求めたい数え方を選び、種類の数 n と選ぶ個数 r（文字列の並べ替えのときは文字列）を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、数字の部分を直接書き換えても計算できます。
n・r は半角の整数で入力してください（n は1〜1000、r は0〜1000）。答えが何十桁になっても全桁を正確に表示します。文字列の並べ替えでは30文字まで入力でき、空白は無視し、大文字と小文字は別の文字として数えます。
計算結果・図形
左の入力欄で求めたい数え方を選び、種類の数と個数（または文字列）を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と図が表示されます。
このページでできること
- \(n\) 種類から同じものを何回でも選んでよいとして \(r\) 個を並べる「重複順列 \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)」を計算できます（例：0〜9の10種類の数字で作る4桁の暗証番号）
- 同じものを何回でも選んでよいとして \(r\) 個を選ぶ「重複組合せ \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)」を計算できます（例：3種類のジュースから5本買う）
- 「TOMATO」のように同じ文字が混ざった文字列の並べ替えの数（同じものを含む順列）も、文字列を入れるだけで計算できます（30文字まで）
- \(n^{r}\)・\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)・\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)・\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) のどれを使うのか迷ったときのために、「並べる？ 選ぶだけ？」「同じものを何回選んでよい？」で決まる判断の図を載せています
- 答えが何十桁になっても丸めずに全桁表示し、桁数が多いときは \(1.2345 \times 10^{18}\) の形の概数も添えます
- ○と仕切り棒を使った重複組合せの図解・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています
一度選んだものは二度と選べない（重複なしの）順列 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)・組合せ \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) だけを求めたいときは、順列・組合せの計算機のページをご覧ください。
この計算は何の役に立つ？
暗証番号・パスワードの破られにくさを数字で知る（セキュリティ）
0〜9の10種類の数字で4桁の暗証番号を作ると、同じ数字を何回使ってもよいので \(10^{4} = 10{,}000\) 通りです。桁を1つ増やすだけで10倍になり、6桁なら100万通りになります。
英大文字・小文字・数字の62種類が使えるパスワードなら、8文字で \(62^{8} = 218{,}340{,}105{,}584{,}896\) 通り（約218兆通り）。「文字の種類を増やす」「長くする」がどれだけ効くのかを比べられるのが、この重複順列の式です。
デジタルデータの表現力（コンピュータ）
コンピュータは 0 と 1 の2種類だけで情報を表します。8個ならべた1バイトで表せるパターンは \(2^{8} = 256\) 通りで、これが「1バイトで256段階」と言われる理由です。
写真の色を赤・緑・青それぞれ8ビットで表すフルカラーは \(2^{24} = 16{,}777{,}216\) 通り、およそ1677万色になります。画面の色数・音の量子化ビット数・IPアドレスの個数など、デジタル機器の「表せる数」はどれも重複順列の計算で決まっています。
遺伝暗号がなぜ3文字単位なのか（生命科学）
DNAは A・T・G・C の4種類の塩基でできていて、3個ならんだ組（コドン）が体を作るアミノ酸1個に対応します。同じ塩基が続いてもよいので、コドンの種類は \(4^{3} = 64\) 通りです。
体で使われるアミノ酸は20種類あるので、2個ずつでは \(4^{2} = 16\) 通りしかなく足りません。「3個ずつなら足りる」という生命のしくみが、この重複順列の計算で確かめられます。
詰め合わせ・発注のパターン数（小売・飲食）
5種類のドーナツから、同じ種類を何個選んでもよいとして10個入りの箱を作る方法は、順番を問わない重複組合せで \({}_{5}\mathrm{H}_{10} = {}_{14}\mathrm{C}_{10} = 1{,}001\) 通りあります。
「どの商品を何個」という発注や在庫の内訳を数えるのも同じ形の計算で、品ぞろえを1種類増やしたときに管理すべきパターンがどれだけ増えるかを、感覚ではなく数字で見積もれます。
最短経路の数え上げ（物流・回路設計）
碁盤の目のような街路で、右へ3区画・上へ2区画進む最短経路は「右・右・右・上・上」という5文字の並べ替えの数と同じなので、\(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\) 通りです。同じものを含む順列がそのまま使えます。
配送ルートの候補数や、基板の配線パターンの数を見積もるときの土台になる計算で、区画が増えるほど候補が爆発的に増えることも数字で確かめられます。
式と図
重複順列 \({}_{n}\Pi_{r}\)（重複を許して \(r\) 個並べる）
図
数学表記
（一般的な数式）
\({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
重複を許して \(r\) 個並べる方法の数 \({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
①
1か所に置ける種類の数 \(n\)
②
並べる個数 \(r\)
式を日本語で読むと
①
1か所に置ける種類の数 \(n\)
