矩陣計算機（加法、減法、乘法、轉置、次方）

請選擇運算種類和矩陣的大小（列數、行數），在方格中輸入各元。轉置 Aᵀ 和次方 Aⁿ 只使用矩陣 A。

運算種類

矩陣 A 的列數

矩陣 A 的行數

矩陣 B 的列數

矩陣 B 的行數

指數 n（A 連乘的個數）

各元請輸入半形數字（小數、負數也可以）。加法、減法只有在 A 和 B 大小相同時，乘法 AB 只有在「A 的行數＝B 的列數」時才能計算。

計算結果

在左側選擇運算種類和矩陣大小，輸入各元後按下「計算」，結果的矩陣和計算過程就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

馬上算出 2×2～4×4（2×3 這類長方形也可以）矩陣的加法 \(A+B\)、減法 \(A-B\)、乘法 \(AB\)
也能計算把列與行互換的轉置 \(A^{T}\)，以及方陣的次方 \(A^{n}\)（\(n\) 為 1～10）
乘法的「列 × 行的內積」等計算方法，可以用實際數值的計算過程確認
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表（MMULT、TRANSPOSE）、Python 使用的公式

在台灣，矩陣的運算在高二下（數學 A／B 第四冊）學到，大學的線性代數會更深入學習。本頁不處理行列式與反方陣。

這個計算有什麼用？

在遊戲與 3D 繪圖中移動角色

在 3D 繪圖中，旋轉、放大縮小角色等變換，都是用「坐標乘上矩陣」來計算。先把幾個變換的矩陣相乘，就能把多個變換合成一個矩陣。
遊戲機和電腦裡的 GPU（圖形處理器），就是專門用來大量做這種矩陣乘法的計算器。

照片與影像的處理（影像就是數的矩陣）

數位影像本身就是一個矩陣：把每個像素的亮度依列與行排列。修圖 App 的模糊、銳利化等濾鏡，都是對這個矩陣的運算。
「把影像看成矩陣」也是影像辨識等 AI 技術的起點。

一次解出聯立方程式（結構計算、電路）

有很多未知數的聯立方程式，把係數排成矩陣，就能寫成一個方程式 \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\)。
在建築物的強度計算和電路分析中，會把幾千、幾萬個方程式寫成這個形式，用電腦的矩陣計算一次解出來。

計算捷運路線或社群網路的連結數（鄰接矩陣與次方）

把車站之間、人與人之間的連結，寫成「有連結為 1、沒有為 0」的矩陣（鄰接矩陣）。這時次方 \(A^{n}\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元，就是「從 \(i\) 剛好經過 \(n\) 條連結到達 \(j\) 的走法數」。
這個想法是轉乘路線查詢和社群網路「朋友的朋友」分析的基礎之一。

估算經濟的波及效果（產業關聯表）

國家或地區的經濟統計，會用一個稱為產業關聯表的大型矩陣，表示各產業向其他產業買了多少（在台灣由行政院主計總處編製）。「某個產業的需求增加時，其他產業的生產會增加多少」這種波及效果，就是用這個表的矩陣計算估算的（這個方法由獲得諾貝爾經濟學獎的李昂提夫〈Wassily Leontief〉提出）。

AI（機器學習）的核心是矩陣乘法

處理文字和影像的 AI（類神經網路），大部分的計算都是反覆進行「把輸入的一串數乘上學習得到的矩陣」。
因為訓練和執行 AI 的計算大多是矩陣乘法，擅長矩陣計算的 GPU 已經成為 AI 開發不可或缺的設備。

公式

加法與減法（同一位置的元互相計算）

數學寫法（一般的數學式）

\((A+B)_{ij}\) \(=\) \(a_{ij}\) \(+\) \(b_{ij}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 和 \(A+B\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元 \(=\) ① \(a_{ij}\)：A 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元 \(+\) ② \(b_{ij}\)：B 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元

用文字讀公式

① 把 \(a_{ij}\)：A 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元和

② \(b_{ij}\)：B 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元相加，就得到

③ 和 \(A+B\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元（減法只要把「＋」改成「−」）

簡單範例

兩個 2×2 矩陣相加，就是把同一位置的元相加

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)

