請輸入二次函數 y = ax² + bx + c 的係數 a、b、c。下方的數學式和輸入欄是連動的，直接改寫式中的係數也能計算。
請用半形輸入數值。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。a 空白時當成 1（x² 就是 1x²），b、c 空白時當成 0。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄填入係數 a、b、c，按下「計算」，配方的計算過程、頂點坐標和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入係數，就能把二次函數 \(y = ax^{2} + bx + c\) 配方成 \(y = a(x - p)^{2} + q\) 的形式（頂點式）
- 依照和課本相同的步驟「提出係數 → 加上再減去 \(x\) 係數一半的平方 → 寫成完全平方式」，一行一行顯示計算過程
- 同時求出頂點坐標 \((p,\ q)\)、對稱軸 \(x = p\)、圖形的開口方向（開口向上或開口向下）和最大值或最小值，並畫出拋物線的圖形
- 答案同時以 \(-\dfrac{5}{4}\) 這樣約分後的分數（精確值）和小數顯示。係數除了小數、負數，也能輸入像 3/4 這樣的分數
- 計算機會顯示和手寫相同形式的數學式，也可以直接改寫式中的係數來計算
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
本頁的對象是二次函數（x² 的係數 a 不是 0）。想解 ax²+bx+c = 0 這種方程式時，請使用相關功能中的「一元二次方程式公式解計算機」。
這個計算有什麼用？
求球或噴泉的最高點（物理、運動）
往上拋的球或噴泉的水柱高度，常可以近似成時間的二次函數。例如高度為 \(y = -5t^{2} + 20t\)（單位 m，\(t\) 為秒，忽略空氣阻力的近似式）時，配方後得到 \(y = -5(t - 2)^{2} + 20\)，可以看出「2 秒後到達最高點 20 m」。
能直接從式子取出頂點＝「最高點和到達的時間」，正是配方法的強項，物理的拋體運動問題就是這個計算的代表性用途。
找出利潤最大的售價（商業、經濟）
在「漲價後每個的利潤會增加，但賣出的數量會減少」的情況下，利潤有時可以近似成售價的二次函數（開口向下）。這時利潤最大的售價，正好就是拋物線的頂點。例如利潤可以表示成 \(y = -x^{2} + 60x - 500\)（元，\(x\) 為售價〈元〉）時，頂點 \(x = 30\) 就是讓利潤最大的售價：30 元（此時利潤為 400 元）。
實際的市場更複雜，但「在頂點找最佳值」的想法，常被當作思考訂價和廣告預算分配的出發點。
用固定長度的圍籬圍出最大的花圃（設計、DIY）
周長固定的長方形，面積是邊長的二次函數。例如圍籬總長 20 m 時，設寬為 \(x\) m，長就是 \(10 - x\) m，面積為 \(y = x(10 - x) = -x^{2} + 10x\)。配方後得到 \(y = -(x - 5)^{2} + 25\)，可知 \(x = 5\)（正方形）時面積最大，為 25 m²。
這是「用有限的材料或預算發揮最大效果」這類最佳化問題最基本的形式。
天線與燈具反射面的設計（工程）
碟型天線、汽車頭燈和手電筒的反射面，是把拋物線繞著對稱軸旋轉而成的形狀（旋轉拋物面）。它利用了拋物線的一個性質：平行於對稱軸射入的電波或光，反射後全部會聚集到對稱軸上的一點（焦點）；反過來，從焦點發出的光會平行於對稱軸筆直射出。
設計時是用「頂點在哪裡、往哪個方向張開多大」來描述拋物線，所以以頂點為基準的頂點式 \(y = a(x - p)^{2} + q\) 正是設計的基礎。
公式與圖形
配方法（化成頂點式）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\left(x - p\right)^{2}\)
\(+\)
\(q\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
二次函數的值 \(y\)
\(=\)
①
\(x^{2}\) 的係數 \(a\)
②
\(x\) 減去頂點的 \(x\) 坐標 \(p\) 後的平方
\(+\)
③
頂點的 \(y\) 坐標 \(q\)
用文字讀公式
①
把
\(x^{2}\) 的係數 \(a\)
②
乘以
\(x\) 減去頂點的 \(x\) 坐標 \(p\) 後的平方
，
③
再加上
頂點的 \(y\) 坐標 \(q\)
，
④
就得到
二次函數的值 \(y\)
（寫成這個形式，就能一眼看出頂點 \((p,\ q)\) 和對稱軸 \(x = p\)）
簡單範例
把 \(y = 2x^{2} - 8x + 3\) 配方，得到 \(y = 2(x - 2)^{2} - 5\)（頂點是 \((2,\ -5)\)）
函數的值 \(y\)
\(=\)
\(x^{2}\) 的係數（2）
\(x\) 減 2 後的平方
\(+\)
頂點的 \(y\) 坐標（−5）
\(y = 2x^{2} - 8x + 3 = 2\left(x^{2} - 4x\right) + 3\)
