外積（ベクトル積）計算機（成分・平行四辺形の面積・法線ベクトル）

2つのベクトル a・b の成分を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、縦に並んだ数字の部分を直接書き換えても計算できます。平面のベクトルを扱うときは、z成分の欄を空欄（0）にしてください。

ベクトルaのx成分 a₁

ベクトルaのy成分 a₂

ベクトルaのz成分 a₃

ベクトルbのx成分 b₁

ベクトルbのy成分 b₂

ベクトルbのz成分 b₃

数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。空欄の成分は 0 として扱います。

計算結果・図形

左の入力欄に2つのベクトルの成分を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と3Dの図が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

空間ベクトル \(\vec{a}\)・\(\vec{b}\) の成分を入れるだけで、外積（ベクトル積）\(\vec{a}\times\vec{b}\) の成分を、たすき掛けの途中式つきで計算できます
外積の大きさ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)（＝2つのベクトルが作る平行四辺形の面積）を、\(3\sqrt{6}\) のような根号のままの厳密値と小数の両方で表示します。三角形の面積（その半分）も同時に計算します
\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の両方に垂直な単位法線ベクトル \(\vec{n}\)、2つのベクトルのなす角 \(\theta\)、内積が0になること（垂直の確認）もまとめて出せます
計算結果はマウスでぐるぐる回せる3Dの図でも表示され、外積が平行四辺形に垂直に立つ向き（右手系）を目で確かめられます
成分には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます。z成分を空欄（0）にすれば、平面ベクトルの計算にも使えます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

外積は空間（3次元）のベクトルだけに定義される計算です。平面のベクトルは z 成分を 0 とみなして計算し、そのとき外積は z 成分だけが残ります。なお外積は、高校の数学Cのベクトルでは本文の範囲外で、載っていても「発展」やコラムの扱いです（本文で扱うのは内積まで）。定期テストや入試で外積を使ってよいかは学校の方針によるので、答案に書く前に先生に確認してください。大学の理工系や物理・3DCGでは、最初に習う基本の道具です。

この計算は何の役に立つ？

3DCG・ゲームの陰影（面がどちらを向いているかを求める）

ゲームや映画の3D映像では、物体の表面をたくさんの三角形に分けて描いています。その1枚1枚が「どちらを向いているか」を表す法線ベクトルは、三角形の2辺のベクトルの外積として計算されます。光の向きと法線ベクトルの関係から、その面が明るく見えるか暗く見えるかが決まります。
曲面がなめらかに光って見えるのも、面ごとの法線ベクトルをもとに陰影を計算しているからです。

ボルトを締める力・レンチの効き（力のモーメント）

回転させる力の強さを表す量を力のモーメント（トルク）といい、回転の中心から力を加える点までのベクトルと、加えた力のベクトルの外積で表されます。外積の大きさが \(|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta\) であることは、「柄の長いレンチほど楽に回せる」「柄と直角に力を加えるのが一番効く」という日常の感覚とぴったり合います。
自動車の整備でボルトの締めつけをトルクレンチで管理するのも、この量を数値で確かめるためです。

モーターが回る仕組み（磁場から受ける力）

磁場の中を流れる電流は、電流の向きと磁場の向きの両方に垂直な力を受けます。この力の向きと大きさは、電流の向きと強さを表すベクトルと、磁場のベクトルの外積で表されます（電子1個のような電荷なら、その速度のベクトルと磁場のベクトルの外積になります）。モーターが回り、スピーカーの振動板が動くのは、この垂直に働く力のおかげです。
中学・高校で習う「フレミングの左手の法則」は、この外積の向きを手の形で覚えるための道具です。

測量・土地の面積計算（座標から面積を出す）

土地や敷地の面積は、境界の点の座標を測って計算します。多角形の頂点を順にたどりながら、隣り合う2点ごとに \(x_1y_2 - x_2y_1\) を計算して足し合わせ、最後にその合計の絶対値を半分にすると、辺の長さを1本ずつ測らなくても面積が求められます。ここでは1つずつ絶対値を取らず、符号を付けたまま足すのが大切です。そうすると、はみ出した分が自動的に打ち消し合い、へこんだ形の土地でも正しい面積になります。これは外積の \(z\) 成分（符号付き面積）を使った計算で、測量では座標法と呼ばれています。
登記や区画整理で使われる面積も、この考え方で計算されています。

