請輸入圓錐台（像水桶那樣，上下是平行的圓、側面收窄的立體）的上圓半徑、下圓半徑和高。會顯示體積，以及換成公升（L）的結果。
3 個長度請用相同的單位，只輸入數字（例如 15 cm 就輸入「15」）。上下半徑哪個大都可以。其中一個半徑輸入 0 就是圓錐，輸入相同的值就是圓柱的體積。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入上下圓的半徑和高，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入上圓半徑、下圓半徑和高這 3 個值，就能當場求出圓錐台（像水桶或布丁杯的形狀）的體積
- 同時顯示體積換成公升（L）的結果（用 cm 輸入時、用 m 輸入時）
- 計算出的圓錐台，也能用滑鼠拖曳旋轉的 3D 圖確認
- 其中一個半徑輸入 0 就是圓錐，上下輸入相同半徑就是圓柱，也能直接用來計算它們的體積
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
3 個長度請用相同的單位輸入（cm 就都用 cm）。這裡說的「高」是上圓到下圓的垂直距離，不是傾斜側面的長度。
這個計算有什麼用？
確認水桶、塑膠桶能裝幾公升（生活）
水桶大多是上寬下窄的圓錐台。上緣半徑 15 cm、底部半徑 10 cm、深 25 cm 的水桶，體積約 12435 cm³，換成公升約 12.4 L。
標示「12 L」的水桶，實際量尺寸後算出來大致就是這樣。打掃或澆水時估算「舀幾次是幾公升」，或想知道沒有標示的容器大概的容量時，都能直接用這個計算（實際的容器不會裝到全滿，可用的量估得比計算值少一點會比較保險）。
估算花盆需要的土量（園藝）
花盆也是典型的圓錐台。上半徑 12 cm、底部半徑 8 cm、高 20 cm 的花盆，體積約 6367 cm³ ＝約 6.4 L。市售的培養土多半以公升為單位分裝販售，配合花盆的數量，購買前就能算出「要買幾包」。
土不會裝到盆緣全滿（要留澆水的空間），所以實際用量以計算值的 8～9 成為參考。
設計紙杯、杯狀容器的容量（食品、製造）
紙杯是上面比較寬的圓錐台。上半徑 3.6 cm、底部半徑 2.3 cm、高 8 cm 的杯子，體積約 222 cm³（＝約 222 mL）。飲料只會倒到杯緣以下，所以像「滿杯 222 mL、建議容量 205 mL」這樣，這個公式就是容器容量設計和標示的依據。
布丁杯、優格杯、量杯等圓錐台形食品容器的容量，都是這樣計算的。
估算砂土堆的量（土木、營建）
卡車運來的砂或碎石堆，幾乎會堆成圓錐（＝上半徑為 0 的圓錐台）的形狀。底部半徑 2 m、高 1.5 m 的砂堆，體積約 6.3 m³。
工程或造景時，會由這個估算判斷「相當於幾車砂石車」「購買量夠不夠」。實際的砂堆不是漂亮的圓錐，所以只當作概算使用。
計算工廠料斗（漏斗形儲槽）的容量（工業）
工廠裡儲存粉料或穀物、再從下方一點一點送出的「料斗」，下半部是倒過來的圓錐台。上半徑 1 m、下半徑 0.2 m、高 1.2 m 的部分，容量約 1.56 m³（約 1560 L）。
設備設計時，會用這個公式算出能儲存的量，決定儲槽大小和補料頻率。筒倉、漏斗、排水井等，圓錐台在工業設備中隨處可見。
公式與圖示
圓錐台的體積公式
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\((\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(\times\)
\(R\)
\(+\)
\(R\)
\(2\)
\()\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div 3\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑦
圓錐台的體積 \(V\)
\(=\)
\((\)
①
上圓半徑 \(r\)
③
平方（同一個數乘 2 次）
\(+\)
上圓半徑 \(r\)
\(\times\)
②
下圓半徑 \(R\)
\(+\)
下圓半徑 \(R\)
平方
\()\)
\(\times\)
④
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
⑤
高 \(h\)
⑥
\(\div 3\)
用文字讀公式
①
用
上圓半徑 \(r\)
和
②
下圓半徑 \(R\)
，
③
做出
平方（同一個數乘 2 次）
得到的 \(r^2\)、\(R^2\)，以及兩個半徑相乘的 \(rR\) 這「3 種乘法」，全部加起來，
④
乘以
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
，
⑤
再乘以
高 \(h\)
，
⑥
最後除以 3（分成 3 等分），就得到
⑦
圓錐台的體積 \(V\)
簡單範例
上圓半徑 1 cm、下圓半徑 2 cm、高 3 cm 的圓錐台（下面比較寬，像小布丁的形狀），體積是
圓錐台的體積 \(V\)
\(=\)
\((\)
上半徑（1 cm）
平方
\(+\)
上半徑（1 cm）
