信賴區間計算機（母體平均數的區間估計）

請輸入樣本數、樣本平均數、標準差與信心水準。會算出母體平均數的信賴區間（下限、上限）、誤差範圍，以及主要信心水準的一覽表。

樣本數 n

樣本平均數 x̄

標準差 σ

信心水準（%）

標準差請輸入母體的標準差 σ（已知時）。未知時，只要樣本夠大（參考標準 30 以上），也可以用樣本算出的標準差代替。信心水準請輸入 % 的數值（例：95% 就輸入 95）。

計算結果與圖表

在左側輸入欄輸入數值，按下「計算」，結果和圖表就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
DataChef 的特色
相關功能
NumberChef 計算機一覽

這個頁面可以做什麼

只要輸入樣本數 \(n\)、樣本平均數 \(\bar{x}\)、標準差 \(\sigma\)、信心水準（%），馬上就能知道母體平均數的信賴區間（下限、上限）
同時算出誤差範圍 \(E\)（最多可能偏離正負多少）、標準誤差，以及信心水準對應的 z 值
用一覽表一次確認 90%、95%、99% 等主要信心水準的信賴區間，也能用圖表確認區間如何變寬
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

本計算機計算的是以常態分布為基礎的信賴區間（使用 z 的方法），適用於已知母體標準差 σ（或樣本夠大，可以用樣本標準差代替）的情況。不支援樣本小、母體標準差也未知時所用的「t 分布」信賴區間。

這個計算有什麼用？

民意調查「抽樣誤差正負 ○ 個百分點」的真面目（新聞、政治）

像「總統施政滿意度 45%，在 95% 信心水準下，抽樣誤差為正負 2.5 個百分點」這樣的民調結果，「抽樣誤差」正是本頁的誤差範圍 \(E\)。滿意度 45%、有效樣本 1,600 人的民調，分散程度是 \(\sigma = \sqrt{0.45 \times 0.55} \approx 0.497\)，所以 95% 信心水準下 \(E = 1.96 \times 0.497 \div \sqrt{1600} \approx 0.024\)（約正負 2.4 個百分點）。這是假設回答的比例可以用常態分布近似。新聞中的「正負 2.5 個百分點」，和用分散程度最大的 50% 估計的值一致。
看到「滿意度變動了 1 個百分點」的新聞時，您就能自己判斷這是不是在誤差範圍內。

工廠的品質管理：用數字佐證「容量 500 mL」的標示（製造業）

不可能把所有寶特瓶都打開來量，所以工廠會抽出一部分來檢驗（樣本）。如果 50 瓶的平均是 500.2 mL、標準差是 2 mL，所有產品平均容量的 95% 信賴區間估計約為 499.65～500.75 mL。
只靠抽樣檢驗，就能用統計確認「有沒有低於標示量」，這是食品、飲料、藥品等製造現場每天都在用的計算。

解讀新療法或新藥效果有多可靠（醫療）

醫學論文的結果幾乎一定會附上信賴區間，例如「新藥讓血壓平均下降 8.0 mmHg（95% 信賴區間：5.6～10.4）」。在 100 人的試驗中，下降量的標準差為 12 mmHg 時，\(E = 1.96 \times 12 \div \sqrt{100} \approx 2.4\)。
如果整個區間都在正的一側（不包含 0），就是判斷「有效果」的依據；如果區間包含 0，就解讀為「可能只是偶然」。這是自己檢視健康資訊時最重要的解讀方式之一。

「不必全部調查」也能做全國調查（教育、政府的抽樣調查）

調查全國所有學生非常費工，所以體能、學力等全國調查，有一部分是用抽樣調查進行。例如抽出 400 位學生（樣本），50 公尺跑的平均是 9.2 秒、標準差是 0.8 秒，全體平均時間的 95% 信賴區間約為 9.12～9.28 秒，只用 400 人就能估計出相當窄的範圍。
在台灣，主計總處公布失業率所依據的人力資源調查、家庭收支調查等政府統計，也是以抽樣調查為主，並用這個計算來佐證它們的精確度。

分辨網站的改善效果和雜訊（IT、行銷）

網站的平均停留時間從 180 秒增加到 184 秒，這是改善的效果，還是只是碰巧？訪客 2,500 人、標準差 90 秒時，平均停留時間的 95% 信賴區間約為 176.5～183.5 秒，可以知道寬度約有正負 3.5 秒。
如果變化和信賴區間的寬度差不多，就能判斷「還無法和偶然區分」。這是避免誤讀 A/B 測試結果的基本概念。

