! - 2(n-2)! = (n-3) \times (n-2)!\) とも書けます。\(n = 3\) を入れると \(0 \times 1! = 0\) 通り。3人の円卓ではどの2人も必ず隣り合うので、確かに \(0\) 通りで正しいと確かめられます。

円形に並べるときは「回して重なる並べ方」を同じ1通りと数えるので、1列に並べた \(n!\) 通りを \(n\) で割って \((n-1)!\) 通りになります。ネックレスのように裏返しても同じとみなす場合（じゅず順列）は、さらに \(2\) で割って \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) 通りです（\(n\) が \(2\) 以下のときだけ例外で \(1\) 通り）。

用語・記号の解説

記号

\(n\)	エヌ	並べるものの全体の個数。number（数）の頭文字で、「個数」を表す文字として広く使われます。このページでは円卓に座る人数や、輪につなぐ玉の個数にあたります。
\(r\)	アール	全体 \(n\) 個の中から選んで実際に並べる個数。\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) のように \(n\) とセットで使われ、「\(n\) 個から \(r\) 個」と読みます。
\(n!\)	エヌのかいじょう	階乗。\(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\) で、\(n\) 個すべてを1列に並べる並べ方の数を表します。ビックリマークのこの書き方は、1808年にフランスの数学者クランプが使い始めたといわれます。なお \(0! = 1\) と決められています。
\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)	エヌ・ピー・アール	順列。\(n\) 個から \(r\) 個を選んで1列に並べる並べ方の数で、\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\) と計算します。\(\mathrm{P}\) は permutation（順列）の頭文字です。
\(N\)	大文字のエヌ	このページで円順列の総数を表す文字。number（数）の頭文字を大文字にしたもので、「求めたい個数」を置く文字としてよく使われます。
\(M\)	エム	このページでじゅず順列の総数を表す文字。\(N\) の隣のアルファベットで、\(N\) とは別の「もう1つの個数」を置きたいときに使われます。
\(A,\ B\)	エー・ビー	このページで、特定の2つが隣り合う並べ方の総数を \(A\)、隣り合わない並べ方の総数を \(B\) として表します。アルファベットの最初の方の文字は「求めたい決まった数」を置くときの慣例です。
\((n-1)!\)	エヌひく1のかいじょう	円順列の総数を表す式。\(n\) 個を円形に並べるとき、回して重なる \(n\) 通りの重なりを取り除いた結果です。「1つを固定して、残りの \(n-1\) 個を並べる」と考えても同じ式になります。

用語

場合の数	ばあいのかず	ある条件を満たすやり方が全部で何通りあるか、という数のこと。高校では数学Aで学びます。「何通り？」と聞かれたら場合の数を求める問題です。
順列	じゅんれつ	いくつかのものを、順番を区別して並べたもの。またはその並べ方の数。1列に並べる場合を特に直線順列と呼び、\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) で数えます。
直線順列	ちょくせんじゅんれつ	横一列（直線）に並べる普通の順列のこと。円順列と区別したいときにこう呼びます。左から順に並ぶので、端があり、ずらせば別の並びになります。
円順列	えんじゅんれつ	ものを円形（輪）に並べる並べ方。回して重なる並べ方は同じ1通りと数えるのが決まりで、\(n\) 個なら \((n-1)!\) 通りになります。
じゅず順列	じゅずじゅんれつ	数珠順列とも書きます。円順列のうち、裏返して重なる並べ方も同じ1通りと数えるもの。ネックレスやブレスレットのように、ひっくり返せる輪を数えるときに使い、\(n\) が \(3\) 以上なら \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) 通りです。
階乗	かいじょう	\(1\) から \(n\) までの整数をすべて掛け合わせた数のこと（記号は \(n!\)）。\(n\) 個のものを1列に並べる並べ方の数と同じで、\(n\) が増えると爆発的に大きくなります（\(10! = 3{,}628{,}800\)）。
回転して重なる	かいてんしてかさなる	輪の並びをそのまま回すと、別の並びとぴったり同じになること。円順列では、こうして重なる並べ方は区別せず同じ1通りと数えます。1周の間に \(n\) 通りの重なりが生じます。
裏返して重なる	うらがえしてかさなる	輪をひっくり返すと（鏡に映したように左右を逆にすると）、別の並びと同じになること。じゅず順列では、これも同じ1通りと数えます。
塊とみなす	かたまりとみなす	「必ず隣り合う」という条件があるものどうしを、ひもで縛って1個のものとして扱う考え方。全体の個数が1つ減り、最後に塊の中の並び順の数を掛けます。
余事象	よじしょう	ある条件が起こらない場合の全体。\(\overline{A}\) と書きます。「隣り合わない」のように直接数えにくい条件は、全体から「隣り合う」場合を引いて求めます。
重複して数える	ちょうふくしてかぞえる	同じものを2回以上数えてしまうこと。円順列では、同じ輪の並びを \(n\) 回ずつ数えてしまうので、最後に \(n\) で割って重なりを取り除きます。
1つを固定する	ひとつをこていする	円順列の定番の考え方。誰か1人の位置を先に決めてしまえば、もう回して重ねることができなくなるので、残りの \(n-1\) 個を1列に並べるのと同じになります。
積の法則	せきのほうそく	「Aの決め方が \(a\) 通り、そのそれぞれについてBの決め方が \(b\) 通り」なら、全体は \(a \times b\) 通り、という数え方の決まり。塊の円順列に並び順の \(2\) を掛けるのもこの法則です。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

