請選擇曲線種類，並輸入式子的分母（橢圓、雙曲線）或一次項的係數（拋物線）。會計算焦點、頂點、離心率，雙曲線還會算出漸近線，拋物線還會算出準線。
請用半形輸入數值。可以使用小數和 3/4 這樣的分數。分母 a²、b² 請輸入「式子分母上寫的數」，而不是「a 或 b 的值」（x²/9 就輸入 9）。空白時當成 1（沒寫出來的分母或係數就是 1）。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄選擇曲線種類並輸入數值，按下「計算」，焦點、離心率等結果和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入分母或係數，就能當場算出橢圓 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)、雙曲線 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\)、拋物線 \(y^{2} = 4px\)（也包括 \(x^{2} = 4py\)）的焦點、頂點與離心率
- 答案同時以 \(\left(\pm\sqrt{5},\ 0\right)\) 這樣含 \(\sqrt{\ }\) 的精確值和小數顯示，也能看到由 \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) 求焦點的計算過程
- 雙曲線會再求出漸近線，拋物線會再求出準線，並把曲線、焦點、漸近線、準線和頂點畫在圖上
- 可以在圖上確認和課本相同的定義：「到兩焦點的距離和（或差）固定」「到焦點和準線的距離相等」
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
本頁的對象是中心（拋物線為頂點）在原點的標準式，不支援平移後的式子（例如 \(\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\)）。橫的或直的橢圓、開口朝左右或上下的雙曲線、開口向右、左、上、下的拋物線都可以計算。
這個計算有什麼用？
預測行星與彗星的軌道（天文學、太空開發）
行星沿著以太陽為一個焦點的橢圓軌道運行（克卜勒第一定律）。地球軌道的離心率約 0.017，非常接近圓；哈雷彗星則沿著離心率約 0.97 的細長橢圓運行，大約每 76 年回到太陽附近一次。
同樣的數學也是設計人造衛星和太空探測器軌道的基礎，軌道的形狀（橢圓、拋物線、雙曲線）就是用離心率來分類。探測器擺脫行星引力飛離時，走的是雙曲線軌道。
碟型天線與車燈的設計（電波、光學）
把拋物線繞著對稱軸旋轉所得的曲面（拋物面）有這個性質：平行於對稱軸射入的電波或光，反射後全部會聚集到焦點。衛星電視的碟型天線就是把從遠方高空傳來的微弱訊號，聚集到放在焦點的接收器。
汽車頭燈和探照燈則反過來利用：從放在焦點的光源發出的光，反射後變成平行於對稱軸的光束直直射出。焦點的位置（本頁計算的 \(p\)）就是設計的關鍵。
用體外震波擊碎結石的治療（醫療）
橢圓有這個性質：從一個焦點發出的波，經橢圓面反射後會聚集到另一個焦點。體外震波碎石術（ESWL）就是在橢圓反射鏡的一個焦點產生震波，並讓另一個焦點對準體內的結石，不必開刀就能把結石擊碎。
精確求出焦點的位置，直接影響治療的精準度。
反射望遠鏡與天線的副鏡（光學設計）
卡塞格林式反射望遠鏡把拋物面的主鏡和雙曲面的副鏡組合在一起，利用雙曲面「朝一個焦點射去的光，反射後會聚集到另一個焦點」的性質，把光引到鏡筒後方的目鏡。
大型電波望遠鏡和衛星通訊天線也大多採用同樣的設計，橢圓、雙曲線、拋物線的焦點性質就在一個裝置中協同運作。
由電波抵達時間的差求位置（導航、定位）
有一種定位技術直接利用了雙曲線的定義：「到兩個定點的距離差固定的點所成的集合是雙曲線」。在羅蘭（LORAN）等雙曲線導航中，船隻或飛機測量來自兩個電台的訊號抵達時間差，找出自己在哪一條雙曲線上，再和另一組電台的雙曲線求交點，就能得到位置。
雖然現在已被 GPS 取代，但「由時間差縮小位置範圍」的想法仍延續下來，例如緊急電話時推估手機的位置。
建築與土木的曲面結構（發電廠的冷卻塔、吊橋纜索）
發電廠巨大的冷卻塔，很多都是把雙曲線旋轉而成的「雙曲面」形狀。這種曲面只要把直的鋼材斜斜地組合就能建造，既堅固又省材料。
吊橋的主纜索，在橋面的重量沿水平方向平均分布時，會形成拋物線（只受自身重量垂掛的纜索則是外形相似的另一種曲線，稱為懸鏈線）。在設計圖中，就是用像本頁這樣的標準式來定義這些形狀。
公式與圖示
橢圓的焦點（\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，\(a > b > 0\)）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(-\)
\(b^{2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
中心到焦點的距離 \(c\) 的平方
