直角三角形計算機（一次算出邊長、角度、面積）

直角三角形的 8 個量（三邊、兩個角、斜邊上的高、面積、周長）中，請只輸入已知的「剛好兩個」。本計算機會用畢氏定理和三角比，附計算過程一次算出其餘所有的值。

邊 a（股，角 α 的對邊）

邊 b（股，角 β 的對邊）

邊 c（斜邊）

斜邊上的高 h

角 α（度，邊 a 的對角）

角 β（度，邊 b 的對角）

面積 S

周長 L（三邊的和）

只要輸入兩個值（其餘欄位保持空白）。角度請以度（°）輸入（結果會同時顯示弧度）。只有角 α 和角 β 的組合無法確定大小，所以不能計算。長度的單位請統一（例如全部用 cm）。

計算結果與圖形

在左邊的輸入欄填入已知的兩個值，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

直角三角形的 8 個量（三邊 \(a\)、\(b\)、\(c\)，兩個角 \(\alpha\)、\(\beta\)，斜邊上的高 \(h\)，面積 \(S\)，周長 \(L\)）中，只要輸入已知的兩個，其餘全部當場算出
「由斜邊和角度求其餘的邊」「由面積和一邊反推邊長」「由周長求三邊」等，任何組合都能計算（只有兩個角度的組合除外）
角度同時以度（°）和弧度顯示。附計算過程，看得出是用哪個公式解出來的
畢氏定理與三角比（sin、cos、tan）的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面

本頁只適用於直角三角形（有一個角剛好是 90° 的三角形）。角度請以度（°）輸入。沒有直角的一般三角形無法用本頁計算。

這個計算有什麼用？

屋頂的坡度與屋面材料的長度（木工、建築）

斜屋頂的坡度常用「水平 10 升高 4」（4/10）這樣的比來表示，這正是一個直角三角形，傾斜角是 \(\tan^{-1}(4 \div 10) \approx 21.8^\circ\)。屋面材料需要的長度是斜邊，所以水平寬度 4.55 m 時，需要 \(\sqrt{4.55^2 + 1.82^2} \approx 4.90\) m，比水平寬度還長（1.82 m 是 4.55 m 的 4/10 的高度）。
鐵皮屋頂、採光罩的估料和施工，從以前到現在都離不開直角三角形的計算。

從遠處測量樹木或大樓的高度（測量、林業）

太高而無法直接量的東西，可以從遠處抬頭看的角度（仰角）來測量。站在離樹 10 m 處測得仰角是 40°，眼睛高度以上的部分就是 \(10 \times \tan 40^\circ \approx 8.4\) m，再加上眼睛的高度 1.5 m，就知道樹高約 9.9 m。
測量人員用經緯儀（精密測量角度的儀器）測量，以及林業測量立木的高度，都正是這種「由一邊和一角求其餘的邊」的計算。

以安全的角度架設梯子（職業安全）

梯子立得太陡或放得太斜都很危險，一般建議的架設角度約為 75°（在台灣，《職業安全衛生設施規則》規定合梯的梯腳與地面的角度應在 75 度以內）。把長 6 m 的梯子以 75° 靠在牆上，梯腳離牆 \(6 \times \cos 75^\circ \approx 1.55\) m，能達到的高度是 \(6 \times \sin 75^\circ \approx 5.8\) m。
「這把梯子能搆到多高」「梯腳要離牆多遠」，都是工地每天在用的三角比計算。

把道路標誌上的「坡度 ○%」理解成角度（開車、地理）

坡道標誌上的「10%」，意思是「水平前進 100 m 會升高 10 m」，也就是 tan 的值本身。換成角度是 \(\tan^{-1} 0.1 \approx 5.7^\circ\)。也許比數字給人的印象平緩得多，但對汽車和腳踏車來說已經是相當陡的坡了。
了解 % 和角度的關係後，就能由地圖 App 的高度差估計坡道有多陡，或看懂鐵路的坡度（‰，千分比）。