を
②
並べる個数 \(r\)
の分だけ繰り返し掛けると
③
重複を許して \(r\) 個並べる方法の数 \({}_{n}\Pi_{r}\)
になる
簡単な例
0〜9の10種類の数字を使って4桁の暗証番号を作る方法は
4桁の暗証番号の作り方
\(=\)
1桁に使える数字（10種類）
桁数（4桁）
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\)
考え方のポイント
同じものを何回選んでもよいので、2か所目でも3か所目でも選べる種類は \(n\) のままで減りません。だから掛ける数はずっと \(n\) で、\(n\) を \(r\) 回掛けた \(n^{r}\) になります。
1回選ぶと選択肢が1つずつ減っていく順列 \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots\) との違いは、この1点だけです。「在庫が減るか、減らないか」と考えると見分けられます。
\({}_{n}\Pi_{r}\) の \(\Pi\) は掛け算（積）を表すギリシャ文字パイの大文字で、英語 Product（積）の頭文字 P にあたります。
ただし、この記号は \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)・\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) ほど広くは使われていません。答えがそのまま \(n^{r}\) と書けてしまうため、\({}_{n}\Pi_{r}\) を載せずに「重複順列の総数は \(n^{r}\)」とだけ教える教科書もあります。答案で使うときは、学校で習った書き方に合わせるのが安全です（\(n^{r}\) と書けば、どの教科書でも通じます）。
重複組合せ \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)（重複を許して \(r\) 個選ぶ）
図
数学表記
（一般的な数式）
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
\(r\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
重複を許して \(r\) 個選ぶ方法の数
\(=\)
①
○と仕切りの場所の数 \(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
②
○を置く位置の数 \(r\)
式を日本語で読むと
①
○を \(r\) 個、種類の切れ目を表す仕切りを \(n-1\) 本ならべた
○と仕切りを合わせた場所の数 \(n+r-1\)
のうち、
②
○を置く位置の数 \(r\)
の選び方を数えると
③
重複を許して \(r\) 個選ぶ方法の数 \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
になる
簡単な例
3種類のジュース（りんご・みかん・ぶどう）から、同じ種類を何本選んでもよいとして5本買う方法は
3種類から5本買う方法
\(=\)
場所の数（3 + 5 − 1 = 7個）
\(\mathrm{C}\)
○を置く位置の数（5個）
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
考え方のポイント
「選ぶだけ」の話だったはずが、なぜ組合せ \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) に化けるのか。種明かしは「○と仕切り棒への置き換え」です。公式として覚える前に、順を追って確かめてみてください。
まず、種類の並び順を「りんご・みかん・ぶどう」と先に決めて固定します。そのうえで、買った1本を○、種類の切れ目を仕切り棒で表すと、りんご2本・みかん1本・ぶどう2本 は ○○｜○｜○○ と書けます。りんご3本・みかん0本・ぶどう2本 なら ○○○｜｜○○ です。0本の種類は仕切りが隣り合う形になるだけで、こちらもきちんと書き表せます。
逆に、○と仕切りの並びのほうを先に見せられても、買い方は1つに読み取れます。仕切りで区切られた3つの部屋を左から順に見て、その部屋に入っている○の数が、そのまま りんご・みかん・ぶどう の本数です。○○｜｜○○○ なら りんご2本・みかん0本・ぶどう3本。買い方から記号の並びへも、記号の並びから買い方へも、迷わず1つに決まります。だから買い方と記号の並びはぴったり1対1で対応していて、数え落としも二重数えも起きません。
こうなれば、あとは記号の並びが何通りあるかを数えるだけです。仕切りは3種類を区切るので2本（一般に \(n-1\) 本）、○は買う本数ぶんの \(r\) 個。ならぶ記号は合わせて \(n+r-1\) 個で、その場所には左から1番・2番……と番号が付いています。並びを1つ決めることは、番号の付いた \(n+r-1\) 個の場所のうち、どの \(r\) 個を○にするかを決めることと同じ。ここまで来ると、もう「同じ場所は二度と選べない、ただの組合せ」です。だから \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) になります。
○の位置ではなく仕切りの位置を選ぶと考えても、残った場所が自動的に○に決まるので同じことです。\({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n-1}\) と書いても答えは変わりません。
なお \(\mathrm{H}\) は「同じ次数の項をすべて集めたもの」を意味する homogeneous（同次）の頭文字に由来するといわれます。重複組合せは教科書では発展的な内容として扱われることが多く、\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) という記号を載せていない教科書もあります。その場合も、上のように○と仕切りに置き換えて \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) の形で書けば、そのまま答案として通ります。
