円錐台(バケツのように、上下が平行な円で側面がすぼまった立体)の上の円の半径・下の円の半径・高さを入力してください。表面積と、母線(側面の斜めの長さ)・面積の内訳も表示します。
このページでできること
- 上の円の半径・下の円の半径・高さの3つを入れるだけで、円錐台(バケツやプリンカップのような形)の表面積がその場でわかります
- 表面積の内訳(上の円の面積・下の円の面積・側面積)と、母線(側面の斜めの長さ)も同時に表示します
- 計算した円錐台は、マウスでドラッグして回せる3Dの図でも確認できます
- 片方の半径に0を入れれば円錐、上下に同じ半径を入れれば円柱の表面積の計算にもそのまま使えます
- 式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル(演習問題)もこのページにまとまっています
この計算は何の役に立つ?
ペンキの缶には「1Lで◯m²塗れます」と書いてあるので、塗りたい面の面積がわかれば必要な量を逆算できます。上のふちの半径15cm・底の半径10cm・深さ25cmのバケツなら、表面積は約3023cm²(約0.3m²)です。
ふたのない容器の外側だけを塗るなら、内訳表示の「側面積 約2002cm²」と「下の円(底)約314cm²」を足した約0.23m²が塗る面積になります。この「内訳から必要な面だけを足す」使い方が、表面積計算の実用の基本です。
紙コップは上が広い円錐台で、ふた(上の円)はありません。上の半径3.6cm・底の半径2.3cm・高さ8cmのコップなら、側面積は約150cm²、底の円は約17cm²で、合わせて約167cm²の紙が最低限必要です。
実際の製造では、のりしろや打ち抜きのロスが加わるためもう少し多くの紙を使いますが、「製品1個あたりの材料面積」を求めるこの計算が、材料費の見積もりの出発点になっています。
円錐台は、ランプシェードの定番の形です。上の半径10cm・下の半径20cm・高さ25cmのシェードなら、母線は約27cmで、張り替えに使う生地の面積(側面積)は約2538cm²(約0.25m²)です。
生地や和紙は幅が決まった反物・シートで売られているので、面積とあわせて展開図の形(帯のように曲がった形)を考えて、少し余裕をもった量を買うのがコツです。
工場で粉や穀物をためるホッパーの下部は、逆さにした円錐台です。上の半径1m・下の半径0.2m・高さ1.2mの部分なら、母線は約1.44m、側面積は約5.4m²です。
さび止め塗装の塗料の量や、保温のために巻く断熱材の量は、この側面積をもとに見積もります。タンク・サイロ・ダクトなど、設備の表面処理の費用計算に欠かせない計算です。
丸いケーキは「上下の半径が同じ円錐台(=円柱)」なので、この計算機に同じ半径を2回入れればそのまま使えます。直径15cm(半径7.5cm)・高さ8cmのスポンジなら、クリームを塗る上面と側面の合計は約554cm²です(下面はお皿に接するので塗りません)。
「5号と6号でクリームは何倍いるか」のような比較も、表面積で考えると失敗しにくくなります。
式と図
用語・記号の解説
記号
| \(r\) | アール(小文字) | 上の円(上面)の半径。英語の radius(半径)の頭文字です。このページでは小さい方の面とは限らず「上の面」の半径を表します。 |
| \(R\) | アール(大文字) | 下の円(底面)の半径。上の半径 \(r\) と区別するために大文字で書きます。 |
| \(h\) | エイチ | 円錐台の高さ。英語の height(高さ)の頭文字です。上の円から下の円までの垂直な距離で、斜めの側面の長さ(母線 \(l\))とは別の量です。 |
| \(l\) | エル | 母線(側面の斜めの長さ)。斜めの線(line)を表す文字としてよく使われます。このページでは \(l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\) で自動計算されます。 |
| \(\pi\) | パイ | 円周率。円周が直径の何倍かを表す数で、\(3.14159265\ldots\) とどこまでも続く小数です。小学校の算数では3.14として計算します。 |
| \(r^2\) | アールの2乗 | 同じ数 \(r\) を2回掛け合わせた値(\(r \times r\))。右上の小さい2は「2回掛ける」という意味の指数です。 |
| \(\sqrt{\phantom{9}}\) | ルート へいほうこん(平方根) | 平方根の記号。「2乗するとルートの中の数になる、0以上の数」を表します。例えば \(\sqrt{25} = 5\)(\(5^2 = 25\) だから)です。 |
| \(S\) | エス(大文字) | 面積を表すのによく使われる記号。英語の surface(表面)や square(四角・平方)の頭文字です。このページでは円錐台の表面積を表します。 |
