圓計算機（半徑、直徑、圓周長、面積互相換算）

請在半徑、直徑、圓周長、面積中，「只輸入一個」已知的值。會一次算出其餘 3 個。

半徑 R

直徑 D

圓周長 C

面積 A

只輸入 1 個值（輸入 2 個以上會出現錯誤）。請用半形數字輸入大於 0 的值。單位要一致（半徑是公分，圓周長也是公分，面積是 cm²）。

計算結果與圖形

在左邊的輸入欄填入半徑、直徑、圓周長、面積中的任一個，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

半徑、直徑、圓周長、面積這 4 個值中，只要輸入已知的「任一個」，就能當場一次知道其餘 3 個
也能做「圓周長 100 公分的圓，半徑是多少？」「面積 100 平方公分的圓，直徑是多少？」這類由圓周長或面積的反推
除了小數的答案，也會顯示保留圓周率 \(\pi\) 的精確形式（半徑 5 時，圓周長 \(= 10\pi\)、面積 \(= 25\pi\)）
淺顯的公式解說，以及可直接複製的 Excel、Google 試算表、Python 寫法，都整理在這個頁面

圓周率用 \(\pi = 3.14159\ldots\) 計算（國小數學用的「3.14」是它的近似值）。不必指定單位。半徑用公分輸入，直徑、圓周長也是公分，面積是 cm²（用公尺就是 m、m²）。

這個計算有什麼用？

挑選披薩、蛋糕的尺寸（大小要用面積比較）

直徑 30 公分（約 12 吋）的披薩，面積是 \(\pi \times 15^2 \approx 707\) cm²；直徑 20 公分（約 8 吋）則是 \(\pi \times 10^2 \approx 314\) cm²。直徑只差 1.5 倍，能吃到的量（面積）卻是 \(1.5^2 = 2.25\) 倍。
像「1 個大披薩和 2 個小披薩哪個划算」這類比較，不是比直徑，而是用面積公式計算，才能正確判斷。

由樹幹周長求直徑、半徑（林業、造園）

站著的樹沒辦法直接量直徑，所以會用捲尺量樹幹一圈（圓周長），再用 \(D = C \div \pi\) 換算成直徑。樹幹周長 100 公分，直徑約 31.8 公分。
林業實際上就有把這個計算做進刻度的「直徑捲尺」（胸徑尺）這種工具（這是把樹幹斷面看成圓的近似）。

圓形花圃、農田的材料計算（園藝、農業）

半徑 1.5 公尺的圓形花圃，面積是 \(\pi \times 1.5^2 \approx 7.1\) m²，周長是 \(2\pi \times 1.5 \approx 9.4\) 公尺。
知道面積就能估算土、肥料、草皮的需要量；知道圓周長，就能在出門採買前估算圍籬、磚塊需要的長度。

田徑跑道的起跑位置為什麼是錯開的？（運動）

田徑跑道的彎道部分左右合起來剛好是 1 個圓，所以跑外側一個跑道（寬約 1.22 公尺），每一圈會多跑 \(2\pi \times 1.22 \approx 7.7\) 公尺。
400 公尺賽跑中，越外側的跑道起跑位置越往前錯開，就是為了抵銷用這個圓周長公式算出的差距（實際的競賽規則還會考慮丈量線的位置來決定）。

水管、軟管的斷面積與流量（設備、工程）

內徑 2 公分的水管，斷面積是 \(\pi \times 1^2 \approx 3.14\) cm²；直徑 4 公分則是 \(\pi \times 2^2 \approx 12.6\) cm²，是 4 倍。
「直徑變 2 倍，斷面積就變 4 倍（受平方影響）」這個關係，是決定自來水管、風管、電線粗細的基礎。

輪胎、車輪轉 1 圈前進的距離（腳踏車、汽車）

外徑 70 公分的腳踏車輪胎，轉 1 圈會前進一個圓周長，也就是 \(\pi \times 0.7 \approx 2.2\) 公尺。轉 100 圈約 220 公尺。
腳踏車碼錶和汽車的速度表，就是用這個「轉 1 圈＝圓周長」的關係和輪胎的轉數，來計算速度和距離。