同じものを含む順列（同じ文字が混ざった並べ替え）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
同じものを含む \(n\) 個の並べ方 \(N\)
\(=\)
①
全部を別のものとして並べた並べ方 \(n!\)
\(\div\)
②
同じもの同士の並べ替え方 \(p! \times q! \times \cdots\)
式を日本語で読むと
①
全部を別のものとして並べた並べ方 \(n!\)
を
②
同じもの同士の並べ替え方 \(p! \times q! \times \cdots\)
で割って重なりを消すと
③
同じものを含む \(n\) 個の並べ方 \(N\)
になる
簡単な例
「TOMATO」の6文字を並べ替えてできる文字列は（T が2個・O が2個・M が1個・A が1個）
TOMATOの並べ替え方
\(=\)
6文字を別のものとした並べ方（6!）
\(\div\)
同じ文字の並べ替え方（2! × 2! × 1! × 1!）
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
考え方のポイント
2つの T に仮の番号を付けて \(\mathrm{T}_1\)・\(\mathrm{T}_2\) と区別すれば、6文字はすべて別のものになるので並べ方は \(6! = 720\) 通りです。ところが番号を消してしまうと \(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\) と \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\) は見分けが付かず、同じ並びが2通りずつ重なって数えられていることになります。
同じ文字が \(p\) 個あれば、その \(p\) 個の並べ替え \(p!\) 通りぶんがそっくり重なるので、文字の種類ごとに \(p!\) で割ります。1個しかない文字は \(1! = 1\) なので、書いても書かなくても答えは変わりません。
ここで文字の意味に注意してください。この式の \(n\) は、上の2つの式の \(n\)（選ぶもとになる種類の数）とは違い、並べるもの全部の個数を指します。「TOMATO」に出てくる文字の種類は T・O・M・A の4つですが、並べるのは6文字なので \(n = 6\) です。
そして分母にならぶ \(p,\ q,\ r,\ \dots\) は種類ごとの個数なので、全部足すと必ず \(p + q + r + \cdots = n\) になります。TOMATO なら \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\) で、確かに文字数と一致します。この足し算が合わないときは、どこかで数え忘れているか、二重に数えている合図です（なお、ここで3番目に出てくる \(r\) は個数を表す文字の3番目という意味で、上の2つの式の「選ぶ個数 \(r\)」とは別物です）。
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) は多項係数とも呼ばれ、重複組合せと並んで「同じものが混ざった数え上げ」の代表格です。碁盤の目の道を右へ3区画・上へ2区画進む最短経路が \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\) 通りになるのも、この式の応用です。
どの式を使う？（並べる・選ぶだけ × 重複あり・なし）
図
数学表記
（一般的な数式）
\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
並べる × 同じものを何回でも選んでよい
②
選ぶだけ × 同じものを何回でも選んでよい
③
並べる × 1回選んだものは二度と選べない
④
選ぶだけ × 1回選んだものは二度と選べない
式を日本語で読むと
①
順番（役割・順位・桁の位置）まで区別して並べ、同じものを何回でも選んでよいなら
重複順列 \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
を使う
②
選ぶ顔ぶれだけを数え、同じものを何回でも選んでよいなら
重複組合せ \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
を使う
③
順番まで区別して並べ、1回選んだものは二度と選べないなら
順列 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
を使う
④
選ぶ顔ぶれだけを数え、1回選んだものは二度と選べないなら
組合せ \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)
を使う
簡単な例
同じ「4」と「3」でも、場面が変わると使う式が変わります
4種類のアイスから3個買う方法（同じ味を何個買ってもよい）
\(=\)
重複組合せ
4人から3人を選んで1位・2位・3位を決める方法
\(=\)
順列
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)
\({}_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
考え方のポイント
この4つに進む前に、一つだけ手前で分かれ道があります。「もとになる \(n\) 種類から \(r\) 個を選ぶ」場面なのか、「TOMATO の6文字のように、並べるものがすでに手元にあって、その全部を並べる」場面なのか。後者は選ぶ作業がないので、上の4つではなく同じものを含む順列 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) を使います。「選んでから並べる」のか「あるもの全部を並べる」のかを、まず見分けてください。
選ぶ場面だと分かったら、次の2つをこの順に確かめます。①並べるのか、選ぶ顔ぶれだけを数えるのか。②同じものを2回以上選んでよいのか、1回選んだら終わりなのか。
