2つの独立な事象の確率

互いに影響しない（独立な）2つの出来事それぞれの確率から、「両方起こる」「少なくとも一方が起こる」などの確率をまとめて計算します。確率は0〜1の数値で入力してください（例：30%なら 0.3）。

事象Aが起こる確率 P(A)

事象Bが起こる確率 P(B)

確率は0〜1の数値で入力してください（例：30%なら 0.3）。

計算結果・図形

左の入力欄に2つの確率を入れて「計算する」を押すと、ここに結果が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
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このページでできること

2つの出来事（事象）それぞれの確率を入れるだけで、「両方起こる確率 \(P(A \cap B)\)」「少なくとも一方が起こる確率 \(P(A \cup B)\)」がその場でわかります
「どちらか一方だけが起こる確率 \(P(A \Delta B)\)」「どちらも起こらない確率」「Aだけが起こる確率」なども同時にまとめて計算します
「旅行の1日目に晴れる確率が50%、2日目に晴れる確率が30%のとき、両日とも晴れる確率は？」のような計算が一発でできます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

使えるのは、2つの出来事が互いに影響しない（独立な）場合です。サイコロとコインのように片方の結果がもう片方に関係しないものはOKですが、「くじを戻さずに2回引く」のように一方の結果でもう一方の確率が変わる場合には使えません。

この計算は何の役に立つ？

旅行やイベントの「2日とも晴れる確率」を見積もる

1日目に晴れる確率が50%、2日目に晴れる確率が30%なら、2日とも晴れる確率は \(0.5 \times 0.3 = 0.15\)（15%）しかありません（2日の天気が独立だと単純化した場合の概算です）。
「両方うまくいく」確率は、それぞれの確率を掛け算するので、思っているよりずっと小さくなりがちです。この感覚を数字で持っておくと、予定の立て方が変わります。

併願の「少なくとも一方に受かる確率」を考える（受験・就活・抽選）

合格の見込みが50%の第一志望と、30%の併願先を受けるとき、少なくとも一方に受かる確率は \(0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65\)（65%）です（合否が互いに独立だと単純化した場合）。
人生の大きな選択で「持ち駒を増やすと全体の成功率がどれくらい上がるのか」を、感覚ではなく数字で確かめられます。

バックアップの安心度を数字で確かめる（データ・防災）

1年間に壊れる確率が1%のディスク2台に同じデータを保存すると、両方同時に失う確率は \(0.01 \times 0.01 = 0.0001\)（1万分の1）まで下がります（故障が独立な場合）。
「備えを2重にすると、リスクは掛け算で小さくなる」——この原理は、写真データのバックアップから防災用品の分散保管まで、あらゆる備えの基本になっています。

医療の説明を正しく読み取る（手術や治療の複合リスク）

「手術の成功率は90%、術後に合併症が起こらない確率は95%」と説明されたとき、両方ともうまくいく確率は \(0.9 \times 0.95 = 0.855\)（85.5%）です（2つが独立とみなせる場合の目安です）。
治療の選択のような人生でクリティカルな判断では、複数の確率が重なったときの「全体の見通し」を自分で計算できることが、納得して意思決定するための力になります。

製品の品質管理（複数の部品がすべて良品である確率）

良品率99%の部品を2つ使う製品で、2つとも良品である確率は \(0.99 \times 0.99 = 0.9801\)（98.01%）です。
製造業の品質管理担当者は、この計算を部品の数だけ積み重ねて製品全体の合格率を見積もり、部品ごとに許される不良率を逆算しています。

式と図

余事象（Aが起こらない確率）

図

数学表記（一般的な数式）

\(P(\overline{A})\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(A)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ Aが起こらない確率 \(P(\overline{A})\) \(=\) ① 全体の確率 \(1\) \(-\) ② Aが起こる確率 \(P(A)\)

式を日本語で読むと

① 全体の確率 \(1\) から

② Aが起こる確率 \(P(A)\) を引くと

③ Aが起こらない確率 \(P(\overline{A})\) になる

簡単な例

くじが当たる確率が0.2のとき、外れる確率は

外れる確率 \(P(\overline{A})\) \(=\) 全体の確率 \(1\) \(-\) 当たる確率（0.2）

\(1 - 0.2 = 0.8\ \ (80\%)\)

考え方のポイント

「起こる確率」と「起こらない確率」を合わせると必ず全体の確率1になります。だから、1から「起こる確率」を引けば「起こらない確率」がわかります。Aの上に横棒を書いた \(\overline{A}\) が「Aが起こらない」という事象（余事象）の記号です。