\(=\)
①
\(x^{2}\) 的分母 \(a^{2}\)（長軸的一半 \(a\) 的平方）
\(-\)
②
\(y^{2}\) 的分母 \(b^{2}\)（短軸的一半 \(b\) 的平方）
用文字讀公式
①
從
\(x^{2}\) 的分母 \(a^{2}\)
②
減去
\(y^{2}\) 的分母 \(b^{2}\)
，
③
就得到
中心到焦點的距離 \(c\) 的平方
（焦點是 \(x\) 軸上的 \((\pm c,\ 0)\) 兩點）
簡單範例
\(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)（\(a^{2} = 25,\ b^{2} = 9\)）的焦點是
到焦點的距離 \(c\) 的平方
\(=\)
\(x^{2}\) 的分母（25）
\(-\)
\(y^{2}\) 的分母（9）
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
\(F(4,\ 0),\quad F'(-4,\ 0)\)
思考重點
橢圓是「到兩焦點的距離和永遠固定（\(= 2a\)）的點所成的集合」。在板子上釘兩根圖釘，套上一圈線，用鉛筆把線拉緊並繞一圈，就能畫出橢圓，這正是它的定義。
\(x^{2}\) 的分母比較大時是橫的橢圓，焦點在 \(x\) 軸上的 \((\pm c,\ 0)\)；\(y^{2}\) 的分母比較大時是直的橢圓，\(c^{2} = b^{2} - a^{2}\)，焦點移到 \(y\) 軸上的 \((0,\ \pm c)\)。記住「大的分母減小的分母」，方向就不會弄錯。
\(a^{2} = b^{2}\) 時 \(c = 0\)，兩個焦點重合在中心，橢圓就變成圓。圓是橢圓的特殊情形。
雙曲線的焦點與漸近線（\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
中心到焦點的距離 \(c\) 的平方
\(=\)
①
\(x^{2}\) 的分母 \(a^{2}\)（到頂點的距離 \(a\) 的平方）
\(+\)
②
\(y^{2}\) 的分母 \(b^{2}\)
用文字讀公式
①
把
\(x^{2}\) 的分母 \(a^{2}\)
②
加上
\(y^{2}\) 的分母 \(b^{2}\)
，
③
就得到
中心到焦點的距離 \(c\) 的平方
（焦點是 \(x\) 軸上的 \((\pm c,\ 0)\) 兩點）
簡單範例
\(\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1\)（\(a^{2} = 9,\ b^{2} = 16\)）的焦點是
到焦點的距離 \(c\) 的平方
\(=\)
\(x^{2}\) 的分母（9）
\(+\)
\(y^{2}\) 的分母（16）
\(c^{2} = 9 + 16 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
\(F(5,\ 0),\quad F'(-5,\ 0)\)
思考重點
雙曲線是「到兩焦點的距離差永遠固定（\(= 2a\)）的點所成的集合」。橢圓是 \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)（相減），雙曲線是 \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\)（相加），只差一個符號。原因是橢圓的焦點在頂點內側（\(c < a\)），而雙曲線的焦點在頂點外側（\(c > a\)），所以 \(c^{2}\) 比 \(a^{2}\) 大。
雙曲線有兩條曲線無限接近的直線，稱為漸近線：\(y = \pm\dfrac{b}{a}x\)（例子中的雙曲線是 \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)）。畫圖時，通常先畫出漸近線，再沿著它描出曲線。
右邊是 \(-1\) 時（\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = -1\)），雙曲線開口朝上下，焦點在 \(y\) 軸上的 \((0,\ \pm c)\)，頂點是 \((0,\ \pm b)\)，距離差變成 \(2b\)。\(c\) 的求法（相加）和漸近線都不變。
拋物線的焦點與準線（\(y^{2} = 4px\)）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(PF\)
\(=\)
\(PH\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
到焦點 \(F\) 的距離 \(PF\)
\(=\)
①
到準線的距離 \(PH\)
用文字讀公式
①
拋物線就是
到準線的距離 \(PH\)
②
和
到焦點 \(F\) 的距離 \(PF\)
永遠相等的點 \(P\) 所成的集合
簡單範例