設計輪椅用的坡道（無障礙設施）

在台灣，內政部的《建築物無障礙設施設計規範》規定坡道的坡度不得大於 1/12（水平 12 升高 1）。要用 1/12 的坡度克服 30 cm 的高差，需要 \(30 \times 12 = 360\) cm 的水平距離，坡道板實際的長度是斜邊 \(\sqrt{360^2 + 30^2} \approx 361.2\) cm，傾斜角約 4.8°。
「設置空間夠不夠」「市售坡道板的長度夠不夠」，都能用直角三角形的計算當場確認。

公式與圖示

用三角比求邊長的公式（已知角度與斜邊時）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(a\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(\sin\alpha\)

\(b\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(\cos\alpha\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 邊 \(a\)（角 \(\alpha\) 的對邊） \(=\) ① 斜邊 \(c\) \(\times\) ② 正弦 \(\sin\alpha\)

⑤ 邊 \(b\)（角 \(\alpha\) 的鄰邊） \(=\) 斜邊 \(c\) \(\times\) ④ 餘弦 \(\cos\alpha\)

用文字讀公式

① 斜邊 \(c\) 乘以

② 正弦 \(\sin\alpha\)（「對邊」占斜邊的比例），就得到

③ 角 \(\alpha\) 的對邊 \(a\) 。

④ 餘弦 \(\cos\alpha\)（「鄰邊」占斜邊的比例）乘以同一個斜邊，就得到

⑤ 角 \(\alpha\) 的鄰邊 \(b\) 。

簡單範例

斜邊是 10、角 α 是 30° 時，其餘兩邊是

邊 \(a\) \(=\) 斜邊（10） \(\times\) sin 30°（= 0.5）

邊 \(b\) \(=\) 斜邊（10） \(\times\) cos 30°（≈ 0.866）

\(a = 10 \times \sin 30^\circ = 10 \times 0.5 = 5\)

\(b = 10 \times \cos 30^\circ = 10 \times 0.8660\cdots \approx 8.66\)

思考重點

三角比（sin、cos、tan）就是「直角三角形各邊之間的比」。角 \(\alpha\) 一確定，三角形的形狀就確定了，所以 \(\sin\alpha =\)（對邊 \(a\)）÷（斜邊 \(c\)）、\(\cos\alpha =\)（鄰邊 \(b\)）÷（斜邊 \(c\)）的值也都只有一個。常見的角度記起來會很方便：三角板形狀的「30°、60°、90°」三角形，三邊的比是 \(1 : \sqrt{3} : 2\)；「45°、45°、90°」的等腰直角三角形是 \(1 : 1 : \sqrt{2}\)。

求角度的公式（已知兩邊時）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\tan\alpha\) \(=\) \(a\) \(\div\) \(b\)

\(\beta\) \(=\) \(90^\circ\) \(-\) \(\alpha\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 角 \(\alpha\) 的正切 \(\tan\alpha\) \(=\) ① 對邊 \(a\) \(\div\) ② 鄰邊 \(b\)

⑥ 另一個角 \(\beta\) \(=\) ④ 兩個銳角的和 \(90^\circ\) \(-\) ⑤ 角 \(\alpha\)

用文字讀公式

① 角 \(\alpha\) 的對邊 \(a\) 除以

② 鄰邊 \(b\) ，就得到

③ 正切 \(\tan\alpha\) （用計算機的 \(\tan^{-1}\) 鍵就能換回角 \(\alpha\)）。

④ 兩個銳角的和 \(90^\circ\) 減去

⑤ 角 \(\alpha\) ，就得到

⑥ 另一個角 \(\beta\) 。

簡單範例

兩股是 3 和 4 時，角 α 和角 β 是

角 \(\alpha\) 的正切 \(=\) 對邊（3） \(\div\) 鄰邊（4）

\(\tan\alpha = 3 \div 4 = 0.75\)

\(\alpha = \tan^{-1} 0.75 \approx 36.87^\circ\)

\(\beta = 90^\circ - 36.87^\circ = 53.13^\circ\)

思考重點

\(\tan^{-1}\)（反正切，arctan）是「由正切的值反過來求角度」的計算，工程計算機、Excel、手機計算機 App（科學計算模式）都有這個功能。如果已知斜邊，用 \(\alpha = \sin^{-1}(a \div c)\) 也能求出同樣的角度。兩個銳角相加一定是 90°，是因為三角形的內角和是 180°，扣掉直角的 90° 後，剩下的 90° 由兩個銳角分掉。所以只要知道其中一個角，另一個角用減法就能求出。