公式與圖示

求直徑的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(D\) \(=\) \(2\) \(\times\) \(R\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 直徑 \(D\) \(=\) ② 2 個半徑的 \(2\) \(\times\) ① 半徑 \(R\)

用文字讀公式

① 半徑 \(R\) 乘以

② 2 個半徑的 \(2\) ，就得到

③ 直徑 \(D\) 。

簡單範例

半徑 5 公分的圓，直徑是

直徑 \(D\) \(=\) \(2\) \(\times\) 半徑（5 cm）

\(D = 2 \times 5 = 10\)

思考重點

直徑是「通過圓的正中央（圓心），從一端到另一端」的長度，剛好是半徑的 2 倍。反過來，已知直徑時，除以 2 就是半徑（\(R = D \div 2\)）。

求圓周長的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(C\) \(=\) \(2\) \(\times\) \(\pi\) \(\times\) \(R\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 圓周長 \(C\) \(=\) ③ 2 個半徑的 \(2\) \(\times\) ② 圓周率 \(\pi\) \(\times\) ① 半徑 \(R\)

用文字讀公式

① 半徑 \(R\) 乘以

② 圓周率 \(\pi\)（約 3.14），再乘以

③ 2 個半徑的 \(2\) ，就得到

④ 圓周長 \(C\) 。

簡單範例

半徑 5 公分的圓，圓周長是

圓周長 \(C\) \(=\) \(2\) \(\times\) 圓周率 \(\pi\) \(\times\) 半徑（5 cm）

\(C = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi\)

\(10\pi = 10 \times 3.14159\ldots \approx 31.4\)

思考重點

「半徑 × 2」就是直徑，所以這個公式和「圓周長＝直徑 × 圓周率」（\(C = \pi D\)）意思相同。國小數學學到的「圓周長＝直徑 × 3.14」，就是把這個公式中的圓周率換成 3.14。圓周率 \(\pi\) 是表示「圓周長是直徑的幾倍」的數，是 \(3.14159265\ldots\) 無限延續、不循環的小數（無理數）。不管多大的圓，這個倍數一定都相同。

求面積的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(A\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(R\) \(2\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 面積 \(A\) \(=\) ③ 圓周率 \(\pi\) \(\times\) ① 半徑 \(R\) ② 表示平方的指數 \(2\)

用文字讀公式

① 半徑 \(R\) 先

② 平方（半徑 × 半徑），再乘以

③ 圓周率 \(\pi\)（約 3.14），就得到

④ 面積 \(A\) 。

簡單範例

半徑 5 公分的圓，面積是

面積 \(A\) \(=\) 圓周率 \(\pi\) \(\times\) 半徑（5 cm）平方

\(A = \pi \times 5^2 = 25\pi\)

\(25\pi = 25 \times 3.14159\ldots \approx 78.5\)

思考重點

和國小學到的「圓面積＝半徑 × 半徑 × 圓周率」是同一個公式。常見的錯誤有 2 種：(1) 直接把直徑平方（一定要先換成半徑再平方）；(2) 把「平方」和「2 倍」搞混（5 的平方是 \(5 \times 5 = 25\)，5 的 2 倍是 \(5 \times 2 = 10\)）。

由圓周長反推半徑的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(R\) \(=\) \(C\) \(\div\) \(2\) \(\div\) \(\pi\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 半徑 \(R\) \(=\) ① 圓周長 \(C\) \(\div\) ② 2 個半徑的 \(2\) \(\div\) ③ 圓周率 \(\pi\)

用文字讀公式

① 圓周長 \(C\) 除以

② 2 個半徑的 \(2\) ，再除以

③ 圓周率 \(\pi\)（約 3.14），就得到

④ 半徑 \(R\) 。

簡單範例

用捲尺量樹幹一圈（圓周長），結果是 100 公分。樹幹的半徑是

半徑 \(R\) \(=\) 圓周長（100 cm） \(\div\) \(2\) \(\div\) 圓周率 \(\pi\)

\(R = 100 \div 2 \div \pi = \dfrac{50}{\pi} \approx 15.9\)

思考重點

這是把圓周長公式 \(C = 2\pi R\) 反過來推的公式，和「圓周長 ÷ \(2\pi\)」（除以 \(2\pi \approx 6.28\)）意思相同。也可以先算出「圓周長 ÷ \(\pi\)＝直徑」再除以 2，答案一樣。

