請用逗號（,）隔開，輸入 2 個以上要求最大公因數的整數。3 個以上也能一起算，並顯示每個數的質因數分解和共同的質因數。
請只用逗號（,）隔開輸入 1 以上的整數（例：12, 18）。不能使用 0、負數和小數。
計算結果
在左邊的輸入欄用逗號隔開輸入整數，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要用逗號隔開輸入整數，馬上就能知道最大公因數（英文稱為 GCD、GCF）
- 不只 2 個，像「16, 88, 104」這樣 3 個以上整數的最大公因數也能一起算
- 會一起顯示每個整數的質因數分解和共同的質因數，連答案的求法和驗算方法都學得到
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
只能計算 1 以上的整數（正整數），不處理 0、負數和小數的最大公因數。
這個計算有什麼用？
分數的約分（最常用到的地方）
把 \(\frac{12}{18}\) 約分時，分子和分母同時除以最大公因數 6，一次就能化簡成 \(\frac{2}{3}\)。
不用先除以 2、再除以 3……用小的數除好幾次，用最大公因數一次就能化成最簡單的形式（最簡分數）。從國小數學到大人的工作，這是最大公因數最常派上用場的用法。
把東西平均分配、不留剩餘（準備活動或發放物品）
想把 24 個點心和 36 瓶果汁，不留剩餘地平均分成盡量多的袋子，每袋內容都一樣——最多可以分成 \(\gcd(24, 36) = 12\) 袋（每袋 2 個點心和 3 瓶果汁）。
學校活動或聚會分贈品、配備品組合等，「把不同種類的東西平均分成一樣的組」時的經典計算。
鋪磁磚、裁切紙張（DIY、設計）
想用正方形磁磚把長 330 cm × 寬 450 cm 的地板鋪滿、不留縫隙也不用切磚時，能用的最大磁磚是 \(\gcd(330, 450) = 30\)（30 cm 見方）。
用最大的正方形分割長方形，這個計算會用在地板或牆面的施工，以及從大張紙上不浪費地裁出同樣大小的卡片等時候。
齒輪的設計（機械、鐘錶）
互相咬合的兩個齒輪，齒數的最大公因數如果很大，同樣的齒會一再碰撞，容易磨損不均。所以機械設計的基本原則，是讓齒數盡量接近互質（最大公因數是 1）。
汽車和鐘錶裡的齒輪齒數，也運用了這種「讓最大公因數變小」的巧思。
守護網路安全的加密技術
網路購物和網路銀行使用的 RSA 加密，在產生金鑰的過程中，需要判斷「兩個數是否互質」，這時就會用到輾轉相除法。
誕生於西元前的最大公因數求法，在 2000 多年後的今天，仍守護著全世界的通訊安全——這個應用讓人體會到數學的生命力有多長久。
公式
用質因數分解求（基本求法）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\gcd(a,\ b)\)
\(=\)
\(p_1 \times p_2 \times \cdots\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(a\) 和 \(b\) 的最大公因數 \(\gcd(a, b)\)
\(=\)
①
把共同的質因數全部相乘
用文字讀公式
①
把兩個數分別做質因數分解，將
共同的質因數 \(p_1, p_2, \ldots\)
全部相乘，
②
就得到
最大公因數 \(\gcd(a, b)\)
簡單範例
12 和 18 的最大公因數（可以質因數分解成 12 = 2 × 2 × 3、18 = 2 × 3 × 3，共同的質因數是 1 個 2 和 1 個 3）：
12 和 18 的最大公因數
\(=\)
共同的質因數（2 和 3）相乘
\(12 = 2 \times 2 \times 3,\quad 18 = 2 \times 3 \times 3\)
\(\gcd(12,\ 18) = 2 \times 3 = 6\)
思考重點
質因數是把整數分解成只有質數相乘時的每一個質數。同一個質因數在兩邊都出現好幾次時，只乘「次數少的那邊」的次數。例如 8 = 2 × 2 × 2 和 12 = 2 × 2 × 3，2 在 8 出現 3 次、在 12 出現 2 次，共同的是少的 2 次。所以 \(\gcd(8, 12) = 2 \times 2 = 4\)。台灣課本常用的短除法，也是用同樣的道理一層一層除下去。
輾轉相除法（適合大數的求法）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\gcd(a,\ b)\)
\(=\)
\(\gcd(b,\ a \bmod b)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(a\) 和 \(b\) 的最大公因數 \(\gcd(a, b)\)
\(=\)
①
「較小的數 \(b\)」和「\(a\) 除以 \(b\) 的餘數」的最大公因數
用文字讀公式
①
用大的數除以小的數求出餘數，把兩個數換成
「較小的數 \(b\)」和「餘數 \(a \bmod b\)」這一組
，
②
這時
最大公因數 \(\gcd(a, b)\)
不會改變。數字會越來越小，餘數變成 0 時的「除數」就是最大公因數
簡單範例
48 和 18 的最大公因數（因為 48 ÷ 18 = 2…12）：
48 和 18 的最大公因數
\(=\)
「18」和「餘數 12」的最大公因數
\(48 = 18 \times 2 + 12\)
\(18 = 12 \times 1 + 6\)
\(12 = 6 \times 2 + 0\)
\(\gcd(48,\ 18) = 6\)
思考重點