思考重點

只有 A 和 B 的大小（列數與行數）相同時，才能做加法、減法。加法交換順序答案相同（\(A+B=B+A\)），減法則和一般的數一樣，順序不同答案就不同。

乘法（A 的列與 B 的行的內積）

數學寫法（一般的數學式）

\(c_{ij}\) \(=\) \(a_{i1}\) \(\times\) \(b_{1j}\) \(+ \cdots +\) \(a_{in}\) \(\times\) \(b_{nj}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(c_{ij}\)：乘積 \(AB\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元 \(=\) ① \(a_{i1}\)：A 的第 \(i\) 列的第 1 個 \(\times\) ② \(b_{1j}\)：B 的第 \(j\) 行的第 1 個 \(+ \cdots +\) \(a_{in}\)：A 的第 \(i\) 列的第 \(n\) 個 \(\times\) \(b_{nj}\)：B 的第 \(j\) 行的第 \(n\) 個

用文字讀公式

① 把 \(a_{i1}, \dots, a_{in}\)：A 的第 \(i\) 列的元和

② \(b_{1j}, \dots, b_{nj}\)：B 的第 \(j\) 行的元從頭依序兩兩相乘再全部相加，就得到

③ \(c_{ij}\)：乘積 \(AB\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元

簡單範例

乘積 AB 的 (1, 1) 元，是「A 的第 1 列」和「B 的第 1 行」的內積。例如

\(c_{11} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\)

思考重點

只有「A 的行數＝B 的列數」時，乘積 \(AB\) 才能計算（才有定義）。\(m \times n\) 矩陣和 \(n \times p\) 矩陣的乘積是 \(m \times p\) 矩陣。另外，和一般的數不同，矩陣乘法不能交換順序（\(AB\) 和 \(BA\) 一般並不相等，有時甚至只有其中一個有定義）。

轉置（列與行互換）

數學寫法（一般的數學式）

文字寫法（把符號換成文字的公式）

\((A^{T})_{ij}\) \(=\) \(a_{ji}\)

② 轉置矩陣 \(A^{T}\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元 \(=\) ① \(a_{ji}\)：A 的第 \(j\) 列第 \(i\) 行的元

用文字讀公式

① \(a_{ji}\)：A 的第 \(j\) 列第 \(i\) 行的元在列與行互換後，變成

② 轉置矩陣 \(A^{T}\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元

簡單範例

把 2×3 矩陣轉置，第 1 列移到第 1 行、第 2 列移到第 2 行，變成 3×2 矩陣

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)

思考重點

轉置矩陣除了寫成 \(A^{T}\)，有些書或軟體也寫成 \(A^{\top}\) 或 \(A'\)。轉置兩次就回到原來的矩陣（\((A^{T})^{T} = A\)）。

次方（同一個方陣反覆相乘）

數學寫法（一般的數學式）

文字寫法（把符號換成文字的公式）

\(A^{n}\) \(=\) \(\underbrace{A\,A\,\cdots\,A}_{n}\)

② \(A^{n}\)：矩陣 \(A\) 的 \(n\) 次方 \(=\) ① \(n\) 個方陣 \(A\) 相乘

用文字讀公式

① \(n\) 個方陣 \(A\) 相乘就是

② \(A^{n}\)：矩陣 \(A\) 的 \(n\) 次方（從左邊依序計算 \(A^{2}=AA\)、\(A^{3}=A^{2}A\)……）

簡單範例

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) 的 3 次方，要做 2 次乘法：

\(A^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

思考重點

只有方陣（列數＝行數）才能計算次方。不是正方形的話，就無法滿足乘積 \(AA\) 的條件「A 的行數＝A 的列數」。另外請注意，不是把每個元各自 \(n\) 次方，而是把矩陣乘法反覆做 \(n-1\) 次。

矩陣的加法、減法是「同一位置的元互相計算」，乘法的基本是「A 的列與 B 的行的內積」。乘法只有在「A 的行數＝B 的列數」時才有定義，而且交換順序通常會改變結果，這是和一般的數最大的不同。

