x 軸の周りに回転させる多項式 f(x) の次数・係数と、回転させる範囲の下端 a・上端 b を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、∫の上下の数字や係数の部分を直接書き換えても計算できます。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。下端 a は上端 b より小さい値にしてください。x が付く項の係数の空欄は 1（x² は 1x² の意味）、定数項の空欄は 0 として扱います。使わない項には 0 を入力してください。
計算結果・グラフ
左の入力欄に係数と回転させる範囲を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と回転体の図が表示されます。
このページでできること
- 多項式 \(y = f(x)\)（1次〜4次）のグラフを \(x\) 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 \(V = \pi\displaystyle\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx\) を、係数と範囲を入れるだけでその場で計算できます
- 答えは \(\dfrac{8}{3}\pi\) のような「\(\pi\) × 約分済みの分数」の厳密値と小数の両方で表示。\(\{f(x)\}^2\) の展開・原始関数 \(G(x)\)・\(G(b) - G(a)\) を計算する途中式も見られます
- 計算機には手書きと同じ形の式 \(V = \pi\displaystyle\int_a^b \left(\cdots\right)^2 dx\) が表示され、\(\int\) の上下の数字や係数の部分を直接書き換えて計算することもできます
- 係数・範囲には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます
- 式のやさしい解説（なぜ \(\pi\{f(x)\}^2\) を積分すると体積になるのか）・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています
回転の軸は \(x\) 軸です。\(y\) 軸の周りの回転体（\(V = \pi\displaystyle\int_c^d \{g(y)\}^2\,dy\)）も、\(x\) と \(y\) の役割を入れ替えれば同じ手順で計算できます。対象は多項式（整式）で、分数関数・三角関数・無理関数などには対応していません。
この計算は何の役に立つ？
旋盤で削り出す部品の体積と重さ（製造業）
旋盤は、材料を高速で回転させて刃を当て、削り出す工作機械です。できあがる部品（シャフト・ノズル・こまのような形）はまさに回転体で、輪郭の曲線が決まれば体積は回転体の積分で求められます。
体積がわかれば「体積 × 材料の密度 = 重さ」も出せるので、材料費の見積もりや軽量化の検討に直結します。
ボトル・グラスなど容器の容量設計（プロダクトデザイン）
ペットボトルやワイングラスのような回転対称の容器は、内側の輪郭の曲線を式で表せば、容量（内容積）を回転体の積分として計算できます。
「ちょうど500mL入る形にしたい」という設計は、輪郭の曲線を調整しながらこの積分を繰り返す作業で、CADソフトが体積を出すときも内部では同じ考え方の計算が動いています。
タンク・サイロの容量計算（土木・プラント）
石油タンクや穀物サイロには、円柱に円錐や半球を組み合わせた回転体の形が多く使われます（強度と作りやすさの面で有利なためです）。
設備の容量や、液面の高さから中身の残量を求める換算表は、断面積を高さ方向に積分する計算で作られています。
CT画像から臓器や腫瘍の体積を測る（医療）
CTスキャンは、体を薄い輪切りにした断面画像を何百枚も撮る検査です。各断面での臓器の面積を測って厚さを掛けて足し合わせると、臓器や腫瘍のおおよその体積が推定できます。
これは「断面積を積み上げて体積にする」という、このページの式の考え方そのものです（実際の医療機器では、より細かい補正を加えた計算が使われています）。
回転成形・3Dプリントの材料量の見積もり（ものづくり）
ろくろで作る陶器や、回転成形で作るポリタンクのような製品は回転体に近い形をしています。輪郭から体積を積分で見積もれば、必要な粘土や樹脂の量、製品の重さを事前に計算できます。
共通するのは「形を式で表せば、量（体積・重さ・材料費）が計算できる」という考え方で、回転体の積分はその代表例です。
式とグラフ
回転体の体積（x軸回転）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(\displaystyle\int_{a}^{b} \{f(x)\}^{2}\,dx\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