質因數分解在數字變大時會突然變得很困難（要把 134221 這樣的數做質因數分解很費工夫，其實它是 79 × 1699）。用輾轉相除法，只要重複「相除求餘數」，再大的數也一定能求出最大公因數。這個方法記載在西元前 3 世紀左右古希臘數學家 Euclid 的著作《幾何原本》中，所以也稱為 Euclid 演算法，被譽為「世界上最古老的演算法」。
3 個以上的數的最大公因數
數學寫法
（一般的數學式）
\(\gcd(a,\ b,\ c)\)
\(=\)
\(\gcd(\)
\(\gcd(a,\ b)\)
\(,\)
\(c\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
3 個數的最大公因數 \(\gcd(a, b, c)\)
\(=\)
\(\gcd(\)
①
先求出的 \(a\) 和 \(b\) 的最大公因數
\(,\)
②
剩下的數 \(c\)
\()\)
用文字讀公式
①
先求出兩個數的
最大公因數 \(\gcd(a, b)\)
，
②
再求這個結果和
剩下的數 \(c\)
的最大公因數，
③
就得到
3 個數的最大公因數 \(\gcd(a, b, c)\)
簡單範例
16、88、104 的最大公因數（先求 16 和 88 的最大公因數是 8）：
16、88、104 的最大公因數
\(=\)
\(\gcd(\)
16 和 88 的最大公因數（8）
\(,\)
剩下的數（104）
\()\)
\(\gcd(16,\ 88) = 8\)
\(\gcd(8,\ 104) = 8\)
\(\gcd(16,\ 88,\ 104) = 8\)
思考重點
不管有幾個整數，只要「每次 2 個依序」求最大公因數，最後就是全部的最大公因數。4 個以上也一樣，計算的順序換了答案也不會變。這個頁面的計算機，內部也是照這個公式每次 2 個依序計算。
和最小公倍數（LCM）的關係
數學寫法
（一般的數學式）
\(\gcd(a,\ b)\)
\(\times\)
\(\mathrm{lcm}(a,\ b)\)
\(=\)
\(a \times b\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
最大公因數 \(\gcd(a, b)\)
\(\times\)
②
最小公倍數 \(\mathrm{lcm}(a, b)\)
\(=\)
③
原本兩個數的乘積 \(a \times b\)
用文字讀公式
①
把
最大公因數 \(\gcd(a, b)\)
②
和
最小公倍數 \(\mathrm{lcm}(a, b)\)
相乘，
③
一定會等於
原本兩個數的乘積 \(a \times b\)
簡單範例
以 12 和 18 為例（最大公因數是 6，最小公倍數是 36）：
最大公因數（6）
\(\times\)
最小公倍數（36）
\(=\)
原本兩個數的乘積（12 × 18）
\(6 \times 36 = 216\)
\(12 \times 18 = 216\)
思考重點
利用這個關係，只要知道最大公因數，就能用 \(\mathrm{lcm}(a, b) = a \times b \div \gcd(a, b)\) 算出最小公倍數（大數的最小公倍數，用這個方法比列出倍數可靠）。不過要注意，這個關係只在「兩個數」時成立，3 個以上的數一般不成立。
最大公因數是「能整除 2 個以上所有整數的最大正整數」。數字小時用質因數分解把共同的質因數相乘，數字大時用「換成餘數」的輾轉相除法，是求最大公因數的訣竅。
符號與用語解說
符號
| \(\gcd(a, b)\) | gcd | 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最大公因數的符號，取自英文 greatest common divisor（GCD）的字首。英語國家也稱為 greatest common factor（GCF），寫成 \(\mathrm{GCF}(a, b)\)，意思完全相同。台灣的課本常寫成 \((a, b)\)。 |
| \(a \bmod b\) | a mod b | \(a\) 除以 \(b\) 的餘數。（例：\(48 \bmod 18 = 12\)，因為 48 ÷ 18 = 2…12） |
| \(\mathrm{lcm}(a, b)\) | lcm | 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最小公倍數的符號，取自英文 least common multiple 的字首。台灣的課本常寫成 \([a, b]\)。（例：\(\mathrm{lcm}(12, 18) = 36\)） |
| \(p_1, p_2, \ldots\) | p 1、p 2、… | 依序排列的共同質因數。右下的小數字（下標）只表示「第 1 個、第 2 個……」的順序，不用在計算中。 |
| \(\cdots\) | 刪節號 | 表示「照同樣的規則繼續下去」的省略符號。這裡的意思是不管有幾個質因數，都同樣相乘。 |
用語
| 因數 | 能整除某個整數的正整數。12 的因數是 1, 2, 3, 4, 6, 12，共 6 個。 |
| 公因數 | 2 個以上的整數共同的因數。12 和 18 的公因數是 1, 2, 3, 6。公因數一定是最大公因數（這個例子是 6）的因數。 |
| 最大公因數 | 公因數中最大的一個。台灣的學校用這個名稱，英文稱為 GCD（greatest common divisor）或 GCF（greatest common factor）。 |
| 質數 | 除了 1 和自己以外沒有其他因數、2 以上的整數，依序是 2, 3, 5, 7, 11, 13,…。1 不是質數。 |