ドローン・ロボットの姿勢制御（回転の軸を作る）

「今向いている方向」から「向きたい方向」へ機体を回すには、どの軸の周りに何度回せばよいかを決める必要があります。2つの向きのベクトルの外積を取ると、両方に垂直なベクトル、つまり回転の軸そのものが得られます。回す角度のほうは、外積の大きさ（\(\sin\theta\) にあたる部分）と内積（\(\cos\theta\) にあたる部分）を組み合わせて求めます。
ドローンの姿勢制御や、3Dアニメーションでキャラクターの首や腕を目標へ向ける処理で使われている考え方です。

式と図

外積（ベクトル積）の成分（たすき掛け）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(,\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(,\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 外積 \(\vec{a}\times\vec{b}\) \(=\) \((\) ① \(x\) 成分（\(y\) と \(z\) をたすき掛けした差） \(,\) ② \(y\) 成分（\(z\) と \(x\) をたすき掛けした差） \(,\) ③ \(z\) 成分（\(x\) と \(y\) をたすき掛けした差） \()\)

式を日本語で読むと

① \(\vec{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)\)、\(\vec{b} = (b_1,\ b_2,\ b_3)\) とすると、まず \(x\) 成分は、\(y\) と \(z\) をたすき掛けした差 \(a_2b_3 - a_3b_2\) を作り

② \(y\) 成分は、\(z\) と \(x\) をたすき掛けした差 \(a_3b_1 - a_1b_3\) を作り

③ \(z\) 成分は、\(x\) と \(y\) をたすき掛けした差 \(a_1b_2 - a_2b_1\) を作って

④ この3つを成分として並べたベクトルが外積 \(\vec{a}\times\vec{b}\) になる

簡単な例

\(\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)\)、\(\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)\) の外積は

外積 \(\vec{a}\times\vec{b}\) \(=\) \((\) \(x\) 成分（\(2 \times 6 - 3 \times 5\)） \(,\) \(y\) 成分（\(3 \times 4 - 1 \times 6\)） \(,\) \(z\) 成分（\(1 \times 5 - 2 \times 4\)） \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 5,\ \ 3 \times 4 - 1 \times 6,\ \ 1 \times 5 - 2 \times 4)\)

\(= (12 - 15,\ \ 12 - 6,\ \ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)\)

考え方のポイント

3つの成分は、いちいち覚えなくても「たすき掛け」で作れます。まず \(x \to y \to z \to x \to y \to z\) と輪のようにひと回りする順番を思い浮かべます（このような順番を巡回といいます）。求めたい成分の文字を隠し、その次から2文字を読むと、\(x\) 成分なら \(y,\ z\)、\(y\) 成分なら \(z,\ x\)、\(z\) 成分なら \(x,\ y\) です。その2文字の行だけを縦に2段並べて書き、右下がりに掛けた積から右上がりに掛けた積を引きます。上の図がその手順です。 \(y\) 成分だけが \(a_3b_1 - a_1b_3\) と、他とは逆向きに見えるのは、読む順番が \(x,\ z\) ではなく \(z,\ x\) だからです。ここで順番を取り違えると、\(y\) 成分だけ符号が反対になってしまいます。なお \(\vec{b} \times \vec{a}\) は \(\vec{a} \times \vec{b}\) と符号が反対になります（\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)）。掛ける順番を入れ替えると答えが変わるので、内積とは違って順番が大切です。

外積の大きさ（\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\) \(=\) \(\left| \vec{a} \right|\) \(\left| \vec{b} \right|\) \(\sin\theta\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 外積の大きさ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) \(=\) ① \(\vec{a}\) の大きさ \(|\vec{a}|\) ② \(\vec{b}\) の大きさ \(|\vec{b}|\) ③ なす角 \(\theta\) の正弦 \(\sin\theta\)

