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次の外積を成分で求めましょう。
\((1,\ 0,\ 0) \times (0,\ 1,\ 0)\)
解答：\((0,\ 0,\ 1)\)
たすき掛けの式に、そのまま代入します。
\(x\) 成分は \(a_2b_3 - a_3b_2 = 0 \times 0 - 0 \times 1 = 0\)
\(y\) 成分は \(a_3b_1 - a_1b_3 = 0 \times 0 - 1 \times 0 = 0\)
\(z\) 成分は \(a_1b_2 - a_2b_1 = 1 \times 1 - 0 \times 0 = 1\)
よって \((0,\ 0,\ 1)\) です。
\(x\) 軸方向のベクトルと \(y\) 軸方向のベクトルの外積が \(z\) 軸方向を向く、というのが右手の法則の基本の形です。
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次の外積を成分で求めましょう。
\((2,\ -1,\ 3) \times (1,\ 4,\ -2)\)
解答：\((-10,\ 7,\ 9)\)
負の数はかっこを付けて代入します。
\(x\) 成分は \((-1) \times (-2) - 3 \times 4 = 2 - 12 = -10\)
\(y\) 成分は \(3 \times 1 - 2 \times (-2) = 3 + 4 = 7\)
\(z\) 成分は \(2 \times 4 - (-1) \times 1 = 8 + 1 = 9\)
よって \((-10,\ 7,\ 9)\) です。
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前の問題の結果を使って、次の外積を求めましょう。
\((1,\ 4,\ -2) \times (2,\ -1,\ 3)\)
解答：\((10,\ -7,\ -9)\)
掛ける順番を入れ替えると、外積は符号が反対になります。
\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)
前の問題で \(\vec{a} \times \vec{b} = (-10,\ 7,\ 9)\) と求めたので、各成分の符号を反対にして
\((10,\ -7,\ -9)\)
もちろん、たすき掛けの式に代入して計算し直しても同じ答えになります。
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次の外積を成分で求めましょう。
\((1,\ 2,\ 3) \times (2,\ 4,\ 6)\)
解答：\((0,\ 0,\ 0)\)
たすき掛けの式に代入します。
\(x\) 成分は \(2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0\)
\(y\) 成分は \(3 \times 2 - 1 \times 6 = 6 - 6 = 0\)
\(z\) 成分は \(1 \times 4 - 2 \times 2 = 4 - 4 = 0\)
よって零ベクトル \((0,\ 0,\ 0)\) です。
\((2,\ 4,\ 6)\) は \((1,\ 2,\ 3)\) を2倍しただけの平行なベクトルなので、2つを2辺とする平行四辺形はつぶれてしまい、面積が0になります。
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2つのベクトル \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) の外積が \(\vec{a} \times \vec{b} = (2,\ -1,\ 2)\) でした。
\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の両方に垂直で、大きさが1の単位法線ベクトル \(\vec{n}\) を求めましょう。
解答：\(\left( \dfrac{2}{3},\ -\dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3} \right)\)
単位法線ベクトルは、外積を自分の大きさで割って作ります。
まず外積の大きさを求めます。
\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \sqrt{2^{2} + (-1)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{9} = 3\)
各成分を3で割ります。
\(\vec{n} = \dfrac{1}{3}(2,\ -1,\ 2) = \left( \dfrac{2}{3},\ -\dfrac{1}{3},\ \dfrac{2}{3} \right)\)
向きを反対にした \(\left( -\dfrac{2}{3},\ \dfrac{1}{3},\ -\dfrac{2}{3} \right)\) も同じ平面に垂直で大きさ1ですが、\(\vec{a}\times\vec{b}\) と同じ向きに取るのがこの式の約束です。
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大きさ6のベクトル \(\vec{a}\) と大きさ5のベクトル \(\vec{b}\) のなす角が \(30^\circ\) のとき、\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が作る平行四辺形の面積を求めましょう。
解答：\(15\)
平行四辺形の面積は外積の大きさに等しく、大きさは \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) で求められます。
\(S = 6 \times 5 \times \sin 30^\circ\)
\(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) なので
\(S = 6 \times 5 \times \dfrac{1}{2} = 15\)
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3点 \(\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)\)、\(\mathrm{B}(0,\ 1,\ 0)\)、\(\mathrm{C}(0,\ 0,\ 1)\) を頂点とする三角形の面積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
まず、頂点Aを始点とする2つのベクトルを作ります。
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} = (0 - 1,\ 1 - 0,\ 0 - 0) = (-1,\ 1,\ 0)\)
\(\overrightarrow{\mathrm{AC}} = (0 - 1,\ 0 - 0,\ 1 - 0) = (-1,\ 0,\ 1)\)
この2つの外積を、たすき掛けで求めます。
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{AC}} = (1 \times 1 - 0 \times 0,\ \ 0 \times (-1) - (-1) \times 1,\ \ (-1) \times 0 - 1 \times (-1)) = (1,\ 1,\ 1)\)
外積の大きさが平行四辺形の面積なので
\(\left| \overrightarrow{\mathrm{AB}} \times \overrightarrow{\mathrm{AC}} \right| = \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3}\)
三角形はその半分です。
\(S_{\triangle} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
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平面上の3点 \(\mathrm{O}(0,\ 0)\)、\(\mathrm{A}(5,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(1,\ 4)\) を頂点とする三角形の面積を求めましょう。
解答：\(9\)
平面の3点なので、三角形の面積の公式が使えます。
\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| x_1y_2 - x_2y_1 \right|\)
\(x_1 = 5\)、\(y_1 = 2\)、\(x_2 = 1\)、\(y_2 = 4\) を代入して
\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 5 \times 4 - 1 \times 2 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 20 - 2 \right| = \dfrac{18}{2} = 9\)
この \(20 - 2 = 18\) は、\(z\) 成分を0とみなして外積を計算したときの \(z\) 成分そのものです。