\(y = 2\left(x^{2} - 4x + 4 - 4\right) + 3 = 2\left\{\left(x - 2\right)^{2} - 4\right\} + 3\)
\(y = 2\left(x - 2\right)^{2} - 8 + 3 = 2\left(x - 2\right)^{2} - 5\)
思考重點
配方法是把二次函數的式子改寫成「平方的部分＋常數」的變形。因為 \((x - p)^{2}\) 是平方，一定大於或等於 0，而且只有在 \(x = p\) 時才等於 0。所以 \(a > 0\) 時，\(y\) 在 \(x = p\) 最小（最小值 \(q\)）；\(a < 0\) 時，\(y\) 在這裡最大（最大值 \(q\)）。光看式子的形式就能讀出頂點和最大值或最小值，這就是配方的價值。
\(y = ax^{2} + bx + c\) 的形式稱為一般式，\(y = a(x - p)^{2} + q\) 稱為頂點式（一眼就能看出頂點，也稱為標準式）。要畫二次函數的圖形或求最大值、最小值時，先化成頂點式是基本的第一步。（台灣的課本多半把頂點式寫成 \(y = a(x - h)^{2} + k\)，頂點為 \((h,\ k)\)。）
頂點的 \(x\) 坐標（對稱軸的位置）
數學寫法
（一般的數學式）
\(p\)
\(=\)
\(-b\)
\(\div\)
\((\)
\(2a\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
頂點的 \(x\) 坐標 \(p\)
\(=\)
①
變號後的 \(x\) 係數 \(-b\)
\(\div\)
\((\)
②
\(x^{2}\) 的係數 \(a\) 的 2 倍 \(2a\)
\()\)
用文字讀公式
①
把
變號後的 \(x\) 係數 \(-b\)
②
除以
\(x^{2}\) 的係數 \(a\) 的 2 倍 \(2a\)
，
③
就得到
頂點的 \(x\) 坐標 \(p\)
（對稱軸是直線 \(x = p\)）
簡單範例
\(y = 2x^{2} - 8x + 3\)（\(a = 2,\ b = -8\)）的頂點 \(x\) 坐標是
頂點的 \(x\) 坐標 \(p\)
\(=\)
變號後的 \(b\)（8）
\(\div\)
\((\)
\(a\) 的 2 倍（4）
\()\)
\(p = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{-8}{2 \times 2} = \dfrac{8}{4} = 2\)
思考重點
這個式子是用文字代替數字、把配方一路做到底所得到的「頂點位置公式」。不必每次都改寫式子，直接用 \(a\) 和 \(b\) 就能求出頂點的 \(x\) 坐標（本計算機也是用這個公式求 \(p\)）。
拋物線對它的對稱軸（直線 \(x = p\)）左右對稱，所以 \(p\) 也是圖形對折的位置。它和一元二次方程式公式解 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}\) 中「±」前面的 \(-\dfrac{b}{2a}\) 形式相同，由此可知對稱軸正好在兩個根的正中間。
頂點的 \(y\) 坐標（最大值或最小值）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(q\)
\(=\)
\(c\)
\(-\)
\(b^{2}\)
\(\div\)
\((\)
\(4a\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
頂點的 \(y\) 坐標 \(q\)
\(=\)
①
常數項 \(c\)
\(-\)
②
\(x\) 的係數 \(b\) 的平方
\(\div\)
\((\)
③
\(x^{2}\) 的係數 \(a\) 的 4 倍 \(4a\)
\()\)
用文字讀公式
①
從
常數項 \(c\)
②
減去
\(x\) 的係數 \(b\) 的平方
③
除以
\(x^{2}\) 的係數 \(a\) 的 4 倍 \(4a\)
的商，
④
就得到
頂點的 \(y\) 坐標 \(q\)
（\(a > 0\) 時是最小值，\(a < 0\) 時是最大值）
簡單範例
\(y = 2x^{2} - 8x + 3\)（\(a = 2,\ b = -8,\ c = 3\)）的頂點 \(y\) 坐標是
頂點的 \(y\) 坐標 \(q\)
\(=\)
常數項（3）
\(-\)
\(b\) 的平方（64）
\(\div\)
\((\)
\(a\) 的 4 倍（8）
\()\)
\(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a} = 3 - \dfrac{(-8)^{2}}{4 \times 2} = 3 - \dfrac{64}{8} = 3 - 8 = -5\)
思考重點
\(q\) 是「\(x = p\) 時 \(y\) 的值」，所以把 \(x = p\) 代入原來的式子也會得到相同的答案（方便驗算）。