式を日本語で読むと

① \(\vec{a}\) の大きさ \(|\vec{a}|\) に

② \(\vec{b}\) の大きさ \(|\vec{b}|\) を掛け、さらに

③ 2つのベクトルのなす角 \(\theta\) の正弦 \(\sin\theta\) を掛けると

④ 外積の大きさ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) になる

簡単な例

大きさ4のベクトルと大きさ3のベクトルが30度の角をなすとき、外積の大きさは

外積の大きさ \(=\) \(\vec{a}\) の大きさ（4） \(\vec{b}\) の大きさ（3） \(\sin 30^\circ\)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = 4 \times 3 \times \sin 30^\circ = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6\)

考え方のポイント

平行四辺形の面積は「底辺 × 高さ」で求められます。底辺を \(|\vec{a}|\) とすると、高さは \(|\vec{b}|\sin\theta\) です（上の図の点線）。だから \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) は、そのまま平行四辺形の面積を表しています。なす角 \(\theta\) は0度から180度までの範囲で考えます。この範囲では \(\sin\theta\) が必ず0以上なので、\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) がマイナスになることはなく、そのまま長さ・面積として意味を持ちます（\(\cos\theta\) は90度を超えるとマイナスになるため、内積のほうは負の値にもなります）。内積が \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) だったのに対して、外積の大きさは \(\sin\theta\) を使います。2つのベクトルが同じ向き（\(\theta = 0^\circ\)）でも正反対の向き（\(\theta = 180^\circ\)）でも \(\sin\theta = 0\) となり、外積は零ベクトルになります。直角（\(\theta = 90^\circ\)）だと \(\sin\theta = 1\) で最大です。「平行だと0・直角だと最大」という、内積とちょうど反対の性質です。この式は角度がわかっているときの計算に便利ですが、成分がわかっているときは、たすき掛け（式1）で成分を出してから大きさを求めるほうが速く、しかも角度の誤差が入りません。この計算機も成分から厳密に計算しています。

平行四辺形の面積と三角形の面積

図

数学表記（一般的な数式）

\(S\) \(=\) \(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② 平行四辺形の面積 \(S\) \(=\) ① 外積の大きさ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)

④ 三角形の面積 \(S_{\triangle}\) \(=\) ③ 外積の大きさの半分

式を日本語で読むと

① 2つのベクトルを2辺とする平行四辺形を考えると、外積の大きさ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) が、そのまま

② 平行四辺形の面積 \(S\) になり

③ 外積の大きさの半分が

④ 2つのベクトルを2辺とする三角形の面積 \(S_{\triangle}\) になる

簡単な例

\(\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)\)、\(\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)\) が作る平行四辺形と三角形の面積は（外積は式1で求めた \((-3,\ 6,\ -3)\)）

平行四辺形の面積 \(=\) 外積 \((-3,\ 6,\ -3)\) の大きさ

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \fallingdotseq 7.34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \fallingdotseq 3.67423461417\)

考え方のポイント

平行四辺形は、対角線で切ると合同な三角形2つに分かれます。だから三角形の面積は平行四辺形のちょうど半分です。空間の3点 A・B・C が作る三角形の面積を求めたいときは、\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) と \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) の外積を作り、その大きさを半分にします。3辺の長さを測ってヘロンの公式を使わなくても、座標さえわかれば面積が出せるのが外積の強みです。大きさは \(\sqrt{54}\) のように根号の中が大きくなりがちですが、\(54 = 9 \times 6\) のように平方数を見つけて \(3\sqrt{6}\) と簡単にします（根号の外に出せる数は外に出す約束です）。この計算機も、簡単にした根号の形と小数の両方を表示します。

単位法線ベクトル（両方に垂直で大きさ1のベクトル）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 単位法線ベクトル \(\vec{n}\) \(=\) ② 外積の大きさで割る（長さを1にそろえる） ① 外積 \(\vec{a}\times\vec{b}\)

式を日本語で読むと

① 外積 \(\vec{a}\times\vec{b}\) を

② 外積の大きさ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) で割る（＝大きさの逆数を掛ける）と、向きはそのままで長さだけ1になり

③ 単位法線ベクトル \(\vec{n}\) が得られる

簡単な例

外積が \((-3,\ 6,\ -3)\)、その大きさが \(3\sqrt{6}\) のとき、単位法線ベクトルは

単位法線ベクトル \(\vec{n}\) \(=\) 大きさ \(3\sqrt{6}\) で割る外積 \((-3,\ 6,\ -3)\)