積事象（AとBが両方起こる確率）

図

数学表記（一般的な数式）

\(P(A \cap B)\) \(=\) \(P(A)\) \(\times\) \(P(B)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ AとBが両方起こる確率 \(P(A \cap B)\) \(=\) ① Aが起こる確率 \(P(A)\) \(\times\) ② Bが起こる確率 \(P(B)\)

式を日本語で読むと

① Aが起こる確率 \(P(A)\) に

② Bが起こる確率 \(P(B)\) を掛けると

③ AとBが両方起こる確率 \(P(A \cap B)\) になる

簡単な例

旅行の1日目に晴れる確率が0.5、2日目に晴れる確率が0.3のとき、両日とも晴れる確率は

両日とも晴れる確率 \(P(A \cap B)\) \(=\) 1日目に晴れる確率（0.5） \(\times\) 2日目に晴れる確率（0.3）

\(0.5 \times 0.3 = 0.15\ \ (15\%)\)

考え方のポイント

なぜ「かつ」は掛け算なのか——Aが起こるのは全体のうち \(P(A)\) の割合、その中でさらにBも起こるのは \(P(B)\) の割合です。「割合の中の割合」なので掛け算になります。50%のうちの30%は、\(0.5 \times 0.3 = 0.15\)（15%）です。上の図の右側の正方形は、全体を面積1の正方形とみなして、横幅を \(P(A)\)、縦の高さを \(P(B)\) にとったものです。「AもBも起こる」のは左下の長方形で、その面積が \(P(A) \times P(B)\) になります。左のベン図は「どの部分か」を示す図で、円の面積は確率の大きさとは対応していません。ただしこの式が使えるのは、AとBが互いに影響しない（独立な）場合だけです。「くじを戻さずに2回引く」のように一方の結果でもう一方の確率が変わる場合には使えません。

和事象（AまたはBの少なくとも一方が起こる確率）

図

数学表記（一般的な数式）

\(P(A \cup B)\) \(=\) \(P(A)\) \(+\) \(P(B)\) \(-\) \(P(A \cap B)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 少なくとも一方が起こる確率 \(P(A \cup B)\) \(=\) ① Aが起こる確率 \(P(A)\) \(+\) ② Bが起こる確率 \(P(B)\) \(-\) ③ 両方起こる確率 \(P(A \cap B)\)

式を日本語で読むと

① Aが起こる確率 \(P(A)\) と

② Bが起こる確率 \(P(B)\) を足して

③ 両方起こる確率 \(P(A \cap B)\) を1回分引くと

④ 少なくとも一方が起こる確率 \(P(A \cup B)\) になる

簡単な例

1日目に晴れる確率が0.5、2日目に晴れる確率が0.3のとき（両日とも晴れる確率は 0.5 × 0.3 = 0.15）、どちらか1日でも晴れる確率は

どちらか1日でも晴れる確率 \(P(A \cup B)\) \(=\) 1日目に晴れる確率（0.5） \(+\) 2日目に晴れる確率（0.3） \(-\) 両日とも晴れる確率（0.15）

\(0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65\ \ (65\%)\)

考え方のポイント

なぜ \(P(A \cap B)\) を引くのか——\(P(A) + P(B)\) と単純に足すと、「両方起こる場合」がAの分とBの分で2回数えられてしまいます。そのダブりの1回分 \(P(A \cap B)\) を引いて調整します。この数え方のルールを包除原理といいます。

対称差（どちらか一方だけが起こる確率）

図

数学表記（一般的な数式）

\(P(A \Delta B)\) \(=\) \(P(A)\) \(+\) \(P(B)\) \(-\) \(2P(A \cap B)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ どちらか一方だけが起こる確率 \(P(A \Delta B)\) \(=\) ① Aが起こる確率 \(P(A)\) \(+\) ② Bが起こる確率 \(P(B)\) \(-\) ③ 両方起こる確率 \(P(A \cap B)\) の2回分

式を日本語で読むと

① Aが起こる確率 \(P(A)\) と

② Bが起こる確率 \(P(B)\) を足して

③ 両方起こる確率 \(P(A \cap B)\) の2回分を引くと

④ どちらか一方だけが起こる確率 \(P(A \Delta B)\) になる

簡単な例

事象Aが起こる確率が0.5、事象Bが起こる確率が0.4のとき（両方起こる確率は 0.5 × 0.4 = 0.2）、どちらか一方だけが起こる確率は

どちらか一方だけが起こる確率 \(P(A \Delta B)\) \(=\) Aが起こる確率（0.5） \(+\) Bが起こる確率（0.4） \(-\) 両方起こる確率（0.2）の2回分