| 質因數分解 | 把整數寫成只有質數相乘的形式。（例：\(12 = 2 \times 2 \times 3\)）分解時用到的每一個質數稱為質因數。 |
| 互質 | 兩個整數的最大公因數是 1（公因數只有 1）。像 17 和 13 這樣，沒有任何共同質因數的關係。 |
| 輾轉相除法 | 重複「用大的數除以小的數，把這組數換成『小的數和餘數』」來求最大公因數的方法，又稱 Euclid 演算法。從西元前就為人所知，被譽為「世界上最古老的演算法」。 |
| 最小公倍數 | 2 個以上的整數共同的倍數中最小的正整數，分數通分時會用到。兩個數之間有 \(\gcd(a, b) \times \mathrm{lcm}(a, b) = a \times b\) 的關係。 |
| 短除法 | 台灣課本求最大公因數的常用方法。把幾個數並排，用它們共同的質數依序往下除，直到沒有共同的質因數為止，左邊的除數全部相乘就是最大公因數。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 九九乘法、有餘數的除法（國小二～三年級，7～9 歲） |
|
| 因數與公因數（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 分數的約分（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 質數與質因數分解（國小六年級，11～12 歲。國中七年級再深入） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
「兩個數的最大公因數」的計算表
| 第 1 個整數 a | 12 |
| 第 2 個整數 b | 18 |
| 最大公因數 gcd(a, b) | =GCD(B1,B2) |
「3 個以上的數的最大公因數」的計算表
| 整數 1 | 16 |
| 整數 2 | 88 |
| 整數 3 | 104 |
| 最大公因數 | =GCD(B1:B3) |
驗證「輾轉相除法」的表
| 較大的數 a | 48 |
| 較小的數 b | 18 |
| a 除以 b 的餘數（a mod b） | =MOD(B1,B2) |
| gcd(a, b) | =GCD(B1,B2) |
| gcd(b, 餘數)（和上面一致） | =GCD(B2,B3) |
驗證「最大公因數 × 最小公倍數 = 原本兩數的乘積」的表
| 第 1 個整數 a | 12 |
| 第 2 個整數 b | 18 |
| 最大公因數 gcd(a, b) | =GCD(B1,B2) |
| 最小公倍數 lcm(a, b) | =LCM(B1,B2) |
| gcd × lcm | =B3*B4 |
| a × b（和上面一致） | =B1*B2 |
Excel 本來就有求最大公因數的 GCD 函數。「=GCD(B1,B2)」的意思是「B1 和 B2 的值的最大公因數」，第 1 個表的 B3 會顯示 6。
像第 2 個表這樣用「=GCD(B1:B3)」指定範圍，3 個以上的數也能一起算（B4 會顯示 8）。
第 3 個表用來驗證輾轉相除法，用 MOD 函數（求餘數）可以確認 gcd(a, b) 和 gcd（b，餘數）是同樣的值（都是 6）。
第 4 個表中，gcd × lcm 和 a × b 都是 216，可以確認和最小公倍數的關係式。只要把輸入欄的數值改成您自己的整數，就能直接使用。
像第 2 個表這樣用「=GCD(B1:B3)」指定範圍，3 個以上的數也能一起算（B4 會顯示 8）。
第 3 個表用來驗證輾轉相除法，用 MOD 函數（求餘數）可以確認 gcd(a, b) 和 gcd（b，餘數）是同樣的值（都是 6）。
第 4 個表中，gcd × lcm 和 a × b 都是 216，可以確認和最小公倍數的關係式。只要把輸入欄的數值改成您自己的整數，就能直接使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
「兩個數的最大公因數」的計算表
| 第 1 個整數 a | 12 |
| 第 2 個整數 b | 18 |
| 最大公因數 gcd(a, b) | =GCD(B1,B2) |
「3 個以上的數的最大公因數」的計算表
| 整數 1 | 16 |
| 整數 2 | 88 |
| 整數 3 | 104 |
| 最大公因數 | =GCD(B1:B3) |
驗證「輾轉相除法」的表
| 較大的數 a | 48 |
| 較小的數 b | 18 |
| a 除以 b 的餘數（a mod b） | =MOD(B1,B2) |
| gcd(a, b) | =GCD(B1,B2) |
| gcd(b, 餘數)（和上面一致） | =GCD(B2,B3) |
驗證「最大公因數 × 最小公倍數 = 原本兩數的乘積」的表
| 第 1 個整數 a | 12 |
| 第 2 個整數 b | 18 |
| 最大公因數 gcd(a, b) | =GCD(B1,B2) |
| 最小公倍數 lcm(a, b) | =LCM(B1,B2) |
| gcd × lcm | =B3*B4 |
| a × b（和上面一致） | =B1*B2 |
Google 試算表也有和 Excel 同名的 GCD、LCM、MOD 函數，可以直接使用同樣的公式。
把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的整數。
把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的整數。
用 Python 計算的方法
from math import gcd