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}(-3,\ 6,\ -3) \fallingdotseq (-0.408248290464,\ 0.816496580928,\ -0.408248290464)\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = 0\)

考え方のポイント

外積は、もとの2つのベクトルの両方に垂直です。実際に内積を計算すると、必ず \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\)、\(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) になります（内積が0＝垂直）。この計算機も、計算結果の欄でこの2つが0になることを確かめて表示します。平面に垂直なベクトルを法線ベクトルといい、そのうち大きさを1にそろえたものが単位法線ベクトルです。長さの情報を捨てて向きだけを取り出したもので、3DCGの陰影計算のように「面がどちらを向いているか」だけが必要な場面で使われます。垂直な向きは表と裏の2通りありますが、そのどちらになるかは右手で決まります。右手の指を \(\vec{a}\) から \(\vec{b}\) へ回すように曲げたとき、親指の向きが \(\vec{a}\times\vec{b}\) の向きです（右手の法則）。\(\vec{b}\times\vec{a}\) は反対向き、つまり平面の裏側を向きます。したがって、1つの平面に対する単位法線ベクトルは \(\vec{n}\) と \(-\vec{n}\) の2つあり、どちらも「大きさ1で平面に垂直」という条件を満たします。どちらが出てくるかは \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) を掛ける順番しだいで、この計算機は \(\vec{a}\times\vec{b}\) のほうの向きを表示します。答えを1つに決めたいときは「\(z\) 成分が正になるほう」のように向きの条件を自分で決めます。

平面のベクトルの場合（三角形の面積の公式）

図

数学表記（一般的な数式）

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 三角形 OAB の面積 \(S_{\triangle}\) \(=\) ③ 平行四辺形の半分にする \(\Bigl|\) ① 点Aの \(x\) 座標と点Bの \(y\) 座標の積 \(-\) ② 点Bの \(x\) 座標と点Aの \(y\) 座標の積 \(\Bigr|\)

式を日本語で読むと

① 平面上の3点 \(\mathrm{O}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{A}(x_1,\ y_1)\)、\(\mathrm{B}(x_2,\ y_2)\) について、点Aの \(x\) 座標と点Bの \(y\) 座標の積 \(x_1y_2\) から

② 点Bの \(x\) 座標と点Aの \(y\) 座標の積 \(x_2y_1\) を引き、その絶対値（マイナスが付いたら外す）を

③ 2で割って平行四辺形の半分にすると

④ 三角形 OAB の面積 \(S_{\triangle}\) になる

簡単な例

\(\mathrm{O}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{A}(4,\ 1)\)、\(\mathrm{B}(1,\ 3)\) が作る三角形の面積は

三角形の面積 \(=\) 平行四辺形の半分 \(\Bigl|\) Aの \(x\) 座標とBの \(y\) 座標（\(4 \times 3\)） \(-\) Bの \(x\) 座標とAの \(y\) 座標（\(1 \times 1\)） \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \times 3 - 1 \times 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5.5\)

考え方のポイント

平面のベクトル \(\vec{a} = (x_1,\ y_1)\)、\(\vec{b} = (x_2,\ y_2)\) は、\(z\) 成分が0の空間ベクトル \((x_1,\ y_1,\ 0)\)、\((x_2,\ y_2,\ 0)\) だと思うことができます。この2つの外積を計算すると、\(x\) 成分と \(y\) 成分は0になり、\(z\) 成分の \(x_1y_2 - x_2y_1\) だけが残ります。つまり、教科書に出てくる三角形の面積の公式 \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\) は、外積の \(z\) 成分の半分（の絶対値）そのものです。この計算機で \(z\) 成分の欄を空欄（0）にすると、その様子が確かめられます。絶対値を外した \(x_1y_2 - x_2y_1\) の符号にも意味があります。プラスなら \(\vec{a}\) から \(\vec{b}\) へ反時計回り、マイナスなら時計回りです。この「符号付きの面積」は、多角形の面積を座標から一気に求める計算（測量の座標法など）に使われています。

外積 \(\vec{a}\times\vec{b}\) は、2つの空間ベクトルから新しいベクトルを作る計算です。成分はたすき掛けの引き算3つで作れ、向きはもとの2つのベクトルの両方に垂直（右手の法則）、大きさ \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) は2つのベクトルが作る平行四辺形の面積に一致します。三角形の面積はその半分、大きさで割れば単位法線ベクトルになります。