公式與圖表

誤差範圍 \(E\)（區間寬度的一半）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(E\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sigma\) \(\div\) \(\sqrt{n}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(E\)：誤差範圍 \(=\) ③ \(z\)：信心水準對應的 z 值 \(\times\) ① \(\sigma\)：母體標準差 \(\div\) ② \(\sqrt{n}\)：樣本數 \(n\) 的平方根

用文字讀公式

① 把 \(\sigma\)：母體標準差

② 除以 \(\sqrt{n}\)：樣本數 \(n\) 的平方根，求出標準誤差（樣本平均數的分散程度），

③ 再乘以 \(z\)：信心水準對應的 z 值，

④ 就得到 \(E\)：誤差範圍。

簡單範例

調查 25 瓶寶特瓶的容量。標準差為 2 mL、信心水準 95%（z 值 1.96）時，誤差範圍是

\(E\)：誤差範圍 \(=\) z 值（1.96） \(\times\) 標準差（2） \(\div\) 25 的平方根（5）

\(1.96 \times 2 \div 5 = 1.96 \times 0.4 = 0.784\)

思考重點

\(\sigma \div \sqrt{n}\) 稱為標準誤差，表示樣本平均數本身分散程度的大小。重點在於除的是 \(\sqrt{n}\)（平方根）而不是 \(n\)：樣本增加為 4 倍，誤差範圍也只會變成一半。「想提高精確度，就需要很多資料」就是這個原因。民意調查常說的「抽樣誤差」，就是這個誤差範圍。

信賴區間（下限 \(L\) 與上限 \(U\)）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(L,\ U\) \(=\) \(\bar{x}\) \(\pm\) \(E\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(L\)、\(U\)：信賴區間的下限與上限 \(=\) ① \(\bar{x}\)：樣本平均數 \(\pm\) ② \(E\)：誤差範圍

用文字讀公式

① 從 \(\bar{x}\)：樣本平均數

② 分別減去與加上 \(E\)：誤差範圍（符號 ± 同時代表「減」和「加」），

③ 就得到 \(L\)、\(U\)：信賴區間的下限與上限。

簡單範例

25 瓶的平均容量是 500.2 mL、誤差範圍是 0.784 mL 時，母體平均數的 95% 信賴區間是

\(L\)、\(U\)：信賴區間的下限與上限 \(=\) 樣本平均數（500.2） \(\pm\) 誤差範圍（0.784）

\(L = 500.2 - 0.784 = 499.416\)

\(U = 500.2 + 0.784 = 500.984\)

思考重點

把公式 1 和公式 2 合起來，就是課本上常見的信賴區間公式 \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)。「95% 信賴區間」的正確解讀要特別注意。它的意思不是「母體平均數有 95% 的機率落在這個區間內」，而是「用同樣的方法抽樣、做出區間，重複 100 次，大約有 95 個區間會包含母體平均數」。母體平均數是固定不動的一個值，每次抽樣都會變動的是區間。

由信心水準求 z 值

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(z\) \(=\) \(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② \(z\)：信心水準對應的 z 值 \(=\) ① 把「從左邊算起的比例（1 + 信心水準 \(C\)）÷ 2」換算成 z 位置的值

用文字讀公式

① 求出把「從左邊算起的比例（1 + 信心水準 \(C\)）÷ 2」換算成 z 位置的值（\(\Phi^{-1}\)（phi inverse）是把「從左邊算起的比例」換算成「橫軸位置」的函數。信心水準 \(C\) 用小數表示，95% 就是 0.95），

② 就得到 \(z\)：信心水準對應的 z 值。

簡單範例

信心水準 95%（C = 0.95）對應的 z 值是

z 值 \(z\) \(=\) 從左邊算起 97.5% 的位置 \(\Phi^{-1}(0.975)\)

\(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+0.95}{2}\right) = \Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\)

思考重點

z 值是「在標準常態分布中，讓中間剛好容納信心水準的部分（95% 就是 95%）的邊界位置」。中間占 95%，兩端各剩 2.5%，所以 z 就是從左邊算起 97.5% 的位置：\(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\)。常用的值是固定的：90% → 1.6449、95% → 1.9600、99% → 2.5758、99.9% → 3.2905。一覽表中沒有的信心水準（例如 97%），本計算機也會自動算出。

信賴區間是用「樣本平均數 ± 誤差範圍」求出。誤差範圍是 \(z \times \sigma \div \sqrt{n}\)，合起來就是 \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\)。樣本越多（\(\sqrt{n}\) 越大），區間越窄；信心水準越高（z 越大），區間越寬。

