一次関数計算機（2点・傾きと1点から y=ax+b を決定｜変化の割合と交点）

求め方のモードを選び、2点の座標（または傾きと1点の座標）を入力してください。y の値を知りたい x を入れると、その x に対する y の値も計算します。

求め方

点1の x 座標 x1

点1の y 座標 y1

点2の x 座標 x2

点2の y 座標 y2

傾き a（変化の割合）

y の値を知りたい x（省略可）

数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。使わない欄はモードに合わせて自動で切り替わります。

計算結果・グラフ

左の入力欄に座標（または傾き）を入れて「計算する」を押すと、ここに結果とグラフが表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式とグラフ
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

2点 \((x_1,\ y_1)\)・\((x_2,\ y_2)\) を通る一次関数 \(y = ax + b\) の式を、座標を入れるだけでその場で決定できます
傾き \(a\) と通る1点から式を求めるモードも選べます
傾き（変化の割合）は \(a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) の途中式付き。答えは約分済みの分数（厳密値）で表示します
x 軸との交点・y 軸との交点、指定した \(x\) に対する \(y\) の値も同時に計算し、直線のグラフも描画します
2点の x 座標が同じで一次関数にならない場合は、「x = 定数」の縦の直線であることを判定して説明します
式のわかりやすい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

座標・傾きには小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます。

この計算は何の役に立つ？

料金プランの見通しを立てる（携帯・電気・タクシー）

「基本料金＋使った分だけ加算」という料金の仕組みは、一次関数 \(y = ax + b\) そのものです。切片 \(b\) が基本料金、傾き \(a\) が単価にあたります。例えば初乗り500円＋1kmごとに400円のタクシーなら \(y = 400x + 500\) で、3km乗ると \(400 \times 3 + 500 = 1700\)（円）と見積もれます。
2か月分の請求額（使用量と金額の2点）から単価と基本料金を逆算する、という使い方はまさに「2点から式を求める」計算です。

ばねの伸びから重さの関係をつかむ（理科・フックの法則）

ばねは「吊るした重さに比例して伸びる」性質があり（フックの法則）、ばね全体の長さは「自然の長さ＋伸び」で一次関数になります。例えば自然の長さが10cmで、おもり1個ごとに2cm伸びるばねの長さは \(y = 2x + 10\)（\(x\) はおもりの個数）です。
実験で測った2つの記録（2点）から式を決めれば、まだ試していない重さのときの長さを予測できます。中学の理科と数学をまたぐ代表的な例です。

標高から気温の目安を知る（登山・気象）

空気は標高が100m上がるごとにおよそ0.6℃下がる性質があります（気温減率と呼ばれる平均的な目安です）。地上の気温がわかれば、山頂の気温は一次関数でおおまかに見積もれます。例えば地上25℃なら、標高 \(x\) km地点の気温はおよそ \(y = 25 - 6x\) で、標高2kmの山頂ではおよそ13℃です。
実際の気温は天候や湿度でも変わるため厳密な式ではありませんが、登山の服装選びに役立つ実用的な近似として使われています。

売上と費用の見通しを立てる（商売・損益の計算）

商売の費用は「家賃などの固定費＋1個作るごとにかかる変動費」という形になることが多く、これも一次関数です。切片が固定費、傾きが1個あたりの変動費にあたります。
費用の直線と売上の直線を比べれば、「何個売れたら黒字になるか」（損益分岐点）の見通しが立ちます。事業計画の第一歩として広く使われている考え方です。

温度の単位を換算する（摂氏と華氏）

日本で使う摂氏（℃）とアメリカなどで使う華氏（°F）の関係は、一次関数 \(F = 1.8C + 32\) でぴったり表せます。傾き1.8と切片32を持つ、身近にある「厳密に一次関数な関係」の代表例です。
例えば摂氏20℃は \(1.8 \times 20 + 32 = 68\)（°F）。海外旅行先の天気予報や料理のオーブン温度を読み替えるときに、この式がそのまま使えます。

