「何乗根か（次数 n）」と「根号の中の数 a」を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、根号の左肩の次数や中の数を直接書き換えても計算できます。次数に 2 を入れると平方根（√a）、3 を入れると立方根（∛a）になります。
次数nには0以外の数を入力してください（2.5のような小数や負の数も使えます）。根号の中の数aに負の数を入れられるのは、次数nが正の奇数（1、3、5…）のときだけです。
計算結果
左の入力欄に「何乗根か」と数を入れて「計算する」を押すと、ここに結果が表示されます。
このページでできること
- 「何乗根か（次数 \(n\)）」と「根号の中の数 \(a\)」を入れるだけで、\(\sqrt{27}\) のような平方根から立方根・\(n\) 乗根まで、この1ページで計算できます
- 次数に2を入れると平方根（\(\sqrt{a}\)）、3を入れると立方根（\(\sqrt[3]{a}\)）です。2.5のような小数の次数や負の次数にも対応しています
- \(\sqrt[3]{-8} = -2\) のような「負の数の奇数乗根」もそのまま計算できます
- 式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています
正の数の平方根は \(+\sqrt{a}\) と \(-\sqrt{a}\) の2つありますが、この計算機は根号の値（正の方）を表示します。負の数の偶数乗根（負の数の平方根など）は実数の範囲では存在しないため計算できません。
この計算は何の役に立つ？
面積・体積から1辺の長さを逆算する（暮らし・DIY）
面積27m²の正方形の花壇を作りたいとき、1辺の長さは \(\sqrt{27} \fallingdotseq 5.2\)（約5.2m）。容量64L（=64000cm³）の立方体の水槽なら、1辺は \(\sqrt[3]{64000} = 40\)（40cm）です。
「掛け算した結果」から「元の長さ」に戻る計算はすべて累乗根で、庭づくり・収納・水槽選びなど、面積や体積が先に決まっている場面で出番があります。
資産や売上の「年平均成長率」を求める（お金）
10年で資産が2倍になったとき、毎年何%ずつ増えた計算になるのか——答えは10乗根で、\(\sqrt[10]{2} \fallingdotseq 1.0718\)、つまり年平均およそ7.2%です。
投資信託の運用報告や企業の売上成長率（CAGR＝年平均成長率）は、まさにこの「n年分の倍率のn乗根」で計算されています。複利の世界を自分の手で確かめられる、お金の判断に直結する式です。
コピー用紙のA4・A3が「同じ形」なのは \(\sqrt{2}\) のおかげ（身近な設計）
A判・B判の用紙は、縦と横の比が \(1 : \sqrt{2}\)（約1.414倍）になるように設計されています。この比率だと、半分に折っても（A3→A4→A5…）まったく同じ形が保たれるので、拡大・縮小コピーがきれいに収まります。
「2乗すると2になる数」という平方根の性質が、文房具という日常の道具の寸法を決めている例です。
ピアノの音階は「2の12乗根」でできている（音楽）
1オクターブ上の音は周波数がちょうど2倍。現代の楽器はその間を12個の半音で均等に割っており、半音上がるごとに周波数は \(\sqrt[12]{2} \fallingdotseq 1.0595\) 倍になります（十二平均律）。
ピアノの調律もシンセサイザーの音作りも、この「2の12乗根」が基準です。カラオケのキー変更ボタン1つ分も、周波数にするとこの倍率です。
データのばらつき（標準偏差）を仕上げる（統計・品質管理）
テストの成績分析や工場の品質管理で使う標準偏差は、「分散（ばらつきの2乗の平均）の平方根」として計算します。分散が9点²なら標準偏差は \(\sqrt{9} = 3\) 点です。
2乗して計算した量を元の単位に戻すのに平方根が必須で、偏差値・世論調査の誤差・製品の規格幅など、統計が使われるあらゆる場面でこの計算が動いています。
式
\(n\) 乗根の定義（\(n\) 乗すると \(a\) に戻る数）
数学表記
（一般的な数式）
\(b\)
\(n\)
\(=\)
\(a\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
\(a\) の \(n\) 乗根 \(b\)
②
次数 \(n\)
\(=\)
③
根号の中の数 \(a\)
式を日本語で読むと
①
\(a\) の \(n\) 乗根 \(b\)
を
②
次数 \(n\)
の回数だけくり返し掛けると
③
根号の中の数 \(a\)
にちょうど戻る
簡単な例
27の立方根（3乗根）は3です。「3を3回掛けると27に戻る」ことを確かめると
27の3乗根（3）
次数（3乗）
\(=\)
根号の中の数（27）
\(3 \times 3 \times 3 = 27\)
考え方のポイント
「\(a\) の \(n\) 乗根」とは「\(n\) 乗すると \(a\) になる数」のことで、記号では \(\sqrt[n]{a}\) と書きます。累乗（べき乗）とはちょうど逆向きの計算なので、「累乗の逆算」と覚えると意味がつかめます。
根号（ルート記号）の左肩に小さく書いた数が次数 \(n\) で、\(n = 2\)（平方根）のときだけ慣例で省略して \(\sqrt{a}\) と書きます。\(n = 3\) の \(\sqrt[3]{a}\) は立方根と呼びます。
累乗根を指数で表す（\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\)）
数学表記
（一般的な数式）
\(\sqrt[n]{a}\)
\(=\)
\(a\)