開口向上（\(a > 0\)）的拋物線，最低點在頂點，所以 \(q\) 是最小值；開口向下（\(a < 0\)）的拋物線，最高點在頂點，所以 \(q\) 是最大值。不過，當定義域（\(x\) 可以取的範圍）有限制時，頂點可能落在範圍外，這時要和定義域兩端的值比較。
二次函數 \(y = ax^{2} + bx + c\) 可以用配方法化成頂點式 \(y = a(x - p)^{2} + q\)（\(p = -\dfrac{b}{2a}\)，\(q = c - \dfrac{b^{2}}{4a}\)）。頂點是 \((p,\ q)\)，對稱軸是直線 \(x = p\)。\(a > 0\) 時在 \(x = p\) 有最小值 \(q\)；\(a < 0\) 時有最大值 \(q\)。
符號與用語解說
符號
| \(a,\ b,\ c\) | a、b、c | 二次函數 \(y = ax^{2} + bx + c\) 的係數。\(a\) 是 \(x^{2}\) 的係數（不是 0），\(b\) 是 \(x\) 的係數，\(c\) 是常數項。表示固定的數時，習慣使用字母表開頭的 \(a,\ b,\ c\)。 |
| \(x,\ y\) | x、y | 變數。\(x\) 是輸入，\(y\) 是輸出。表示「可以取各種值的數」時，習慣使用字母表後段的 \(x,\ y,\ z\)。 |
| \(p\) | p | 頂點的 \(x\) 坐標，也是對稱軸（直線 \(x = p\)）的位置。台灣的課本多半用 \(h\) 表示。 |
| \(q\) | q | 頂點的 \(y\) 坐標。\(a > 0\) 時是最小值，\(a < 0\) 時是最大值。因為是字母表中 \(p\) 的下一個字母，常和 \(p\) 成對使用。台灣的課本多半用 \(k\) 表示。 |
| \((x - p)^{2}\) | x 減 p 的平方 | 配方時做出的「平方的部分」。因為是平方，一定大於或等於 0，只有在 \(x = p\) 時才等於 0。這個性質正是「在頂點有最大值或最小值」的理由。 |
| \(x^{2}\) | x 的平方 | \(x\) 自己乘自己（\(x^{2} = x \times x\)）。右上角的小數字（指數）表示相乘的次數。 |
用語
| 二次函數 | 可以寫成 \(y = ax^{2} + bx + c\)（\(a \neq 0\)）形式的函數，圖形是拋物線。在國中九年級學到，高一會再深入學習。 |
| 拋物線 | 二次函數的圖形，是左右對稱的曲線。因為和斜斜拋出的物體所走的軌跡形狀相同而得名。 |
| 頂點 | 拋物線轉折的點。開口向上時是最低點，開口向下時是最高點，坐標是 \((p,\ q)\)。 |
| 對稱軸 | 作為拋物線對稱中心的鉛直線 \(x = p\)。拋物線對這條直線左右對稱，頂點就在這條線上。 |
| 配方法 | 把 \(y = ax^{2} + bx + c\) 改寫成 \(y = a(x - p)^{2} + q\) 形式的方法，也簡稱「配方」。意思是「配出完全平方式」。這是求頂點、對稱軸、最大值與最小值的基本工具，一元二次方程式的公式解也是用它推導出來的。 |
| 完全平方式 | 可以寫成某個式子平方的式子，例如 \((x - 2)^{2} = x^{2} - 4x + 4\)。平方就是同一個數自己相乘，\(3\) 的平方是 \(3^{2} = 9\)。 |
| 一般式 | \(y = ax^{2} + bx + c\) 的形式。這是展開後的一般形式，容易看出和 \(y\) 軸的交點（\(x = 0\) 時 \(y = c\)）。 |
| 頂點式 | \(y = a(x - p)^{2} + q\) 的形式（課本常寫成 \(y = a(x - h)^{2} + k\)，也稱為標準式）。一眼就能看出頂點 \((p,\ q)\)。配方法就是把一般式化成頂點式的變形。 |
| 開口向上 | 圖形像山谷一樣往上張開。發生在 \(a > 0\) 時，頂點是最低點。 |
| 開口向下 | 圖形像山一樣往下張開。發生在 \(a < 0\) 時，頂點是最高點。 |
| 最大值 | 函數值 \(y\) 能取到的最大的值。二次函數開口向下時，頂點的 \(y\) 坐標 \(q\) 就是最大值。 |
| 最小值 | 函數值 \(y\) 能取到的最小的值。二次函數開口向上時，頂點的 \(y\) 坐標 \(q\) 就是最小值。 |
| 係數 | 寫在文字前面的數。\(2x^{2}\) 的 2 就是係數。像 \(x^{2}\) 這樣沒寫數字的項，係數視為 1。 |
| 常數項 | 像 \(2x^{2} - 8x + 3\) 的 3 這樣，不含 \(x\)、「只有數字的項」。因為不論 \(x\) 是什麼值都不會改變（固定不變＝常數）而得名。 |
| 對稱 | 對折後能完全重合的性質。拋物線沿著對稱軸對折，左右兩邊會完全重合（線對稱）。 |
| 定義域 | \(x\) 可以取值的範圍。在定義域有限制的問題中（例如 \(0 \le x \le 3\)），最大值或最小值可能不在頂點，而是由範圍的端點決定。 |