| \(S_1,\ S_2,\ S_3\) | エスいち・エスに・エスさん | 表面積の内訳につけた記号。右下の小さい数字(添え字)は「1番目・2番目…」の区別のためのもので、このページでは \(S_1\)=上の円の面積、\(S_2\)=下の円の面積、\(S_3\)=側面積です。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方センチメートル | 面積の単位。1辺1cmの正方形の面積が1cm²です。読み方は「へいほうセンチメートル」です。体積の単位cm³(立方センチメートル)と間違えないよう注意してください。 |
用語
| 円錐台 | えんすいだい | 円錐を底面に平行な平面で切って、頂点のある側を取り除いた立体。上下が大きさの違う平行な円で、側面がすぼまっています。バケツ・植木鉢・紙コップ・プリンなど、身の回りにとても多い形です。 |
| 円錐 | えんすい | 底面が円で、そこから1つの頂点に向かってとがっていく立体。ソフトクリームのコーンの形です。円錐台のもとになる立体です。 |
| 表面積 | ひょうめんせき | 立体の表面全体の面積。ペンキを塗る・紙で包むなど「表面をおおう量」を考えるときに使います。中に入る量を表す「体積」とは別の量です。 |
| 側面積 | そくめんせき | 立体の横の面(側面)だけの面積。円錐台では、上下の円を除いた「すぼまった横の面」の面積を指します。 |
| 母線 | ぼせん | 円錐や円錐台の側面にそった、斜めの線(その長さ)。円錐台では上の円のふちと下の円のふちを側面にそって最短で結んだ線で、長さは三平方の定理 \(l = \sqrt{(R - r)^2 + h^2}\) で求められます。 |
| 展開図 | てんかいず | 立体の表面を切り開いて1枚の平面に広げた図。円錐台の展開図は、上下の円2枚と、帯のように曲がった側面(大きい扇形から小さい扇形を切り取った形)になります。表面積は展開図の面積の合計と同じです。 |
| 三平方の定理 | さんへいほうのていり | 直角三角形で「斜辺の2乗 = 他の2辺の2乗の和」が成り立つという定理(ピタゴラスの定理)。このページでは、横 \(R - r\)・縦 \(h\) の直角三角形の斜辺として母線 \(l\) を求めるのに使います。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
| 円の面積・円周・円周率(小学5〜6年) |
|
| 面積の単位(小学4〜6年) |
|
| 立体と展開図(小学5年〜中学1年) |
|
| 累乗・指数(中学1年) |
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| 平方根(中学3年) |
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| 三平方の定理(中学3年) |
|
Excelで計算する方法
| 上の円の面積 | 3.14 |
| 下の円の面積 | 50.27 |
| 側面積 | 78.54 |
| 円錐台の表面積 | =B1+B2+B3 |
| 上の円の半径 r | 1 |
| 下の円の半径 R | 4 |
| 高さ h | 4 |
| 母線 l | =SQRT((B2-B1)^2+B3^2) |
| 側面積 | =PI()*(B1+B2)*B4 |
| 上の円の半径 r | 15 |
| 下の円の半径 R | 10 |
| 高さ h | 25 |
| 円錐台の表面積 | =PI()*(B1^2+B2^2)+PI()*(B1+B2)*SQRT((B2-B1)^2+B3^2) |
数式の中の「B1」「B2」は「そのセルに入っている数値を使う」という意味で、「*」は掛け算、「^2」は2乗、「SQRT()」は平方根、「PI()」は円周率(3.14159…)を表すExcelの関数です。
例えば1つ目の表なら、B4に131.95と表示されます(式カードの例と同じ円錐台です)。2つ目の表はB4に母線5、B5に側面積 約78.54が出ます。3つ目の表は上のふち半径15cm・底半径10cm・深さ25cmのバケツの例で、B4に約3023.4(cm²)が出ます。入力欄の数値を自分の長さに書き換えるだけで使えます。
Googleスプレッドシートで計算する方法
| 上の円の面積 | 3.14 |
| 下の円の面積 | 50.27 |
| 側面積 | 78.54 |
| 円錐台の表面積 | =B1+B2+B3 |
| 上の円の半径 r | 1 |
| 下の円の半径 R | 4 |
| 高さ h | 4 |
| 母線 l | =SQRT((B2-B1)^2+B3^2) |
| 側面積 | =PI()*(B1+B2)*B4 |
| 上の円の半径 r | 15 |
| 下の円の半径 R | 10 |
| 高さ h | 25 |
| 円錐台の表面積 | =PI()*(B1^2+B2^2)+PI()*(B1+B2)*SQRT((B2-B1)^2+B3^2) |
Pythonで計算する方法
import math
radius_top = 15 # 上の円(上面)の半径
radius_bottom = 10 # 下の円(底面)の半径
height = 25 # 高さ(半径と同じ単位で)