把 \(y^{2} = 8x\) 和標準式 \(y^{2} = 4px\) 比較，得到 \(4p = 8\)，所以
到焦點 \((2,\ 0)\) 的距離
\(=\)
到準線 \(x = -2\) 的距離
\(4p = 8\)
\(p = \dfrac{8}{4} = 2\)
思考重點
\(y^{2} = 4px\) 的焦點是 \(x\) 軸上的 \((p,\ 0)\)，準線是鉛直線 \(x = -p\)。\(p > 0\) 時拋物線開口向右，\(p < 0\) 時開口向左。
把 \(x\) 和 \(y\) 對調就是 \(x^{2} = 4py\)，這是開口向上或向下的拋物線，焦點是 \((0,\ p)\)，準線是水平線 \(y = -p\)。熟悉的 \(y = ax^{2}\) 的圖形也是同一類：改寫成 \(x^{2} = \dfrac{1}{a}y\)，就有焦點 \(\left(0,\ \dfrac{1}{4a}\right)\) 和準線。
係數寫成 \(4p\)，是為了讓焦點和準線變成 \((p,\ 0)\)、\(x = -p\) 這種簡潔的形式。遇到 \(y^{2} = 8x\) 這種式子時，第一步就是由 \(4p = 8\) 求出 \(p\)。（台灣的課本常寫成 \(y^{2} = 4cx\)，焦點 \((c,\ 0)\)，準線 \(x = -c\)，意思相同。）
離心率 \(e\)（表示曲線形狀的數）
數學寫法
（一般的數學式）
\(e\)
\(=\)
\(c\)
\(\div\)
\(a\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
離心率 \(e\)
\(=\)
①
中心到焦點的距離 \(c\)
\(\div\)
②
中心到頂點的距離 \(a\)
用文字讀公式
①
把
中心到焦點的距離 \(c\)
②
除以
中心到頂點（較長那條軸的端點）的距離 \(a\)
，
③
就得到
離心率 \(e\)
簡單範例
\(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)（\(a = 5,\ c = 4\)）的離心率是
離心率 \(e\)
\(=\)
到焦點的距離（4）
\(\div\)
到頂點的距離（5）
\(e = \dfrac{4}{5} = 0.8\)
思考重點
離心率是表示曲線「和圓相差多遠」的數。圓是 \(e = 0\)，橢圓是 \(0 < e < 1\)（越接近 0 越圓，越接近 1 越細長），拋物線正好是 \(e = 1\)，雙曲線是 \(e > 1\)。
橢圓、雙曲線、拋物線乍看是毫不相干的曲線，但用這一個數就能把它們依序排成「圓 → 橢圓 → 拋物線 → 雙曲線」。這也是三者被合稱為圓錐曲線的理由之一。
直的橢圓或開口朝上下的雙曲線，較長的軸是 \(y\) 軸，所以改除以 \(b\)（中心到頂點的距離）。記住「到焦點的距離 ÷ 到頂點的距離」，不論哪個方向都不會算錯。
中心到焦點的距離 \(c\)，橢圓用 \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)、雙曲線用 \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) 求出。拋物線 \(y^{2} = 4px\) 的焦點是 \((p,\ 0)\)，準線是 \(x = -p\)。這三種曲線是由到焦點的距離定義的同一家族（二次曲線），形狀可以用離心率 \(e\) 區分：橢圓 \(e < 1\)，拋物線 \(e = 1\)，雙曲線 \(e > 1\)。
符號與用語解說
符號
| \(a,\ b\) | a、b | 橢圓、雙曲線的標準式分母中的正數（以 \(a^{2}\)、\(b^{2}\) 的形式出現）。橢圓的 \(a\) 是 \(x\) 方向的半徑，\(b\) 是 \(y\) 方向的半徑（各是長軸或短軸的一半）。雙曲線的 \(a\) 是中心到頂點的距離。注意：台灣的課本通常讓 \(a\) 代表較長的半軸，把直的橢圓寫成 \(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\)；本頁的 \(a^{2}\) 則永遠是 \(x^{2}\) 的分母。 |
| \(c\) | c | 中心到焦點的距離。焦點在 \((\pm c,\ 0)\) 或 \((0,\ \pm c)\)。是接在 \(a\)、\(b\) 之後的第三個字母。橢圓是 \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)，雙曲線是 \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\)。 |
| \(F,\ F'\) | F、F 撇 | 表示焦點的點的名稱，取自英文 focus（焦點）的第一個字母。有兩個焦點的橢圓、雙曲線，第二個焦點寫成 \(F'\)（讀作「F 撇」）。 |
