2つの式①・②の係数と右辺の数を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、数字の部分を直接書き換えても計算できます。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。x・y の係数の空欄は 1（x は 1x の意味）、右辺の空欄は 0 として扱います。使わない項には 0 を入力してください。
計算結果・グラフ
左の入力欄に2つの式の係数を入れて「計算する」を押すと、ここに途中式とグラフが表示されます。
このページでできること
- 2元1次連立方程式 \(ax + by = c,\ dx + ey = f\) を、係数と右辺の数を入れるだけでその場で解けます。計算機には手書きと同じ形の連立の式が表示され、数字の部分を直接書き換えて計算することもできます
- 解き方は加減法（係数をそろえて辺々足し引きする）と代入法（\(y = \) の形にして代入する）から選べて、中学2年の教科書と同じ流れの途中式が表示されます
- 係数には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます（分数・小数の係数は「両辺を何倍かして整数に直す」ところから途中式を表示します）
- 解がちょうど1組に決まる場合のほか、解なし（2直線が平行）・解が無数にある（不定：同じ直線）の場合も、理由つきで判定します。答えは約分済みの分数（厳密値）で表示し、分数になったときは小数も併記。2直線のグラフ（交点＝解）と、両方の式に代入する検算も見られます
- 式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています
対象は文字が2つ（x・y）の1次方程式を2本組にした「2元1次連立方程式」です。文字が3つ以上の連立や、2乗の項を含む連立には対応していません。
この計算は何の役に立つ？
2種類の商品の単価を求める（買い物・経理）
「りんご1個とみかん1個で300円、りんご2個とみかん1個で480円」のように、合計金額しかわからないレシートが2枚あれば、りんごを \(x\) 円・みかんを \(y\) 円として \(x + y = 300\)、\(2x + y = 480\) という連立方程式が立ち、りんご180円・みかん120円と単価が割り出せます。
「個別の値段は書いていないが、組み合わせの合計ならわかる」という状況は、経理の内訳計算や見積もりの分解でもよく現れる、連立方程式の一番の定番です。
料金プランの分岐点を求める（携帯・電気・サブスク）
基本料金1,500円＋1GBあたり500円のプランAと、基本料金3,000円＋1GBあたり200円のプランBは、月額を \(y\) 円・データ量を \(x\) GBとすると \(y = 500x + 1500\)、\(y = 200x + 3000\) という2本の式になり、連立して解くと \(x = 5\)（GB）で月額が同じ4,000円になるとわかります。
つまり「5GBより多く使うならプランBが得」。2直線の交点＝分岐点を求める計算は、電気料金やサブスクの比較でも同じように使えます（料金が使用量に比例して増えるプランを想定した計算です）。
歩いた距離と走った距離を求める（通学・通勤）
家から駅まで1,500m。分速60mで歩き、途中から分速150mで走って15分で着いたなら、歩いた距離を \(x\) m・走った距離を \(y\) mとして、距離の式 \(x + y = 1500\) と時間の式 \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\) が立ちます。解くと歩き500m・走り1,000mです。
「合計」と「配分で決まるもう1つの量（時間・費用など）」の2つの条件がそろうと連立方程式になる、という型は、速さの問題に限らず広く使えます。
濃度の違う液を混ぜる配合計算（調理・製造・農業）
濃度5%の食塩水と10%の食塩水を混ぜて、8%の食塩水を300g作りたいとき、5%側を \(x\) g・10%側を \(y\) gとすると、全体量の式 \(x + y = 300\) と食塩の量の式 \(0.05x + 0.1y = 24\)（300gの8%＝24g）が立ち、解くと5%側120g・10%側180gです。
めんつゆの希釈、消毒液や肥料の調製、金属の合金など、「2つの材料を混ぜて目標の濃度にする」場面で広く使われている計算です。
損益分岐点を求める（お店・ビジネス）
1個800円で売る商品の材料費が1個500円、月の家賃などの固定費が9万円なら、月の販売数を \(x\) 個・金額を \(y\) 円として、売上の式 \(y = 800x\) と費用の式 \(y = 500x + 90000\) の交点を求めると、\(x = 300\) 個・\(y = 24\) 万円。月300個が黒字と赤字の分かれ目（損益分岐点）だとわかります。
事業計画や値付けの検討で最初に確かめる数字の一つで、中身は連立方程式そのものです（売価・原価が数量によらず一定という前提の計算です）。
式とグラフ
2元1次連立方程式とその解
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
①の左辺（\(x\) の項と \(y\) の項の和）
\(=\)
②
①の右辺の定数 \(c\)
③
②の左辺（\(x\) の項と \(y\) の項の和）
\(=\)
④
②の右辺の定数 \(f\)
式を日本語で読むと
①
①の左辺（\(x\) の項と \(y\) の項の和）
が
②
①の右辺の定数 \(c\)
と等しい、という式と、
③
②の左辺（\(x\) の項と \(y\) の項の和）
が
④
②の右辺の定数 \(f\)
と等しい、という式を、2本とも同時に成り立たせる \(x,\ y\) の組を「解」といいます
簡単な例
① \(x + y = 5\)、② \(2x - y = 1\) の場合、2本を同時に成り立たせる組は \(x = 2,\ y = 3\) の1組だけです