回転体の体積 \(V\)
\(=\)
②
円周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
半径 \(f(x)\) の2乗を \(a\) から \(b\) まで定積分したもの
式を日本語で読むと
①
回転させる曲線の式 \(f(x)\) を2乗して、
\(\{f(x)\}^{2}\) を \(a\) から \(b\) まで定積分したもの
に
②
円周率 \(\pi\)
を掛けると
③
回転体の体積 \(V\)
になる
簡単な例
直線 \(y = x\) の \(x = 0\) から \(2\) までの部分を \(x\) 軸の周りに回転させると（できる立体は、底面の半径 \(2\)・高さ \(2\) の円錐）
円錐の体積 \(V\)
\(=\)
円周率 \(\pi\)
\(\times\)
\(x^2\) を \(0\) から \(2\) まで定積分したもの
\(V = \pi\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \pi\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \pi\left(\dfrac{8}{3} - 0\right) = \dfrac{8}{3}\pi\)
考え方のポイント
\(\{f(x)\}^{2}\) は「2乗してから展開すればただの多項式」です。だからこの積分は、定積分のページと同じ「原始関数を求めて上端・下端を代入して引く」手順だけで計算できます。
\(f(x)\) が途中で \(x\) 軸をまたいで負になっても大丈夫です。そこでの断面の半径は絶対値 \(|f(x)|\) になりますが、面積の計算では2乗するので \(\{f(x)\}^{2} \geq 0\) となり、体積が負になることはありません。
答えは \(\dfrac{8}{3}\pi\) のように「分数 × \(\pi\)」の形のまま書くのが教科書・答案の流儀です（\(\pi\) を小数にしてしまうと厳密な値ではなくなります）。
なぜこの式で体積が出るのか（断面積の積分）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(V\)
\(=\)
\(\displaystyle\int_{a}^{b} S(x)\,dx\)
\(S(x)\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(\{f(x)\}^{2}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
回転体の体積 \(V\)
\(=\)
②
断面積 \(S(x)\) を \(a\) から \(b\) まで足し集めたもの
①
位置 \(x\) での断面積 \(S(x)\)
\(=\)
円周率 \(\pi\)
\(\times\)
断面の円の半径 \(f(x)\) の2乗
式を日本語で読むと
①
回転体を位置 \(x\) で輪切りにした断面は「半径 \(f(x)\) の円」なので、円の面積の公式（半径の2乗 × \(\pi\)）から
断面積 \(S(x) = \pi\{f(x)\}^{2}\)
がわかる
②
この
断面積 \(S(x)\) を \(a\) から \(b\) まで足し集める（定積分する）
と
③
回転体の体積 \(V\)
になる
簡単な例
直線 \(y = x\) を回転させた円錐（\(0\) から \(2\) まで）を、位置 \(x\) で輪切りにすると
断面積 \(S(x)\)
\(=\)
円周率 \(\pi\)
\(\times\)
半径 \(x\) の2乗
\(S(x) = \pi x^{2}\)
\(V = \int_{0}^{2} \pi x^{2}\,dx = \dfrac{8}{3}\pi\)
考え方のポイント
体積の求め方の基本は「薄く切って、足し集める」です。回転体を位置 \(x\) のところで回転軸と垂直に切ると、断面は必ず「半径 \(f(x)\) の円」になります（回転してできた立体だから、切り口は円になります。\(f(x)\) が負のところでは、断面の半径はその絶対値 \(|f(x)|\) です）。
厚さ \(dx\) のごく薄い輪切り1枚の体積は、円柱とみなすと「断面積 × 厚さ」\(= S(x)\,dx\) です。これを \(a\) から \(b\) まで足し集める計算が、まさに定積分 \(\displaystyle\int_a^b S(x)\,dx\) です。
\(S(x) = \pi\{f(x)\}^{2}\) の \(\pi\) は \(x\) によらない定数なので、\(\int\) の前に出せます。こうして出てきたのが1つ目の公式 \(V = \pi\displaystyle\int_a^b \{f(x)\}^{2}\,dx\) です。