| \(P\) | P | 表示曲線上的點的名稱，取自英文 point（點）的第一個字母。在敘述定義時使用，例如「不論取哪一點 \(P\)，距離和都固定」。 |
| \(PF\) | P F | 連接點 \(P\) 和焦點 \(F\) 的線段長（\(P\) 到 \(F\) 的距離）。把兩點的名稱並列來表示線段長，是幾何中一般的寫法。 |
| \(H\) | H | 表示從拋物線上一點 \(P\) 到準線所作垂線的垂足（與準線的交點）的名稱。\(H\) 是垂足常用的字母（據說取自 height）。\(P\) 到準線的距離寫成 \(PH\)。 |
| \(p\) | p | 拋物線 \(y^{2} = 4px\) 中，表示頂點到焦點距離的數（負數時方向相反）。焦點是 \((p,\ 0)\)，準線是 \(x = -p\)。這個字母據說取自 parameter（參數）。台灣的課本多半用 \(c\) 表示（\(y^{2} = 4cx\)）。 |
| \(e\) | e | 離心率，取自英文 eccentricity 的第一個字母。圓是 \(e = 0\)，橢圓是 \(0 < e < 1\)，拋物線是 \(e = 1\)，雙曲線是 \(e > 1\)。（不是自然對數的底數 e ≈ 2.718。） |
| \(\pm\) | 正負 | 把「＋的情況和−的情況」一起寫出來的符號。焦點 \((\pm 4,\ 0)\) 是把 \((4,\ 0)\) 和 \((-4,\ 0)\) 兩點合起來的寫法。 |
| \(\sqrt{\ }\) | 根號 | 表示平方根（平方後等於該數的正數）的符號。由 \(c^{2} = 5\) 求 \(c = \sqrt{5}\) 時使用。\(\sqrt{5}\) 約為 2.236。 |
用語
| 二次曲線 | 可以用 \(x\) 和 \(y\) 的二次式表示的曲線。橢圓、雙曲線、拋物線（和圓）都屬於這一類。在高中數學甲的「二次曲線」單元學到。 |
| 圓錐曲線 | 二次曲線的別名。用平面去切圓錐（像冰淇淋甜筒那樣的立體），依切的角度不同，切口會是圓、橢圓、拋物線或雙曲線，因此得名。 |
| 橢圓 | 到兩焦點的距離和固定的點所成的集合。形狀像把圓往一個方向壓扁，標準式是 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)。 |
| 雙曲線 | 到兩焦點的距離差固定的點所成的集合。由開口朝左右（或上下）的兩條曲線組成，標準式是 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\)。 |
| 拋物線 | 到焦點和準線距離相等的點所成的集合。是拋出物體時軌跡的形狀，因「拋出」而得名。標準式是 \(y^{2} = 4px\)（或 \(x^{2} = 4py\)）。 |
| 焦點 | 決定二次曲線形狀的特別的點。橢圓、雙曲線有兩個，拋物線有一個。光線和電波會聚集在焦點，名稱就是由此而來。 |
| 準線 | 定義拋物線時使用的直線。拋物線上任一點到焦點的距離都等於到準線的距離。\(y^{2} = 4px\) 的準線是 \(x = -p\)。 |
| 漸近線 | 曲線無限接近（但永遠碰不到）的直線。雙曲線 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) 有 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) 兩條漸近線。 |
| 離心率 | 用 \(e\) 這一個數，表示曲線的形狀和圓相差多遠。圓 \(e = 0\)，橢圓 \(0 < e < 1\)，拋物線 \(e = 1\)，雙曲線 \(e > 1\)，這一個數就能把所有二次曲線分類。 |
| 長軸 | 通過橢圓中心最長的線段。橫的橢圓長度是 \(2a\)，焦點排在長軸上。 |
| 短軸 | 通過橢圓中心最短的線段。橫的橢圓長度是 \(2b\)，和長軸垂直相交。 |
| 頂點 | 曲線和對稱軸的交點。橢圓有 4 個（長軸兩端和短軸兩端，課本稱為長軸頂點、短軸頂點），雙曲線有 2 個，拋物線有 1 個（原點）。 |
| 標準式 | 把中心（拋物線為頂點）放在原點的最簡單形式的式子，例如 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，容易讀出焦點和頂點。 |
| 平方根 | 平方後等於某數的數。由 \(c^{2} = 16\) 求出 \(c = 4\) 就是「開平方」。平方根不是整數時，精確的寫法是用根號，例如 \(\sqrt{5}\)。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。
| 平方根（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 坐標平面與兩點距離（國中七年級～八年級，12～14 歲） |
|
| 二次函數的圖形（國中九年級～高一，14～16 歲） |
|
| 圓方程式（高中，15～17 歲） |
|