由面積反推半徑的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(R\) \(=\) \(\sqrt{A \div \pi}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② 半徑 \(R\) \(=\) ① 面積 \(A\) ÷ 圓周率 \(\pi\) 的平方根

用文字讀公式

① 面積 \(A\) 除以圓周率 \(\pi\) 的值的平方根（平方後等於 \(A \div \pi\) 的正數），求出來就是

② 半徑 \(R\) 。

簡單範例

面積 100 平方公分的圓，半徑是

半徑 \(R\) \(=\) \(\sqrt{100 \div \pi}\)

\(R = \sqrt{100 \div \pi} \approx \sqrt{31.83} \approx 5.64\)

思考重點

這是把面積公式 \(A = \pi R^2\) 反過來推的公式。面積除以 \(\pi\) 會得到「半徑的平方」，再取它的平方根（\(\sqrt{\ }\)＝平方後等於該數的正數），就回到半徑。平方根可以用計算機的「√」鍵或 Excel 的 SQRT 函數求出。

圓的計算以「直徑＝半徑的 2 倍」「圓周長＝直徑 × 圓周率」「面積＝半徑 × 半徑 × 圓周率」這 3 個公式為基礎。只要知道其中任一個值，把公式反過來推、換成半徑，就能求出其餘所有的值。圓周率 π 是 3.14159…無限延續的數，手算時常用 3.14。

符號與用語解說

符號

\(R\)	R	半徑（radius），從圓心到圓周的長度。
\(D\)	D	直徑（diameter），通過圓心、從一端到另一端的長度，是半徑的 2 倍（\(D = 2R\)）。
\(C\)	C	圓周長（circumference），繞圓一圈的長度。
\(A\)	A	面積（area），圓內部的大小。長度的單位是公分，面積的單位就是 cm²。
\(\pi\)	pi	圓周率，表示圓周長是直徑的幾倍的數，\(3.14159265\ldots\) 無限延續下去。國小用 3.14 計算。
\(R^2\)	R 的平方	半徑 × 半徑。右上角的小 2 是指數，意思是「乘兩次」（例如 \(5^2 = 5 \times 5 = 25\)）。
\(\sqrt{\ }\)	根號	平方後等於該數的正數（例如 \(\sqrt{25} = 5\)，5 平方後回到 25）。

用語

圓	平面上與某一點（圓心）距離相等的點所形成的圖形。這個「相等的距離」就是半徑。
半徑	從圓心到圓周的長度。是決定圓的大小最基本的值，本頁的計算也都是先換成半徑再進行。
直徑	通過圓心、兩端都在圓周上的線段長度，剛好是半徑的 2 倍。
圓周	圓的外圍一圈，它的長度叫做圓周長。不管什麼樣的圓，「圓周長 ÷ 直徑」一定等於圓周率（約 3.14）。
圓周率	表示圓周長是直徑的幾倍的數（符號是 π）。是 3.14159265…無限延續、不循環的小數，已知無法用分數精確表示（無理數）。從古希臘的阿基米德、中國南北朝的祖沖之（算出 3.1415926 到 3.1415927 之間）以來，人們一直在想辦法求出更精確的值。
無理數	無法用分數（整數 ÷ 整數）精確表示的數。圓周率 π 就是代表例子，所以計算時會用 3.14 這樣的近似值，或保留 π 直接寫。
平方根	平方後等於該數的數（符號是 √）。由面積反推半徑時會用到。台灣在國中八年級學習。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。

圓與圓周率（國小三年級、六年級，8～9 歲、11～12 歲）	了解圓的半徑、直徑、圓心這些詞的意思，知道直徑是半徑的 2 倍知道用「圓周長＝直徑 × 圓周率（3.14）」求圓周長，並知道圓周率是表示「圓周長是直徑的幾倍」的數
圓面積（國小六年級，11～12 歲）	知道用「圓面積＝半徑 × 半徑 × 圓周率」求圓的面積了解長度單位（cm）和面積單位（cm²）的不同
代數式（國中七年級，12～13 歲）	會像 \(C = 2\pi R\) 這樣，省略乘號、用英文字母寫式子會把圓周率以 \(\pi\) 這個符號保留在式子中處理
平方根（國中八年級，13～14 歲）	知道 \(\sqrt{a}\) 是「平方後等於 \(a\) 的正數」（由面積反推半徑時會用到）
小數的乘法與除法（國小五年級，10～11 歲）	會用直式計算乘以 3.14、除以 3.14