用語・記号の解説

記号

\(\vec{a}\)	ベクトルエー	「向きと大きさ（長さ）を持つ量」を表す記号。文字の上の矢印が「これはベクトルです」という目印です。大学以降は矢印を書かずに太字（a）で表すこともあります。
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	エーいち・エーに・エーさん	ベクトル \(\vec{a}\) の成分。\(x\)・\(y\)・\(z\) の各方向にどれだけ進むかを表す3つの数で、右下の小さい数字（添え字）が何番目の成分かを示します。\(a_x,\ a_y,\ a_z\) と書く流儀もあります。
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	エー・クロス・ビー	外積（ベクトル積）。掛け算の記号 \(\times\)（クロス）を使うことから、英語では cross product と呼ばれます。答えは数ではなくベクトルになります。
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	エー・ドット・ビー	内積（スカラー積）。中黒（ドット）を使うことから、英語では dot product と呼ばれます。こちらの答えは数（スカラー）です。外積と名前も記号も似ているので区別して覚えます。
\(\left\| \vec{a} \right\|\)	ベクトルエーの大きさ	ベクトルの大きさ（長さ）。矢印の長さのことで、成分からは \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) と、三平方の定理で求められます。絶対値と同じ記号を使いますが、「原点からの距離」という意味は共通です。
\(\theta\)	シータ	2つのベクトルのなす角。ギリシャ文字で、角度を表す文字としてよく使われます。外積では0度から180度までの範囲で考えます。
\(\sin\theta\)	サインシータ	角 \(\theta\) の正弦。直角三角形で「高さ ÷ 斜辺」にあたる割合で、sine（サイン）の頭文字から \(\sin\) と書きます。0度から180度までの範囲では0以上の値になり、\(\sin 0^\circ = 0\)、\(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\)、\(\sin 90^\circ = 1\)、\(\sin 180^\circ = 0\) です。
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	ベクトルエービー	点Aを始点、点Bを終点とするベクトル。成分は「終点の座標 − 始点の座標」で求められます。3点から三角形の面積を出すときは、まずこの形で2辺のベクトルを作ります。
\(S\)	エス	面積を表すのによく使われる文字。Square（正方形・平方）や Surface（面）の頭文字に由来するといわれます。このページでは平行四辺形の面積を表します。
\(S_{\triangle}\)	エスさんかく	三角形の面積。面積の \(S\) に三角形の記号を添えて、平行四辺形の面積と区別しています。
\(\vec{n}\)	ベクトルエヌ	法線ベクトル。normal（法線・垂直）の頭文字 \(n\) を使う慣例です。このページでは大きさを1にそろえた単位法線ベクトルを表します。
\(\vec{0}\)	ゼロベクトル	成分がすべて0のベクトル（零ベクトル）。大きさが0で向きを持ちません。2つのベクトルが平行なとき、外積はこの零ベクトルになります。
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	ルート	平方根の記号。\(\sqrt{54}\) は「2乗すると54になる正の数」です。根号の中に平方数（\(4,\ 9,\ 16, \dots\)）が隠れているときは、\(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\) のように外に出して簡単にします。