式とグラフ

一次関数の式 \(y = ax + b\)

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(y\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 直線上の点の y 座標 \(y\) \(=\) ② 傾き \(a\)（変化の割合） \(\times\) ① x 座標 \(x\) \(+\) ③ 切片 \(b\)

式を日本語で読むと

① x 座標 \(x\) に

② 傾き \(a\)（x が1増えるごとに y が増える量）を掛けて

③ 切片 \(b\)（x = 0 のときの y の値）を足すと

④ 直線上の点の y 座標 \(y\) になる

簡単な例

傾きが 2 で切片が 1 の一次関数 \(y = 2x + 1\) で、\(x = 3\) のときの \(y\) は

y 座標 \(y\) \(=\) 傾き（2） \(\times\) x 座標（3） \(+\) 切片（1）

\(y = 2 \times 3 + 1 = 7\)

考え方のポイント

一次関数とは、\(y = ax + b\)（\(a \neq 0\)）の形で表される関数のことで、グラフはまっすぐな直線になります。「一次」は、式に出てくる \(x\) が1乗（\(x^2\) や \(x^3\) が出てこない）という意味です。傾き \(a\) は「x が1増えるごとに y がいくつ変わるか」、切片 \(b\) は「スタート地点の高さ（x = 0 のときの y）」を表します。例えば「基本料金 \(b\) 円＋使った量 \(x\) に単価 \(a\) を掛けた分」という料金プランは、まさにこの式の形です。中学1年で習う比例 \(y = ax\) は、切片 \(b\) が 0 の（原点を通る）特別な一次関数です。

傾き \(a\)（変化の割合）を2点から求める

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(a\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 傾き \(a\)（変化の割合） \(=\) ① y の増加量 \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② x の増加量 \(\Delta x = x_2 - x_1\)

式を日本語で読むと

① y の増加量 \(\Delta y\)（縦にいくつ変わったか）を

② x の増加量 \(\Delta x\)（横にいくつ進んだか）で割ると

③ 傾き \(a\)（変化の割合）になる

簡単な例

2点 (1, 3)・(4, 9) を通る直線の傾き（変化の割合）は

傾き \(a\) \(=\) y の増加量（9 − 3 = 6） \(\div\) x の増加量（4 − 1 = 3）

\(a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2\)

考え方のポイント

「変化の割合」は中学2年の一次関数で習う言葉で、\(\dfrac{y \text{ の増加量}}{x \text{ の増加量}}\) のことです。一次関数ではこの値がどこで測っても一定で、それがそのまま傾き \(a\) になります（曲線ではどこで測るかによって変わります）。引き算の順番は分子と分母で揃えてください。点2から点1を引くなら両方ともその順にします。逆にすると符号が反対になってしまいます。なお、2点の x 座標が同じ（\(\Delta x = 0\)）ときは 0 で割ることになるため、傾きは定義できません。このときの2点を通る直線は y 軸に平行な縦の直線「x = 定数」で、一次関数のグラフにはなりません（この計算機はその場合も判定して説明します）。

切片 \(b\) を傾きと1点から求める

数学表記（一般的な数式）

\(b\) \(=\) \(y_1\) \(-\) \(a\) \(\times\) \(x_1\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 切片 \(b\) \(=\) ③ 通る点の y 座標 \(y_1\) \(-\) ① 傾き \(a\) \(\times\) ② 通る点の x 座標 \(x_1\)

式を日本語で読むと

① 傾き \(a\) に

② 通る点の x 座標 \(x_1\) を掛けたもの（x = 0 から点まで進む間に増えた y の量）を、

③ 通る点の y 座標 \(y_1\) から引くと

④ 切片 \(b\) になる

簡単な例

傾きが 2 で、点 (3, 7) を通る直線の切片は

切片 \(b\) \(=\) y 座標（7） \(-\) 傾き（2） \(\times\) x 座標（3）

\(b = 7 - 2 \times 3 = 1\)

\(y = 2x + 1\)