\(1/n\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
\(a\) の \(n\) 乗根 \(\sqrt[n]{a}\)
\(=\)
①
根号の中の数 \(a\)
②
指数 \(\frac{1}{n}\)
式を日本語で読むと
①
根号の中の数 \(a\)
を
②
指数 \(\frac{1}{n}\)（\(n\) 分の1）
乗すると
③
\(a\) の \(n\) 乗根 \(\sqrt[n]{a}\)
になる
簡単な例
\(\sqrt{27}\)（27の平方根）を指数の形に直して計算すると
27の平方根 \(\sqrt{27}\)
\(=\)
根号の中の数（27）
指数（1/2）
\(27^{1/2} = \sqrt{27} \fallingdotseq 5.196\)
考え方のポイント
電卓・Excel・プログラミングでは根号の記号が入力できないことが多く、この「\(\frac{1}{n}\) 乗」の形に直して計算します（例：\(\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}\)）。この計算機も内部ではこの式で計算しています。
指数を \(\frac{1}{n}\) という分数まで広げてよいのは、指数法則 \((a^{1/n})^n = a^{n \times (1/n)} = a^1 = a\) が成り立つからです——「\(n\) 乗すると \(a\) に戻る」という \(n\) 乗根の定義そのものになっています。次数 \(n\) は2や3だけでなく、2.5のような小数や負の数でも「\(\frac{1}{n}\) 乗」として意味が通ります（そのときは \(a > 0\) に限ります）。
負の数の累乗根（次数が奇数のときだけ）
数学表記
（一般的な数式）
\(\sqrt[n]{-a}\)
\(=\)
\(-\sqrt[n]{a}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
②
負の数 \(-a\) の \(n\) 乗根 \(\sqrt[n]{-a}\)
\(=\)
①
マイナスを付けた数 \(-\sqrt[n]{a}\)
式を日本語で読むと
①
次数 \(n\) が奇数のとき、
正の数 \(a\) の \(n\) 乗根にマイナスを付けた数 \(-\sqrt[n]{a}\)
が
②
負の数 \(-a\) の \(n\) 乗根 \(\sqrt[n]{-a}\)
になる
簡単な例
\(-8\) の立方根（3乗根）は、まず \(8\) の立方根 \(\sqrt[3]{8} = 2\) を求めて、マイナスを付けると
−8 の立方根 \(\sqrt[3]{-8}\)
\(=\)
8 の立方根（2）にマイナスを付けた数
\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)
\((-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)
考え方のポイント
マイナスの数を奇数回掛けるとマイナスのままなので（例：\((-2)^3 = -8\)）、負の数にも奇数乗根は存在します。
一方、マイナスの数を偶数回掛けると必ずプラスになるため（例：\((-2)^2 = +4\)）、「2乗すると \(-4\) になる実数」は存在せず、負の数の偶数乗根（負の数の平方根など）は実数の範囲では計算できません。この計算機で根号の中に負の数を入れられるのが「次数が奇数のときだけ」なのは、このためです。
平方根を手計算で近づける方法（平均をくり返す）
数学表記
（一般的な数式）
\(b'\)
\(=\)
\((\)
\(b\)
\(+\)
\(a \div b\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
④
新しい見積もり \(b'\)
\(=\)
\((\)
①
今の見積もり \(b\)
\(+\)
②
根号の中の数 \(a\) ÷ 今の見積もり \(b\)
\()\)
\(\div\)
③
2（2つの平均を取る）
式を日本語で読むと
①
今の見積もり \(b\)
と
②
根号の中の数 \(a\) ÷ 今の見積もり \(b\)
を足して
③
2（2つの平均を取る）
で割ると
④
新しい見積もり \(b'\)
になる（くり返すほど本当の平方根に近づく）
簡単な例
\(\sqrt{27}\)（答えは約5.196）を、見積もり \(b = 5\) から1回改良すると
新しい見積もり
\(=\)
\((\)
今の見積もり（5）
\(+\)
27 ÷ 5（= 5.4）
\()\)
\(\div\)
2
\((5 + 27 \div 5) \div 2 = (5 + 5.4) \div 2 = 5.2\)
\(5.2 \times 5.2 = 27.04 \fallingdotseq 27\)
考え方のポイント
見積もり \(b\) が本当の平方根より小さすぎると、\(a \div b\) は逆に大きすぎになります。本当の平方根は必ずこの2つの間にあるので、平均を取ると一気に近づく——これがこの方法のからくりです。上の例をもう1回くり返すと \((5.2 + 27 \div 5.2) \div 2 = 5.19615\cdots\) となり、小数第5位まで正確になります。
コンピュータや電卓が平方根を求める方法（ニュートン法）も、この考え方が土台です。\(n\) 乗根では、平均の取り方を変えた \(b' = \{(n-1) \times b + a \div b^{n-1}\} \div n\) が同じ役割をします。
累乗根は「n乗するとaに戻る数」を求める、累乗（べき乗）の逆向きの計算です。計算するときは「aの1/n乗」の形に直すのが基本で、負の数の累乗根は次数が奇数のときだけ実数で存在します。