\(0.5 + 0.4 - 2 \times 0.2 = 0.5\ \ (50\%)\)

考え方のポイント

和事象（少なくとも一方）にはダブりを1回分だけ引いて「両方起こる場合」を残しましたが、対称差では「両方起こる場合」をまるごと除きたいので、2回数えられているダブりを2回分引きます。

独立な2つの事象では、「かつ（両方）」は掛け算、「または（少なくとも一方）」は足し算からダブりを引く、というのが基本ルールです。

用語・記号の解説

記号

\(P(A)\)	ピー・エー	事象Aが起こる確率。Pは確率を意味する英語 Probability の頭文字です。
\(\overline{A}\)	エー・バー（余事象）	Aの上に横棒を書いて「Aが起こらない」という事象（余事象）を表します。\(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\) で求められます。
\(\cap\)	キャップ（共通部分）	「かつ」を表す記号。\(A \cap B\) は「AとBが両方起こる」という事象です。ベン図では2つの円の重なった部分にあたります。
\(\cup\)	カップ（和集合）	「または」を表す記号。\(A \cup B\) は「AとBの少なくとも一方が起こる」という事象です。ベン図では2つの円を合わせた全体にあたります。
\(\Delta\)	デルタ（対称差）	「どちらか一方だけ」を表す記号。\(A \Delta B\) は「AかBのどちらか一方だけが起こる（両方は起こらない）」という事象です。

用語

事象	じしょう	「サイコロで6が出る」「明日雨が降る」のような、起こるか起こらないかが決まる出来事のこと。数学では出来事のことを「事象」と呼び、AやBという名前を付けて扱います。
独立	どくりつ	一方の結果がもう一方の起こりやすさに影響しないこと。サイコロの出目とコインの表裏は独立ですが、「くじを戻さずにもう1回引く」場合は1回目の結果で2回目の確率が変わるので独立ではありません。この計算機は独立な場合専用です。
余事象	よじしょう	その出来事が「起こらない」という反対側の事象のこと。起こる確率が0.2なら、起こらない確率（余事象の確率）は \(1 - 0.2 = 0.8\) です。
積事象	せきじしょう	2つの事象が「両方起こる」こと。記号は \(A \cap B\)（「AかつB」と読みます）。独立な事象同士なら、確率は掛け算 \(P(A) \times P(B)\) で求められます。
和事象	わじしょう	2つの事象の「少なくとも一方が起こる」こと。記号は \(A \cup B\)（「AまたはB」と読みます）。確率は足してからダブりの \(P(A \cap B)\) を1回分引いて求めます。
対称差	たいしょうさ	2つの事象のうち「どちらか一方だけが起こる（両方は起こらない）」こと。記号は \(A \Delta B\) です。排他的論理和（XOR）とも呼ばれます。
排反	はいはん	2つの事象が同時には起こらないこと。例：1回のサイコロで「偶数が出る」と「奇数が出る」は排反です。「独立」とは別の概念なので注意してください。
包除原理	ほうじょげんり	「または」の確率を数えるとき、単純に足すと両方起こる場合が2回数えられるので、ダブりを1回分引く、という数え方のルール。和事象の式 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) の土台です。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

確率の基礎（中学2年）	どの場合も同じ程度に起こりやすいとき、確率を（当てはまる場合の数）÷（すべての場合の数）で求められること確率は0から1の間の数になり、すべての場合の確率を合わせると1になること
割合・百分率（小学5年）	30%を0.3のように、百分率と小数を行き来できること「0.5のうちの0.3」のような「割合の割合」が、掛け算で求められること
分数の掛け算（小学6年）	\(\frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}\) のように、分数同士の掛け算ができること
集合とベン図（高校数学I・A）	2つの円が重なった図（ベン図）で、「かつ＝重なった部分」「または＝2つの円を合わせた全体」を区別できること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「Aが起こらない確率（余事象）」を求める表

