兩點距離計算機（由坐標求距離、直線方程式）

輸入點 1 和點 2 的坐標，就會計算兩點間的距離，同時顯示通過兩點的直線的斜率和直線方程式。

點 1 的 x 坐標 x₁

點 1 的 y 坐標 y₁

點 2 的 x 坐標 x₂

點 2 的 y 坐標 y₂

請用半形數字輸入坐標（可以用小數、負數）。4 個欄位都必須填寫。

計算結果與圖表

在左邊的輸入欄填入兩點的坐標，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入兩點的坐標，就能當場求出兩點間的距離 \(d\)
除了距離，也會一併算出 x 的變化量 \(\Delta x\)、y 的變化量 \(\Delta y\)、直線的斜率 \(m\)，以及通過兩點的直線方程式 \(y = mx + b\)
計算結果也會畫成圖形，可以從圖上確認「求出的距離就是連接兩點的線段長度」
淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

本頁計算的是平面（二維）上兩點之間的直線距離。x 坐標相同的兩點（鉛直線上的兩點）也能計算距離，但這時斜率不存在，會顯示「不存在」，直線方程式也會以 x = 常數的形式顯示，而不是 y = mx + b。

這個計算有什麼用？

遊戲的碰撞判定、與敵人的距離（程式設計）

2D 遊戲會用坐標管理自己的角色、敵人和道具的位置，「距離小於一定值就算碰到」。例如自己在 (1, 1)、敵人在 (4, 5)，距離就是 \(\sqrt{3^2 + 4^2} = 5\)。不斷重複這個計算，就是用距離做碰撞判定的原理。
學遊戲開發時最早寫出的實用公式之一，就是這個距離公式。

測量、地圖上求兩地的距離（測量、土木）

測量時會用坐標的數值記錄土地的界址點和工程的控制點，台灣常用的是 TWD97 二度分帶（TM2）坐標。只要知道兩點的坐標，兩點間的水平距離就能用本頁的距離公式算出來。
這是支撐道路、建築物定位等公共建設的計算（另外，若要由經緯度考慮地球的曲率求距離，則要用另一種公式）。

衡量資料分析、AI 中的「相似程度」（歐幾里得距離）

資料分析時，會把像「身高與體重」這樣的兩個數值組合視為坐標平面上的點，點與點的距離越近，就認為是「越相似的資料」。用這個距離（歐幾里得距離）可以把相似的顧客分群（分群分析），或由附近的資料做預測（k 近鄰法）。
AI 與機器學習的教科書一定會出現的距離基本量法，就是本頁的公式。

從圖面、CAD 讀出斜向的長度（設計、製造）

設計圖和 CAD 會用坐標指定零件孔中心等位置。圖面上沒有直接標出的「兩孔中心之間的斜向距離」，可以由坐標的差用距離公式求出。
例如水平相距 30 mm、垂直相距 40 mm 的兩個孔，中心距離是 \(\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\) mm。這是加工和檢驗現場天天都會用到的計算。

公式與圖示

兩點間的距離 \(d\)（距離公式）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(d\) \(=\) \(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② 兩點間的距離 \(d\) \(=\) ① 差的平方和的平方根

用文字讀公式

① 差的平方和 \((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2\) 的平方根（把 x 坐標的差和 y 坐標的差分別平方後相加，再開根號），就得到

② 兩點間的距離 \(d\)

簡單範例

點 (1, 1) 和點 (4, 5) 之間的距離是

距離 \(d\) \(=\) 差的平方和（(4−1)² + (5−1)² = 25）的平方根

\(d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

思考重點

常見的錯誤是像 \(\sqrt{(x_2-x_1)^2} + \sqrt{(y_2-y_1)^2}\) 這樣分別開根號。要先把根號裡的加法全部算完，最後只開一次平方根。坐標的差即使是負數，平方後也會變成正數，所以兩點不論用哪個順序輸入，距離都一樣。答案常常是像 \(\sqrt{13}\) 這樣開不盡的數，這時本計算機會用小數（近似值）顯示。

為什麼這個公式能求出距離（畢氏定理）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\Delta x^2\) \(+\) \(\Delta y^2\) \(=\) \(d^2\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① x 的變化量 \(\Delta x = x_2 - x_1\) 的平方 \(+\) ② y 的變化量 \(\Delta y = y_2 - y_1\) 的平方 \(=\) ③ 距離 \(d\)（斜邊）的平方