用語

ベクトル	べくとる	向きと大きさをあわせ持つ量。位置を変えても向きと大きさが同じなら同じベクトルとみなします。力・速度・風向きのように「どちらへ、どれだけ」を表す量がベクトルです。
成分表示	せいぶんひょうじ	ベクトルを \((1,\ 2,\ 3)\) のように、\(x\)・\(y\)・\(z\) 方向の進み方の組で書く表し方。縦に並べて書く（列ベクトル）こともあり、意味は同じです。
外積	がいせき	2つの空間ベクトルから新しいベクトルを作る計算。ベクトル積・クロス積とも呼びます。できたベクトルはもとの2つの両方に垂直で、大きさは2つが作る平行四辺形の面積に等しくなります。
内積	ないせき	2つのベクトルから数（スカラー）を作る計算。\(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\) で求められ、0になるときは2つのベクトルが垂直です。答えがベクトルになる外積とは別物です。
大きさ	おおきさ	ベクトルの長さ。成分が \((a_1,\ a_2,\ a_3)\) なら \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) で、三平方の定理を空間に広げた式です。ノルムともいいます。
なす角	なすかく	2つのベクトルの始点をそろえたときに、その間にできる角。0度から180度までで考えます。
平行四辺形	へいこうしへんけい	向かい合う2組の辺がそれぞれ平行な四角形。2つのベクトルを2辺として作ると、その面積が外積の大きさになります。
法線ベクトル	ほうせんべくとる	平面（または直線）に垂直なベクトル。「その面がどちらを向いているか」を表す量で、外積を使えば平面上の2つのベクトルから簡単に作れます。
単位ベクトル	たんいべくとる	大きさが1のベクトル。あるベクトルを自分の大きさで割ると、向きはそのままで大きさだけ1になり、単位ベクトルが得られます。
単位法線ベクトル	たんいほうせんべくとる	法線ベクトルのうち、大きさを1にそろえたもの。向きの情報だけを取り出したいときに使います。
たすき掛け	たすきがけ	2段に並べた4つの数を、右下がりと右上がりに斜めに掛けて引く計算のしかた。外積の各成分はこの形をしていて、サラスの図式（サラスの方法）とも呼ばれます。
右手の法則	みぎてのほうそく	外積の向きの決め方。右手の指を \(\vec{a}\) から \(\vec{b}\) へ回すように曲げたとき、立てた親指の向きが \(\vec{a}\times\vec{b}\) の向きです。この決め方に従う座標の取り方を右手系といいます。
零ベクトル	れいべくとる	成分がすべて0のベクトル。大きさが0で、向きは考えません。2つのベクトルが平行なとき、外積は零ベクトルになります。
垂直	すいちょく	2つのベクトルのなす角が90度であること。直交ともいいます。内積が0になることで確かめられます。
平行	へいこう	2つのベクトルの向きが同じか、ちょうど正反対であること。このとき2つは同じ直線の上に重ねられ、平行四辺形は作れません（つぶれて面積0になります）。
符号付き面積	ふごうつきめんせき	回る向きによってプラス・マイナスを付けた面積。平面では \(x_1y_2 - x_2y_1\) がこれにあたり、反時計回りならプラス、時計回りならマイナスになります。絶対値を取れば普通の面積です。
行列式	ぎょうれつしき	正方形に並べた数から決まる1つの数。2×2の行列式 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) はまさにたすき掛けで、外積の各成分はこの2×2の行列式の形をしています。
巡回	じゅんかい	\(x \to y \to z \to x\) のように、順番が輪になって元に戻ること。外積の3つの成分は、この巡回の順番で同じ形を繰り返しています。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

ベクトルとは何か（高校数学C）	ベクトルが「向きと大きさを持つ量」で、矢印で表せるとわかること（力や速度のように「どちらへ、どれだけ」を表す量）ベクトルを \((1,\ 2,\ 3)\) のような成分で表せること（\(x\)・\(y\)・\(z\) の各方向にどれだけ進むか）
空間の座標（中学1年〜高校数学C）	平面の座標 \((x,\ y)\) に高さ \(z\) を足した \((x,\ y,\ z)\) で、空間の点の位置が決まるとわかること \(x\) 軸・\(y\) 軸・\(z\) 軸がたがいに垂直に交わっているとイメージできること
三平方の定理とベクトルの大きさ（中学3年〜高校数学C）	直角三角形で \(a^2 + b^2 = c^2\) が成り立つこと空間のベクトルの大きさが \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) で求められること（三平方の定理を2回使った形）
平方根の計算（中学3年）	\(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\) のように、根号の中の平方数を外に出して簡単にできること \(\sqrt{3} \fallingdotseq 1.732\) のように、根号のおよその小数がわかること
内積（高校数学C）	内積 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) が \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) で計算でき、答えが数になること内積が0のとき2つのベクトルが垂直だとわかること（このページでは外積が垂直であることの確認に使います）
三角比（高校数学I）	\(\sin\theta\) が直角三角形の「高さ ÷ 斜辺」の割合だとわかること \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\)、\(\sin 90^\circ = 1\) のような代表的な値を覚えていること
平行四辺形と三角形の面積（小学5年）	平行四辺形の面積が「底辺 × 高さ」で求められること三角形の面積が、同じ底辺と高さの平行四辺形のちょうど半分になること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「外積（ベクトル積）の成分」を求める表