\(\times\)
下半徑（2 cm）
\(+\)
下半徑（2 cm）
平方
\()\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
高（3 cm）
\(\div 3\)
\(1 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 2 = 1 + 2 + 4 = 7\)
\(7 \times \pi \times 3 \div 3 = 7\pi\)
\(7\pi = 7 \times 3.14159\ldots \approx 21.99\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
記法的訣竅是：「把 3 種乘法（\(r^2\)、\(rR\)、\(R^2\)）加起來，像算圓面積時一樣乘以圓周率，因為它是尖頂立體（錐體）的同類，最後要除以 3」。
這個公式也包含了圓錐和圓柱。令 \(r = 0\)，就和圓錐的體積公式 \(V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h\) 完全一致；令 \(r = R\)，就和圓柱的體積公式 \(V = \pi R^2 h\) 完全一致。上下半徑互換，答案也不變（因為把式子裡的 \(r\) 和 \(R\) 互換後形式相同）。
用「大圓錐 − 小圓錐」求出（公式的由來）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(V_{1}\)
\(-\)
\(V_{2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
圓錐台的體積 \(V\)
\(=\)
①
原來的大圓錐的體積 \(V_1\)
\(-\)
②
切掉的小圓錐的體積 \(V_2\)
用文字讀公式
①
從
原來的大圓錐的體積 \(V_1\)
②
減去
切掉的小圓錐的體積 \(V_2\)
，就得到
③
圓錐台的體積 \(V\)
簡單範例
用和第 1 個公式相同的上半徑 1 cm、下半徑 2 cm、高 3 cm 的圓錐台來確認。把側面往上延長，會變成高 6 cm 的大圓錐，被切掉的小圓錐高 3 cm
圓錐台的體積 \(V\)
\(=\)
大圓錐（半徑 2 cm、高 6 cm）
\(-\)
小圓錐（半徑 1 cm、高 3 cm）
\(V_1 = 2 \times 2 \times \pi \times 6 \div 3 = 8\pi\)
\(V_2 = 1 \times 1 \times \pi \times 3 \div 3 = \pi\)
\(V = 8\pi - \pi = 7\pi \approx 21.99\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
圓錐台是「用平行於底面的平面切開圓錐，去掉頂點那一側的形狀」。所以，把收窄的側面直接延長得到大圓錐，再減去切掉的小圓錐，就能求出體積。
「延長到哪裡會變成頂點」可以用相似的想法知道。這個例子中上半徑和下半徑的比是 \(1 : 2\)，所以小圓錐和大圓錐的高的比也是 \(1 : 2\)。圓錐台的高 3 cm 就是兩者的差，所以小圓錐高 3 cm，大圓錐高 6 cm。第 1 個公式就是把這個減法用文字符號計算、整理出來的，所以答案和第 1 個公式一樣都是 \(7\pi\)。就算忘了公式，只要記得這個想法，也能求出圓錐台的體積。
體積的單位換算（cm³ → L）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
以 L 表示的體積 \(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
①
以 cm³ 表示的體積 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
②
1 L 等於多少 cm³ \(1000\)
用文字讀公式
①
以 cm³ 表示的體積 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
除以
②
1 L 等於多少 cm³ \(1000\)
，就得到
③
以 L 表示的體積 \(V_{\mathrm{L}}\)
簡單範例
把上半徑 15 cm、下半徑 10 cm、高 25 cm 的水桶（圓錐台）體積約 12435 cm³ 換成 L，是
以 L 表示的體積
\(=\)
以 cm³ 表示的體積（約 12435）
\(\div\)
1 L 等於多少 cm³（1000）
\(12435 \div 1000 = 12.435 \approx 12.4\,\mathrm{L}\)
思考重點
1 L（公升）和「邊長 10 cm 的正方體」的體積相同，也就是 \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\)。所以 cm³ 換成 L 要除以 1000。