slant = math.sqrt((radius_bottom - radius_top)**2 + height**2) # 母線(側面の斜めの長さ)
top_area = math.pi * radius_top**2 # 上の円の面積
bottom_area = math.pi * radius_bottom**2 # 下の円の面積
lateral_area = math.pi * (radius_top + radius_bottom) * slant # 側面積
total_area = top_area + bottom_area + lateral_area # 表面積
print(f"母線: {slant} cm")
print(f"上の円の面積: {top_area} cm2")
print(f"下の円の面積: {bottom_area} cm2")
print(f"側面積: {lateral_area} cm2")
print(f"円錐台の表面積: {total_area} cm2")
数式記述言語(LaTeX等)での書き方(コピペ可)
S = S₁ + S₂ + S₃
S = S_{1} + S_{2} + S_{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub>
</mrow>
</math>
S = S_1 + S_2 + S_3
s1 + s2 + s3
S := S1 + S2 + S3;
S = S1 + S2 + S3;
S = S_1 + S_2 + S_3
S₃ = π(r + R)√((R − r)² + h²)
S_{3} = \pi (r + R) \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>3</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S_3 = pi (r + R) sqrt((R - r)^2 + h^2)
Pi*(r + R)*Sqrt[(R - r)^2 + h^2]
S3 := Pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S3 = pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S_3 = π(r + R)√((R − r)^2 + h^2)
S = π(r² + R²) + π(r + R)√((R − r)² + h²)
S = \pi \left( r^{2} + R^{2} \right) + \pi (r + R) \sqrt{(R - r)^{2} + h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi>
<mo>(</mo>
<mi>r</mi>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi>
<mo>)</mo>
<msqrt>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</msqrt>
</mrow>
</math>
S = pi (r^2 + R^2) + pi (r + R) sqrt((R - r)^2 + h^2)
Pi*(r^2 + R^2) + Pi*(r + R)*Sqrt[(R - r)^2 + h^2]
S := Pi*(r^2 + R^2) + Pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S = pi*(r^2 + R^2) + pi*(r + R)*sqrt((R - r)^2 + h^2);
S = π(r^2 + R^2) + π(r + R)√((R − r)^2 + h^2)
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは算数・数学の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください(暗算や推測で答えないでください)。 上の円の半径15cm、下の円の半径10cm、高さ25cmの円錐台(バケツのような形)があります。 次の値をそれぞれ求めてください。 1. 母線(側面の斜めの長さ)l = √((R − r)² + h²) はいくつか 2. この円錐台の表面積は何cm²か(公式 S = π(r² + R²) + π(r + R)l を使う) 3. 表面積の内訳(上の円の面積・下の円の面積・側面積)はそれぞれいくつか 計算に使った式と、実行結果の数値を示してください。
計算ドリル(演習問題)
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
専門知識不要、直感的で簡単な操作
個人情報を登録することなく使用できます
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
クレジット表記不要
商用利用許諾の連絡も不要です
