畢氏定理計算機（由直角三角形的兩邊求第三邊）

請只在直角三角形三邊 a、b、c（c 是斜邊）中已知的兩邊輸入長度。本計算機會用畢氏定理算出第三邊，並一併顯示兩個角度、面積、周長，以及斜邊上的高。

邊 a（股）

邊 b（股）

邊 c（斜邊）

只要輸入兩邊（第三邊的欄位保持空白）。長度請輸入大於 0 的數值（可以用小數），三邊的單位請統一（例如全部用 cm）。

計算結果與圖形

在左邊的輸入欄填入已知的兩邊長，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入直角三角形三邊中已知的兩邊，就能用畢氏定理 \(a^2 + b^2 = c^2\) 當場求出第三邊
像「只知道長 3 m、寬 4 m，斜的長度是多少？」這樣的斜邊（對角線）長度，一次就能算出來
除了第三邊，也會附計算過程，同時算出兩個角度、面積、周長，以及斜邊上的高
淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

本頁只適用於直角三角形（有一個角剛好是 90° 的三角形）。斜邊 c 是直角對面、最長的邊。沒有直角的三角形無法用本頁計算邊長。

這個計算有什麼用？

估算梯子能搆到的高度（DIY、工地）

把長 5 m 的梯子靠在牆上、梯腳離牆 1.5 m 時，能搆到的高度是 \(\sqrt{5^2 - 1.5^2} = \sqrt{22.75} \approx 4.77\)（約 4.8 m）。
梯子為了不倒，梯腳要離開牆壁，所以「梯子的長度＝能搆到的高度」並不成立。作業前先用這個計算估算，是營造、水電工程現場的基本功。

工地的「放樣拉直角」：3：4：5 的直角（木工、基礎工程）

量出 3 m 和 4 m 兩邊，若兩端連線的長度剛好是 5 m，那個角就是直角（因為 \(3^2 + 4^2 = 5^2\) 成立，由畢氏定理的逆定理可知是直角）。
這種用畢氏數「3：4：5」拉直角的方法，從古埃及的測量師、中國古代勾股定理的「勾三股四弦五」，一直到現代的基礎工程放樣，已經用了幾千年，是畢氏定理最實用的用法。

計算地圖、導航的直線距離（程式設計也會用到）

到往東 300 m、往北 400 m 的地點，直線距離是 \(\sqrt{300^2 + 400^2} = 500\)（500 m）。
由「垂直的差」和「水平的差」求兩點距離的這個計算（距離公式）就是畢氏定理本身，在導航、遊戲、GPS 等幾乎所有處理位置的程式裡運作。

求樓梯、坡道的斜向長度（設計、裝修）

水平前進 3.6 m、升高 2.7 m 的樓梯，斜向長度是 \(\sqrt{3.6^2 + 2.7^2} = \sqrt{20.25} = 4.5\)（4.5 m）。
樓梯扶手、坡道板這類「斜向構件」的長度，可以由圖面的垂直和水平尺寸用畢氏定理求出，採買材料前估算時可以直接使用。

公式與圖示

畢氏定理（三邊的關係式）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(a^2\) \(+\) \(b^2\) \(=\) \(c^2\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① 股 \(a\) 的平方 \(+\) ② 股 \(b\) 的平方 \(=\) ③ 斜邊 \(c\) 的平方

用文字讀公式

① 股 \(a\) 的平方加上

② 股 \(b\) 的平方，會剛好等於

③ 斜邊 \(c\) 的平方。

簡單範例

用三邊長為 3、4、5 的直角三角形驗證

邊 a 的平方（3² = 9） \(+\) 邊 b 的平方（4² = 16） \(=\) 斜邊 c 的平方（5² = 25）

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

思考重點

斜邊 \(c\) 是「直角對面」的邊，也是直角三角形中最長的邊。這個關係式只對直角三角形成立；反過來，三邊滿足這個式子的三角形一定是直角三角形（畢氏定理的逆定理）。工地用來確認直角的，就是這個性質。

求斜邊 \(c\) 的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(c\) \(=\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② 斜邊 \(c\) \(=\) ① 平方和 \(a^2 + b^2\) 的平方根

用文字讀公式

① 平方和 \(a^2 + b^2\) 的平方根（把兩股分別平方後相加，再開根號），就得到

② 斜邊 \(c\) 。

簡單範例

兩股是 3 和 4 時，斜邊是

斜邊 \(c\) \(=\) 平方和（3² + 4² = 25）的平方根

\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

思考重點

這是把關係式 \(a^2 + b^2 = c^2\) 改寫成「\(c =\)」形式的公式。常見的錯誤是寫成 \(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}\)（= \(a + b\)）。要先把根號裡的加法全部算完，最後只開一次平方根。正確答案是 \(\sqrt{9 + 16} = 5\)，而不是 \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\)。