考え方のポイント

点 \((x_1,\ y_1)\) が直線の上にあるということは、式に代入した \(y_1 = a x_1 + b\) が成り立つということです。この式を \(b\) について解くと \(b = y_1 - a x_1\) になります。「2点から式を求める」ときも、先に傾き \(a\) を変化の割合で求めてしまえば、あとはこの式にどちらか1点を代入するだけです。つまりどちらのモードでも、最後の手順はこの式に行き着きます。

x 軸・y 軸との交点

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(x\) \(=\) \(-\) \(b\) \(\div\) \(a\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ x 軸との交点の x 座標 \(=\) \(-\) ① 切片 \(b\) \(\div\) ② 傾き \(a\)

式を日本語で読むと

① 切片 \(b\) の符号を反対にしたものを

② 傾き \(a\) で割ると

③ x 軸との交点の x 座標になる（y 軸との交点はそのまま \((0,\ b)\)）

簡単な例

\(y = 2x + 1\) と x 軸との交点は、\(y = 0\) を代入して

交点の x 座標 \(=\) \(-\) 切片（1） \(\div\) 傾き（2）

\(0 = 2x + 1\)

\(x = -\dfrac{1}{2}\)

考え方のポイント

x 軸との交点は「\(y = 0\) になる場所」なので、\(0 = ax + b\) を \(x\) について解いた \(x = -\dfrac{b}{a}\) が交点の x 座標です。方程式 \(ax + b = 0\) の解とグラフの交点が対応している、という一次関数の大事な見方です。 y 軸との交点は「\(x = 0\) になる場所」なので、代入すると \(y = b\) になります。つまり切片 \(b\) はそのまま「グラフが y 軸と交わる高さ」を表しています。傾きが 0（\(y = b\) の水平な直線）のときは、x 軸と平行になるため交点はありません（\(b = 0\) なら直線が x 軸そのものになります）。

一次関数 \(y = ax + b\) の式は、2点からなら傾き \(a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)（変化の割合）→ 切片 \(b = y_1 - a x_1\) の順で、傾きと1点からなら切片だけを求めれば決まります。切片 \(b\) は y 軸との交点の高さ、\(-\dfrac{b}{a}\) は x 軸との交点の x 座標です。

用語・記号の解説

記号

\(y = ax + b\)	ワイイコールエーエックスプラスビー	一次関数の一般的な形。\(a\) が傾き、\(b\) が切片です。高校以降は傾きを \(m\)（mountain や slope の m など由来には諸説あります）と書くことも多いですが、中学の教科書では \(a\) が標準です。
\(a\)	エー	傾き（変化の割合）。x が1増えるごとに y が増える量を表します。「決まった数」にはアルファベットの最初の方の文字 \(a,\ b,\ c\) を使う慣例があります。
\(b\)	ビー	切片。x = 0 のときの y の値で、グラフが y 軸と交わる高さです。
\(x_1,\ y_1\)	エックスイチ・ワイイチ	点1の座標。右下の小さい数字は添え字といい、「何番目の点の値か」を区別するための番号です（掛け算や指数ではありません）。
\(\Delta\)	デルタ	ギリシャ文字の大文字デルタ。差を意味する英語 difference の頭文字 D にあたる文字で、「変化量・増加量」を表す記号として使われます。\(\Delta x\) は x の増加量、\(\Delta y\) は y の増加量です。
\(\left(-\dfrac{b}{a},\ 0\right)\)	マイナスエー分のビー、ゼロ	x 軸との交点の座標。y 座標が 0 になる点で、x 座標は方程式 \(ax + b = 0\) を解いた \(-\dfrac{b}{a}\) です。
\((0,\ b)\)	ゼロ、ビー	y 軸との交点の座標。x 座標が 0 になる点で、y 座標は切片 \(b\) そのものです。