| 平移 | 不改變形狀地移動圖形。\(y = a(x - p)^{2} + q\) 的圖形，就是把 \(y = ax^{2}\) 的圖形往 \(x\) 方向平移 \(p\)、往 \(y\) 方向平移 \(q\) 所得到的。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。
| 函數與圖形（國中八年級～九年級，13～15 歲） |
|
| 乘法公式與因式分解（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 正負數與代數式的運算（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
| 二次函數的圖形（國中九年級～高一，14～16 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「配方（頂點坐標 p、q）」的表格
| x² 的係數 a | 2 |
| x 的係數 b | -8 |
| 常數項 c | 3 |
| 頂點的 x 坐標 p | =-B2/(2*B1) |
| 頂點的 y 坐標 q | =B3-B2^2/(4*B1) |
求「頂點的 x 坐標（對稱軸的位置）」的表格
| x² 的係數 a | 1 |
| x 的係數 b | -6 |
| 頂點的 x 坐標 p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
求「頂點的 y 坐標（最大值或最小值）」的表格
| x² 的係數 a | 1 |
| x 的係數 b | -6 |
| 常數項 c | 5 |
| 頂點的 y 坐標 q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
確認「配方後的頂點式和原式是否一致」的表格
| x² 的係數 a | 2 |
| x 的係數 b | -8 |
| 常數項 c | 3 |
| 要確認的 x 值 | 1 |
| 頂點的 x 坐標 p | =-B2/(2*B1) |
| 頂點的 y 坐標 q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| 原式 ax²+bx+c 的值 | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| 頂點式 a(x−p)²+q 的值 | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
貼上後，上面幾列（係數）是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。
「^」是次方，「*」是乘法，「/」是除法。
第 1 個表格是 y = 2x² − 8x + 3 的例子，p 是 2，q 是 −5（也就是 y = 2(x − 2)² − 5）。
第 2、第 3 個表格是 y = x² − 6x + 5 的例子，p 是 3，q 是 −4。
第 4 個表格用來驗算。代入相同的 x（例子中是 1），「原式 ax²+bx+c 的值」和「頂點式 a(x−p)²+q 的值」都是 −3，可知兩個式子一致。
「^」是次方，「*」是乘法，「/」是除法。
第 1 個表格是 y = 2x² − 8x + 3 的例子，p 是 2，q 是 −5（也就是 y = 2(x − 2)² − 5）。
第 2、第 3 個表格是 y = x² − 6x + 5 的例子，p 是 3，q 是 −4。
第 4 個表格用來驗算。代入相同的 x（例子中是 1），「原式 ax²+bx+c 的值」和「頂點式 a(x−p)²+q 的值」都是 −3，可知兩個式子一致。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「配方（頂點坐標 p、q）」的表格
| x² 的係數 a | 2 |
| x 的係數 b | -8 |
| 常數項 c | 3 |
| 頂點的 x 坐標 p | =-B2/(2*B1) |
| 頂點的 y 坐標 q | =B3-B2^2/(4*B1) |
求「頂點的 x 坐標（對稱軸的位置）」的表格
| x² 的係數 a | 1 |
| x 的係數 b | -6 |
| 頂點的 x 坐標 p = −b/(2a) | =-B2/(2*B1) |
求「頂點的 y 坐標（最大值或最小值）」的表格
| x² 的係數 a | 1 |
| x 的係數 b | -6 |
| 常數項 c | 5 |
| 頂點的 y 坐標 q = c − b²/(4a) | =B3-B2^2/(4*B1) |
確認「配方後的頂點式和原式是否一致」的表格
| x² 的係數 a | 2 |
| x 的係數 b | -8 |
| 常數項 c | 3 |
| 要確認的 x 值 | 1 |
| 頂點的 x 坐標 p | =-B2/(2*B1) |
| 頂點的 y 坐標 q | =B3-B2^2/(4*B1) |
| 原式 ax²+bx+c 的值 | =B1*B4^2+B2*B4+B3 |