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「直徑」的表格

半徑 R	5
直徑 D	=2*B1

求「圓周長」的表格

半徑 R	5
圓周長 C	=2PI()B1

求「面積」的表格

半徑 R	5
面積 A	=PI()*B1^2

「由圓周長求半徑」的表格

圓周長 C	100
半徑 R	=B1/(2*PI())

「由面積求半徑」的表格

面積 A	100
半徑 R	=SQRT(B1/PI())

貼上後，B1 是輸入欄，B2 是自動計算的結果。
「PI()」是傳回圓周率 3.14159…的函數，「SQRT()」是求平方根（根號）的函數，「^2」是平方的意思。
例如第 2 個表格，B2 會顯示約 31.42（半徑 5 的圓的圓周長）。第 4 個表格約 15.92，第 5 個表格約 5.64。只要把 B1 改成自己的數值就能使用。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「直徑」的表格

半徑 R	5
直徑 D	=2*B1

求「圓周長」的表格

半徑 R	5
圓周長 C	=2PI()B1

求「面積」的表格

半徑 R	5
面積 A	=PI()*B1^2

「由圓周長求半徑」的表格

圓周長 C	100
半徑 R	=B1/(2*PI())

「由面積求半徑」的表格

面積 A	100
半徑 R	=SQRT(B1/PI())

和 Excel 相同的公式（PI()、SQRT()）可以直接使用。把表格整個複製後貼到 A1 儲存格，再把 B1 改成自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

import math

radius = 5  # 半徑（填入已知的值）

diameter = radius * 2                 # 直徑
circumference = 2 * math.pi * radius  # 圓周長
area = math.pi * radius ** 2          # 面積

print(f"直徑：{diameter}")
print(f"圓周長：{circumference}")
print(f"面積：{area}")

# 反推的例子：由圓周長或面積求半徑
radius_from_circumference = 100 / (2 * math.pi)  # 圓周長 100 的圓的半徑
radius_from_area = math.sqrt(100 / math.pi)      # 面積 100 的圓的半徑
print(f"圓周長 100 的圓的半徑：{radius_from_circumference}")
print(f"面積 100 的圓的半徑：{radius_from_area}")

只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 3.14159…，「math.sqrt」是平方根（根號），「**」是次方（平方）。請改寫開頭的半徑再執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

求直徑的公式

D = 2R

D = 2R

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>R</mi>
  </mrow>
</math>

D = 2R

2 r

d := 2*r;  # D（微分運算子）是 Maple 的保留字，所以變數全部改用小寫

D = 2*R;

D = 2R

求圓周長的公式

C = 2πR

C = 2\pi R

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>2</mn>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <mi>R</mi>
  </mrow>
</math>

C = 2 pi R

2 Pi r

C := 2*Pi*R;

C = 2*pi*R;

C = 2πR

求面積的公式

A = πR²

A = \pi R^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>A</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>&#x03C0;</mi>
    <msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

A = pi R^2

Pi r^2

A := Pi*R^2;

A = pi*R^2;

A = πR^2

由圓周長反推半徑的公式

R = C ÷ (2π)

R = \dfrac{C}{2\pi}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>C</mi>
      <mrow><mn>2</mn><mi>&#x03C0;</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = C/(2 pi)

c/(2 Pi)

R := C/(2*Pi);

R = C/(2*pi);

R = C/(2π)

由面積反推半徑的公式

R = √(A ÷ π)

R = \sqrt{\dfrac{A}{\pi}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mfrac><mi>A</mi><mi>&#x03C0;</mi></mfrac>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

R = sqrt(A/pi)

Sqrt[a/Pi]

R := sqrt(A/Pi);

R = sqrt(A/pi);

R = √(A/π)

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是圓的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

1. 請分別求出半徑 5 公分的圓的直徑、圓周長、面積。
2. 請求出圓周長 100 公分的圓的半徑。
3. 請求出面積 100 平方公分的圓的半徑。

圓周率請用 math.pi。請列出計算用的公式和執行結果的數值（到小數第 2 位）。