請輸入「幾次方根（根指數 n）」和「根號裡的數 a」。下方的數學式和輸入欄是連動的，直接改寫根號左上方的根指數或裡面的數也能計算。根指數填 2 就是平方根（√a），填 3 就是立方根（∛a）。
根指數 n 請輸入 0 以外的數（也可以用 2.5 這樣的小數或負數）。只有根指數 n 是正的奇數（1、3、5…）時，根號裡的數 a 才能填負數。
計算結果
在左邊的輸入欄填入「幾次方根」和數，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入「幾次方根（根指數 \(n\)）」和「根號裡的數 \(a\)」，從 \(\sqrt{27}\) 這樣的平方根到立方根、\(n\) 次方根，都能在這一頁算出來
- 根指數填 2 就是平方根（\(\sqrt{a}\)），填 3 就是立方根（\(\sqrt[3]{a}\)）。也支援 2.5 這樣的小數或負數的根指數
- 像 \(\sqrt[3]{-8} = -2\) 這樣「負數的奇數次方根」也能直接計算
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
正數的平方根有 \(+\sqrt{a}\) 和 \(-\sqrt{a}\) 兩個，這個計算機顯示的是根號的值（正的那一個）。負數的偶數次方根（負數的平方根等）在實數範圍內不存在，所以無法計算。
這個計算有什麼用？
由面積、體積反推邊長（生活、DIY）
想做一個面積 27 m² 的正方形花圃時，邊長是 \(\sqrt{27} \approx 5.2\)（約 5.2 m）。容量 64 L（＝64000 cm³）的正方體水族箱，邊長是 \(\sqrt[3]{64000} = 40\)（40 cm）。
從「相乘的結果」回到「原來的長度」的計算全都是方根，在佈置庭院、收納、挑選水族箱等面積或體積先決定的場合都用得到。
求資產或營收的「年平均成長率」（理財）
資產 10 年變成 2 倍時，等於每年增加多少 %？——答案是 10 次方根，\(\sqrt[10]{2} \approx 1.0718\)，也就是年平均約 7.2%。
基金的績效報告和企業的營收成長率（CAGR＝年複合成長率），正是用這個「n 年倍率的 n 次方根」計算。可以親手確認複利的世界，是和理財判斷直接相關的式子。
影印紙 A4、A3「形狀相同」是因為 \(\sqrt{2}\)（生活中的設計）
A 系列、B 系列的紙張，長寬比設計成 \(1 : \sqrt{2}\)（約 1.414 倍）。這個比例對折後（A3→A4→A5…）形狀完全相同，所以放大、縮小影印都能剛好放進去。
這是「平方後等於 2 的數」這個平方根的性質，決定了文具這種日常用品尺寸的例子。
鋼琴的音階是由「2 的 12 次方根」構成的（音樂）
高八度的音，頻率剛好是 2 倍。現代的樂器把中間平均分成 12 個半音，每升高一個半音，頻率就變成 \(\sqrt[12]{2} \approx 1.0595\) 倍（十二平均律）。
鋼琴的調音和合成器的音色製作，都以這個「2 的 12 次方根」為基準。KTV 按一次升降 Key 的按鈕，換算成頻率也是這個倍率。
算出資料的分散程度（標準差）的最後一步（統計、品管）
分析考試成績、工廠品管用的標準差，是用「變異數（差距平方的平均）的平方根」計算。變異數是 9 分² 的話，標準差就是 \(\sqrt{9} = 3\) 分。
要把平方計算出來的量換回原本的單位，一定要用平方根。民意調查的誤差、產品的規格範圍等，凡是用到統計的地方，都在進行這個計算。
公式
\(n\) 次方根的定義（\(n\) 次方後變回 \(a\) 的數）
數學寫法
（一般的數學式）
\(b\)
\(n\)
\(=\)
\(a\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(b\)：\(a\) 的 \(n\) 次方根
②
\(n\)：根指數
\(=\)
③
\(a\)：根號裡的數
用文字讀公式
①
把
\(b\)：\(a\) 的 \(n\) 次方根
②
自乘
\(n\)：根指數
次，
③
剛好會變回
\(a\)：根號裡的數
簡單範例
27 的立方根是 3。確認「3 乘 3 次會變回 27」：
27 的立方根（3）
根指數（3 次方）
\(=\)
根號裡的數（27）
\(3 \times 3 \times 3 = 27\)
思考重點
「\(a\) 的 \(n\) 次方根」就是「\(n\) 次方後等於 \(a\) 的數」，符號寫成 \(\sqrt[n]{a}\)。它剛好是乘方（次方）的反向計算，記成「乘方的逆運算」就容易理解。
寫在根號左上方的小數字就是根指數 \(n\)，只有 \(n = 2\)（平方根）時依慣例省略，寫成 \(\sqrt{a}\)。\(n = 3\) 的 \(\sqrt[3]{a}\) 叫做立方根。
用指數表示方根（\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\)）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\sqrt[n]{a}\)
\(=\)
\(a\)