符號與用語解說

符號

\(n\)	n	樣本數，也就是實際調查的個數或人數。（例：量了 50 瓶就是 \(n = 50\)）
\(\bar{x}\)	x bar	樣本平均數，也就是調查的樣本的平均數。上方的橫線（bar）是表示「平均」的符號。
\(\sigma\)	sigma	母體標準差，也就是母體全體的分散程度大小。是希臘字母，相當於英文的 s。樣本夠大時，可以用樣本算出的標準差代替。
\(\sqrt{n}\)	根號 n	樣本數的平方根（例：\(\sqrt{25} = 5\)）。出現在標準誤差的分母，資料增加為 4 倍、誤差卻只變成一半，就是因為這個平方根。
\(z\)	z（z 值）	依信心水準決定的倍數，是標準常態分布中「讓中間剛好容納信心水準的部分的邊界位置」。95% 時約為 1.96。
\(E\)	E	誤差範圍（民調稱為抽樣誤差）。是信賴區間寬度的一半，表示「樣本平均數最多可能離母體平均數正負多少」的參考。E 是英文 error（誤差）的第一個字母。
\(L,\ U\)	L、U	信賴區間的下限（Lower）與上限（Upper），用 \(L = \bar{x} - E\)、\(U = \bar{x} + E\) 求出。
\(\Phi^{-1}\)	phi inverse（Φ 的反函數）	和標準常態分布的累積分布函數 \(\Phi\) 方向相反的函數，由「機率（面積）」傳回「對應的 z 值」。（例：\(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\)）
\(C\)	C	用小數表示的信心水準。95% 就是 \(C = 0.95\)。

用語

信賴區間	由樣本資料推估「母體平均數很可能在這個範圍」的區間。以樣本平均數為中心，往上下各延伸誤差範圍做成。
信心水準	區間可信的程度，也稱為信賴水準或信賴係數。意思是「用同樣的方法重複做出區間時，區間包含母體平均數的比例」，最常用的是 95%。
母體	其實想要全部調查的對象全體。（例：工廠生產的所有寶特瓶、全國所有的選民）
樣本	從母體中實際抽出來調查的一部分。用樣本推估母體的樣貌，就是統計的推論。
母體平均數	母體全體的平均數。因為無法全部調查，所以不知道正確的值。推估這個「未知的值」在哪裡的，就是信賴區間。一般用符號 \(\mu\)（mu）表示。
樣本平均數	樣本的平均數 \(\bar{x}\)。它是母體平均數「最可能的單一估計值（點估計）」，但會因抽到的樣本不同，每次都有些許變動。
標準誤差	樣本平均數本身分散程度的大小，用 \(\sigma \div \sqrt{n}\) 求出。很容易和每筆資料的分散程度（標準差）混淆，請特別注意。
區間估計	不是用一個點，而是用「有寬度的區間」來推估母體平均數等未知值的方法。和用一個點推估的點估計相比，優點是連可能的誤差也一起表示出來。
t 分布	樣本小、母體標準差也未知時，代替常態分布（z）使用的分布。本頁的計算機只支援 z 的方法。樣本越大，t 分布越接近常態分布，結果也幾乎相同。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。

平均數（國小高年級、國中七年級）	知道把資料全部加起來再除以個數，就能求出平均數
平方根（國中八年級，13～14 歲）	理解平方根是「平方後會等於原來的數的值」，例如 \(\sqrt{25} = 5\)
抽樣調查的概念（國中～高中）	知道除了全部調查全體（母體），也可以調查一部分（樣本）來推估全體知道樣本必須沒有偏差地（隨機地）選出
數據分析與標準差（高一「一維數據分析」，15～16 歲）	知道標準差是用一個數表示資料分散程度大小的指標
常態分布與區間估計（高中選修數學，17～18 歲）	知道常態分布是以平均數為中心、左右對稱的鐘形分布知道常態分布的參考標準：「平均數 ± 1.96 個標準差內約有 95%」

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「信心水準對應的 z 值」的表格

信心水準（%）	95
z 值	=NORM.S.INV((1+B1/100)/2)

求「誤差範圍 E」的表格

z 值	1.96
標準差 σ	2
樣本數 n	25
誤差範圍 E	=B1*B2/SQRT(B3)

求「信賴區間（下限、上限）」的表格

樣本數 n	50
樣本平均數 x̄	500.2
標準差 σ	2
信心水準（%）	95
z 值	=NORM.S.INV((1+B4/100)/2)
誤差範圍 E	=B5*B3/SQRT(B1)
信賴區間的下限	=B2-B6
信賴區間的上限	=B2+B6

