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直線 \(y = x\) の \(x = 0\) から \(1\) までの部分を \(x\) 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{1}{3}\pi\)
回転体の体積の公式に当てはめます。
\(V = \pi\displaystyle\int_{0}^{1} x^{2}\,dx\)
\(x^{2}\) の原始関数は \(\dfrac{x^{3}}{3}\) なので
\(V = \pi\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \pi\left(\dfrac{1}{3} - 0\right) = \dfrac{1}{3}\pi\)
できる立体は底面の半径 \(1\)・高さ \(1\) の円錐で、円錐の公式 \(\dfrac{1}{3}\pi r^{2}h = \dfrac{1}{3}\pi \times 1 \times 1\) とも一致します。
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直線 \(y = 2\) の \(x = 0\) から \(3\) までの部分を \(x\) 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めましょう。
解答：\(12\pi\)
半径にあたる \(f(x) = 2\) を2乗すると \(4\)（定数）です。
\(V = \pi\displaystyle\int_{0}^{3} 4\,dx = \pi\Bigl[4x\Bigr]_{0}^{3} = \pi(12 - 0) = 12\pi\)
できる立体は底面の半径 \(2\)・高さ \(3\) の円柱で、円柱の公式 \(\pi r^{2}h = \pi \times 4 \times 3 = 12\pi\) とも一致します。
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直線 \(y = x\) の \(x = 1\) から \(2\) までの部分を \(x\) 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{7}{3}\pi\)
下端が \(0\) でなくても手順は同じです。
\(V = \pi\displaystyle\int_{1}^{2} x^{2}\,dx = \pi\left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{1}^{2} = \pi\left(\dfrac{8}{3} - \dfrac{1}{3}\right) = \dfrac{7}{3}\pi\)
できる立体は円錐台（バケツの形）です。
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放物線 \(y = x^{2}\) の \(x = 0\) から \(1\) までの部分を \(x\) 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{1}{5}\pi\)
半径にあたる \(f(x) = x^{2}\) を2乗すると \(x^{4}\) です。
\(V = \pi\displaystyle\int_{0}^{1} x^{4}\,dx\)
\(x^{4}\) の原始関数は \(\dfrac{x^{5}}{5}\) なので
\(V = \pi\left[\dfrac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \pi\left(\dfrac{1}{5} - 0\right) = \dfrac{1}{5}\pi\)
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直線 \(y = x + 1\) の \(x = 0\) から \(2\) までの部分を \(x\) 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めましょう。
解答：\(\dfrac{26}{3}\pi\)
半径にあたる \(f(x) = x + 1\) を2乗して展開します。
\(\{f(x)\}^{2} = (x + 1)^{2} = x^{2} + 2x + 1\)
項ごとに積分して原始関数を求めます。
\(G(x) = \dfrac{x^{3}}{3} + x^{2} + x\)
上端 \(2\)・下端 \(0\) を代入して引き、\(\pi\) を掛けます。
\(V = \pi\left\{G(2) - G(0)\right\} = \pi\left(\dfrac{8}{3} + 4 + 2 - 0\right) = \dfrac{26}{3}\pi\)
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曲線 \(y = \sqrt{x}\) の \(x = 0\) から \(2\) までの部分を \(x\) 軸の周りに1回転させてできる回転体の体積を求めましょう。
解答：\(2\pi\)
\(\sqrt{x}\) のような無理関数でも、2乗すると \(\left(\sqrt{x}\right)^{2} = x\) とただの多項式になるので、回転体の体積は簡単に計算できます。
\(V = \pi\displaystyle\int_{0}^{2} x\,dx = \pi\left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \pi(2 - 0) = 2\pi\)
「2乗してから積分する」この式の形が、\(\sqrt{\ }\) を消してくれるのがポイントです。