①の目印は「置く場所ごとに意味があるかどうか」です。1位・2位、キャプテンと副キャプテン、暗証番号の1桁目・2桁目のように場所に役割があるなら並べる側、掃除当番の2人・買い物かごの中身のように顔ぶれだけが問題なら選ぶだけの側です。
②の目印は「在庫が減るかどうか」です。サイコロを何回も振る・同じ味を何個買ってもよい・同じ数字を何度でも使ってよい、というように選んでも減らないなら重複あり。1人を2つの役に就けられない・同じくじを2度引けない、というように減るなら重複なしです。
なお \(n^{r}\) と \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) は \(r\) が大きいほど差が開きます（10種類から4個なら \(10^{4} = 10000\) 通りに対し \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5040\) 通り）。②を取り違えると答えが2倍近く変わるので、この確認は省略しないでください。
重複を許して「並べる」なら重複順列 \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)、重複を許して「選ぶだけ」なら重複組合せ \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)、同じものが混ざったものを全部並べるなら \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) を使います。重複組合せは○と仕切り棒に置き換えると、普通の組合せ \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) に早変わりする——ここがこの単元の山場です。
用語・記号の解説
記号
| \(n\) | エヌ | 選ぶもとになる種類の数。（例：3種類のジュースから選ぶなら \(n = 3\)、0〜9の数字を使うなら \(n = 10\)）。個数を表す文字には number（数）の頭文字 \(n\) がよく使われます。ただし同じものを含む順列 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) の \(n\) だけは意味が変わり、並べるもの全部の個数を指します（「TOMATO」なら文字の種類は4つですが \(n = 6\)）。 |
| \(r\) | アール | 重複を許して選ぶ（並べる）個数。（例：ジュースを5本買うなら \(r = 5\)、4桁の暗証番号なら \(r = 4\)）。順列・組合せの記号 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)・\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) と同じ位置に置く文字です。 |
| \(n!\) | エヌの階乗 | \(n\) から \(1\) までの整数をすべて掛け合わせた数。\(n\) 個すべてを1列に並べる並べ方の総数を表します。ただし \(0! = 1\) と約束します。（例：\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)） |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | エヌ・パイ・アール | 重複順列。\(n\) 種類から重複を許して \(r\) 個選び、順番も区別して並べる方法の総数で、値は \(n^{r}\) です。\(\Pi\) は掛け算（積）を表すギリシャ文字パイの大文字で、英語 Product（積）の頭文字 P にあたります。この記号を載せずに \(n^{r}\) とだけ教える教科書もあるので、答案では学校で習った書き方に合わせてください。 |
| \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) | エヌ・エイチ・アール | 重複組合せ。\(n\) 種類から重複を許して \(r\) 個選ぶ、順番を区別しない選び方の総数で、値は \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) です。\(\mathrm{H}\) は「同じ次数の項をすべて集めたもの」を意味する homogeneous（同次）の頭文字に由来するといわれます。高校では発展的な内容として扱われることが多く、この記号を載せていない教科書もあります。 |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | エヌ・ピー・アール | 順列。\(n\) 個から \(r\) 個選んで順番に並べる方法の総数で、一度選んだものは二度と選べません。P は順列を意味する英語 permutation の頭文字です。 |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | エヌ・シー・アール | 組合せ。\(n\) 個から \(r\) 個選ぶ方法の総数で、一度選んだものは二度と選べず、順番も区別しません。C は組合せを意味する英語 combination の頭文字です。 |
| \(N\) | エヌ（大文字） | このページでは、同じものを含む並べ方の総数を表す文字として使っています。number（数）の頭文字を大文字にしたもので、「求めたい総数」を表すときによく使われます。 |
| \(p,\ q\) | ピー・キュー | 同じものを含む順列で、同じものが何個ずつあるかを表す文字。（例：「TOMATO」なら T が \(p = 2\) 個、O が \(q = 2\) 個、M が1個、A が1個）。種類が3つ以上あるときは \(p,\ q,\ r,\ \dots\) と続けます（この \(r\) は「選ぶ個数 \(r\)」とは別物です）。全部足すと必ず \(p + q + r + \cdots = n\)（並べるもの全部の個数）になります。 |
| \(\bigcirc\) と \(|\) | まる・しきりぼう | 重複組合せを数えるときに使う記号。○が「選んだ1個」、\(|\)（仕切り棒）が「種類の切れ目」を表します。○○｜○｜○○ なら、1種類目を2個・2種類目を1個・3種類目を2個選んだことになります。 |