円錐の体積の公式を積分で導く
数学表記
（一般的な数式）
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
\(\pi r^{2}\)
\(\times\)
\(h\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
④
円錐の体積 \(V\)
\(=\)
③
積分から出てくる \(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
①
底面の円の面積 \(\pi r^2\)
\(\times\)
②
高さ \(h\)
式を日本語で読むと
①
底面の円の面積 \(\pi r^2\)
に
②
高さ \(h\)
を掛け（ここまでは円柱の体積）、さらに
③
\(\dfrac{1}{3}\)
を掛けると
④
円錐の体積 \(V\)
になる
簡単な例
原点を通る直線 \(y = \dfrac{r}{h}x\)（\(x = h\) のとき \(y = r\) になる直線）の \(0\) から \(h\) までを回転させると、底面の半径 \(r\)・高さ \(h\) の円錐になり
円錐の体積 \(V\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
底面の円の面積 \(\pi r^2\)
\(\times\)
高さ \(h\)
\(V = \pi\int_{0}^{h} \left(\dfrac{r}{h}x\right)^{2} dx = \pi \cdot \dfrac{r^{2}}{h^{2}}\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{h} = \pi \cdot \dfrac{r^{2}}{h^{2}} \cdot \dfrac{h^{3}}{3} = \dfrac{1}{3}\pi r^{2} h\)
考え方のポイント
小学校・中学校で「円錐の体積は円柱の \(\dfrac{1}{3}\)」と習ったとき、「なぜ \(\dfrac{1}{3}\) なのか」は説明されないままだったはずです。その正体は、回転体の積分に出てくる \(\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]\) の \(3\)（べき関数の積分公式で指数が \(2\) から \(3\) に増えて、\(3\) で割ること）です。
この計算機で「1次・xの係数 1・範囲 \(0\) から \(2\)」を計算すると \(\dfrac{8}{3}\pi\) になり、円錐の公式 \(\dfrac{1}{3}\pi \times 2^2 \times 2 = \dfrac{8}{3}\pi\) と一致することが確かめられます。
回転体の体積は、断面が「半径 \(f(x)\) の円」であることから \(V = \pi\displaystyle\int_a^b \{f(x)\}^2\,dx\) で求められます。\(\{f(x)\}^2\) は展開すればただの多項式なので、あとは定積分と同じく原始関数 \(G(x)\) を見つけて \(\pi\{G(b) - G(a)\}\) を計算するだけです。答えは \(\dfrac{8}{3}\pi\) のような「分数 × \(\pi\)」の形で書きます。
用語・記号の解説
記号
| \(V\) | ブイ | 体積を表すのによく使われる文字。英語で体積を意味する Volume の頭文字です。このページでは回転体の体積を表します。 |
| \(\pi\) | パイ | 円周率（約 3.14159）。円周の長さが直径の何倍かを表す数で、ギリシャ語で「周」を意味する言葉の頭文字に由来するといわれます。断面の円の面積 \(\pi r^2\) から出てきて、答えにもそのまま残ります。 |
| \(\displaystyle\int\) | インテグラル | 積分を表す記号。英語で「合計」を意味する Sum の頭文字 S を縦に引き伸ばした形に由来し、「細かく刻んで足し合わせる」という積分の考え方を表しています。 |
| \(a,\ b\) | エー・ビー | 回転させる範囲（積分区間）の両端。\(\int\) 記号の下に書く \(a\) が下端（範囲の左端）、上に書く \(b\) が上端（範囲の右端）です。回転体は \(a\) から \(b\) までの長さを持つ立体になります。 |
| \(dx\) | ディーエックス | 「\(x\) について積分する」ことを表す記号。\(d\) は difference（差）の頭文字で、「\(x\) のごくわずかな変化」という意味です。体積のイメージでは、輪切りにした1枚の「厚さ」にあたります（断面積が \(S(x)\)、厚さが \(dx\) の薄い輪切りを足し集めるのが回転体の体積です）。 |