符號與用語解說

符號

\(A,\ B\)	A、B	給矩陣取的名字。習慣上用大寫英文字母表示矩陣。
\(a_{ij}\)	a 下標 i j	矩陣 \(A\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元（由上往下第 \(i\) 列、由左往右第 \(j\) 行的數），也稱為 \((i, j)\) 元。右下角的小字（下標）表示「位置」。
\(b_{ij}\)	b 下標 i j	矩陣 \(B\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元。讀法和 \(a_{ij}\) 相同，只是矩陣的名字不同。
\(m \times n\)	m 乘 n	矩陣的大小（階數）：\(m\) 列（橫的排列）、\(n\) 行（直的排列），稱為 \(m \times n\) 階矩陣。（例如 2×3 矩陣是直的 2 個、橫的 3 個，共 6 個數排成的矩陣）
\(c_{ij}\)	c 下標 i j	把乘積 \(AB\) 設為 \(C\) 時，\(C\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元。
\(A^{T}\)	A 轉置（A transpose）	\(A\) 的轉置矩陣：把列與行互換的矩陣，也寫成 \(A^{\top}\) 或 \(A'\)。
\(A^{n}\)	A 的 n 次方	\(n\) 個 \(A\) 相乘的矩陣。只有方陣才有定義。
\(\sum\)	sigma	表示「全部加起來」的符號。\(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\) 表示把 \(k\) 從 1 到 \(n\) 的 \(a_{ik} b_{kj}\) 全部相加。

用語

矩陣	把數排成長方形（直橫）的形狀。其中每一個數稱為元。和試算表的表格一樣，用「第幾列、第幾行」指定位置。
列	矩陣中「橫的排列」。由上往下依序稱為第 1 列、第 2 列……（台灣的寫法，和日本、中國大陸的「行」「列」相反）。
行	矩陣中「直的排列」。由左往右依序稱為第 1 行、第 2 行……。記法是「直行橫列」：直的是行，橫的是列。
元	矩陣中的每一個數，也稱為元素。第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元稱為 \((i, j)\) 元，用下標寫成 \(a_{ij}\)。
方陣	列數與行數相同（正方形）的矩陣。次方，以及本頁不處理的行列式、反方陣，都只對方陣討論。
轉置矩陣	把列與行互換的矩陣。\(m \times n\) 矩陣的轉置是 \(n \times m\) 矩陣。
內積	把兩串數「從頭依序兩兩相乘，再全部相加」所得的值。在矩陣乘法中，A 的列與 B 的行的內積，就是乘積的一個元。
線性代數	處理矩陣和向量的數學領域。大學理工科常列為一、二年級的必修課，是電腦繪圖、統計、AI 等應用的基礎。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。

正負數的四則運算（國中七年級，12～13 歲）	能正確計算含有負數的加法、減法、乘法
代數式與下標（國中七年級～高中，12～18 歲）	看得懂 \(a_{12}\) 這種右下角的小字（下標），不是「值」，而是「區分位置的標籤」
次方（國中七年級，12～13 歲）	知道 \(A^{3}\) 右上角的數（指數）表示「3 個相乘」
表格的列與行（國小起，7 歲～）	知道在台灣的寫法中「橫的是列、直的是行」（直行橫列），能用「第 2 列第 3 行」這樣的說法指定位置

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「加法 A＋B」的表格

矩陣 A 的第 1 列	1	2
矩陣 A 的第 2 列	3	4
矩陣 B 的第 1 列	5	6
矩陣 B 的第 2 列	7	8
A＋B 的第 1 列	=B1+B3	=C1+C3
A＋B 的第 2 列	=B2+B4	=C2+C4

求「減法 A−B」的表格

矩陣 A 的第 1 列	9	8
矩陣 A 的第 2 列	7	6
矩陣 B 的第 1 列	1	2
矩陣 B 的第 2 列	3	4
A−B 的第 1 列	=B1-B3	=C1-C3
A−B 的第 2 列	=B2-B4	=C2-C4

求「乘法 AB」的表格

矩陣 A 的第 1 列	1	2
矩陣 A 的第 2 列	3	4
矩陣 B 的第 1 列	2	0
矩陣 B 的第 2 列	1	2
AB（從第 1 列自動展開）	=MMULT(B1:C2,B3:C4)

求「轉置 Aᵀ」的表格

矩陣 A 的第 1 列	1	2	3
矩陣 A 的第 2 列	4	5	6
Aᵀ（從第 1 列自動展開）	=TRANSPOSE(B1:D2)

求「次方 A³」的表格

矩陣 A 的第 1 列	1	1
矩陣 A 的第 2 列	0	1
A³（從第 1 列自動展開）	=MMULT(MMULT(B1:C2,B1:C2),B1:C2)