求股（第三邊）的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(b\) \(=\) \(\sqrt{c^2 - a^2}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② 所求的邊 \(b\) \(=\) ① 平方差 \(c^2 - a^2\) 的平方根

用文字讀公式

① 平方差 \(c^2 - a^2\) 的平方根（用斜邊的平方減去已知邊的平方，再開根號），就得到

② 所求的邊 \(b\) 。

簡單範例

斜邊是 13、一股是 5 時，另一股是

所求的邊 \(b\) \(=\) 平方差（13² − 5² = 144）的平方根

\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)

思考重點

要注意減法的方向：一定是用「最長的斜邊的平方」減去已知邊的平方。要求邊 \(a\) 時也是同樣的形式，\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)。如果相減的結果小於或等於 0，那條「斜邊」就不是真正的斜邊（斜邊一定比其他任何一邊都長）。

斜邊上的高

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 以斜邊為底時的高 \(h\) \(=\) ① 股 \(a\) \(\times\) ② 股 \(b\) \(\div\) ③ 斜邊 \(c\)

用文字讀公式

① 股 \(a\) 乘以

② 股 \(b\) ，再除以

③ 斜邊 \(c\) ，就得到

④ 以斜邊為底時的高 \(h\) 。

簡單範例

三邊為 3、4、5 的直角三角形，把斜邊（長 5 的邊）看成底時，高是

高 \(h\) \(=\) 邊 a（3） \(\times\) 邊 b（4） \(\div\) 斜邊 c（5）

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 12 \div 5 = 2.4\)

思考重點

這個公式來自「用兩種方式表示面積」。直角三角形的面積，用兩股算是 \(a \times b \div 2\)，把斜邊看成底則是 \(c \times h \div 2\)。兩者是同一個面積，所以 \(a \times b = c \times h\)，解出 \(h\) 就得到 \(h = a \times b \div c\)。

畢氏定理是「兩股的平方和＝斜邊的平方」，只對直角三角形成立的關係式。知道兩邊後，只要「平方後相加（求斜邊時）或相減（求股時）→開平方根」兩個步驟，就能求出第三邊。

符號與用語解說

符號

\(a\), \(b\)	a、b	直角三角形中夾直角的兩邊（兩股）的長度。哪一邊當 a，計算結果都一樣。
\(c\)	c	斜邊的長度，也就是直角對面、直角三角形中最長的邊。
\(a^2\)	a 的平方	同一個數乘兩次的值（\(a^2 = a \times a\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘兩次」（例如 \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)）。
\(\sqrt{\phantom{x}}\)	根號	表示平方根的符號。\(\sqrt{25}\) 是「平方後等於 25 的正數」，也就是 5。也可能像 \(\sqrt{2}\) 這樣開不盡（約 1.414）。
\(\alpha\), \(\beta\)	alpha、beta	常用來替角命名的希臘字母。本頁中 \(\alpha\) 是邊 a 的對角，\(\beta\) 是邊 b 的對角，且 \(\alpha + \beta = 90°\)。
\(\arcsin\)	arcsin（反正弦）	由三角比 \(\sin\)（對邊占斜邊的比例）的值反過來求角度的計算。本計算機的角度就是用它求出的。工程計算機上顯示為 sin⁻¹。
\(h\)	h	把斜邊看成底時，從直角頂點到斜邊的高，取自 height（高）的字首。

用語

畢氏定理	直角三角形的三邊滿足 \(a^2 + b^2 = c^2\)（c 是斜邊）的定理，名稱來自古希臘數學家畢達哥拉斯（約西元前 6 世紀）。台灣在國中八年級學習。
勾股定理	畢氏定理在中國古代的名稱（也稱商高定理）。古時把直角三角形夾直角的兩邊中較短的稱為「勾」、較長的稱為「股」、斜邊稱為「弦」，《周髀算經》中就有「勾三股四弦五」的記載。內容和畢氏定理完全相同。
直角三角形	三個角中有一個剛好是 90°（直角）的三角形。只有這種三角形能使用畢氏定理。
斜邊	直角三角形中直角對面的邊，是三邊中最長的邊。在畢氏定理中，這條邊的平方一定單獨在等號的一邊。夾直角的另外兩邊稱為「股」。
平方根	平方後等於該數的數。25 的平方根（正的那個）是 5，2 的平方根是 \(\sqrt{2} \approx 1.414\)。台灣在國中八年級學習。
畢氏數	只用整數就滿足畢氏定理的三數組。(3, 4, 5)、(5, 12, 13)、(8, 15, 17) 等很有名，常出現在計算練習和工地拉直角的場合。
畢氏定理的逆定理	三邊滿足 \(a^2 + b^2 = c^2\) 的三角形是直角三角形的定理。只要量邊長就能確認「是不是直角」，所以在建築工地等地方實際派上用場。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。