| 分數與比的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「橢圓的焦點與離心率」的表格（橫的橢圓，a² > b²）
| x² 的分母 a² | 25 |
| y² 的分母 b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| 到焦點的距離 c = √(c²) | =SQRT(B3) |
| 長軸長 2a | =2*SQRT(B1) |
| 短軸長 2b | =2*SQRT(B2) |
| 離心率 e = c/a | =B4/SQRT(B1) |
求「雙曲線的焦點與漸近線」的表格
| x² 的分母 a² | 9 |
| y² 的分母 b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| 到焦點的距離 c = √(c²) | =SQRT(B3) |
| 漸近線的斜率 b/a | =SQRT(B2/B1) |
| 離心率 e = c/a | =B4/SQRT(B1) |
求「拋物線的焦點與準線」的表格（y² = cx）
| x 的係數 c | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| 焦點的 x 坐標（焦點是 (p, 0)） | =B2 |
| 準線 x = −p 的值 | =-B2 |
貼上後，上面幾列（分母或係數）是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。SQRT 是平方根。
第 1 個表格是橢圓 x²/25 + y²/9 = 1：c² = 16，c = 4，長軸 10，短軸 6，離心率 0.8。直的橢圓（a² < b²）請把 c² 的公式改成「=B2-B1」，離心率改成「=B4/SQRT(B2)」。
第 2 個表格是雙曲線 x²/9 − y²/16 = 1：c² = 25，c = 5，漸近線的斜率 1.333…（= 4/3），離心率 1.666…（= 5/3）。
第 3 個表格是拋物線 y² = 8x：p = 2，焦點 (2, 0)，準線 x = −2。x² = cy（開口朝上下）時，焦點讀成 (0, p)，準線讀成 y = −p。
Excel 算出的是小數，需要 √5 這種精確值時，請使用本頁的計算機。
第 1 個表格是橢圓 x²/25 + y²/9 = 1：c² = 16，c = 4，長軸 10，短軸 6，離心率 0.8。直的橢圓（a² < b²）請把 c² 的公式改成「=B2-B1」，離心率改成「=B4/SQRT(B2)」。
第 2 個表格是雙曲線 x²/9 − y²/16 = 1：c² = 25，c = 5，漸近線的斜率 1.333…（= 4/3），離心率 1.666…（= 5/3）。
第 3 個表格是拋物線 y² = 8x：p = 2，焦點 (2, 0)，準線 x = −2。x² = cy（開口朝上下）時，焦點讀成 (0, p)，準線讀成 y = −p。
Excel 算出的是小數，需要 √5 這種精確值時，請使用本頁的計算機。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「橢圓的焦點與離心率」的表格（橫的橢圓，a² > b²）
| x² 的分母 a² | 25 |
| y² 的分母 b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| 到焦點的距離 c = √(c²) | =SQRT(B3) |
| 長軸長 2a | =2*SQRT(B1) |
| 短軸長 2b | =2*SQRT(B2) |
| 離心率 e = c/a | =B4/SQRT(B1) |
求「雙曲線的焦點與漸近線」的表格
| x² 的分母 a² | 9 |
| y² 的分母 b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| 到焦點的距離 c = √(c²) | =SQRT(B3) |
| 漸近線的斜率 b/a | =SQRT(B2/B1) |
| 離心率 e = c/a | =B4/SQRT(B1) |
求「拋物線的焦點與準線」的表格（y² = cx）
| x 的係數 c | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| 焦點的 x 坐標（焦點是 (p, 0)） | =B2 |
| 準線 x = −p 的值 | =-B2 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製並貼到 A1 儲存格，再把分母或係數改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
import math
# 橢圓 x²/a² + y²/b² = 1 的分母（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
x_denominator = Fraction(25) # a²