\(1/n\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(\sqrt[n]{a}\)：\(a\) 的 \(n\) 次方根
\(=\)
①
\(a\)：根號裡的數
②
\(\frac{1}{n}\)：指數
用文字讀公式
①
把
\(a\)：根號裡的數
②
乘
\(\frac{1}{n}\)：指數（\(n\) 分之 1）
次方，
③
就得到
\(\sqrt[n]{a}\)：\(a\) 的 \(n\) 次方根
簡單範例
把 \(\sqrt{27}\)（27 的平方根）改寫成指數的形式來計算：
27 的平方根 \(\sqrt{27}\)
\(=\)
根號裡的數（27）
指數（1/2）
\(27^{1/2} = \sqrt{27} \approx 5.196\)
思考重點
計算機、Excel、程式語言常常無法輸入根號，所以會改寫成這個「\(\frac{1}{n}\) 次方」的形式來計算（例如：\(\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}\)）。這個計算機內部也是用這個式子計算。
指數可以推廣到 \(\frac{1}{n}\) 這樣的分數，是因為指數律 \((a^{1/n})^n = a^{n \times (1/n)} = a^1 = a\) 成立——這正是「\(n\) 次方後變回 \(a\)」這個 \(n\) 次方根的定義。根指數 \(n\) 不只是 2 或 3，像 2.5 這樣的小數或負數，也都能當成「\(\frac{1}{n}\) 次方」來理解（這時只限 \(a > 0\)）。
負數的方根（只有根指數是奇數時）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\sqrt[n]{-a}\)
\(=\)
\(-\sqrt[n]{a}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(\sqrt[n]{-a}\)：負數 \(-a\) 的 \(n\) 次方根
\(=\)
①
\(-\sqrt[n]{a}\)：加上負號的數
用文字讀公式
①
根指數 \(n\) 是奇數時，
\(-\sqrt[n]{a}\)：正數 \(a\) 的 \(n\) 次方根加上負號
就是
②
\(\sqrt[n]{-a}\)：負數 \(-a\) 的 \(n\) 次方根
簡單範例
\(-8\) 的立方根，先求 \(8\) 的立方根 \(\sqrt[3]{8} = 2\)，再加上負號：
−8 的立方根 \(\sqrt[3]{-8}\)
\(=\)
8 的立方根（2）加上負號
\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)
\((-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)
思考重點
負數乘奇數次仍然是負的（例如：\((-2)^3 = -8\)），所以負數也有奇數次方根。
另一方面，負數乘偶數次一定變成正的（例如：\((-2)^2 = +4\)），所以「平方後等於 \(-4\) 的實數」不存在，負數的偶數次方根（負數的平方根等）在實數範圍內無法計算。這個計算機只有在「根指數是奇數時」才能在根號裡填負數，就是這個原因。
用手算逼近平方根的方法（反覆取平均）
數學寫法
（一般的數學式）
\(b'\)
\(=\)
\((\)
\(b\)
\(+\)
\(a \div b\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(b'\)：新的估計值
\(=\)
\((\)
①
\(b\)：目前的估計值
\(+\)
②
\(a \div b\)：根號裡的數 ÷ 目前的估計值
\()\)
\(\div\)
③
2（取兩者的平均）
用文字讀公式
①
把
\(b\)：目前的估計值
②
和
\(a \div b\)：根號裡的數 ÷ 目前的估計值
相加，
③
再除以
2（取兩者的平均）
，
④
就得到
\(b'\)：新的估計值
（重複越多次，越接近真正的平方根）
簡單範例
從估計值 \(b = 5\) 開始，把 \(\sqrt{27}\)（答案約 5.196）改良 1 次：
新的估計值
\(=\)
\((\)
目前的估計值（5）
\(+\)
27 ÷ 5（= 5.4）
\()\)
\(\div\)
2
\((5 + 27 \div 5) \div 2 = (5 + 5.4) \div 2 = 5.2\)
\(5.2 \times 5.2 = 27.04 \approx 27\)
思考重點
估計值 \(b\) 比真正的平方根小時，\(a \div b\) 反而會太大，反過來也一樣。真正的平方根一定在這兩個數之間，所以取平均就能一口氣逼近——這就是這個方法的原理。把上面的例子再做一次，得到 \((5.2 + 27 \div 5.2) \div 2 = 5.19615\cdots\)，已經準確到小數第 5 位。
電腦和計算機求平方根的方法（牛頓法）也是以這個想法為基礎。\(n\) 次方根則是改變取平均的方式，用 \(b' = \{(n-1) \times b + a \div b^{n-1}\} \div n\) 扮演同樣的角色。