①の左辺 \(x + y\)
\(=\)
①の右辺 \(5\)
②の左辺 \(2x - y\)
\(=\)
②の右辺 \(1\)
\(x = 2,\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
考え方のポイント
1本の式 \(x + y = 5\) だけなら、成り立たせる組は \((1,\ 4)\)、\((2,\ 3)\)、\((0.5,\ 4.5)\)…と無数にあります。もう1本の式も同時に成り立たせる、という条件を重ねることで、答えが1組にしぼり込まれます。
グラフで考えると、1本の式を成り立たせる点の集まりは1本の直線で、連立方程式の解は「2本の直線が交わる点（交点）」の座標です。だから、2直線が平行なら解なし、2直線がぴったり重なるなら解は無数（不定）になります。
加減法（係数をそろえて辺々引く）
数学表記
（一般的な数式）
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
①の左辺
\(-\)
②
②の左辺（\(x\) の係数を①とそろえた）
\(=\)
③
右辺どうしの差 \(c - f\)
④
\(x\) が消えて \(y\) だけになった式
\(=\)
右辺どうしの差 \(c - f\)
式を日本語で読むと
①
2つの式の \(x\) の係数をそろえておいて、
①の左辺
から
②
\(x\) の係数を①とそろえた②の左辺
を引きます（右辺どうしも同じように引きます）
③
右辺は
右辺どうしの差 \(c - f\)
になり、
④
左辺は \(ax\) どうしが消し合って
\(x\) が消えて \(y\) だけになった式
が残ります。あとは両辺を \(y\) の係数で割れば \(y\) が求められます
簡単な例
① \(x + y = 5\)、② \(2x - y = 1\) の \(y\) を消します。\(y\) の係数が \(+1\) と \(-1\)（絶対値が同じで符号が反対）なので、そろえ直さずにそのまま辺々足せます
①の左辺 \(x + y\)
\(+\)
②の左辺 \(2x - y\)
\(=\)
右辺どうしの和 \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
考え方のポイント
引くか足すかは「そろえた係数の符号」で決めます。そろえた係数が同符号（\(+2\) と \(+2\) など）なら辺々引き、異符号（\(+2\) と \(-2\) など）なら辺々足すと、その文字が消えます。
係数がそろっていないときは、式の両辺を何倍かしてそろえます。例えば \(x\) の係数が 2 と 3 なら、最小公倍数の 6 にそろえるため①×3・②×2 とします。「両辺に同じ数を掛ける」「左辺どうし・右辺どうしを足し引きする」は、どちらも等式の性質（両辺に同じ操作をしても等しいまま）にもとづく変形なので、答えは変わりません。
\(x\) と \(y\) のどちらを消してもかまいません。係数をそろえる手間が少ない方を消すのがコツです。
代入法（\(y = \) の形にして代入する）
数学表記
（一般的な数式）
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
①を変形して求めた \(y\)
\(=\)
②
\(x\) だけの式 \(px + q\)
③
\(y\) に \(px + q\) を代入して \(x\) だけになった②の左辺
\(=\)
④
②の右辺の定数 \(f\)
式を日本語で読むと
①
①を移項と割り算で変形して、
①を変形して求めた \(y\)
を
②
\(x\) だけの式 \(px + q\)
の形で表しておき、
③
それを②の \(y\) の場所に置き換えると（代入すると）、②の左辺は
\(x\) だけになった②の左辺
に変わります
④
あとはそれが
②の右辺の定数 \(f\)
と等しい、という「\(x\) だけの1次方程式」を解けば \(x\) が求められ、\(y\) は \(px + q\) に \(x\) を代入すれば求められます
簡単な例
① \(x + y = 5\)、② \(2x - y = 1\) について、①を \(y\) について解くと \(y = 5 - x\) となるので、これを②の \(y\) に代入します
②の \(y\) に \(5 - x\) を代入した左辺 \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
②の右辺 \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
考え方のポイント
どちらの式のどちらの文字について解くかは自由です。係数が 1 か \(-1\) の文字を選ぶと、変形で分数が出にくく計算が楽になります（この計算機も同じ基準で選んでいます）。
代入のときは、式全体をかっこに入れて置き換えるのがポイントです。\(2x - (5 - x)\) のかっこを外すときの符号の間違いが、代入法で一番多いミスです。
加減法と代入法は、どちらも「1つの文字を消して、文字1つの方程式にする」という同じ方針の別ルートなので、答えは必ず同じになります。\(y = 2x + 1\) のように、初めから \(y = \) の形の式がある問題では代入法が向いています。
解を一気に出す公式と、解なし・不定の判定
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
②
解の \(x\)
\(=\)
①
係数を斜めに掛けて引いた分数 \(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
④
解の \(y\)
\(=\)
③
係数を斜めに掛けて引いた分数 \(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
式を日本語で読むと
①
分母は \(a\) と \(e\)・\(b\) と \(d\) を、分子は \(c\) と \(e\)・\(b\) と \(f\) を斜めに掛けて引いた