y_denominator = Fraction(9) # b²
# 橢圓：c² = 大的分母 − 小的分母（雙曲線則改成相加）
c_squared = abs(x_denominator - y_denominator)
c = math.sqrt(c_squared)
semi_major = math.sqrt(max(x_denominator, y_denominator))
print(f"c² = {c_squared}")
print(f"c = √{c_squared} = {c}")
if x_denominator >= y_denominator:
print(f"焦點：(±{c}, 0)") # 橫的 → 焦點在 x 軸上
else:
print(f"焦點：(0, ±{c})") # 直的 → 焦點在 y 軸上
print(f"離心率 e = c ÷ {semi_major} = {c / semi_major}")
只用標準函式庫就能執行。用 fractions 模組把分母當作分數處理，到 c² 為止都以沒有捨入誤差的精確值計算（只有平方根 math.sqrt 會變成小數）。這個例子是橢圓 x²/25 + y²/9 = 1，執行後會印出 4 行：「c² = 16」「c = √16 = 4.0」「焦點：(±4.0, 0)」「離心率 e = c ÷ 5.0 = 0.8」。雙曲線 x²/a² − y²/b² = 1 請把 c_squared 那一行改成「x_denominator + y_denominator」。拋物線 y² = cx 只需要 p = c/4，可以像 Fraction(8) / 4 這樣直接求出。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
橢圓的焦點（\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)，\(a > b > 0\)）
c² = a² − b²
c^{2} = a^{2} - b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 - b^2
c = Sqrt[a^2 - b^2]
c := sqrt(a^2 - b^2);
c = sqrt(a^2 - b^2);
c^2 = a^2 - b^2
雙曲線的焦點與漸近線（\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)）
c² = a² + b²
c^{2} = a^{2} + b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2
c = Sqrt[a^2 + b^2]
c := sqrt(a^2 + b^2);
c = sqrt(a^2 + b^2);
c^2 = a^2 + b^2
拋物線的焦點與準線（\(y^{2} = 4px\)）
y² = 4px
y^{2} = 4px
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>p</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y^2 = 4px
y^2 == 4 p x
y^2 = 4*p*x;
y^2 == 4*p*x
y^2 = 4px
離心率 \(e\)（表示曲線形狀的數）
e = c/a
e = \dfrac{c}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
e = c/a
e = c/a
e := c/a;
e = c/a;
e = c/a
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（二次曲線）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。 對於橢圓 x²/9 + y²/4 = 1，請分別列出以下內容： 1. c² = a² − b² 的值 2. 中心到焦點的距離 c（同時列出含 √ 的精確值和小數） 3. 焦點坐標 4. 長軸長 2a 和短軸長 2b 5. 離心率 e = c/a（同時列出精確值和小數） 在 Python 中請使用 sympy（沒有 sympy 時用 fractions 和 math），並用 sympy.sqrt 求出 √5 這樣的精確值。請列出所用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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圓方程式計算機（一般式與標準式互換、圓心與半徑、圓與直線的關係）
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