from functools import reduce
numbers = [330, 75, 450, 225] # 要求最大公因數的整數串列（幾個都可以）
greatest_common_divisor = reduce(gcd, numbers) # 從開頭每次 2 個依序計算 gcd
print(f"{numbers} 的最大公因數: {greatest_common_divisor}")
只用標準函式庫就能執行。math.gcd 是求兩個整數最大公因數的函式，reduce 負責自動完成「每次 2 個依序計算」的部分。請把開頭的串列改成您自己的整數後執行（這個例子會顯示 15）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
用質因數分解求（基本求法）
gcd(a, b) = p₁ × p₂ × ⋯
\gcd(a, b) = p_1 \times p_2 \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>gcd</mi>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
gcd(a, b) = p_1 xx p_2 xx cdots
GCD[a, b]
igcd(a, b);
g = gcd(a, b);
gcd(a, b) = p_1 × p_2 × ⋯
輾轉相除法（適合大數的求法）
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
\gcd(a, b) = \gcd(b,\ a \bmod b)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>gcd</mi>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>gcd</mi>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>,</mo>
<mi>a</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>b</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
GCD[a, b] == GCD[b, Mod[a, b]]
igcd(a, b) = igcd(b, a mod b);
gcd(a, b) == gcd(b, mod(a, b))
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
3 個以上的數的最大公因數
gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)
\gcd(a, b, c) = \gcd(\gcd(a, b),\ c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>gcd</mi>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>gcd</mi>
<mo>(</mo>
<mi>gcd</mi>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>,</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)
GCD[a, b, c]
igcd(igcd(a, b), c);
g = gcd(gcd(a, b), c);
gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c)
和最小公倍數（LCM）的關係
gcd(a, b) × lcm(a, b) = a × b
\gcd(a, b) \times \mathrm{lcm}(a, b) = a \times b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>gcd</mi>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>lcm</mi>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
gcd(a, b) xx lcm(a, b) = a xx b
GCD[a, b]*LCM[a, b] == a*b
igcd(a, b)*ilcm(a, b) = a*b;
gcd(a, b)*lcm(a, b) == a*b
gcd(a, b) × lcm(a, b) = a × b
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是整數計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 對於 330, 75, 450, 225 這 4 個整數，請分別求出： 1. 4 個整數的最大公因數 2. 每個整數的質因數分解 3. 4 個整數共同的質因數 請列出計算用的公式，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
最小公倍數（LCM）計算機
計算 2 個以上整數的最小公倍數，分數通分時會用到
約分計算機（化成最簡分數）
用最大公因數同時除分子和分母，把分數化成最簡分數
分數計算機（分數的加減乘除）
計算兩個分數的加減乘除，並以約分後的結果顯示