場合の数の基本（高校数学A）	積の法則（Aの決め方が \(a\) 通り、そのそれぞれについてBの決め方が \(b\) 通りなら、全体は \(a \times b\) 通り）が使えること樹形図をかいて、小さい数なら実際に全部を書き出して数えられること（公式が正しいかを自分で確かめる手段になります）
順列と階乗（高校数学A）	\(n!\)（階乗）が \(n\) 個すべてを1列に並べる並べ方の数だとわかること（例：\(4! = 24\)） \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\) が計算できること（例：\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)） \(0! = 1\) と決められていること
割り算で重なりを取り除く考え方（小学3年〜5年）	同じものを \(n\) 回ずつ数えてしまったときは、\(n\) で割ればもとの個数に戻る、という感覚があること（例：手袋が24枚あるとき、2枚で1組だから 24 ÷ 2 = 12 組）割り算が「いくつずつのまとまりが何個あるか」を求める計算だとわかること
図形の回転と対称（小学5年〜中学1年）	回して重なる図形どうしを「同じ形」とみなす見方ができること（円順列の「回転」がこれにあたります）鏡に映したように左右を逆にした形（線対称）がイメージできること（じゅず順列の「裏返し」がこれにあたります）
余事象（高校数学A）	「〜でない」場合の数は、全体から「〜である」場合の数を引けば求められるとわかること「隣り合わない」のように直接数えにくい条件は、まず反対の条件を数える、という方針が立てられること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「円順列 (n−1)!」を求める表

並べるものの個数 n	8
円順列の総数 (n−1)!	=FACT(B1-1)

「n個からr個選んで円形に並べる円順列」を求める表

全体の個数 n	8
円形に並べる個数 r	3
1列に並べる並べ方 nPr	=PERMUT(B1,B2)
円順列の総数 nPr÷r	=B3/B2

「じゅず順列 (n−1)!÷2」を求める表

並べるものの個数 n	5
じゅず順列の総数	=IF(B1<=2,1,FACT(B1-1)/2)

「特定の2つが隣り合う・隣り合わない円順列」を求める表

並べるものの個数 n	6
条件を付けない円順列 (n−1)!	=FACT(B1-1)
2つが隣り合う 2×(n−2)!	=2*FACT(B1-2)
2つが隣り合わない	=B2-B3

貼り付けると、上の行（個数）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
FACT は階乗（n!）、PERMUT は順列（nPr）を計算する関数です。
1つ目の表は8人の円卓の座り方で、答えは 5040 になります。
2つ目の表は8人から3人を選んで円卓に座らせる座り方で、nPr が 336、それを r で割って 112 になります。
3つ目の表の IF は、n が 2 以下のときに 2 で割ってはいけないための場合分けです。n に 5 を入れると 12 になります。
4つ目の表は6人の円卓の例で、条件なしが 120、隣り合うが 48、隣り合わないが 72 になります。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「円順列 (n−1)!」を求める表

並べるものの個数 n	8
円順列の総数 (n−1)!	=FACT(B1-1)

「n個からr個選んで円形に並べる円順列」を求める表

全体の個数 n	8
円形に並べる個数 r	3
1列に並べる並べ方 nPr	=PERMUT(B1,B2)
円順列の総数 nPr÷r	=B3/B2

「じゅず順列 (n−1)!÷2」を求める表

並べるものの個数 n	5
じゅず順列の総数	=IF(B1<=2,1,FACT(B1-1)/2)