用語
| 場合の数 | ばあいのかず | 起こりうるパターンが全部で何通りあるかを数えた数。順列・組合せ・重複順列・重複組合せは、どれも場合の数を効率よく数えるための道具です。 |
| 重複 | ちょうふく／じゅうふく | 同じものが2回以上現れること。この単元では「同じものを2回以上選んでよい」という意味で使います。数学では「ちょうふく」と読むのが正式ですが、「じゅうふく」と読まれることもあります。 |
| 重複順列 | ちょうふくじゅんれつ | \(n\) 種類から同じものを何回でも選んでよいとして \(r\) 個を選び、順番まで区別して並べる並べ方。総数は \(n^{r}\) で、記号では \({}_{n}\Pi_{r}\) と書きます。 |
| 重複組合せ | ちょうふくくみあわせ | \(n\) 種類から同じものを何回でも選んでよいとして \(r\) 個を選ぶ、順番を区別しない選び方。総数は \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\) です。 |
| 同じものを含む順列 | おなじものをふくむじゅんれつ | 「TOMATO」のように同じものが混ざった \(n\) 個を全部並べる並べ方。総数は \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) で、同じもの同士の並べ替えの分だけ割って重なりを消します。 |
| 順列 | じゅんれつ | \(n\) 個から \(r\) 個選んで、順番を区別して1列に並べる並べ方。記号は \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) で、一度選んだものは二度と選べません。 |
| 組合せ | くみあわせ | \(n\) 個から \(r\) 個選ぶだけで、順番を区別しない選び方。記号は \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) で、一度選んだものは二度と選べません。 |
| 階乗 | かいじょう | \(n\) から \(1\) までの整数をすべて掛け合わせる計算。記号は \(n!\) で、\(n\) 個すべてを並べる並べ方の総数を表します。 |
| 仕切り棒 | しきりぼう | 重複組合せを数えるときに、種類の切れ目を表すために置く記号 \(|\) のこと。\(n\) 種類を区切るには \(n-1\) 本必要で、○と合わせた \(n+r-1\) 個の場所から○の位置を選ぶ問題に置き換えられます。 |
| 多項係数 | たこうけいすう | 同じものを含む順列の総数 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\) の別名。\((a+b+c)^{n}\) を展開したときの各項の係数がこの形になることからこう呼ばれます。 |
| 樹形図 | じゅけいず | 場合の数をもれなく・重複なく数えるために、枝分かれの図で全パターンを書き出す方法。重複順列は、どの枝からも同じ数の枝が出る樹形図にあたります。 |
| 最短経路 | さいたんけいろ | 碁盤の目のような道で、遠回りせずに目的地へ行く道すじ。右へ \(p\) 区画・上へ \(q\) 区画進む最短経路の数は、同じものを含む順列 \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\) で求められます。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 掛け算・割り算（小学3〜5年） |
|
| 累乗・指数（中学1年〜高校 数学I） |
|
| 場合の数と樹形図（小学6年〜中学2年） |
|
| 階乗（高校 数学A） |
|
| 順列・組合せ（高校 数学A） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「重複順列 nΠr」を求める表
| 種類の数 n | 10 |
| 並べる個数 r | 4 |
| 重複順列 nΠr | =B1^B2 |
「重複組合せ nHr」を求める表
| 種類の数 n | 3 |
| 選ぶ個数 r | 5 |
| ○と仕切りを合わせた場所の数 | =B1+B2-1 |
| 重複組合せ nHr | =COMBIN(B3,B2) |
「同じものを含む順列」を求める表
| 全体の文字数 n（TOMATO） | 6 |
| Tの個数 | 2 |
| Oの個数 | 2 |
| Mの個数 | 1 |
| Aの個数 | 1 |
| 並べ方の総数 N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
貼り付けると、上の行が入力欄になり、最後の行が自動計算の結果になります。
「^」はべき乗の記号、FACTが階乗、COMBINが組合せ（nCr）を計算するExcelの関数です。
1つ目の表は0〜9の10種類から4桁の暗証番号を作る例で、B3に10000と表示されます。
2つ目の表は3種類のジュースから5本買う例で、B3に7（＝3+5-1）、B4に21と表示されます。
3つ目の表は「TOMATO」を並べ替える例で、B6に180と表示されます。同じ文字の種類が増えたときは、割る側にFACTを掛け足してください。=MULTINOMIAL(B2,B3,B4,B5) と書いても同じ180になります。
なお、Excelの数値は有効15桁までなので、答えが16桁以上になる場合は末尾の桁が丸められます。
「^」はべき乗の記号、FACTが階乗、COMBINが組合せ（nCr）を計算するExcelの関数です。
1つ目の表は0〜9の10種類から4桁の暗証番号を作る例で、B3に10000と表示されます。
2つ目の表は3種類のジュースから5本買う例で、B3に7（＝3+5-1）、B4に21と表示されます。
3つ目の表は「TOMATO」を並べ替える例で、B6に180と表示されます。同じ文字の種類が増えたときは、割る側にFACTを掛け足してください。=MULTINOMIAL(B2,B3,B4,B5) と書いても同じ180になります。