用文字讀公式

① x 的變化量 \(\Delta x\)（水平方向相距多遠）的平方加上

② y 的變化量 \(\Delta y\)（垂直方向相距多遠）的平方，會剛好等於

③ 兩點間距離 \(d\)（斜邊）的平方（畢氏定理）

簡單範例

用點 (1, 1) 和點 (4, 5) 驗證（Δx = 3、Δy = 4）

Δx 的平方（3² = 9） \(+\) Δy 的平方（4² = 16） \(=\) 距離的平方（25 = 5²）

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

思考重點

以連接兩點的線段為斜邊、水平的變化量 \(\Delta x\) 和垂直的變化量 \(\Delta y\) 為兩股，畫出一個直角三角形，就能直接使用國中八年級學到的畢氏定理。距離公式只是把這個式子改寫成 \(d =\) 的形式而已。只要了解「距離公式」和「畢氏定理」不是兩個不同的公式，而是同一個定理，要背的東西就少了一個。

通過兩點的直線的斜率 \(m\) 與直線方程式 \(y = mx + b\)

圖形

數學寫法（一般的數學式）

\(m\) \(=\) \(y_2 - y_1\) \(\div\) \(x_2 - x_1\)

\(y\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(x\) \(+\) \(b\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 直線的斜率 \(m\) \(=\) ① y 的變化量 \(\Delta y = y_2 - y_1\) \(\div\) ② x 的變化量 \(\Delta x = x_2 - x_1\)

⑦ 直線上點的 y 坐標 \(y\) \(=\) ④ 斜率 \(m\) \(\times\) ⑤ x 坐標 \(x\) \(+\) ⑥ y 截距 \(b\)

用文字讀公式

① y 的變化量 \(\Delta y\) 除以

② x 的變化量 \(\Delta x\) ，就得到

③ 直線的斜率 \(m\) 。接著，

④ 斜率 \(m\) 乘以

⑤ x 坐標 \(x\) ，再加上

⑥ y 截距 \(b\) （用 \(b = y_1 - m x_1\) 求出），就得到

⑦ 直線上點的 y 坐標 \(y\) ，這樣就能寫出通過兩點的直線方程式

簡單範例

通過點 (1, 5) 和點 (3, 2) 的直線

斜率 \(m\) \(=\) y 的變化量（2 − 5 = −3） \(\div\) x 的變化量（3 − 1 = 2）

\(m = \frac{2 - 5}{3 - 1} = \frac{-3}{2} = -1.5\)

\(b = y_1 - m x_1 = 5 - (-1.5) \times 1 = 6.5\)

\(y = -1.5x + 6.5\)

思考重點

本計算機除了距離，也會附帶顯示「通過兩點的直線」的資訊。斜率 \(m\) 表示「水平往右走 1，垂直方向改變多少」，y 截距 \(b\) 是直線與 y 軸相交處的高度。不過，兩點的 x 坐標相同時（\(x_1 = x_2\)，兩點上下排列），會變成除以 \(\Delta x = 0\)，所以斜率不存在。這時直線無法寫成 \(y = mx + b\)，而是 \(x = c\)（\(c\) 為常數）的形式（鉛直線）。距離仍然可以用 \(|\Delta y|\) 求出。斜率與斜角更詳細的解說和計算，請看相關頁面的斜率計算機。

兩點間的距離就是「把 x 坐標的差和 y 坐標的差分別平方後相加，再開平方根」，其實就是畢氏定理本身。只要想像成「由水平和垂直的差求斜邊的長度」，就不會忘記。

符號與用語解說

符號

\(d\)	d	兩點間的距離，取自 distance（距離）的字首。
\((x_1, y_1)\), \((x_2, y_2)\)	x 1、y 1	兩個點的坐標。\(x\) 是水平方向、\(y\) 是垂直方向的位置，右下角的小數字（下標）用來區分「第 1 個點、第 2 個點」。
\(\Delta x\), \(\Delta y\)	delta x、delta y	變化量（坐標的差）。\(\Delta\)（delta）是表示「變化、差」的希臘字母，\(\Delta x = x_2 - x_1\)，\(\Delta y = y_2 - y_1\)。
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	根號	表示平方根（平方後會等於該數的數）的符號。\(\sqrt{25} = 5\)（因為 5² = 25）。距離公式只在最後開一次根號。
\(m\)	m	通過兩點的直線的斜率，表示「水平往右走 1，垂直方向改變多少」。正的話直線往右上升，負的話往右下降。
\(b\)	b	y 截距：直線與 y 軸相交處的高度（\(x = 0\) 時 \(y\) 的值）。