| \(f(x)\) | エフエックス | 回転させる曲線を表す関数。\(f\) は function（関数）の頭文字です。回転体を輪切りにしたとき、\(f(x)\) がその位置での断面の円の「半径」になります。 |
| \(\{f(x)\}^{2}\) | エフエックスの2乗 | \(f(x)\) 全体を2乗したもの。中かっこ \(\{\ \}\) は「式のまとまりごと2乗する」ことをはっきりさせる書き方です。断面の円の面積が \(\pi \times\) 半径の2乗 \(= \pi\{f(x)\}^{2}\) なので、体積の式に登場します。 |
| \(S(x)\) | エスエックス | 位置 \(x\) で回転体を輪切りにしたときの断面積。\(S\) は面積によく使われる文字で、Square（平方）や Surface（面）の頭文字に由来するといわれます。切る位置 \(x\) によって値が変わるので、\(x\) の関数として \(S(x)\) と書きます。 |
| \(G(x)\) | ジーエックス | このページでの \(\{f(x)\}^{2}\) の原始関数（微分すると \(\{f(x)\}^{2}\) に戻る関数）。もとの関数 \(f\) と区別するため、アルファベットで次の文字の \(G\) を使っています。 |
| \(\Bigl[G(x)\Bigr]_a^b\) | ジーエックスの、エーからビーまで | \(G(b) - G(a)\) を表す途中式の書き方。「\(x\) に \(b\) と \(a\) を代入して引く」操作をひとまとめにした記号で、教科書の答案でもこの形で書きます。 |
| \(r,\ h\) | アール・エイチ | 円錐・円柱の公式に出てくる文字で、\(r\) は底面の半径（radius）、\(h\) は高さ（height）の頭文字です。このページでは、積分で出した体積を円錐・円柱の公式で検算するときに使います。 |
用語
| 回転体 | かいてんたい | 平面上の図形（このページでは曲線 \(y = f(x)\) と \(x\) 軸の間の部分）を、1本の直線の周りに1回転させてできる立体。円柱・円錐・球はすべて回転体です（長方形・直角三角形・半円を回転させるとできます）。 |
| 回転軸 | かいてんじく | 回転体を作るときの、回転の中心になる直線。このページでは \(x\) 軸が回転軸です。回転軸と垂直に切った断面は必ず円になります。 |
| 断面 | だんめん | 立体をある平面で切ったときの切り口の形。回転体を回転軸と垂直に切ると、断面は必ず円になります。 |
| 断面積 | だんめんせき | 断面の面積。回転体では、位置 \(x\) での断面が半径 \(f(x)\) の円なので、断面積は \(S(x) = \pi\{f(x)\}^{2}\) です。断面積を積分すると体積になります。 |
| 円周率 | えんしゅうりつ | 円周の長さ ÷ 直径 の値（約 3.14159…）。どんな大きさの円でも同じ値になるので、記号 \(\pi\) で表します。円の面積 \(\pi r^2\) を通して、回転体の体積の式に入ってきます。 |
| 定積分 | ていせきぶん | 区間（\(a\) から \(b\) まで）を決めて計算する積分。答えは1つの数値になります。回転体の体積は「断面積の定積分」として求められます。 |
| 原始関数 | げんしかんすう | 微分すると元の関数に戻る関数。このページでは \(\{f(x)\}^{2}\) の原始関数を \(G(x)\) と書き、体積は \(\pi\{G(b) - G(a)\}\) で計算できます。 |
| 積分区間 | せきぶんくかん | 「どこからどこまで」積分するかの範囲。このページでは「曲線のどこからどこまでを回転させるか」＝立体の左端 \(a\) と右端 \(b\) にあたります。 |
| 多項式 | たこうしき | \(2x^3 - x + 5\) のように、\(x\) のべき乗に係数を掛けた項を足し合わせた式。整式とも呼びます。この計算機が回転させられるのは多項式のグラフです。 |
| 係数 | けいすう | 文字の前に付いている数。\(3x^2\) の 3 が係数です。\(x^2\) のように数が書かれていない項の係数は 1 と考えます。 |
| 次数 | じすう | 式に出てくる \(x\) のべき乗のうち、最も高い指数のこと。\(x^3 - 2x + 3\) は \(x^3\) が最高なので「3次式」です。この計算機では最初に次数を選びます。 |
| 定数項 | ていすうこう | \(x + 1\) の 1 のように、\(x\) を含まない「数字だけの項」。\(f(x)\) が定数だけ（水平な直線）なら、回転体は円柱になります。 |
| 円柱 | えんちゅう | 底面が円の柱。体積は「底面積 × 高さ」\(= \pi r^2 h\) です。水平な直線 \(y = r\) を \(x\) 軸の周りに回転させるとできる、一番簡単な回転体です。 |