用語・記号の解説
記号
| \(\sqrt{a}\) | ルート・エー | \(a\) の平方根（2乗すると \(a\) になる、0以上の数）。根号の左肩の2は慣例で省略します。（例：\(\sqrt{27} \fallingdotseq 5.196\)） |
| \(\sqrt[3]{a}\) | 3乗根エー（立方根） | 3乗すると \(a\) になる数。（例：\(\sqrt[3]{27} = 3\)、\(\sqrt[3]{-8} = -2\)） |
| \(\sqrt[n]{a}\) | エヌ乗根エー | \(n\) 乗すると \(a\) になる数。根号の左肩の小さい \(n\) が次数（何乗根か）を表します。 |
| \(a^{1/n}\) | エーのエヌ分の1乗 | \(\sqrt[n]{a}\) と同じ値を指数の形で書いたもの。電卓やプログラミングではこちらの形で計算します。 |
| \(b'\) | ビー・ダッシュ | 手計算の反復法での「新しい見積もり」。\(b\) を1段階改良した値という意味で、記号にダッシュ（プライム）を付けて区別します。 |
用語
| 累乗 （べき乗） |
るいじょう | 同じ数を何回も掛け合わせる計算。\(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) のように、右上の小さい数（指数）が掛ける回数を表します。 |
| 累乗根 | るいじょうこん | \(n\) 乗すると \(a\) になる数（\(\sqrt[n]{a}\)）のこと。平方根・立方根・\(n\) 乗根の総称で、累乗のちょうど逆向きの計算です。 |
| 平方根 | へいほうこん | 2乗すると \(a\) になる数。正の数の平方根は \(+\sqrt{a}\) と \(-\sqrt{a}\) の2つあり、根号 \(\sqrt{a}\) は正の方を表します。中学3年で学びます。 |
| 立方根 | りっぽうこん | 3乗すると \(a\) になる数（\(\sqrt[3]{a}\)）。立方体の体積から1辺の長さを求めるときに登場します。 |
| 次数 | じすう | 「何乗根か」を表す数 \(n\) です。根号の左肩に小さく書きます。次数2が平方根、次数3が立方根です。数学では正式に「根指数（こんしすう）」とも呼ばれます。 |
| 指数 | しすう | 数の右上に小さく書く「何回掛けるか」の数。指数を \(\frac{1}{n}\) という分数まで広げると、累乗根を累乗の形（\(a^{1/n}\)）で表せます。 |
| 開平 | かいへい | 平方根を求める計算のこと。筆算で平方根を求める昔ながらの方法は「開平法」と呼ばれます。 |
| 無理数 | むりすう | \(\sqrt{2} = 1.41421356\cdots\) のように、分数で表せない（小数がくり返しなくどこまでも続く）数。割り切れない累乗根は無理数になります。 |
| ニュートン法 | ニュートンほう | 「見積もりを式で少しずつ改良してくり返す」ことで方程式の答えに近づける計算法。コンピュータが平方根や累乗根を高速に求める土台になっています。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
| 累乗・指数（中学1年〜） |
|
| 平方根（中学3年） |
|
| 負の数の掛け算（中学1年） |
|
| 小数の掛け算（小学5年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「平方根（√a）」を求める表
| 根号の中の数 a | 27 |
| 平方根 √a | =SQRT(B1) |
「立方根（3乗根）」を求める表
| 根号の中の数 a | 27 |
| 立方根 | =B1^(1/3) |
「n乗根」を求める表
| 次数 n（何乗根か） | 8 |
| 根号の中の数 a | 15 |
| n乗根 | =B2^(1/B1) |
1つ目の表はB2に27の平方根（約5.196）、2つ目の表はB2に27の立方根（3）、3つ目の表はB3に15の8乗根（約1.403）が表示されます。
SQRTは平方根専用の関数で、立方根やn乗根には「^(1/n)」（1/n乗）を使います。「^」はべき乗（何乗するか）の記号です。
注意：Excelは根号の中の数が負だと「^(1/3)」でもエラー（#NUM!）になります。負の数の奇数乗根は「=-((-B1)^(1/3))」のように、符号をいったん外して計算してください（Excelはマイナス記号をべき乗より先に計算するため、外側のカッコを省くとエラーのままになります）。
SQRTは平方根専用の関数で、立方根やn乗根には「^(1/n)」（1/n乗）を使います。「^」はべき乗（何乗するか）の記号です。
注意：Excelは根号の中の数が負だと「^(1/3)」でもエラー（#NUM!）になります。負の数の奇数乗根は「=-((-B1)^(1/3))」のように、符号をいったん外して計算してください（Excelはマイナス記号をべき乗より先に計算するため、外側のカッコを省くとエラーのままになります）。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「平方根（√a）」を求める表
| 根号の中の数 a | 27 |
| 平方根 √a | =SQRT(B1) |
「立方根（3乗根）」を求める表
| 根号の中の数 a | 27 |
| 立方根 | =B1^(1/3) |
「n乗根」を求める表
| 次数 n（何乗根か） | 8 |
| 根号の中の数 a | 15 |
| n乗根 | =B2^(1/B1) |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、入力欄の数値を自分の数に書き換えてください。