係数から作る分数 \(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
を計算すると
②
解の \(x\)
になり、
③
同じ分母のまま、分子だけ \(af - cd\) に変えた
係数から作る分数 \(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
を計算すると
④
解の \(y\)
になる
簡単な例
① \(x + y = 5\)、② \(2x - y = 1\)（\(a = 1,\ b = 1,\ c = 5,\ d = 2,\ e = -1,\ f = 1\)）なら
解の \(x\)
\(=\)
係数から作る分数 \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
考え方のポイント
分母 \(ae - bd\) が 0 でなければ、解はちょうど1組に決まります。この公式はクラメルの公式と呼ばれ、加減法で文字を消去した結果を、係数の文字のまま整理したものです。
分母 \(ae - bd = 0\) のときは割り算ができず、解は1組に決まりません。これは2つの式の左辺が比例している（＝2直線の傾きが同じ）状態で、右辺まで同じ比になっていれば同じ直線（不定：解は無数）、右辺の比だけ食い違えば平行（解なし）です。式で書くと、分子の \(ce - bf\) と \(af - cd\) も両方 0 なら不定、そうでなければ解なしです。
検算や、表計算ソフトでたくさんの連立方程式を一気に解くときに便利な公式ですが、中学のテストの答案では加減法・代入法の途中式を書くのが基本です。
連立方程式を解く基本方針は「1つの文字を消して、文字1つの方程式にする」ことです。加減法は係数をそろえて辺々足し引きで消し、代入法は \(y = \) の形にして代入で消します。どちらでも答えは同じです。解が1組に決まらないときは、2直線が平行（解なし）か、同じ直線（不定：解は無数）かのどちらかです。
用語・記号の解説
記号
| \(x,\ y\) | エックス・ワイ | 求めたい2つの数（未知数）を表す文字。方程式では「まだわかっていない数」に、アルファベットの終わりの方の文字 \(x,\ y,\ z\) を使う慣例があります。 |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | エー・ビー・シー・ディー・イー・エフ | 係数や右辺の定数（わかっている数）を一般的に表す文字。「決まった数」には、アルファベットの初めの方の文字を使う慣例があります。このページでは①を \(ax + by = c\)、②を \(dx + ey = f\) と書いています。 |
| ①・② | まるいち・まるに | 式に付ける番号。「①×2」「①+②」のように、どの式にどんな操作をしたかを短く書くために使います。教科書や答案でも使われる書き方です。 |
| \(\{\) | ちゅうかっこ | 連立方程式の左側に付ける大きなかっこ。「この2本の式を同時に成り立たせる」という意味のしるしで、2本がセットであることを表します。 |
| \(ae - bd\) | エーイー ひく ビーディー | 解を一気に出す公式の分母に現れる、係数を斜めに掛けて引いた値。0かどうかで「解が1組に決まるか」が分かれます。行列の言葉では、係数を並べた行列の行列式にあたります。 |
| \((x,\ y)\) | エックス・ワイの組 | 2つの値をセットで書く書き方。連立方程式の解は \(x\) と \(y\) のペアなので、\((2,\ 3)\) のように組で書きます。グラフでは点の座標と同じ書き方です。 |
用語
| 連立方程式 | れんりつほうていしき | 2つ以上の方程式をひと組にして、すべての式を同時に成り立たせる文字の値を求める問題。中学2年で学びます。 |
| 2元1次方程式 | にげんいちじほうていしき | 文字（元）が2つで、どの項も1次（2乗や文字どうしの掛け算がない）の方程式。「元」は文字の個数、「次」は文字の指数の最大を表します。\(x + y = 5\) は2元1次方程式です。 |
| 解 | かい | 方程式を成り立たせる文字の値。連立方程式では \(x\) と \(y\) の値の組が解で、グラフでは2直線の交点の座標にあたります。 |
| 加減法 | かげんほう | 2つの式の係数をそろえ、左辺どうし・右辺どうしを足したり引いたりして1つの文字を消して解く方法。名前は「加（足す）」と「減（引く）」から来ています。 |
| 辺々 | へんぺん | 2つの等式の「左辺どうし」「右辺どうし」をまとめて指す言い方。「辺々足す」は、左辺どうしを足したものと右辺どうしを足したものを「=」で結んで、新しい等式を作ることです（辺々引くも同様）。 |
| 代入法 | だいにゅうほう | 一方の式を「\(y = \)（\(x\) の式）」の形に変形し、それを他方の式の \(y\) に代入して1つの文字を消して解く方法。 |
| 代入 | だいにゅう | 文字の場所に、値や式を当てはめること。\(y = 5 - x\) を \(2x - y = 1\) に代入すると \(2x - (5 - x) = 1\) になります。 |
| 消去 | しょうきょ | 2つの文字のうち1つを式から消して、文字が1つだけの方程式にすること。加減法・代入法は、どちらも消去のための手段です。 |
| 移項 | いこう | 等式の項を、符号を変えて反対側の辺に移すこと。\(x + 3 = 7\) の \(3\) を移項すると \(x = 7 - 3\) になります。「両辺から同じ数を引く」操作の省略形です。 |
| 係数 | けいすう | 文字の前に付いている数。\(2x\) の 2 が係数です。\(x\) のように数が書かれていない項の係数は 1、\(-y\) の係数は \(-1\) と考えます。 |