方根是求「n 次方後變回 a 的數」，也就是乘方（次方）的反向計算。計算時基本上改寫成「a 的 1/n 次方」，負數的方根只有在根指數是奇數時才存在於實數中。
符號與用語解說
符號
| \(\sqrt{a}\) | 根號 a | \(a\) 的平方根（平方後等於 \(a\)、大於或等於 0 的數）。根號左上方的 2 依慣例省略。（例：\(\sqrt{27} \approx 5.196\)） |
| \(\sqrt[3]{a}\) | a 的立方根 | 3 次方後等於 \(a\) 的數。（例：\(\sqrt[3]{27} = 3\)，\(\sqrt[3]{-8} = -2\)） |
| \(\sqrt[n]{a}\) | a 的 n 次方根 | \(n\) 次方後等於 \(a\) 的數。根號左上方的小 \(n\) 是根指數（幾次方根）。 |
| \(a^{1/n}\) | a 的 n 分之 1 次方 | 把和 \(\sqrt[n]{a}\) 相同的值寫成指數的形式。計算機和程式語言用這個形式計算。 |
| \(b'\) | b prime | 手算反覆法中的「新的估計值」。表示把 \(b\) 改良一步後的值，在符號加上撇號（prime）來區別。 |
用語
| 乘方 （次方） |
把同一個數連乘好幾次的計算。像 \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) 這樣，右上方的小數字（指數）表示相乘的次數。 |
| 方根 | \(n\) 次方後等於 \(a\) 的數（\(\sqrt[n]{a}\)），是平方根、立方根、\(n\) 次方根的總稱，剛好是乘方的反向計算。 |
| 平方根 | 平方後等於 \(a\) 的數。正數的平方根有 \(+\sqrt{a}\) 和 \(-\sqrt{a}\) 兩個，根號 \(\sqrt{a}\) 表示正的那一個。求平方根的計算叫做開平方。在國中八年級學到。 |
| 立方根 | 3 次方後等於 \(a\) 的數（\(\sqrt[3]{a}\)）。由正方體的體積求邊長時會用到。 |
| 根指數 | 表示「幾次方根」的數 \(n\)，寫在根號的左上方。根指數 2 是平方根，根指數 3 是立方根。 |
| 指數 | 寫在數的右上方、表示「乘幾次」的小數字。把指數推廣到 \(\frac{1}{n}\) 這樣的分數，就能把方根寫成乘方的形式（\(a^{1/n}\)）。 |
| 開平方 | 求平方根的計算，也就是俗稱的「開根號」。用直式求平方根的傳統方法叫做「開平方法」。 |
| 無理數 | 像 \(\sqrt{2} = 1.41421356\cdots\) 這樣，無法用分數表示（小數無限延續且不循環）的數。開不盡的方根就是無理數。 |
| 牛頓法 | 「用公式一點一點改良估計值並反覆進行」來逼近方程式答案的計算方法，是電腦快速求平方根和方根的基礎。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 乘方與指數（國中七年級以上，12 歲～） |
|
| 平方根（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 負數的乘法（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 小數的乘法（國小五～六年級，10～12 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「平方根（√a）」的表格
| 根號裡的數 a | 27 |
| 平方根 √a | =SQRT(B1) |
求「立方根」的表格
| 根號裡的數 a | 27 |
| 立方根 | =B1^(1/3) |
求「n 次方根」的表格
| 根指數 n（幾次方根） | 8 |
| 根號裡的數 a | 15 |
| n 次方根 | =B2^(1/B1) |
第一個表格在 B2 顯示 27 的平方根（約 5.196），第二個表格在 B2 顯示 27 的立方根（3），第三個表格在 B3 顯示 15 的 8 次方根（約 1.403）。
SQRT 是平方根專用的函數，立方根和 n 次方根要用「^(1/n)」（1/n 次方）。「^」是乘方（幾次方）的符號。
注意：根號裡的數是負數時，Excel 就算用「^(1/3)」也會出現錯誤（#NUM!）。負數的奇數次方根，請像「=-((-B1)^(1/3))」這樣先把負號拿掉再計算（Excel 會先計算負號再計算乘方，省略外側的括號仍會出現錯誤）。
SQRT 是平方根專用的函數，立方根和 n 次方根要用「^(1/n)」（1/n 次方）。「^」是乘方（幾次方）的符號。
注意：根號裡的數是負數時，Excel 就算用「^(1/3)」也會出現錯誤（#NUM!）。負數的奇數次方根，請像「=-((-B1)^(1/3))」這樣先把負號拿掉再計算（Excel 會先計算負號再計算乘方，省略外側的括號仍會出現錯誤）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「平方根（√a）」的表格
| 根號裡的數 a | 27 |
| 平方根 √a | =SQRT(B1) |
求「立方根」的表格
| 根號裡的數 a | 27 |
| 立方根 | =B1^(1/3) |
求「n 次方根」的表格
| 根指數 n（幾次方根） | 8 |