用語

坐標	用（水平位置，垂直位置）這組數表示點的位置。點 (4, 5) 就是「從原點往右 4、往上 5」的位置。台灣在國中七年級學習。
坐標平面	用水平的 x 軸和垂直的 y 軸表示位置的平面。本頁的距離，就是坐標平面上兩點直線相連的長度。
線段	以兩個點為端點、直直連起來的線。兩點間的距離，就是這條線段的長度。
畢氏定理	直角三角形中「兩股的平方和＝斜邊的平方」（\(a^2 + b^2 = c^2\)）的定理（又稱勾股定理）。距離公式就是把這個定理套用到坐標上。台灣在國中八年級學習。
斜邊	直角三角形中直角對面的邊，也是最長的邊。在距離公式中，連接兩點的線段就是直角三角形的斜邊。
歐幾里得距離	本頁計算的「兩點直線相連的距離」的正式名稱。在資料分析和 AI 領域，常用這個名稱指衡量點與點遠近的基本距離。
斜率	表示直線傾斜程度的數，也就是「x 增加 1 時 y 增加多少」，和一次函數的變化率相同。台灣在高中一年級學習。
鉛直線	與 x 軸垂直（上下直直延伸）的直線。通過 x 坐標相同的兩點的直線就是鉛直線，x 的變化量為 0，所以斜率不存在。方程式是 \(x = c\)（\(c\) 為常數）的形式。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。

坐標平面（國中七年級，12～13 歲）	看得懂像點 (4, 5) 這樣的坐標是「水平位置與垂直位置的組合」知道 x 坐標、y 坐標是負數時，表示「左邊、下方」的位置
正負數的計算（國中七年級，12～13 歲）	會做像 \(3 - (-3) = 6\) 這樣含有負數的減法知道負數平方後會變成正數
平方根（國中八年級，13～14 歲）	知道平方根是「平方後會等於該數的數」，例如 \(\sqrt{25} = 5\) 知道像 \(\sqrt{13}\) 這樣開不盡的平方根，可以用近似的小數表示
畢氏定理（國中八年級，13～14 歲）	知道直角三角形中「兩股的平方和＝斜邊的平方」（這就是距離公式的真面目）
一次函數與斜率（國中八年級～高中一年級，13～16 歲）	知道 \(y = mx + b\) 的圖形是直線，\(m\) 是斜率、\(b\) 是 y 截距（只有要看斜率和直線方程式的結果時才需要，只求距離的話不需要）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「兩點間的距離 d」的表格

點 1 的 x 坐標 x₁	1
點 1 的 y 坐標 y₁	1
點 2 的 x 坐標 x₂	4
點 2 的 y 坐標 y₂	5
兩點間的距離 d	=SQRT((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

「用畢氏定理驗證」的表格

點 1 的 x 坐標 x₁	1
點 1 的 y 坐標 y₁	1
點 2 的 x 坐標 x₂	4
點 2 的 y 坐標 y₂	5
x 的變化量 Δx	=B3-B1
y 的變化量 Δy	=B4-B2
平方和 Δx²+Δy²	=B5^2+B6^2
兩點間的距離 d	=SQRT(B7)

求「斜率 m 與直線方程式」的表格

點 1 的 x 坐標 x₁	1
點 1 的 y 坐標 y₁	5
點 2 的 x 坐標 x₂	3
點 2 的 y 坐標 y₂	2
斜率 m	=(B4-B2)/(B3-B1)
y 截距 b	=B2-B5*B1

貼上後，上方的列就是輸入欄，下方列的公式會自動算出結果。
「SQRT(…)」是平方根，「^2」是平方。
第一個表格會算出距離 5。第二個表格由 Δx = 3、Δy = 4 和平方和 25 求出同樣的距離 5，也能看到中間的值。
第三個表格會算出斜率 −1.5 和 y 截距 6.5（直線 y = −1.5x + 6.5）。兩點的 x 坐標相同時會變成除以 0，出現錯誤（#DIV/0!），表示斜率不存在（鉛直線）。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「兩點間的距離 d」的表格