ベクトルaのx成分 a₁	1
ベクトルaのy成分 a₂	2
ベクトルaのz成分 a₃	3
ベクトルbのx成分 b₁	4
ベクトルbのy成分 b₂	5
ベクトルbのz成分 b₃	6
外積のx成分（a₂b₃ − a₃b₂）	=B2B6-B3B5
外積のy成分（a₃b₁ − a₁b₃）	=B3B4-B1B6
外積のz成分（a₁b₂ − a₂b₁）	=B1B5-B2B4

「外積の大きさ＝|a||b|sinθ」を確かめる表

ベクトルaのx成分 a₁	1
ベクトルaのy成分 a₂	2
ベクトルaのz成分 a₃	3
ベクトルbのx成分 b₁	4
ベクトルbのy成分 b₂	5
ベクトルbのz成分 b₃	6
外積の大きさ \|a×b\|（成分から）	=SQRT((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
aの大きさ \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
bの大きさ \|b\|	=SQRT(B4^2+B5^2+B6^2)
内積 a・b	=B1B4+B2B5+B3*B6
なす角 θ（度）	=DEGREES(ACOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(RADIANS(B11))

「平行四辺形の面積と三角形の面積」を求める表

外積のx成分	-3
外積のy成分	6
外積のz成分	-3
平行四辺形の面積 S（＝外積の大きさ）	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
三角形の面積（平行四辺形の半分）	=B4/2

「単位法線ベクトル」を求める表

外積のx成分	-3
外積のy成分	6
外積のz成分	-3
外積の大きさ \|a×b\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
単位法線ベクトルのx成分	=B1/B4
単位法線ベクトルのy成分	=B2/B4
単位法線ベクトルのz成分	=B3/B4

「平面の三角形の面積」を求める表

点Aのx座標 x₁	4
点Aのy座標 y₁	1
点Bのx座標 x₂	1
点Bのy座標 y₂	3
外積のz成分（x₁y₂ − x₂y₁）	=B1B4-B3B2
三角形 OAB の面積	=ABS(B5)/2

貼り付けると、上の行（ベクトルの成分）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
「*」は掛け算、「^」はべき乗、SQRT は平方根の関数です。1つ目の表は a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6) の例で、答えは (−3, 6, −3) になります。
2つ目の表は「成分から求めた外積の大きさ」と「|a||b|sinθ で求めた値」が一致することを確かめる表です。B7 と B12 がどちらも 7.348469… になります（なす角は約12.93度）。
3つ目の表の平行四辺形の面積は 7.348469…、三角形の面積はその半分の 3.674234… です。4つ目の表の単位法線ベクトルは (−0.408248…, 0.816497…, −0.408248…) になります。
5つ目の表は、z成分が0の平面ベクトルの場合です。O(0, 0)、A(4, 1)、B(1, 3) の三角形の面積は 5.5 になります。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「外積（ベクトル積）の成分」を求める表

ベクトルaのx成分 a₁	1
ベクトルaのy成分 a₂	2
ベクトルaのz成分 a₃	3
ベクトルbのx成分 b₁	4
ベクトルbのy成分 b₂	5
ベクトルbのz成分 b₃	6
外積のx成分（a₂b₃ − a₃b₂）	=B2B6-B3B5
外積のy成分（a₃b₁ − a₁b₃）	=B3B4-B1B6
外積のz成分（a₁b₂ − a₂b₁）	=B1B5-B2B4

「外積の大きさ＝|a||b|sinθ」を確かめる表

ベクトルaのx成分 a₁	1
ベクトルaのy成分 a₂	2
ベクトルaのz成分 a₃	3
ベクトルbのx成分 b₁	4
ベクトルbのy成分 b₂	5
ベクトルbのz成分 b₃	6
外積の大きさ \|a×b\|（成分から）	=SQRT((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
aの大きさ \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
bの大きさ \|b\|	=SQRT(B4^2+B5^2+B6^2)
内積 a・b	=B1B4+B2B5+B3*B6
なす角 θ（度）	=DEGREES(ACOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(RADIANS(B11))