用 m 輸入時反過來要乘以 1000。因為 \(1\,\mathrm{m^3}\) 是邊長 1 m（＝ 100 cm）的正方體，\(100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)，也就是 \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{L}\)。
圓錐台的體積用「（上半徑的平方 ＋ 上半徑 × 下半徑 ＋ 下半徑的平方）× 圓周率 × 高 ÷ 3」求出。忘了公式時，回到「大圓錐 − 小圓錐」的減法來想，就是訣竅。
符號與用語解說
符號
| \(r\) | 小寫 r | 上圓（上底面）的半徑，取自英文 radius（半徑）的字首。本頁中不一定是比較小的那一面，而是表示「上面」的半徑。 |
| \(R\) | 大寫 R | 下圓（底面）的半徑。為了和上半徑 \(r\) 區分，用大寫字母表示。 |
| \(h\) | h | 圓錐台的高，取自英文 height（高度）的字首。是上圓到下圓的垂直距離，不是傾斜側面的長度。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率。表示圓周長是直徑幾倍的數，是 \(3.14159265\ldots\) 無限延續下去的小數。國小數學用 3.14 計算。 |
| \(r^2\) | r 的平方 | 同一個數 \(r\) 乘 2 次的值（\(r \times r\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘 2 次」。 |
| \(V\) | V | 常用來表示體積的符號，取自英文 volume（體積）的字首。 |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 立方公分 | 體積的單位。邊長 1 cm 的正方體的體積是 1 cm³，讀作「立方公分」。 |
| \(\mathrm{L}\) | 公升 | 表示水等的量（容積）時常用的體積單位，且 \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)、\(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{L}\)。 |
用語
| 圓錐台 | 用平行於底面的平面切開圓錐，去掉有頂點那一側的立體。上下是大小不同的平行圓，側面收窄。水桶、花盆、紙杯、布丁等，是生活中非常常見的形狀。 |
| 圓錐 | 底面是圓，從底面朝一個頂點變尖的立體，就是霜淇淋甜筒的形狀。它是圓錐台的原形。 |
| 底面 | 立體底部的面。圓錐台的底面指下面的圓（上面的圓叫「上底面」）。 |
| 體積 | 用數表示立體占有空間的大小，以「有幾個邊長 1 cm 的正方體（1 cm³）」來測量。 |
| 相似 | 形狀相同、只有大小不同的關係。第 2 個公式求「大圓錐的高」時，會用到半徑的比和高的比相等。 |
| 錐體 | 圓錐、角錐這類從底面朝頂點變尖的立體的總稱。錐體的體積都會出現「底面積 × 高 ÷ 3」的「÷ 3」，圓錐台公式的「÷ 3」也是從這裡來的。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
| 圓面積與圓周率（國小高年級，10～12 歲） |
|
| 體積的意義與單位（國小四～五年級，9～11 歲） |
|
| 乘方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 圓柱與圓錐的體積（圓柱是國小高年級；錐體體積國中課程不要求） |
|
| 相似形（國中九年級，14～15 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「圓錐台的體積」的表格
| 上圓半徑 r | 15 |
| 下圓半徑 R | 10 |
| 高 h | 25 |
| 圓錐台的體積 | =(B1^2+B1*B2+B2^2)*PI()*B3/3 |
用「大圓錐 − 小圓錐」求出的表格
| 大圓錐的底面半徑 | 2 |
| 大圓錐的高 | 6 |
| 小圓錐的底面半徑 | 1 |
| 小圓錐的高 | 3 |
| 大圓錐的體積 | =B1^2*PI()*B2/3 |
| 小圓錐的體積 | =B3^2*PI()*B4/3 |
| 圓錐台的體積 | =B5-B6 |
求「由 cm³ 換成 L 的單位換算」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 12435.47 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上方的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘號，「/」是除號，「^2」是平方，「PI()」是表示圓周率（3.14159…）的 Excel 函數。