求面積的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(S\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(2\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 面積 \(S\) \(=\) ① 邊 \(a\)（底） \(\times\) ② 邊 \(b\)（高） \(\div\) ③ \(2\)（取一半）

用文字讀公式

① 股 \(a\)（底）乘以

② 另一股 \(b\)（高），再除以

③ \(2\) ，就得到

④ 面積 \(S\) 。

簡單範例

兩股是 3 和 4 時，面積是

面積 \(S\) \(=\) 底（3） \(\times\) 高（4） \(\div\) 2

\(S = 3 \times 4 \div 2 = 6\)

思考重點

三角形的面積公式是「底 × 高 ÷ 2」。直角三角形的兩股 \(a\)、\(b\) 本身就是底和高，所以只用這兩邊就能算出面積（要 ÷ 2，是因為它是「長 \(a\)、寬 \(b\) 的長方形沿對角線切成一半」的形狀）。如果已知斜邊 \(c\) 和斜邊上的高 \(h\)，用 \(S = c \times h \div 2\) 也會得到同樣的面積。

求斜邊上的高的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 斜邊上的高 \(h\) \(=\) ① 邊 \(a\) \(\times\) ② 邊 \(b\) \(\div\) ③ 斜邊 \(c\)

用文字讀公式

① 股 \(a\) 乘以

② 另一股 \(b\) ，再除以

③ 斜邊 \(c\) ，就得到

④ 以斜邊為底時的高 \(h\) 。

簡單範例

三邊為 3、4、5 的直角三角形，以斜邊 5 為底時的高是

斜邊上的高 \(h\) \(=\) 邊 a（3） \(\times\) 邊 b（4） \(\div\) 斜邊（5）

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 2.4\)

思考重點

把同一個三角形的面積用兩種方式表示，就是 \(a \times b \div 2 = c \times h \div 2\)。比較等號兩邊可得 \(a \times b = c \times h\)，也就是 \(h = a \times b \div c\)。這個高（從直角頂點向斜邊所作的垂線）會把原來的三角形切成「兩個都和原三角形相似的小直角三角形」，是國中九年級「相似形」單元和會考常見的題型。

求周長的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(L\) \(=\) \(a\) \(+\) \(b\) \(+\) \(c\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 周長 \(L\) \(=\) ① 邊 \(a\) \(+\) ② 邊 \(b\) \(+\) ③ 斜邊 \(c\)

用文字讀公式

① 股 \(a\) 、

② 另一股 \(b\) 和

③ 斜邊 \(c\) 全部加起來，就得到

④ 周長 \(L\) 。

簡單範例

三邊為 3、4、5 的直角三角形，周長是

周長 \(L\) \(=\) 邊 a（3） \(+\) 邊 b（4） \(+\) 斜邊（5）

\(L = 3 + 4 + 5 = 12\)

思考重點

只要把三邊全部加起來。如果只知道兩個值，就先用畢氏定理或三角比求出其餘的邊，再相加。像 3、4、5，5、12、13，8、15、17 這樣「三邊都是整數的直角三角形的組合」稱為畢氏數，除了常出現在計算題，工地用繩子按 3：4：5 拉出直角的傳統方法也是利用它。

直角三角形靠「畢氏定理 \(a^2 + b^2 = c^2\)」和「三角比（sin、cos、tan）」這兩大支柱，只要知道兩個量，其餘全部都能算出來。面積是 \(a \times b \div 2\)，斜邊上的高是 \(a \times b \div c\)，周長是三邊的和。

