排列組合計算機（排列 nPr、組合 nCr）

請輸入全體個數 n 和要選的個數 r。會同時計算考慮順序的「排列 nPr」與不考慮順序的「組合 nCr」。下方的數學式和輸入欄連動，直接改寫 n、r 的部分也能計算。

全體個數 n

要選的個數 r

n、r 請輸入 0 以上的整數（r 小於或等於 n）。n 最大可到 10,000，答案即使有幾十位數，也會完整正確地顯示。

計算結果

在左側輸入欄輸入全體個數 n 和要選的個數 r，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入「全體個數 \(n\)」和「要選的個數 \(r\)」，就能同時知道排列數 \(P^{n}_{r}\)（考慮順序的選法有幾種）與組合數 \(C^{n}_{r}\)（不考慮順序的選法有幾種）
「從 11 人的足球隊選出隊長和守門員，有幾種選法？」「選出 2 名前鋒，有幾種選法？」這類方法數的計算，一次就能算好
即使 \(n\) 很大、答案有幾十位、幾百位數，也不會四捨五入，完整正確地顯示每一位數
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

本頁處理的是「選過的就不再選（不重複）」的排列與組合。像骰子點數那樣同一個可以重複選的情形（重複排列、重複組合），公式不同，這個計算機不處理。

這個計算有什麼用？

用數字了解樂透（大樂透）有多難中

在台灣，大樂透是從 01～49 這 49 個號碼中選 6 個。選號不考慮順序，是組合，所以共有 \(C^{49}_{6} = 13{,}983{,}816\) 種。頭獎（6 個號碼全中）只有其中 1 種，中獎機率約為 1,398 萬分之 1。
組合公式是用具體數字、而不是感覺，來確認彩券和抽獎「有多難中」的基礎。

算出選幹部、排值日生「有幾種方法」

在 30 人的班級中各選 1 人當班長和副班長，角色不同，所以用排列：\(P^{30}_{2} = 30 \times 29 = 870\) 種。如果只是選 2 名值日生，就跟順序無關，用組合：\(C^{30}_{2} = 435\) 種。
知道「是否區分角色或順序，數量就會不同」，抽籤或選舉時就能正確地計算。

求循環賽的比賽場數

循環賽的比賽場數就是「選出對戰的 2 隊有幾種選法」，所以 \(n\) 隊就是 \(C^{n}_{2}\) 場。10 隊的話是 \(C^{10}_{2} = 45\) 場。
辦運動比賽、排賽程時，會用這個計算估算需要的場數、天數和場地數。

密碼與號碼鎖的組數（資訊安全）

從 0～9 這 10 種數字中，不重複使用同一個數字組成 4 位數的密碼，因為要考慮順序，共有 \(P^{10}_{4} = 5{,}040\) 種。組數越多，越不容易被逐一嘗試破解；多加 1 位數能增加多少安全性，也能用排列來估算。
順帶一提，號碼鎖的英文叫「combination lock」（直譯是「組合鎖」），但順序不對就打不開，所以在數學上它不是組合，而是排列。

品質管理的抽樣檢驗（製造業）

從 100 個產品中抽出 5 個來檢驗，選法共有 \(C^{100}_{5} = 75{,}287{,}520\) 種。
統計抽樣檢驗的理論，就是以這個組合數為基礎，計算「混有不良品時，檢驗能發現的機率」，是工廠品質保證不可或缺的機制。

公式

階乘 \(n!\)（\(n\) 個全部排成一列的方法數）

數學寫法（一般的數學式）

\(n!\) \(=\) \(n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② \(n!\)：\(n\) 個全部的排法 \(=\) ① 從 \(n\) 乘到 \(1\) 的連乘

用文字讀公式

① 把從 \(n\) 到 \(1\) 的整數全部乘起來，

② 就得到 \(n!\)：\(n\) 個全部的排法。

簡單範例

把 4 個人（A、B、C、D）排成一列的排法是

\(4!\)：4 人全部的排法 \(=\) 從 4 乘到 1

\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)

思考重點

排在第 1 個的人有 \(n\) 種選法，下一個是剩下的 \((n-1)\) 種……可選的數量一次少 1，所以全部乘起來，就是「所有的排法」。另外規定 \(0! = 1\)（把「什麼都不排」看成 1 種排法）。有了這個規定，下面排列與組合的公式在 \(r = n\) 或 \(r = 0\) 時也能直接使用。

排列 \(P^{n}_{r}\)（考慮順序）

數學寫法（一般的數學式）

\(P^{n}_{r}\) \(=\) \(n!\) \(\div\) \((n-r)!\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(P^{n}_{r}\)：排列的方法數 \(=\) ① \(n!\)：\(n\) 個全部的排法 \(\div\) ② \((n-r)!\)：剩下的排法