| 根號裡的數 a | 15 |
| n 次方根 | =B2^(1/B1) |
和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的數即可。
Google 試算表也一樣，根號裡的數是負數時會出現錯誤。負數的奇數次方根，請像「=-((-B1)^(1/3))」這樣先把負號拿掉再計算（負號會比乘方先計算，省略外側的括號仍會出現錯誤）。
Google 試算表也一樣，根號裡的數是負數時會出現錯誤。負數的奇數次方根，請像「=-((-B1)^(1/3))」這樣先把負號拿掉再計算（負號會比乘方先計算，省略外側的括號仍會出現錯誤）。
用 Python 計算的方法
number = 27 # 根號裡的數 a
degree = 3 # 幾次方根（根指數 n）
root = number ** (1 / degree) # n 次方根 = a 的 (1/n) 次方
print(f"{number} 的 {degree} 次方根：{root}")
# 負數的奇數次方根，要先把負號拿掉再計算
# （直接把負數做 (1/3) 次方，Python 會傳回複數）
negative_number = -8
odd_degree = 3
negative_root = -((-negative_number) ** (1 / odd_degree))
print(f"{negative_number} 的 {odd_degree} 次方根：{negative_root}")
只用標準函式庫就能執行。「**」是乘方的符號，(1/n) 次方就是 n 次方根。把開頭的數和根指數改寫後執行。負數的奇數次方根，要像範例這樣先把負號拿掉再計算。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
\(n\) 次方根的定義（\(n\) 次方後變回 \(a\) 的數）
ⁿ√a = b ⟺ bⁿ = a
\sqrt[n]{a} = b \iff b^{n} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⟺</mo>
<msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = b iff b^n = a
Surd[a, n]
b := root(a, n);
b = nthroot(a, n);
√(n&a) = b ⟺ b^n = a
用指數表示方根（\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\)）
ⁿ√a = a^(1/n)
\sqrt[n]{a} = a^{1/n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = a^(1/n)
a^(1/n)
b := a^(1/n);
b = a^(1/n);
√(n&a) = a^(1/n)
負數的方根（只有根指數是奇數時）
ⁿ√(−a) = −(ⁿ√a)
\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot>
<mrow><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mroot>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
</mrow>
</math>
root(n)(-a) = -root(n)(a)
Surd[-a, n]
b := surd(-a, n);
b = nthroot(-a, n);
√(n&−a) = −√(n&a)
用手算逼近平方根的方法（反覆取平均）
b′ = (b + a ÷ b) ÷ 2
b' = \dfrac{1}{2}\left( b + \dfrac{a}{b} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>b</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
b' = (b + a/b)/2
(b + a/b)/2
bnew := (b + a/b)/2;
b_new = (b + a/b)/2;
b′ = (b + a/b)/2
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數字計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。 請分別求出以下的方根。 1. 27 的平方根 2. 10 的立方根 3. 15 的 8 次方根 4. −8 的立方根（負數的奇數次方根，請先把負號拿掉再計算） 請列出計算所用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
標準差計算機（母體標準差、樣本標準差）
計算資料的分散程度。公式的最後一步「變異數的平方根（√）」就是本頁的計算
增減率計算機（漲幅、打折、增加了幾 %？）
由原值、增減率、增減後的值其中 2 個求出另一個。年平均成長率要搭配 n 次方根來用