| 等式の性質 | とうしきのせいしつ | 等式の両辺に同じ数を足しても、引いても、掛けても、（0以外で）割っても、等式は成り立ったままである、という性質。天秤の両側に同じ重さを載せてもつり合ったままであることに例えられます。加減法・代入法の変形すべての根拠です。 |
| 最小公倍数 | さいしょうこうばいすう | 2つの数に共通する倍数のうち最小のもの。加減法で係数をそろえるときの目標の数に使います（係数2と3なら6にそろえる）。 |
| 平行 | へいこう | 2本の直線がどこまで行っても交わらないこと。連立方程式では、2つの式のグラフが平行だと交点がないので「解なし」になります。 |
| 不定 | ふてい | 解が1組に決まらず、無数にあること。2つの式が同じ直線を表している場合で、直線上のすべての点が解になります。 |
| 交点 | こうてん | 2つのグラフが交わる点。連立方程式の解は、2つの式のグラフ（2本の直線）の交点の座標と一致します。 |
| 検算 | けんざん | 求めた解を元の2つの式に代入して、左辺と右辺が本当に等しくなるか確かめること。連立方程式は代入するだけで確かめられるので、検算の習慣をつけると計算ミスに自分で気づけます。 |
| クラメルの公式 | クラメルのこうしき | 係数から直接解を計算する公式で、\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd},\ y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\) と書けます。スイスの数学者クラメル（Cramer）の名前に由来します。高校の行列や大学の線形代数で学ぶ内容ですが、2元1次なら中学の範囲の計算だけで確かめられます。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 文字を使った式（中学1年） |
|
| 正負の数の計算（中学1年） |
|
| 等式の性質と1次方程式（中学1年） |
|
| 座標とグラフ（中学1〜2年） |
|
| 分数の計算（小学5年〜中学1年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「連立方程式の解」を求める表
| ①の x の係数 a | 1 |
| ①の y の係数 b | 1 |
| ①の右辺 c | 5 |
| ②の x の係数 d | 2 |
| ②の y の係数 e | -1 |
| ②の右辺 f | 1 |
| 分母 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 解 x（(ce−bf)÷(ae−bd)） | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| 解 y（(af−cd)÷(ae−bd)） | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
「解なし・不定の判定」をする表
| ①の x の係数 a | 1 |
| ①の y の係数 b | 1 |
| ①の右辺 c | 3 |
| ②の x の係数 d | 2 |
| ②の y の係数 e | 2 |
| ②の右辺 f | 6 |
| 分母 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 分子 ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| 分子 af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| 判定 | =IF(B7<>0,"解が1組に決まる",IF(AND(B8=0,B9=0),"不定（解は無数）","解なし（平行）")) |
「検算（両方の式に代入）」をする表
| ①の x の係数 a | 1 |
| ①の y の係数 b | 1 |
| ①の右辺 c | 5 |
| ②の x の係数 d | 2 |
| ②の y の係数 e | -1 |
| ②の右辺 f | 1 |
| 解 x | 2 |
| 解 y | 3 |
| ①の左辺 ax+by（cと一致すれば正しい） | =B1*B7+B2*B8 |
| ②の左辺 dx+ey（fと一致すれば正しい） | =B4*B7+B5*B8 |
貼り付けると、上の行（係数と右辺）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
1つ目の表は x + y = 5、2x − y = 1 を解く例で、分母 ae−bd は −3、解は x = 2、y = 3 になります。分母が 0 のときは割り算がエラー（#DIV/0!）になりますが、それが「解が1組に決まらない」合図です。
2つ目の表は x + y = 3、2x + 2y = 6 の例で、判定は「不定（解は無数）」になります。②の右辺 f を 10 に変えると「解なし（平行）」に変わります。
3つ目の表は解を両方の式に代入する検算で、①の左辺は 5、②の左辺は 1 になり、それぞれの右辺と一致します。
1つ目の表は x + y = 5、2x − y = 1 を解く例で、分母 ae−bd は −3、解は x = 2、y = 3 になります。分母が 0 のときは割り算がエラー（#DIV/0!）になりますが、それが「解が1組に決まらない」合図です。
2つ目の表は x + y = 3、2x + 2y = 6 の例で、判定は「不定（解は無数）」になります。②の右辺 f を 10 に変えると「解なし（平行）」に変わります。
3つ目の表は解を両方の式に代入する検算で、①の左辺は 5、②の左辺は 1 になり、それぞれの右辺と一致します。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「連立方程式の解」を求める表
| ①の x の係数 a | 1 |
| ①の y の係数 b | 1 |
| ①の右辺 c | 5 |
| ②の x の係数 d | 2 |
| ②の y の係数 e | -1 |
| ②の右辺 f | 1 |