點 1 的 x 坐標 x₁	1
點 1 的 y 坐標 y₁	1
點 2 的 x 坐標 x₂	4
點 2 的 y 坐標 y₂	5
兩點間的距離 d	=SQRT((B3-B1)^2+(B4-B2)^2)

「用畢氏定理驗證」的表格

點 1 的 x 坐標 x₁	1
點 1 的 y 坐標 y₁	1
點 2 的 x 坐標 x₂	4
點 2 的 y 坐標 y₂	5
x 的變化量 Δx	=B3-B1
y 的變化量 Δy	=B4-B2
平方和 Δx²+Δy²	=B5^2+B6^2
兩點間的距離 d	=SQRT(B7)

求「斜率 m 與直線方程式」的表格

點 1 的 x 坐標 x₁	1
點 1 的 y 坐標 y₁	5
點 2 的 x 坐標 x₂	3
點 2 的 y 坐標 y₂	2
斜率 m	=(B4-B2)/(B3-B1)
y 截距 b	=B2-B5*B1

和 Excel 相同的公式（SQRT、^2）在 Google 試算表也能直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的坐標即可。

用 Python 計算的方法

import math

x1, y1 = 1.0, 1.0   # 點 1 的坐標
x2, y2 = 4.0, 5.0   # 點 2 的坐標

delta_x = x2 - x1                        # x 的變化量
delta_y = y2 - y1                        # y 的變化量
distance = math.hypot(delta_x, delta_y)  # 兩點間的距離（和 √(Δx²+Δy²) 相同）

print(f"兩點間的距離 d：{distance}")

# 附帶：通過兩點的直線的斜率與方程式（Δx 為 0 時是鉛直線，斜率不存在）
if delta_x != 0:
    slope = delta_y / delta_x            # 斜率 m
    y_intercept = y1 - slope * x1        # y 截距 b
    sign = "+" if y_intercept >= 0 else "-"   # 把正負號分開，避免截距為負時顯示成「+ -0.3」
    print(f"斜率 m：{slope}")
    print(f"y 截距 b：{y_intercept}")
    print(f"直線方程式：y = {slope}x {sign} {abs(y_intercept)}")
else:
    print(f"鉛直線（x = {x1}），所以斜率不存在")

只用標準函式庫就能執行。math.hypot 是一次算出「平方和的平方根」的函數，也就是距離公式本身。請改寫開頭的坐標後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

兩點間的距離 \(d\)（距離公式）

d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)

d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
          <mn>2</mn>
        </msup>
        <mo>+</mo>
        <msup>
          <mrow><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
          <mn>2</mn>
        </msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

Sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]

d := sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);

d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2);

d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2)

為什麼這個公式能求出距離（畢氏定理）

Δx² + Δy² = d²

\Delta x^2 + \Delta y^2 = d^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mrow><mi mathvariant="normal">&#x394;</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

(Delta x)^2 + (Delta y)^2 = d^2

dx^2 + dy^2 == d^2

dx^2 + dy^2 = d^2;

dx^2 + dy^2 == d^2

Δx^2 + Δy^2 = d^2

通過兩點的直線的斜率 \(m\) 與直線方程式 \(y = mx + b\)

m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁),  y = mx + b (b = y₁ − m·x₁)

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}, \quad y = mx + b, \quad b = y_1 - m x_1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
      <mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi><mi>x</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
  </mrow>
</math>

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1), y = m x + b, b = y_1 - m x_1

m = (y2 - y1)/(x2 - x1); b = y1 - m*x1; y = m*x + b

m := (y2 - y1)/(x2 - x1); b := y1 - m*x1; y := m*x + b;

m = (y2 - y1)/(x2 - x1); b = y1 - m*x1; y = m*x + b;

m = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1), y = mx + b, b = y_1 - mx_1

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

針對坐標平面上的兩點 (1, 1) 和 (4, 5)，請分別求出：
1. 兩點間的距離 d（使用距離公式 d = √((x2−x1)² + (y2−y1)²)）
2. x 的變化量 Δx 和 y 的變化量 Δy
3. 通過這兩點的直線的斜率 m，以及直線方程式 y = mx + b（也請列出 y 截距 b 的值）

請列出使用的公式和執行結果的數值。