加法、減法只要像「=B1+B3」這樣，把同一位置的儲存格互相計算即可（第一個表格的 A＋B 是 6、8、10、12）。
乘法用 MMULT 函數，轉置用 TRANSPOSE 函數。新版 Excel（Microsoft 365 等）會自動把結果展開到相鄰的儲存格（溢出）。第三個表格的 AB 是 4、4、10、8，第五個表格的 A³ 是 1、3、0、1。
舊版 Excel 請先選取和結果相同大小的範圍，再輸入公式，按 Ctrl＋Shift＋Enter 確定。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「加法 A＋B」的表格

矩陣 A 的第 1 列	1	2
矩陣 A 的第 2 列	3	4
矩陣 B 的第 1 列	5	6
矩陣 B 的第 2 列	7	8
A＋B 的第 1 列	=B1+B3	=C1+C3
A＋B 的第 2 列	=B2+B4	=C2+C4

求「乘法 AB」的表格

矩陣 A 的第 1 列	1	2
矩陣 A 的第 2 列	3	4
矩陣 B 的第 1 列	2	0
矩陣 B 的第 2 列	1	2
AB（從第 1 列自動展開）	=MMULT(B1:C2,B3:C4)

求「轉置 Aᵀ」的表格

矩陣 A 的第 1 列	1	2	3
矩陣 A 的第 2 列	4	5	6
Aᵀ（從第 1 列自動展開）	=TRANSPOSE(B1:D2)

求「次方 A³」的表格

矩陣 A 的第 1 列	1	1
矩陣 A 的第 2 列	0	1
A³（從第 1 列自動展開）	=MMULT(MMULT(B1:C2,B1:C2),B1:C2)

和 Excel 相同的 MMULT、TRANSPOSE 函數可以直接使用。請把表格整個複製，貼到 A1 儲存格。
在 Google 試算表中，MMULT、TRANSPOSE 的結果會自動展開到相鄰的儲存格（不需要按 Ctrl＋Shift＋Enter）。

用 Python 計算的方法

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[2, 0], [1, 2]]

def matrix_add(x, y):        # 加法（同一位置的元相加）
    return [[x[i][j] + y[i][j] for j in range(len(x[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_multiply(x, y):   # 乘法（A 的列與 B 的行的內積）
    return [[sum(x[i][k] * y[k][j] for k in range(len(y))) for j in range(len(y[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_transpose(x):     # 轉置（列與行互換）
    return [[x[i][j] for i in range(len(x))] for j in range(len(x[0]))]

def matrix_power(x, n):      # 次方（從左邊依序乘 n 次）
    result = x
    for _ in range(n - 1):
        result = matrix_multiply(result, x)
    return result

print("A + B =", matrix_add(A, B))
print("AB =", matrix_multiply(A, B))
print("A 的轉置 =", matrix_transpose(A))
print("A 的 3 次方 =", matrix_power(A, 3))

只用標準函式庫就能執行。請把最上面的 A 和 B 改成您自己的矩陣再執行（減法只要把 matrix_add 中的「+」改成「-」）。正式的數值計算，通常使用矩陣專用的函式庫 NumPy（乘法可以寫成「A @ B」）。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

加法與減法（同一位置的元互相計算）

(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A + B)_(ij) = a_(ij) + b_(ij)

A + B

C := A + B;

C = A + B;

(A + B)_ij = a_ij + b_ij

乘法（A 的列與 B 的行的內積）

cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ⋯ + aᵢₙbₙⱼ

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>c</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

c_(ij) = sum_(k=1)^(n) a_(ik) b_(kj)

A . B

C := A . B;

C = A * B;

c_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj

轉置（列與行互換）

(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A^T)_(ij) = a_(ji)

Transpose[A]

C := LinearAlgebra:-Transpose(A);

C = A.';

(A^T)_ij = a_ji

次方（同一個方陣反覆相乘）

Aⁿ = AA⋯A

A^{n} = \underbrace{AA\cdots A}_{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>A</mi><mi>A</mi><mo>&#x22EF;</mo><mi>A</mi>
  </mrow>
</math>

A^n

MatrixPower[A, n]

C := A^n;

C = A^n;

A^n

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是矩陣計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

針對矩陣 A = [[1, 2], [3, 4]]、B = [[2, 0], [1, 2]]，請分別求出下列矩陣。
1. 和 A + B
2. 差 A − B
3. 乘積 AB
4. A 的轉置矩陣
5. A 的 3 次方

每一項都請列出使用的公式（把哪些元怎麼組合），以及執行結果的矩陣。