「NORM.S.INV（機率）」是由機率求 z 值的函數（累積分布函數的反函數 \(\Phi^{-1}\)），「SQRT」是平方根。
第 1 個表格只用信心水準（B1）求 z 值，輸入 95 時 B2 約為 1.959964。第 2 個表格是誤差範圍，範例的值 B4 為 0.784。
第 3 個表格由所有輸入一次算出信賴區間。範例的值（n = 50、x̄ = 500.2、σ = 2、95%）下限（B7）約為 499.6456，上限（B8）約為 500.7544。只要把 B1～B4 改成自己的數值就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「信心水準對應的 z 值」的表格

信心水準（%）	95
z 值	=NORMSINV((1+B1/100)/2)

求「誤差範圍 E」的表格

z 值	1.96
標準差 σ	2
樣本數 n	25
誤差範圍 E	=B1*B2/SQRT(B3)

求「信賴區間（下限、上限）」的表格

樣本數 n	50
樣本平均數 x̄	500.2
標準差 σ	2
信心水準（%）	95
z 值	=NORMSINV((1+B4/100)/2)
誤差範圍 E	=B5*B3/SQRT(B1)
信賴區間的下限	=B2-B6
信賴區間的上限	=B2+B6

在 Google 試算表中，由機率求 z 值的函數寫成「NORMSINV（機率）」（作用和 Excel 的「NORM.S.INV」相同），其他公式都和 Excel 一樣。
把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把 B 欄的數字改成自己的數值即可。結果和 Excel 版相同：第 3 個表格的下限約為 499.6456，上限約為 500.7544。

用 Python 計算的方法

import math
from statistics import NormalDist

sample_size = 50        # 樣本數 n
sample_mean = 500.2     # 樣本平均數 x̄
sd = 2                  # 標準差 σ
confidence_level = 95   # 信心水準（%）

z = NormalDist().inv_cdf((1 + confidence_level / 100) / 2)  # 信心水準對應的 z 值
standard_error = sd / math.sqrt(sample_size)                # 標準誤差 σ ÷ √n
margin_of_error = z * standard_error                        # 誤差範圍 E
lower = sample_mean - margin_of_error                       # 信賴區間的下限
upper = sample_mean + margin_of_error                       # 信賴區間的上限

print(f"z 值：{z}")
print(f"誤差範圍 E：{margin_of_error}")
print(f"{confidence_level}% 信賴區間：{lower} ～ {upper}")

只用標準函式庫就能執行。NormalDist().inv_cdf() 是「由機率求 z 值的函數（\(\Phi^{-1}\)）」。把開頭的 4 個值改成自己的數值後執行即可。範例的值會顯示約 499.65～500.75。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

誤差範圍 \(E\)（區間寬度的一半）

E = z × σ ÷ √n

E = z \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>z</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mfrac>
      <mi>&#x3C3;</mi>
      <msqrt><mi>n</mi></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

E = z sigma / sqrt(n)

z*sigma/Sqrt[n]

E := z*sigma/sqrt(n);

E = z*sigma/sqrt(n);

E = zσ/√n

信賴區間（下限 \(L\) 與上限 \(U\)）

L = x̄ − E,  U = x̄ + E

L = \bar{x} - E,\quad U = \bar{x} + E

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>E</mi>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>U</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mi>E</mi>
  </mrow>
</math>

L = bar x - E, U = bar x + E

{xbar - e, xbar + e}

L := xbar - E; U := xbar + E;

L = xbar - E; U = xbar + E;

L = x̄ - E, U = x̄ + E

由信心水準求 z 值

z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)

z = \Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>&#x3A6;</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac>
        <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow>
        <mn>2</mn>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

z = Phi^-1((1 + C)/2)

InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], (1 + c)/2]

with(Statistics): Quantile(RandomVariable(Normal(0, 1)), (1 + c)/2);

z = norminv((1 + c)/2);

z = Φ^(-1)((1+C)/2)

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是統計計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

從工廠生產線抽出 50 瓶寶特瓶測量容量，平均是 500.2 mL。已知充填量的分散程度（母體標準差）是 2 mL。
1. 請求出信心水準 95% 對應的 z 值（使用標準常態分布累積分布函數的反函數；可以使用 Python 標準函式庫的 statistics.NormalDist().inv_cdf）。
2. 請求出誤差範圍 E = z × σ ÷ √n。
3. 請求出母體平均數（所有寶特瓶真正的平均容量）的 95% 信賴區間（下限與上限）。

請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。