| 円錐 | えんすい | 底面が円で、先がとがった立体。体積は円柱のちょうど \(\dfrac{1}{3}\) の \(\dfrac{1}{3}\pi r^2 h\) です。原点を通る直線を \(x\) 軸の周りに回転させるとできます。 |
| 円錐台 | えんすいだい | 円錐の上部を底面と平行に切り落とした立体（バケツ・プリンの形）。原点を通らない直線の一部分を回転させるとできます。この計算機でも1次式で作れます。 |
| 区分求積法 | くぶんきゅうせきほう | 図形を細かく刻んで、簡単な形（長方形・薄い円柱など）の合計で面積や体積に迫る方法。定積分の考え方のおおもとで、回転体の「薄い輪切りを足し集める」もこの考え方です。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 円の面積と円周率（小学5〜6年） |
|
| 円柱・円錐の体積（小学6年〜中学1年） |
|
| 関数とグラフ（中学1〜2年） |
|
| 式の展開（中学3年〜高校 数学I） |
|
| 定積分（高校 数学II） |
|
| 分数の計算（小学5年〜中学1年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「回転体の体積（1次式 f(x) = c₁x + c₀ を回転）」を求める表
| 下端 a | 0 |
| 上端 b | 2 |
| xの係数 c1 | 1 |
| 定数項 c0 | 0 |
| {f(x)}² の定積分（πを掛ける前） | =B3^2*(B2^3-B1^3)/3+B3*B4*(B2^2-B1^2)+B4^2*(B2-B1) |
| 回転体の体積 V | =PI()*B5 |
「断面積 S(x) = π{f(x)}²」を求める表
| 断面の半径 f(x) の値 | 2 |
| 断面積 S(x) | =PI()*B1^2 |
「円錐の体積 V = (1/3)πr²h」を確かめる表
| 底面の半径 r | 2 |
| 高さ h | 2 |
| 円錐の体積 V | =PI()*B1^2*B2/3 |
貼り付けると、上の行（係数・範囲）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
「^」はべき乗、「PI()」は円周率 π を返すExcelの関数です。
1つ目の表は、{f(x)}² = (c₁x + c₀)² = c₁²x² + 2c₁c₀x + c₀² を項ごとに積分した式です。例の f(x) = x を 0 から 2 まで回転させると（円錐）、体積は約 8.37758（= 8π/3）になります。
2つ目の表は、輪切りの断面積 π × 半径² を求める表です。半径 2 なら約 12.566（= 4π）になります。
3つ目の表は円錐の体積の公式で、半径 2・高さ 2 を入れると1つ目の表と同じ約 8.37758 になり、積分の結果が正しいことを確かめられます。
「^」はべき乗、「PI()」は円周率 π を返すExcelの関数です。
1つ目の表は、{f(x)}² = (c₁x + c₀)² = c₁²x² + 2c₁c₀x + c₀² を項ごとに積分した式です。例の f(x) = x を 0 から 2 まで回転させると（円錐）、体積は約 8.37758（= 8π/3）になります。
2つ目の表は、輪切りの断面積 π × 半径² を求める表です。半径 2 なら約 12.566（= 4π）になります。
3つ目の表は円錐の体積の公式で、半径 2・高さ 2 を入れると1つ目の表と同じ約 8.37758 になり、積分の結果が正しいことを確かめられます。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「回転体の体積（1次式 f(x) = c₁x + c₀ を回転）」を求める表
| 下端 a | 0 |
| 上端 b | 2 |
| xの係数 c1 | 1 |
| 定数項 c0 | 0 |
| {f(x)}² の定積分（πを掛ける前） | =B3^2*(B2^3-B1^3)/3+B3*B4*(B2^2-B1^2)+B4^2*(B2-B1) |
| 回転体の体積 V | =PI()*B5 |
「断面積 S(x) = π{f(x)}²」を求める表
| 断面の半径 f(x) の値 | 2 |
| 断面積 S(x) | =PI()*B1^2 |
「円錐の体積 V = (1/3)πr²h」を確かめる表
| 底面の半径 r | 2 |
| 高さ h | 2 |
| 円錐の体積 V | =PI()*B1^2*B2/3 |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数と範囲を自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