| 分母 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 解 x（(ce−bf)÷(ae−bd)） | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| 解 y（(af−cd)÷(ae−bd)） | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
「解なし・不定の判定」をする表
| ①の x の係数 a | 1 |
| ①の y の係数 b | 1 |
| ①の右辺 c | 3 |
| ②の x の係数 d | 2 |
| ②の y の係数 e | 2 |
| ②の右辺 f | 6 |
| 分母 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 分子 ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| 分子 af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| 判定 | =IF(B7<>0,"解が1組に決まる",IF(AND(B8=0,B9=0),"不定（解は無数）","解なし（平行）")) |
「検算（両方の式に代入）」をする表
| ①の x の係数 a | 1 |
| ①の y の係数 b | 1 |
| ①の右辺 c | 5 |
| ②の x の係数 d | 2 |
| ②の y の係数 e | -1 |
| ②の右辺 f | 1 |
| 解 x | 2 |
| 解 y | 3 |
| ①の左辺 ax+by（cと一致すれば正しい） | =B1*B7+B2*B8 |
| ②の左辺 dx+ey（fと一致すれば正しい） | =B4*B7+B5*B8 |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数と右辺を自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
# ①: a1*x + b1*y = c1
# ②: a2*x + b2*y = c2 （3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける）
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # 解の公式の分母 ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"解: x = {x}, y = {y}")
print(f"小数で表すと: x = {float(x)}, y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("不定（2つの式は同じ直線を表します。解は無数にあります）")
else:
print("解なし（2つの直線は平行で、交点がありません）")
標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、小数の丸め誤差なしの厳密な分数のまま計算できます。この例は x + y = 5、2x − y = 1 を解くもので、実行すると「解: x = 2, y = 3」と表示されます。係数と右辺を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
2元1次連立方程式とその解
ax + by = c, dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c, dx + ey = f
加減法（係数をそろえて辺々引く）
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
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<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
代入法（\(y = \) の形にして代入する）
y = px + q, dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
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<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
解を一気に出す公式と、解なし・不定の判定
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
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<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（連立方程式）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 連立方程式 x + y = 5、2x − y = 1 を解いてください。 次の内容をそれぞれ示してください。 1. 解 x, y（分数になる場合は約分済みの分数と小数の両方で） 2. 加減法（どちらかの文字の係数をそろえて辺々足し引きする方法）での途中式 3. 求めた解を両方の式に代入する検算 Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。解が存在しない場合・無数にある場合は、その理由も説明してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの解き方（加減法・代入法）を、自分の手で使えるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
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