「平行四辺形の面積と三角形の面積」を求める表

外積のx成分	-3
外積のy成分	6
外積のz成分	-3
平行四辺形の面積 S（＝外積の大きさ）	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
三角形の面積（平行四辺形の半分）	=B4/2

「単位法線ベクトル」を求める表

外積のx成分	-3
外積のy成分	6
外積のz成分	-3
外積の大きさ \|a×b\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
単位法線ベクトルのx成分	=B1/B4
単位法線ベクトルのy成分	=B2/B4
単位法線ベクトルのz成分	=B3/B4

「平面の三角形の面積」を求める表

点Aのx座標 x₁	4
点Aのy座標 y₁	1
点Bのx座標 x₂	1
点Bのy座標 y₂	3
外積のz成分（x₁y₂ − x₂y₁）	=B1B4-B3B2
三角形 OAB の面積	=ABS(B5)/2

Excelと同じ式がそのまま使えます（SQRT・ACOS・DEGREES・RADIANS・ABS はGoogleスプレッドシートにも同じ名前であります）。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、成分を自分の数値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

from fractions import Fraction
import math

# ベクトルの成分（3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける）
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # 外積（たすき掛け）。x成分・y成分・z成分の順に作る
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # 平行四辺形の面積（＝外積の大きさ）

print(f"外積 a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"平行四辺形の面積: {area}")
print(f"三角形の面積: {area / 2}")
print(f"垂直の確認（どちらも0になる）: {dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、成分が分数でも丸め誤差なしに厳密なまま計算できます。この例は a = (1, 2, 3)、b = (4, 5, 6) の外積で、実行すると「外積 a×b = (-3, 6, -3)」「平行四辺形の面積: 7.3484692283495345」「三角形の面積: 3.6742346141747673」「垂直の確認（どちらも0になる）: 0, 0」が表示されます。成分を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

外積（ベクトル積）の成分（たすき掛け）

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

外積の大きさ（\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)）

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

平行四辺形の面積と三角形の面積

S = |a×b|,　S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

単位法線ベクトル（両方に垂直で大きさ1のベクトル）

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

平面のベクトルの場合（三角形の面積の公式）

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたはベクトル（空間図形）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

ベクトル a = (1, 2, 3) と b = (4, 5, 6) について、次を求めてください。
1. 外積 a×b の成分（たすき掛けの途中式も示す）
2. 外積の大きさ |a×b|（根号を簡単にした厳密値と小数の両方で）
3. a と b が作る平行四辺形の面積と、三角形の面積
4. a・(a×b) と b・(a×b) を計算して、外積が両方に垂直であることの確認

Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールで成分を厳密に計算し、根号の簡約には sympy を使ってかまいません。計算に使った式と実行結果の数値を示してください。

計算ドリル（演習問題）

このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。

問題ページを開く解答・解説ページを開く

使い方

1

数値を入力

計算したい数値を入力欄に入力します
2

計算

「計算する」ボタンを押します
3

結果を確認

計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます

DataChefの特徴

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外積（ベクトル積）計算機（成分・平行四辺形の面積・法線ベクトル）

目次

このページでできること

この計算は何の役に立つ？

式と図

用語・記号の解説

記号

用語

前提として理解しておくといいこと

Excelで計算する方法

Googleスプレッドシートで計算する方法

Pythonで計算する方法

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

計算ドリル（演習問題）

使い方

DataChefの特徴

関連機能

ベクトル計算機（和・差・実数倍・大きさ・内積・なす角）

ベクトルの足し算・引き算・実数倍・内積・大きさ・なす角はこちら。ベクトルの基礎もこのページで説明しています

行列式の計算（2×2・3×3・4×4）

外積のたすき掛けは行列式（サラスの方法）と同じ計算です。行列式そのものを計算するページ

三角形の面積計算機（3辺からヘロンの公式で計算）

3辺の長さがわかっているときの三角形の面積はこちら。座標から求めるなら外積が便利です

おすすめ

確率・ランダム

平均・統計

割合・パーセント

速さ

密度・濃度

物理・電気工学

単位の換算

整数・正負の数

分数・小数・端数処理

方程式・不等式

多項式・式の展開

平方根・n乗根

指数・対数

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