符號與用語解說

符號

\(a\)	a	兩股之一，是角 \(\alpha\) 對面的邊。
\(b\)	b	另一股，是角 \(\beta\) 對面的邊。
\(c\)	c	斜邊，也就是直角對面、直角三角形中最長的邊。
\(\alpha\)	alpha	邊 \(a\) 對面的角。這是希臘字母，常用來替角命名。
\(\beta\)	beta	邊 \(b\) 對面的角，且 \(\alpha + \beta = 90^\circ\)。
\(h\)	h	以斜邊為底時的高，也就是從直角頂點向斜邊所作垂線的長度，可用 \(h = a \times b \div c\) 求出。
\(S\)	S	面積，可用 \(S = a \times b \div 2\) 求出。
\(L\)	L	周長（三邊的和），\(L = a + b + c\)。
\(\sin\alpha\)	sine alpha	正弦：「對邊」占斜邊的比例，\(\sin\alpha = a \div c\)（例如 \(\sin 30^\circ = 0.5\)）。
\(\cos\alpha\)	cosine alpha	餘弦：「鄰邊」占斜邊的比例，\(\cos\alpha = b \div c\)（例如 \(\cos 60^\circ = 0.5\)）。
\(\tan\alpha\)	tangent alpha	正切：「對邊」與「鄰邊」的比，\(\tan\alpha = a \div b\)（例如 \(\tan 45^\circ = 1\)）。
\(\tan^{-1}\)	arctan（反正切）	由正切的值反過來求角度的計算，在工程計算機上是 tan⁻¹ 鍵。雖然寫成「−1 次方」，但意思是「反向的計算」，不是倒數。

用語

直角三角形	有一個角剛好是 90°（直角）的三角形。其餘兩個角一定是銳角（小於 90°），相加等於 90°。
斜邊	直角對面的邊，一定是直角三角形三邊中最長的一邊。夾直角的另外兩邊稱為「股」。
畢氏定理	直角三角形三邊之間成立的關係 \(a^2 + b^2 = c^2\)，又稱勾股定理，台灣在國中八年級學習。只要知道兩邊，就能算出第三邊。
三角比	直角三角形各邊之間的比（正弦、餘弦、正切）。角度確定，比值也就確定，所以由「角度和一邊」就能算出其餘的邊。台灣在高中一年級學習。
弧度	角度的另一種單位（rad）。弧長等於半徑時所對的圓心角是 1 弧度，\(180^\circ = \pi\) 弧度。由度換算時用「度 × π ÷ 180」。
畢氏數	三邊都是整數的直角三角形的三數組，有名的有 3、4、5，5、12、13，8、15、17 等。
等腰直角三角形	兩股長度相等的直角三角形。兩個銳角都是 45°，三邊的比是 \(1 : 1 : \sqrt{2}\)，一組三角板中有一片就是這個形狀。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。

三角形的面積（國小五年級，10～11 歲）	知道三角形的面積可以用「底 × 高 ÷ 2」求出知道直角三角形的兩股本身就是底和高
三角形的內角和（國小五年級～國中八年級）	知道三角形的三個角加起來是 180° 能說明直角三角形中直角以外的兩個角加起來是 90°
畢氏定理與平方根（國中八年級，13～14 歲）	知道直角三角形的三邊滿足 \(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\) 是斜邊）會求平方後等於原數的值（平方根），例如 \(\sqrt{25} = 5\)
三角比（高中一年級，15～16 歲）	能說明 sin、cos、tan 是「直角三角形各邊之間的比」知道已知角度和一邊時，可以用三角比求出其餘的邊能說出 30°、45°、60° 的三角比的值，例如 \(\sin 30^\circ = 0.5\)（國中九年級先學到這些角的邊長比）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「由角度與斜邊求兩股」的表格

斜邊 c	10
角 α（度）	30
邊 a	=B1*SIN(RADIANS(B2))
邊 b	=B1*COS(RADIANS(B2))

求「由兩邊求角度」的表格

邊 a	3
邊 b	4
角 α（度）	=DEGREES(ATAN(B1/B2))
角 β（度）	=90-B3

求「面積」的表格

邊 a	3
邊 b	4
面積 S	=B1*B2/2

求「斜邊上的高」的表格

邊 a	3
邊 b	4
斜邊 c	5
高 h	=B1*B2/B3

求「周長」的表格

邊 a	3
邊 b	4
斜邊 c	5
周長 L	=B1+B2+B3

貼上後，上方的列是輸入欄，最下方的列（有時是好幾列）會自動算出結果。
Excel 的 SIN、COS 函數以弧度為單位，所以用度輸入的角度要先用 RADIANS 函數換算。反過來，ATAN 函數傳回的是弧度，要用 DEGREES 函數換回度。
第一個表格的邊 a 會顯示 5、邊 b 約 8.66；第二個表格的角 α 約 36.87、角 β 約 53.13。只要把 B 欄的輸入值改成您自己的數值即可使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「由角度與斜邊求兩股」的表格