「特定の2つが隣り合う・隣り合わない円順列」を求める表

並べるものの個数 n	6
条件を付けない円順列 (n−1)!	=FACT(B1-1)
2つが隣り合う 2×(n−2)!	=2*FACT(B1-2)
2つが隣り合わない	=B2-B3

Excelと同じ式（FACT・PERMUT・IF）がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、個数を自分の数値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

from math import factorial, perm

n = 8   # 並べるものの個数
r = 3   # 円形に並べる個数（n個から選ぶとき）

# 円順列：n個すべてを円形に並べる
circular = factorial(n - 1)

# 円順列：n個からr個選んで円形に並べる
circular_select = perm(n, r) // r

# じゅず順列：裏返して重なるものは同じとみなす
# n が 1 か 2 のときは裏返しても並びが変わらないので、2で割らずに1通り
necklace = 1 if n <= 2 else factorial(n - 1) // 2

# 特定の2つが隣り合う／隣り合わない円順列（n が 3 以上のとき）
adjacent = 2 * factorial(n - 2)
not_adjacent = factorial(n - 1) - adjacent

print(f"円順列: {circular}")
print(f"{n}個から{r}個選ぶ円順列: {circular_select}")
print(f"じゅず順列: {necklace}")
print(f"隣り合う: {adjacent}　隣り合わない: {not_adjacent}")

標準ライブラリの math モジュールだけで計算できます（perm は Python 3.8 以降で使えます）。整数どうしの割り算は、小数にならない「//」を使うのがコツです。この例を実行すると、円順列 5040、8個から3個選ぶ円順列 112、じゅず順列 2520、隣り合う 1440、隣り合わない 3600 が表示されます。n と r を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

円順列 \((n-1)!\)（\(n\) 個すべてを円形に並べる）

N = n! ÷ n = (n−1)!

N = \frac{n!}{n} = (n-1)!

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
  </mrow>
</math>

N = (n!)/n = (n-1)!

N = (n - 1)!

N := (n-1)!;

N = factorial(n-1);

N = n!/n = (n-1)!

円順列 \(\dfrac{{}_{n}\mathrm{P}_{r}}{r}\)（\(n\) 個から \(r\) 個選んで円形に並べる）

N = ₙPᵣ ÷ r

N = \frac{{}_{n}P_{r}}{r}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>N</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mmultiscripts><mi>P</mi><mi>r</mi><none/><mprescripts/><mi>n</mi><none/></mmultiscripts></mrow>
      <mi>r</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

N = (nPr)/r

N = (n!/(n - r)!)/r

N := numbperm(n, r)/r;

N = nchoosek(n,r)*factorial(r)/r;

N = nPr/r

じゅず順列 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)（裏返して重なるものは同じとみなす）

M = (n−1)! ÷ 2

M = \frac{(n-1)!}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>M</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

M = ((n-1)!)/2

M = (n - 1)!/2

M := (n-1)!/2;

M = factorial(n-1)/2;

M = (n-1)!/2

特定の2つが隣り合う円順列 \(2 \times (n-2)!\)

A = 2 × (n−2)!

A = 2 \times (n-2)!

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
  </mrow>
</math>

A = 2 * (n-2)!

A = 2 (n - 2)!

A := 2*(n-2)!;

A = 2*factorial(n-2);

A = 2(n-2)!

特定の2つが隣り合わない円順列 \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)

B = (n−1)! − 2 × (n−2)!

B = (n-1)! - 2 \times (n-2)!

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
  </mrow>
</math>

B = (n-1)! - 2 * (n-2)!

B = (n - 1)! - 2 (n - 2)!

B := (n-1)! - 2*(n-2)!;

B = factorial(n-1) - 2*factorial(n-2);

B = (n-1)! - 2(n-2)!

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは数学（場合の数）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

8人が円形のテーブルに座るときの座り方について、次の4つを求めてください。
1. 8人全員の円順列（回して重なる座り方は同じ1通りと数える）
2. 8人から3人を選んで、3人がけの円形のテーブルに座らせる座り方
3. 8個の玉を輪につないだじゅず順列（回しても裏返しても同じものは1通りと数える）
4. 8人の円卓で、特定の2人が隣り合う座り方と、隣り合わない座り方

Pythonでは標準ライブラリの math モジュール（factorial・perm）を使って厳密に計算し、使った式と実行結果の数値を示してください。あわせて、それぞれの式がなぜその形になるのかも説明してください。