用文字讀公式

① 把 \(n!\)：\(n\) 個全部的排法

② 除以 \((n-r)!\)：沒選到的 \((n-r)\) 個的排法，

③ 就得到 \(P^{n}_{r}\)：從 \(n\) 個中選 \(r\) 個排成一列的方法數。

簡單範例

從足球隊的 11 人中，各選 1 人當隊長和守門員（角色不同＝考慮順序），方法數是

\(P^{11}_{2}\)：從 11 人選 2 人排列 \(=\) 11 人全部的排法（11!） \(\div\) 剩下 9 人的排法（9!）

\(P^{11}_{2} = \dfrac{11!}{(11-2)!} = \dfrac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110\)

思考重點

在 \(n\) 個全部的排法 \(n!\) 之中，沒選到的 \((n-r)\) 個怎麼排都無關，所以要除以這部分的 \((n-r)!\)，這就是這個公式的意思。實際用手算時，約分後就變成「從 \(n\) 開始往下連乘 \(r\) 個數」。\(P^{11}_{2}\) 就是 \(11 \times 10 = 110\)。把「隊長 A、守門員 B」和「隊長 B、守門員 A」當成不同選法來數，就是排列。

組合 \(C^{n}_{r}\)（不考慮順序）

數學寫法（一般的數學式）

\(C^{n}_{r}\) \(=\) \(P^{n}_{r}\) \(\div\) \(r!\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(C^{n}_{r}\)：選取的方法數 \(=\) ① \(P^{n}_{r}\)：考慮順序的選法 \(\div\) ② \(r!\)：選出的 \(r\) 個的排法

用文字讀公式

① 把 \(P^{n}_{r}\)：考慮順序的選法

② 除以 \(r!\)：選出的 \(r\) 個的排法，消去因順序而重複計算的部分，

③ 就得到 \(C^{n}_{r}\)：從 \(n\) 個中選 \(r\) 個的方法數。

簡單範例

從足球隊的 11 人中選出 2 名前鋒（2 人不分順序），方法數是

\(C^{11}_{2}\)：從 11 人選 2 人 \(=\) 考慮順序的選法（110 種） \(\div\) 2 人的排法（2! = 2 種）

\(C^{11}_{2} = \dfrac{P^{11}_{2}}{2!} = \dfrac{110}{2} = 55\)

思考重點

在排列的 110 種之中，像「A 和 B」「B 和 A」這樣，同樣的 2 人組因排列順序不同，各被算了 \(2! = 2\) 次。所以除以 \(r!\)，重複的部分就消掉了，得到「只看選了誰」的數。把排列公式 \(P^{n}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\) 代進去，就是課本上熟悉的 \(C^{n}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)。\(C^{n}_{r}\) 也稱為「二項式係數」，也可以寫成 \(\binom{n}{r}\)。

排列 \(P^{n}_{r}\) 是「考慮順序」的選法數，組合 \(C^{n}_{r}\) 是「不考慮順序」的選法數。先求排列，再除以因順序而重複的 \(r!\)，就得到組合——用這個關係來記最好記。

符號與用語解說

符號

\(n\)	n	被選取的全體個數。（例：從 11 人中選，就是 \(n = 11\)）
\(r\)	r	從全體中選出的個數。（例：選 2 人，就是 \(r = 2\)）
\(n!\)	n 階乘	從 \(n\) 到 \(1\) 的整數全部相乘的數，表示 \(n\) 個全部排成一列的排法總數。另外規定 \(0! = 1\)。（例：\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)）
\(P^{n}_{r}\)	P n 取 r	從 \(n\) 個中選 \(r\) 個依序排列的方法總數（排列）。P 是英文 permutation（排列）的字首。本頁計算機和工程計算機寫成 nPr，意思相同。
\(C^{n}_{r}\)	C n 取 r	從 \(n\) 個中選 \(r\) 個的方法總數（組合）。C 是英文 combination（組合）的字首。本頁計算機和工程計算機寫成 nCr，意思相同。
\(\binom{n}{r}\)	n 取 r（二項式係數）	\(C^{n}_{r}\) 的另一種寫法。大學以後的數學和國外的教科書常用這種寫法。

用語

方法數	數出所有可能的情形共有幾種的數。排列和組合都是用來計算方法數的工具。
排列	從 \(n\) 個中選 \(r\) 個，考慮順序排成一列的排法。像「隊長和副隊長」這樣，角色或名次不同就當成不同的情形來數。
組合	從 \(n\) 個中只選出 \(r\) 個、不考慮順序的選法。像「2 名值日生」這樣，選出的人相同就算 1 種。
階乘	把從 \(n\) 到 \(1\) 的整數全部相乘的計算。符號是 \(n!\)，表示 \(n\) 個全部排成一列的排法總數。
二項式係數	\(C^{n}_{r}\) 的別名。因為展開 \((a+b)^n\) 時，各項的係數剛好是 \(C^{n}_{r}\)，所以這樣稱呼。
樹狀圖	為了不遺漏、不重複地數出方法數，用分枝的圖把所有情形寫出來的方法。排列與組合的公式，就是用計算一口氣完成樹狀圖的計數。
重複排列	同一個可以重複選取時的排列，共有 \(n^r\) 種。本頁的計算機只處理「不重複」的情形。
重複組合	同一個可以重複選取時的組合。本頁的計算機只處理「不重複」的情形。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。