なお、Excelの数値は有効15桁までなので、答えが16桁以上になる場合は末尾の桁が丸められます。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「重複順列 nΠr」を求める表
| 種類の数 n | 10 |
| 並べる個数 r | 4 |
| 重複順列 nΠr | =B1^B2 |
「重複組合せ nHr」を求める表
| 種類の数 n | 3 |
| 選ぶ個数 r | 5 |
| ○と仕切りを合わせた場所の数 | =B1+B2-1 |
| 重複組合せ nHr | =COMBIN(B3,B2) |
「同じものを含む順列」を求める表
| 全体の文字数 n（TOMATO） | 6 |
| Tの個数 | 2 |
| Oの個数 | 2 |
| Mの個数 | 1 |
| Aの個数 | 1 |
| 並べ方の総数 N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
Excelと同じ式がそのまま使えます（FACT・COMBIN・MULTINOMIALはGoogleスプレッドシートにも同じ名前であります）。
表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、数値を自分の場面に書き換えてください。
表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、数値を自分の場面に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
import math
from collections import Counter
# 1) 重複順列（n種類から重複を許して r 個選び、順番も区別して並べる）
kinds = 10 # 種類の数 n（0〜9の10種類）
picks = 4 # 並べる個数 r（4桁）
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) 重複組合せ（n種類から重複を許して r 個選ぶ。順番は区別しない）
juice_kinds = 3 # 種類の数 n（3種類のジュース）
bottles = 5 # 選ぶ個数 r（5本）
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) 同じものを含む順列（同じ文字が混ざった文字列の並べ替え）
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"重複順列（{kinds}種類から{picks}個並べる）: {repeated_permutations}")
print(f"重複組合せ（{juice_kinds}種類から{bottles}個選ぶ）: {repeated_combinations}")
print(f"{word} の並べ替え: {same_item_permutations}")
標準ライブラリだけで動きます（math.combはPython 3.8以降）。実行すると 10000・21・180 と表示されます。Pythonの整数には桁数の上限がないので、答えが何百桁になっても正確に計算できます。先頭の数値と文字列を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
重複順列 \({}_{n}\Pi_{r}\)（重複を許して \(r\) 個並べる）
ₙΠᵣ = nʳ
{}_{n}\Pi_{r} = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>Π</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
重複組合せ \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)（重複を許して \(r\) 個選ぶ）
ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
{}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>H</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/>
</mmultiscripts>
</mrow>
</math>
H(n, r) = C(n+r-1, r)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
同じものを含む順列（同じ文字が混ざった並べ替え）
N = n! ÷ (p! × q! × r! × ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは場合の数（順列・組合せ）の計算アシスタントです。次の3つの計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 1. 0〜9の10種類の数字を使って4桁の暗証番号を作る方法は何通りありますか（同じ数字を何回使ってもよい）。 2. 3種類のジュースから、同じ種類を何本選んでもよいとして5本買う方法は何通りありますか（本数の組み合わせだけを数え、選ぶ順番は区別しない）。 3. 「TOMATO」の6文字を並べ替えてできる文字列は何通りありますか。 それぞれについて、重複順列・重複組合せ・同じものを含む順列のどれを使ったかと、その理由、実行結果の数値を示してください。Pythonでは math モジュール（math.comb・math.factorial）と collections.Counter を使ってください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
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順列・組合せ（nPr・nCr）
一度選んだものは選べない場合の並べ方（順列）と選び方（組合せ）を計算します
円順列・じゅず順列の計算機
円形に並べる並べ方（円順列）と、裏返して同じになる並びをまとめたじゅず順列を計算します