用語

一次関数	いちじかんすう	\(y = ax + b\)（\(a \neq 0\)）の形で表される関数。グラフはまっすぐな直線になります。「一次」は x が1乗という意味です。中学2年で習います。
関数	かんすう	数を入れると、決まったルールで数が1つ返ってくる対応関係のこと。「入力 \(x\) を入れると出力 \(y\) が出てくる機械」とイメージするとわかりやすく、例えば \(y = 2x + 1\) という機械に 3 を入れると 7 が出てきます。
傾き	かたむき	直線が「横に1進むごとに、縦にいくつ変わるか」を表す数。プラスなら右上がり、マイナスなら右下がり、0 なら水平な直線です。
変化の割合	へんかのわりあい	x の増加量に対する y の増加量の割合 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) のこと。一次関数ではどこで測っても一定で、傾き \(a\) と一致します。
切片	せっぺん	グラフが y 軸と交わる点の y 座標（x = 0 のときの y の値）。「y 切片」とも呼びます。一次関数 \(y = ax + b\) では \(b\) がこれにあたります。
比例	ひれい	\(y = ax\) の形の関係。x が2倍・3倍になると y も2倍・3倍になります。切片 \(b\) が 0 の（原点を通る）特別な一次関数です。中学1年で習います。
座標	ざひょう	点の位置を \((x,\ y)\) という数の組で表したもの。横の位置が x 座標、縦の位置が y 座標です。
座標平面	ざひょうへいめん	横の数直線（x 軸）と縦の数直線（y 軸）を直角に組み合わせた平面。グラフを描く方眼の世界です。
原点	げんてん	x 軸と y 軸が交わる点 \((0,\ 0)\) のこと。origin（起源・出発点）の頭文字から \(O\) と書きます。
交点	こうてん	2つの線が交わる点。このページでは、直線が x 軸・y 軸と交わる点を求めます。
増加量	ぞうかりょう	値がいくつ増えたかを表す量。「変化後 − 変化前」の引き算で求めます。減った場合はマイナスの増加量として扱います。
定数	ていすう	値が変わらない決まった数。「x = 2」のような式の 2 が定数で、x 座標が常に 2 の縦の直線を表します。
定数関数	ていすうかんすう	x の値に関係なく y の値が常に一定になる関数。式は \(y = b\) の形で、グラフは x 軸に平行な水平の直線です。一次関数 \(y = ax + b\) の \(a\) を 0 にした形ですが、中学の教科書では一次関数には含めません。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

正負の数（中学1年）	マイナスを含む引き算ができること（例：\(3 - (-1) = 4\)）マイナス同士・マイナスとプラスの掛け算・割り算の符号のルールがわかること（例：\((-3) \times 2 = -6\)）
座標平面（中学1年）	点の位置を \((x,\ y)\) の組で表せること（例：点 \((2,\ 3)\) は「右に2・上に3」の位置） x 軸・y 軸・原点がどこかわかること
比例（中学1年）	比例 \(y = ax\) のグラフが原点を通る直線になることを知っていること比例定数 \(a\) が「x が1増えたときの y の増え方」を表すとわかること
文字式と方程式（中学1年）	\(y_1 = a x_1 + b\) のような文字の式に数を代入して計算できること \(0 = 2x - 6\) のような一次方程式を解けること（x 軸との交点を求めるときに使います）
分数の計算（小学5年〜中学1年）	\(\dfrac{6}{3} = 2\) のような約分ができること答えを分数のまま扱うことに慣れていること（\(\dfrac{3}{2}\) を 1.5 と直せること）

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「2点から一次関数の式」を求める表

点1の x 座標 x1	1
点1の y 座標 y1	3
点2の x 座標 x2	4
点2の y 座標 y2	9
傾き a（変化の割合）	=(B4-B2)/(B3-B1)
切片 b	=B2-B5*B1
x 軸との交点の x 座標	=-B6/B5

「傾きと1点から一次関数の式」を求める表

傾き a	2
通る点の x 座標 x1	3
通る点の y 座標 y1	7
切片 b	=B3-B1*B2
y の値を知りたい x	5
そのときの y の値	=B1*B5+B4