例如第一個表格的 B4 會顯示約 12435.47（因為用 cm 輸入，所以是 cm³）。第二個表格的 B7 約 21.99，第三個表格的 B2 約 12.44。只要把輸入欄的數值改成您自己的長度即可使用。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘號，「/」是除號，「^2」是平方，「PI()」是表示圓周率（3.14159…）的 Excel 函數。
例如第一個表格的 B4 會顯示約 12435.47（因為用 cm 輸入，所以是 cm³）。第二個表格的 B7 約 21.99，第三個表格的 B2 約 12.44。只要把輸入欄的數值改成您自己的長度即可使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「圓錐台的體積」的表格
| 上圓半徑 r | 15 |
| 下圓半徑 R | 10 |
| 高 h | 25 |
| 圓錐台的體積 | =(B1^2+B1*B2+B2^2)*PI()*B3/3 |
用「大圓錐 − 小圓錐」求出的表格
| 大圓錐的底面半徑 | 2 |
| 大圓錐的高 | 6 |
| 小圓錐的底面半徑 | 1 |
| 小圓錐的高 | 3 |
| 大圓錐的體積 | =B1^2*PI()*B2/3 |
| 小圓錐的體積 | =B3^2*PI()*B4/3 |
| 圓錐台的體積 | =B5-B6 |
求「由 cm³ 換成 L 的單位換算」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 12435.47 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
和 Excel 相同的公式（PI() 函數也一樣）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的長度即可。
用 Python 計算的方法
import math
radius_top = 15 # 上圓（上底面）的半徑
radius_bottom = 10 # 下圓（底面）的半徑
height = 25 # 高（和半徑用相同的單位）
volume = (radius_top**2 + radius_top*radius_bottom + radius_bottom**2) * math.pi * height / 3
liter = volume / 1000 # 用 cm 輸入時，換成 L（公升）的體積
print(f"圓錐台的體積：{volume} cm3")
print(f"換成公升：{liter} L")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率，「**2」是平方，「*」是乘號，「/」是除號。請改寫開頭的 3 個值後執行（這是用 cm 輸入的例子。用 m 輸入時，要換成 L 就乘以 1000）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
圓錐台的體積公式
V = (1/3)πh(r² + rR + R²)
V = \frac{1}{3}\pi h \left( r^{2} + rR + R^{2} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>h</mi>
<mo>(</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mi>r</mi>
<mi>R</mi>
<mo>+</mo>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h (r^2 + r R + R^2)
Pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3
V := Pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3;
V = pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3;
V = (1/3)πh(r^2 + rR + R^2)
用「大圓錐 − 小圓錐」求出（公式的由來）
V = V₁ − V₂
V = V_{1} - V_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
V = V_1 - V_2
v1 - v2
V := V1 - V2;
V = V1 - V2;
V = V_1 - V_2
體積的單位換算（cm³ → L）
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個上圓半徑 15 cm、下圓半徑 10 cm、高 25 cm 的圓錐台（像水桶的形狀）。 請分別求出： 1. 這個圓錐台的體積是多少 cm³（使用公式 V = (1/3)πh(r² + rR + R²)） 2. 這個體積換成公升（L）是多少 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
圓計算機（半徑、直徑、圓周長、面積互相換算）
由半徑一次算出圓錐台上下兩面「圓」的面積、圓周長等