| 頂點式 a(x−p)²+q 的值 | =B1*(B4-B5)^2+B6 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製並貼到 A1 儲存格，再把係數改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 二次函數 y = ax² + bx + c 的係數（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
coef_a = Fraction(2) # x² 的係數（不是 0）
coef_b = Fraction(-8) # x 的係數
coef_c = Fraction(3) # 常數項
vertex_x = -coef_b / (2 * coef_a) # 頂點的 x 坐標 p = −b/(2a)
vertex_y = coef_c - coef_b ** 2 / (4 * coef_a) # 頂點的 y 坐標 q = c − b²/(4a)
print(f"頂點的 x 坐標 p：{vertex_x}")
print(f"頂點的 y 坐標 q：{vertex_y}")
print(f"頂點式：y = {coef_a} * (x - ({vertex_x}))**2 + ({vertex_y})")
if coef_a > 0:
print(f"開口向上，所以 x = {vertex_x} 時有最小值 {vertex_y}")
else:
print(f"開口向下，所以 x = {vertex_x} 時有最大值 {vertex_y}")
使用標準函式庫的 fractions 模組，就能以沒有小數捨入誤差的精確分數來計算。這個例子是把 y = 2x² − 8x + 3 配方，執行後會顯示 p = 2、q = −5（也就是 y = 2(x − 2)² − 5，最小值 −5）。請改寫係數後再執行看看。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
配方法（化成頂點式）
y = a(x − p)² + q
y = a(x - p)^{2} + q
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
</mrow>
</math>
y = a(x - p)^2 + q
a*(x - p)^2 + q
y := a*(x - p)^2 + q;
y = a*(x - p)^2 + q;
y = a(x - p)^2 + q
頂點的 \(x\) 坐標（對稱軸的位置）
p = −b/(2a)
p = -\frac{b}{2a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<mi>b</mi>
<mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
p = -b/(2a)
-b/(2*a)
p := -b/(2*a);
p = -b/(2*a);
p = −b/(2a)
頂點的 \(y\) 坐標（最大值或最小值）
q = c − b²/(4a)
q = c - \frac{b^{2}}{4a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>q</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi>
<mo>−</mo>
<mfrac>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mrow><mn>4</mn><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
q = c - b^2/(4a)
c - b^2/(4*a)
q := c - b^2/(4*a);
q = c - b^2/(4*a);
q = c − b^2/(4a)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（二次函數）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。 請把二次函數 y = 2x² − 8x + 3 配方。 請分別列出以下內容： 1. 配方的計算過程（提出 x² 的係數 → 加上再減去 x 係數一半的平方 → 寫成完全平方式） 2. 頂點式 y = a(x − p)² + q、頂點坐標 (p, q) 和對稱軸（用約分後的分數表示） 3. 圖形的開口方向（向上或向下），以及最大值或最小值 在 Python 中請使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算。請列出所用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
一元二次方程式公式解計算機（判別式、虛根）
只要輸入係數 a、b、c，就能求出一元二次方程式 ax²+bx+c=0 的解，附判別式與計算過程
圓方程式計算機（一般式與標準式互換、圓心與半徑、圓與直線的關係）
用配方法把圓方程式化成標準式，求出圓心與半徑的精確值，也能計算圓與直線的位置關係和交點