import math
# 回転させる範囲（3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける）
lower_end = Fraction(0) # 下端 a
upper_end = Fraction(2) # 上端 b
# f(x) の係数を低い次数から並べる [c0, c1, c2, ...]
# 例：f(x) = x → 定数項0, xの係数1
coefficients = [Fraction(0), Fraction(1)]
# {f(x)}² の係数（多項式どうしの掛け算で展開する）
squared = [Fraction(0)] * (2 * len(coefficients) - 1)
for i, ci in enumerate(coefficients):
for j, cj in enumerate(coefficients):
squared[i + j] += ci * cj
def antiderivative_value(x):
# {f(x)}² の原始関数 G(x) = Σ 係数/(k+1) × x^(k+1) の値（積分定数Cは省略）
total = Fraction(0)
for k, c in enumerate(squared):
total += c * x ** (k + 1) / (k + 1)
return total
integral = antiderivative_value(upper_end) - antiderivative_value(lower_end)
print(f"体積（πの前の分数）: {integral} π")
print(f"体積（小数）: {float(integral) * math.pi}")
標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、π の前に付く分数を丸め誤差なしの厳密な値のまま計算できます。この例は f(x) = x を 0 から 2 まで回転させるもの（円錐）で、実行すると「8/3 π」と「8.377580409572781」が表示されます。係数と範囲を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
回転体の体積（x軸回転）
V = π∫[a→b] {f(x)}² dx
V = \pi \int_{a}^{b} \{f(x)\}^{2}\,dx
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msubsup><mo>∫</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></msubsup>
<msup>
<mrow><mo>{</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mi>d</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
V = pi int_a^b (f(x))^2 dx
Pi Integrate[f[x]^2, {x, a, b}]
V := Pi*int(f(x)^2, x = a..b);
V = pi*int(f^2, x, a, b);
V = π∫_a^b (f(x))^2 dx
なぜこの式で体積が出るのか（断面積の積分）
V = ∫[a→b] S(x) dx, S(x) = π{f(x)}²
V = \int_{a}^{b} S(x)\,dx, \quad S(x) = \pi\{f(x)\}^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup><mo>∫</mo><mi>a</mi><mi>b</mi></msubsup>
<mi>S</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>S</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup>
<mrow><mo>{</mo><mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>}</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</math>
V = int_a^b S(x) dx, S(x) = pi (f(x))^2
Integrate[Pi f[x]^2, {x, a, b}]
V := int(Pi*f(x)^2, x = a..b);
V = int(pi*f^2, x, a, b);
V = ∫_a^b S(x) dx, S(x) = π(f(x))^2
円錐の体積の公式を積分で導く
V = (1/3)πr²h
V = \dfrac{1}{3}\pi r^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 pi r^2 h
(1/3) Pi r^2 h
V := (1/3)*Pi*r^2*h;
V = pi*r^2*h/3;
V = (1/3)πr^2 h
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（微分積分）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。
曲線 y = x² + 1 の x = -1 から x = 1 までの部分を x 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積 V = π∫[-1→1] (x² + 1)² dx を計算してください。
次の内容をそれぞれ示してください。
1. {f(x)}² を展開した多項式
2. その原始関数 G(x)（積分定数Cは省略してよい）
3. G(1) と G(-1) の値（約分済みの分数で）
4. 体積 V（「分数 × π」の厳密な形と小数の両方で）
Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
どの問題も、曲線と \(x\) 軸の間の部分を \(x\) 軸の周りに1回転させます。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
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1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
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2計算「計算する」ボタンを押します
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3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
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「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
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関連機能
定積分計算機（多項式・分数の厳密値と途中式付き）
多項式の定積分 ∫[a→b]f(x)dx を、原始関数と途中式付きの厳密値（分数）で計算します
不定積分計算機（多項式・sin・cos・eˣ・1/x）
不定積分 ∫f(x)dx を原始関数 F(x)＋積分定数 C の形で、途中式・検算付きで計算します
2曲線間の面積 計算機（囲まれた部分の面積・1/6公式対応）
2つの多項式の間の面積 ∫[a→b]|f(x)−g(x)|dx を、交点の自動分割・1/6公式対応で計算します
球の体積 計算機
半径から球の体積を計算します。直径・円周からの逆算にも対応しています