事象Aが起こる確率 P(A)	0.2
Aが起こらない確率 P(A̅)	=1-B1

AとBが「両方起こる確率」を求める表

事象Aが起こる確率 P(A)	0.5
事象Bが起こる確率 P(B)	0.3
両方起こる確率 P(A∩B)	=B1*B2

AまたはBが「少なくとも一方起こる確率」を求める表

事象Aが起こる確率 P(A)	0.5
事象Bが起こる確率 P(B)	0.3
少なくとも一方が起こる確率 P(A∪B)	=B1+B2-B1*B2

「どちらか一方だけが起こる確率（対称差）」を求める表

事象Aが起こる確率 P(A)	0.5
事象Bが起こる確率 P(B)	0.3
どちらか一方だけが起こる確率 P(AΔB)	=B1+B2-2B1B2

貼り付けると、A列に項目名、B列に数値が入ります。上の行が入力欄で、最後の行の数式が入力欄の値を使って自動計算します。
数式の中の「B1」「B2」は「そのセルに入っている数値を使う」という意味で、「*」は掛け算の記号です。入力欄の数値を自分の確率に書き換えるだけでそのまま使えます。
例えば2つ目の表なら、B3に 0.5 × 0.3 = 0.15 と表示されます。1つ目の余事象の表だけは入力欄がB1の1つで、結果はB2に出ます。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「Aが起こらない確率（余事象）」を求める表

事象Aが起こる確率 P(A)	0.2
Aが起こらない確率 P(A̅)	=1-B1

AとBが「両方起こる確率」を求める表

事象Aが起こる確率 P(A)	0.5
事象Bが起こる確率 P(B)	0.3
両方起こる確率 P(A∩B)	=B1*B2

AまたはBが「少なくとも一方起こる確率」を求める表

事象Aが起こる確率 P(A)	0.5
事象Bが起こる確率 P(B)	0.3
少なくとも一方が起こる確率 P(A∪B)	=B1+B2-B1*B2

「どちらか一方だけが起こる確率（対称差）」を求める表

事象Aが起こる確率 P(A)	0.5
事象Bが起こる確率 P(B)	0.3
どちらか一方だけが起こる確率 P(AΔB)	=B1+B2-2B1B2

Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付けると、上の行が入力欄、最後の行が自動計算の結果になります。
入力欄の数値を自分の確率に書き換えるだけでそのまま使えます。

Pythonで計算する方法

p_a = 0.5   # 事象Aが起こる確率
p_b = 0.3   # 事象Bが起こる確率

p_both = p_a * p_b                       # 両方起こる P(A∩B)
p_at_least_one = p_a + p_b - p_both      # 少なくとも一方 P(A∪B)
p_exactly_one = p_a + p_b - 2 * p_both   # どちらか一方だけ P(AΔB)
p_neither = 1 - p_at_least_one           # どちらも起こらない

print(f"両方起こる確率: {p_both}")
print(f"少なくとも一方が起こる確率: {p_at_least_one}")
print(f"どちらか一方だけが起こる確率: {p_exactly_one}")
print(f"どちらも起こらない確率: {p_neither}")

標準ライブラリだけで動きます。先頭の p_a と p_b の値を、計算したい確率に書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

余事象（Aが起こらない確率）

P(A̅) = 1 − P(A)

P(\overline{A}) = 1 - P(A)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo>
    <mover><mi>A</mi><mo>&#x203E;</mo></mover>
    <mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(bar A) = 1 - P(A)

1 - pA

pNotA := 1 - pA;

p_not_a = 1 - p_a;

P(A̅) = 1 - P(A)

積事象（AとBが両方起こる確率）

P(A∩B) = P(A) × P(B)

P(A \cap B) = P(A) \times P(B)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>&#x2229;</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(A nn B) = P(A) xx P(B)

pA*pB

pAandB := pA*pB;

p_a_and_b = p_a*p_b;

P(A∩B) = P(A) × P(B)

和事象（AまたはBの少なくとも一方が起こる確率）

P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>&#x222A;</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>&#x2229;</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B)

pA + pB - pA*pB

pAorB := pA + pB - pA*pB;

p_a_or_b = p_a + p_b - p_a*p_b;

P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)

対称差（どちらか一方だけが起こる確率）

P(AΔB) = P(A) + P(B) − 2P(A∩B)

P(A \Delta B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>&#x394;</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>&#x2229;</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

P(A Delta B) = P(A) + P(B) - 2 P(A nn B)

pA + pB - 2*pA*pB

pAxorB := pA + pB - 2*pA*pB;

p_a_xor_b = p_a + p_b - 2*p_a*p_b;

P(AΔB) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは確率の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

事象Aが起こる確率は0.5、事象Bが起こる確率は0.3で、AとBは独立です。
次の値をそれぞれ求めてください。
1. AとBが両方起こる確率 P(A∩B)
2. AまたはB（少なくとも一方）が起こる確率 P(A∪B)
3. どちらか一方だけが起こる確率 P(AΔB)
4. どちらも起こらない確率

計算に使った式と、実行結果の数値を表形式で示してください。