Googleスプレッドシートも、根号の中の数が負だとエラーになります。負の数の奇数乗根は「=-((-B1)^(1/3))」のように符号をいったん外して計算してください（マイナス記号がべき乗より先に計算されるため、外側のカッコを省くとエラーのままになります）。
Googleスプレッドシートも、根号の中の数が負だとエラーになります。負の数の奇数乗根は「=-((-B1)^(1/3))」のように符号をいったん外して計算してください（マイナス記号がべき乗より先に計算されるため、外側のカッコを省くとエラーのままになります）。
Pythonで計算する方法
number = 27 # 根号の中の数 a
degree = 3 # 何乗根か（次数 n）
root = number ** (1 / degree) # n乗根 = aの(1/n)乗
print(f"{number} の {degree}乗根: {root}")
# 負の数の奇数乗根は、符号をいったん外して計算する
# （負の数をそのまま(1/3)乗すると、Pythonは複素数を返してしまうため）
negative_number = -8
odd_degree = 3
negative_root = -((-negative_number) ** (1 / odd_degree))
print(f"{negative_number} の {odd_degree}乗根: {negative_root}")
標準ライブラリだけで動きます。「**」がべき乗の記号で、(1/n)乗がn乗根です。先頭の数と次数を書き換えて実行してください。負の数の奇数乗根は、例のように符号をいったん外してから計算します。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
\(n\) 乗根の定義（\(n\) 乗すると \(a\) に戻る数）
ⁿ√a = b ⟺ bⁿ = a
\sqrt[n]{a} = b \iff b^{n} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⟺</mo>
<msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = b iff b^n = a
Surd[a, n]
b := root(a, n);
b = nthroot(a, n);
√(n&a) = b ⟺ b^n = a
累乗根を指数で表す（\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\)）
ⁿ√a = a^(1/n)
\sqrt[n]{a} = a^{1/n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = a^(1/n)
a^(1/n)
b := a^(1/n);
b = a^(1/n);
√(n&a) = a^(1/n)
負の数の累乗根（次数が奇数のときだけ）
ⁿ√(−a) = −(ⁿ√a)
\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot>
<mrow><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mroot>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
</mrow>
</math>
root(n)(-a) = -root(n)(a)
Surd[-a, n]
b := surd(-a, n);
b = nthroot(-a, n);
√(n&−a) = −√(n&a)
平方根を手計算で近づける方法（平均をくり返す）
b′ = (b + a ÷ b) ÷ 2
b' = \dfrac{1}{2}\left( b + \dfrac{a}{b} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>b</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
b' = (b + a/b)/2
(b + a/b)/2
bnew := (b + a/b)/2;
b_new = (b + a/b)/2;
b′ = (b + a/b)/2
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 次の累乗根をそれぞれ求めてください。 1. 27 の平方根（2乗根） 2. 10 の立方根（3乗根） 3. 15 の8乗根 4. −8 の立方根（負の数の奇数乗根は、符号をいったん外して計算してください） 計算に使った式と、実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
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専門知識不要、直感的で簡単な操作
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クレジット表記不要
クレジット表記不要
商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
商用利用許諾の連絡も不要です
関連機能
標準偏差の計算
データのばらつきを計算します。式の仕上げに「分散の平方根（√）」としてこのページの計算が登場します
増減率計算（〇%増し・〇%引き）
元の値・増減率・増減後の値のうち2つから残りを計算します。年平均成長率はn乗根とセットで使う考え方です
平均値の計算
数値の合計と個数から平均を計算します。成長率の「平均」には累乗根を使った幾何平均が使われます