乘法與除法（國小三～五年級，8～11 歲）	會算像 \(11 \times 10\) 這樣的整數乘法，以及像 \(110 \div 2\) 這樣的除法
方法數與樹狀圖（國中，12～15 歲）	能用樹狀圖等方法，不遺漏、不重複地數出所有可能的情形能分辨「排法（有順序）」和「選法（沒有順序）」是不同的數法
階乘的符號（高一，15～16 歲）	知道 \(n!\) 是「從 \(n\) 乘到 \(1\)」的符號知道有 \(0! = 1\) 這個規定
排列與組合（高一，15～16 歲）	能分辨「考慮順序就用排列 \(P^{n}_{r}\)，不考慮順序就用組合 \(C^{n}_{r}\)」能說明組合就是「把排列除以 \(r!\)，消去因順序而重複的部分」

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「階乘 n!」的表格

排列的個數 n	4
全部的排法 n!	=FACT(B1)

求「排列 nPr」的表格

全體個數 n	11
要選的個數 r	2
排列 nPr	=PERMUT(B1,B2)

求「組合 nCr」的表格

全體個數 n	11
要選的個數 r	2
組合 nCr	=COMBIN(B1,B2)

貼上後，B1（和 B2）就是輸入的儲存格，最後一列會自動算出結果。
FACT 計算階乘，PERMUT 計算排列，COMBIN 計算組合，都是 Excel 的函數。
例如第 2 個表格的 B3 會顯示 110，第 3 個表格的 B3 會顯示 55。只要把 B1 和 B2 改成自己的數值就能使用。
另外，Excel 的數值只有 15 位有效數字，所以 n 很大、答案有幾十位數時，尾數會被捨入。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「階乘 n!」的表格

排列的個數 n	4
全部的排法 n!	=FACT(B1)

求「排列 nPr」的表格

全體個數 n	11
要選的個數 r	2
排列 nPr	=PERMUT(B1,B2)

求「組合 nCr」的表格

全體個數 n	11
要選的個數 r	2
組合 nCr	=COMBIN(B1,B2)

可以直接使用和 Excel 相同的公式（Google 試算表也有同名的 FACT、PERMUT、COMBIN 函數）。
把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把 B1 和 B2 改成自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

import math

total_items = 11    # 全體個數 n
chosen_items = 2    # 要選的個數 r

permutations = math.perm(total_items, chosen_items)   # 排列 nPr
combinations = math.comb(total_items, chosen_items)   # 組合 nCr

print(f"排列 nPr（考慮順序）：{permutations}")
print(f"組合 nCr（不考慮順序）：{combinations}")

只用標準函式庫的 math 就能執行（math.perm、math.comb 需要 Python 3.8 以上）。Python 的整數沒有位數上限，答案即使有幾百位數也能正確計算。把開頭的 2 個數值改掉後執行即可。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

階乘 \(n!\)（\(n\) 個全部排成一列的方法數）

n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1

n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi><mo>!</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>n</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>&#x22EF;</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>2</mn>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

n! = n xx (n-1) xx cdots xx 2 xx 1

Factorial[n]

nFactorial := factorial(n);

n_factorial = factorial(n);

n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1

排列 \(P^{n}_{r}\)（考慮順序）

Pⁿᵣ = n! ÷ (n − r)!

P^{n}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msubsup><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>n</mi></msubsup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

P_r^n = (n!)/((n-r)!)

n!/(n - r)!

nPr := factorial(n)/factorial(n - r);

npr = factorial(n)/factorial(n - r);

P_r^n = n!/(n − r)!

組合 \(C^{n}_{r}\)（不考慮順序）

Cⁿᵣ = n! ÷ (r! × (n − r)!)

C^{n}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msubsup><mi>C</mi><mi>r</mi><mi>n</mi></msubsup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
      <mrow>
        <mi>r</mi><mo>!</mo>
        <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

C_r^n = (n!)/(r!(n-r)!)

Binomial[n, r]

nCr := binomial(n, r);

ncr = nchoosek(n, r);

C_r^n = n!/(r!(n − r)!)

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是方法數（排列、組合）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

有一支 11 人的足球隊。
1. 各選 1 人當隊長和守門員，有幾種選法？（角色不同，所以是排列）
2. 選出 2 名前鋒，有幾種選法？（2 人不分順序，所以是組合）

請分別說明使用的是排列 nPr 還是組合 nCr，並列出執行結果的數值。