平方與乘方（國中七年級，12～13 歲）	知道「平方」就是同一個數乘兩次，例如 \(3^2 = 3 \times 3 = 9\) 會計算小數的平方（例如 \(1.5^2 = 2.25\)）
平方根（國中八年級，13～14 歲）	能把「平方後等於 25 的正數」改說成 \(\sqrt{25} = 5\) 知道根號有時會像 \(\sqrt{2}\) 這樣開不盡
三角形的基礎（國小）	能從圖中找出哪一個角是直角（90°）知道三角形的面積可以用「底 × 高 ÷ 2」求出
畢氏定理（國中八年級，13～14 歲）	能分辨直角三角形中哪一條是「斜邊」（直角對面、最長的邊）記得 \(a^2 + b^2 = c^2\) 中的 \(c\) 一定是斜邊

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

確認「是不是直角三角形」的表格

邊 a（股）	3
邊 b（股）	4
邊 c（斜邊）	5
a²+b² 的值	=B1^2+B2^2
c² 的值	=B3^2

求「斜邊 c」的表格

邊 a（股）	3
邊 b（股）	4
斜邊 c	=SQRT(B1^2+B2^2)

求「另一股 b」的表格

斜邊 c	13
已知的邊 a	5
所求的邊 b	=SQRT(B1^2-B2^2)

求「斜邊上的高 h」的表格

邊 a（股）	3
邊 b（股）	4
斜邊 c	5
高 h	=B1*B2/B3

貼上後，上方的列就是輸入欄，最後一列的公式會自動算出結果。
「^2」是平方，「SQRT(…)」是求平方根（根號）的 Excel 函數。
第一個表格中，只要 a²+b² 的值（B4）和 c² 的值（B5）相等，就知道是直角三角形（範例的 3、4、5 兩者都是 25）。
第二個表格的 B3 會顯示斜邊的長度 5。只要把輸入欄的數值改成您自己的邊長即可使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

確認「是不是直角三角形」的表格

邊 a（股）	3
邊 b（股）	4
邊 c（斜邊）	5
a²+b² 的值	=B1^2+B2^2
c² 的值	=B3^2

求「斜邊 c」的表格

邊 a（股）	3
邊 b（股）	4
斜邊 c	=SQRT(B1^2+B2^2)

求「另一股 b」的表格

斜邊 c	13
已知的邊 a	5
所求的邊 b	=SQRT(B1^2-B2^2)

求「斜邊上的高 h」的表格

邊 a（股）	3
邊 b（股）	4
斜邊 c	5
高 h	=B1*B2/B3

和 Excel 相同的公式（SQRT 函數、^2）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的邊長即可。

用 Python 計算的方法

import math

side_a = 3.0   # 股 a
side_b = 4.0   # 股 b

hypotenuse = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)   # 斜邊 c（用 math.hypot(side_a, side_b) 也一樣）
area = side_a * side_b / 2                          # 面積
perimeter = side_a + side_b + hypotenuse            # 周長
height = side_a * side_b / hypotenuse               # 斜邊上的高
angle_alpha = math.degrees(math.asin(side_a / hypotenuse))   # 邊 a 的對角（度）

print(f"斜邊 c：{hypotenuse}")
print(f"面積：{area}")
print(f"周長：{perimeter}")
print(f"斜邊上的高：{height}")
print(f"角 α：{angle_alpha}")

# 已知斜邊 c 和一邊 a、要求另一邊 b 時
# side_b = math.sqrt(hypotenuse ** 2 - side_a ** 2)

只用標準函式庫的 math 就能執行。「**」是平方（乘方），「math.sqrt」是平方根。請改寫開頭的兩邊長後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

畢氏定理（三邊的關係式）

a² + b² = c²

a^2 + b^2 = c^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2;

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2

求斜邊 \(c\) 的公式

c = √(a² + b²)

c = \sqrt{a^2 + b^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

c = sqrt(a^2 + b^2)

Sqrt[a^2 + b^2]

c := sqrt(a^2 + b^2);

c = sqrt(a^2 + b^2);

c = √(a^2 + b^2)

求股（第三邊）的公式

b = √(c² − a²)

b = \sqrt{c^2 - a^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

b = sqrt(c^2 - a^2)

Sqrt[c^2 - a^2]

b := sqrt(c^2 - a^2);

b = sqrt(c^2 - a^2);

b = √(c^2 - a^2)

斜邊上的高

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a*b/c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是幾何計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

一個直角三角形的兩股長分別是 a = 3、b = 4。
請分別求出：
1. 斜邊 c 的長度（畢氏定理 c = √(a² + b²)）
2. 角 α（邊 a 的對角）和角 β（邊 b 的對角），以度表示
3. 面積和周長
4. 斜邊上的高 h = ab ÷ c

請列出使用的公式和執行結果的數值。