「x 軸・y 軸との交点」を求める表

傾き a	2
切片 b	1
x 軸との交点の x 座標	=-B2/B1
y 軸との交点の y 座標	=B2

貼り付けると、上の行（座標や傾き）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
1つ目の表は2点 (1, 3)・(4, 9) から式を求める例で、傾き a は 2、切片 b は 1（直線の式は y = 2x + 1）、x 軸との交点の x 座標は −0.5 になります。「/」は割り算、「*」は掛け算の記号です。
2つ目の表は傾き 2 と点 (3, 7) から求める例で、切片 b は 1、x = 5 のときの y は 11 になります。
3つ目の表は式（傾きと切片）から交点だけを求める表です。2点の x 座標が同じ場合は割り算の分母が 0 になりエラー表示（#DIV/0!）になります。これは傾きが定義できない（一次関数にならない）ことに対応しています。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「2点から一次関数の式」を求める表

点1の x 座標 x1	1
点1の y 座標 y1	3
点2の x 座標 x2	4
点2の y 座標 y2	9
傾き a（変化の割合）	=(B4-B2)/(B3-B1)
切片 b	=B2-B5*B1
x 軸との交点の x 座標	=-B6/B5

「傾きと1点から一次関数の式」を求める表

傾き a	2
通る点の x 座標 x1	3
通る点の y 座標 y1	7
切片 b	=B3-B1*B2
y の値を知りたい x	5
そのときの y の値	=B1*B5+B4

「x 軸・y 軸との交点」を求める表

傾き a	2
切片 b	1
x 軸との交点の x 座標	=-B2/B1
y 軸との交点の y 座標	=B2

Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、座標や傾きを自分の数値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

from fractions import Fraction

# 2点の座標（3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける）
x1, y1 = Fraction(1), Fraction(3)
x2, y2 = Fraction(4), Fraction(9)

slope = (y2 - y1) / (x2 - x1)   # 傾き a（変化の割合）= Δy ÷ Δx
intercept = y1 - slope * x1     # 切片 b = y1 − a×x1

print(f"傾き a = {slope}")
print(f"切片 b = {intercept}")
print(f"直線の式: y = {slope}x + {intercept}")
if slope != 0:
    print(f"x軸との交点: ({-intercept / slope}, 0)")
print(f"y軸との交点: (0, {intercept})")

x_value = Fraction(5)           # y の値を知りたい x
print(f"x = {x_value} のとき y = {slope * x_value + intercept}")

標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、小数の丸め誤差なしの厳密な分数のまま計算できます。この例は2点 (1, 3)・(4, 9) から式を求めるもので、実行すると傾き 2・切片 1（y = 2x + 1）、x 軸との交点 (-1/2, 0)、x = 5 のときの y = 11 が表示されます。座標を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

一次関数の式 \(y = ax + b\)

y = ax + b

y = ax + b

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
  </mrow>
</math>

y = a x + b

y == a x + b

y := a*x + b;

y = a*x + b;

y = ax + b

傾き \(a\)（変化の割合）を2点から求める

a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

(y2 - y1)/(x2 - x1)

a := (y2 - y1)/(x2 - x1);

a = (y2 - y1)/(x2 - x1);

a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)

切片 \(b\) を傾きと1点から求める

b = y₁ − ax₁

b = y_1 - a x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>a</mi>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

b = y_1 - a x_1

y1 - a x1

b := y1 - a*x1;

b = y1 - a*x1;

b = y_1 - a x_1

x 軸・y 軸との交点

x = −b ÷ a

x = -\frac{b}{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b/a

-b/a

x := -b/a;

x = -b/a;

x = −b/a

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは数学（一次関数）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

2点 (1, 3)・(4, 9) を通る一次関数 y = ax + b の式を求めてください。
次の内容をそれぞれ示してください。
1. 傾き a（変化の割合）。Δy/Δx の途中式付きで
2. 切片 b
3. 直線の式 y = ax + b
4. x軸との交点と y軸との交点の座標
5. x = 5 のときの y の値

Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。答えが分数になる場合は約分済みの分数で示してください。