斜邊 c	10
角 α（度）	30
邊 a	=B1*SIN(RADIANS(B2))
邊 b	=B1*COS(RADIANS(B2))

求「由兩邊求角度」的表格

邊 a	3
邊 b	4
角 α（度）	=DEGREES(ATAN(B1/B2))
角 β（度）	=90-B3

求「面積」的表格

邊 a	3
邊 b	4
面積 S	=B1*B2/2

求「斜邊上的高」的表格

邊 a	3
邊 b	4
斜邊 c	5
高 h	=B1*B2/B3

求「周長」的表格

邊 a	3
邊 b	4
斜邊 c	5
周長 L	=B1+B2+B3

和 Excel 相同的公式（SIN、COS、ATAN、RADIANS、DEGREES）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 B 欄的輸入值改成您自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

import math

side_a = 3.0  # 股 a
side_b = 4.0  # 股 b

side_c = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)      # 斜邊（畢氏定理）
angle_alpha = math.degrees(math.atan(side_a / side_b))  # 角 α（度）
angle_beta = 90 - angle_alpha                       # 角 β（度）
height = side_a * side_b / side_c                   # 斜邊上的高
area = side_a * side_b / 2                          # 面積
perimeter = side_a + side_b + side_c                # 周長

print(f"斜邊 c：{side_c}")
print(f"角 α：{angle_alpha} 度 = {math.radians(angle_alpha)} 弧度")
print(f"角 β：{angle_beta} 度 = {math.radians(angle_beta)} 弧度")
print(f"高 h：{height}")
print(f"面積 S：{area}")
print(f"周長 L：{perimeter}")

只用標準函式庫的 math 就能執行。math.sin、math.atan 等三角函數以弧度計算，所以重點是用 math.degrees（弧度→度）和 math.radians（度→弧度）換算。請把開頭的兩邊改成您自己的數值後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

用三角比求邊長的公式（已知角度與斜邊時）

a = c·sin α,  b = c·cos α

a = c \sin\alpha, \quad b = c \cos\alpha

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>b</mi><mo>=</mo><mi>c</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>cos</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
  </mrow>
</math>

a = c sin(alpha), b = c cos(alpha)

a == c Sin[α] && b == c Cos[α]

a := c*sin(alpha); b := c*cos(alpha);

a = c*sind(alpha); b = c*cosd(alpha);

a = c sin α,  b = c cos α

求角度的公式（已知兩邊時）

α = tan⁻¹(a ÷ b),  β = 90° − α

\alpha = \tan^{-1}\frac{a}{b}, \quad \beta = 90^\circ - \alpha

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3B1;</mi><mo>=</mo>
    <msup><mi>tan</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mo>&#x2061;</mo>
    <mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3B2;</mi><mo>=</mo><mrow><mn>90</mn><mo>&#xB0;</mo></mrow><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x3B1;</mi>
  </mrow>
</math>

alpha = arctan(a/b), beta = 90 - alpha

α == ArcTan[a/b] && β == Pi/2 - α

alpha := arctan(a/b); beta := Pi/2 - alpha;

alpha = atand(a/b); beta = 90 - alpha;

α = tan^(-1)(a/b),  β = 90° - α

求面積的公式

S = a × b ÷ 2

S = \frac{1}{2}ab

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>b</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

S = (a b)/2

a b / 2

S := a*b/2;

S = a*b/2;

S = ab/2

求斜邊上的高的公式

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>a</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>b</mi></mrow><mi>c</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a b / c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

求周長的公式

L = a + b + c

L = a + b + c

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

L = a + b + c

a + b + c

L := a + b + c;

L = a + b + c;

L = a + b + c

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

已知一個直角三角形的股 a 是 3，斜邊 c 是 5。
請分別求出：
1. 另一股 b（畢氏定理）
2. 角 α 和角 β（度與弧度都要）
3. 以斜邊為底時的高 h
4. 面積 S 和周長 L

請列出使用的公式和執行結果的數值。