百分誤差計算機（誤差率、絕對誤差、相對誤差）

請輸入測量值（實驗或測量實際得到的值）和真值（公認正確的值），再按下「計算」。會一次算出百分誤差（%）、誤差、絕對誤差與相對誤差。

測量值（實驗值）

真值（理論值）

百分誤差會帶正負號顯示（測量值比真值大為正，比真值小為負）。真值不能輸入 0。

計算結果與圖表

在左側輸入欄輸入測量值與真值，按下「計算」，結果和圖表就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入測量值和真值兩個值，就能一次求出百分誤差（%）、誤差、絕對誤差、相對誤差四個值
可以直接用來檢查理化實驗、測量的精確度，例如「量到水的沸點是 98.6 °C，和真值 100 °C 相比差了幾 %？」
百分誤差會帶正負號顯示。正的表示量得比真值大，負的表示量得比真值小，一看就知道
測量值和真值之間的偏差（誤差）在哪裡，除了計算結果，也能用圖表確認
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

真值為 0 時（會變成除以 0），無法計算百分誤差和相對誤差。這時請用絕對誤差（差的大小本身）來比較。

這個計算有什麼用？

在理化實驗報告中評估測量的準確度（學校）

量到水的沸點是 98.6 °C——相對於真值 100 °C，百分誤差是 $(98.6 - 100) \div 100 \times 100 = -1.4\%$（小了 1.4%）。
國中、高中的理化實驗報告，不只寫下結果，還進一步討論「和真值差了幾 %、為什麼會有偏差」，評價就會大不相同。百分誤差就是這種討論的出發點，是實驗報告最常用的計算。

製造的尺寸檢驗與品質管理（製造業）

設計值 50 mm 的零件量起來是 49.9 mm 時，以設計值為基準，百分誤差是 $(49.9 - 50) \div 50 \times 100 = -0.2\%$。
工廠會訂出「和基準值相差幾 %（幾 mm）以內就合格」的公差來檢驗零件。用比率管理誤差，大小不同的零件也能用同一把尺比較精度（這個例子以設計值代替真值作為基準）。

確認營業額、需求預測的準確度（工作、經濟）

預測「下個月會賣 110 個」，實際賣了 100 個，以實際結果為基準，預測的百分誤差是 $(110 - 100) \div 100 \times 100 = +10\%$（多估了 10%）。
零售和製造業每個月都會檢查預測與實際的百分誤差，改善預測的方法。連續為正就容易庫存過多，連續為負就容易缺貨——因為百分誤差帶正負號，連估計的「習慣」都看得出來。

確認秤、量測儀器的準確度（生活、實驗準備）

把重量確定是 100 g 的砝碼放到廚房秤上，顯示 99 g，百分誤差就是 $(99 - 100) \div 100 \times 100 = -1\%$。
先量一個已知正確值的東西、確認百分誤差，就知道這個儀器可以信任到什麼程度。把儀器標示的精度（例：±1%）和自己的測量比一比，在實驗準備、烹飪、健康管理上都是很實用的確認方法。

測試心算與估算的功力（估算練習）

用心算估計購物籃的總額「大約 NT$1,500」，結帳時實際是 NT$1,480，百分誤差就是 $(1500 - 1480) \div 1480 \times 100 \approx +1.35\%$。
在估算、費米推論的練習中，用「差了幾 %」來衡量估算的功力。百分誤差能控制在幾 % 以內後，在工作報價、家計管理等各種場合，都會成為「抓出數字大概」的能力。

公式與圖示

求百分誤差（%）的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$E$ $=$ $($ $A$ $-$ $T$ $)$ $\div$ $T$ $\times$ $100$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑤ 百分誤差 $E$（%） $=$ $($ ① 測量值 $A$ $-$ ② 真值 $T$ $)$ $\div$ ③ 真值 $T$ $\times$ ④ 百分率的基準 $100$

用文字讀公式

① 從測量值 $A$

② 減去真值 $T$ ，得到誤差，

③ 再除以真值 $T$ 換成比率，

④ 乘上百分率的基準 $100$ 換成百分率，

⑤ 就得到百分誤差 $E$（%）

簡單範例

用溫度計量到水的沸點是 98.6 °C。相對於真值 100 °C，百分誤差是

百分誤差 $E$（%） $=$ $($ 測量值（98.6 °C） $-$ 真值（100 °C） $)$ $\div$ 真值（100 °C） $\times$ 百分率的基準（100）

$98.6 - 100 = -1.4$

$-1.4 \div 100 = -0.014$

$-0.014 \times 100 = -1.4\ \ (-1.4\%)$

思考重點

答案的正負號表示偏差的「方向」。負的表示量得比真值小（例：$-1.4$% 就是小了 1.4%），正的表示量得比真值大。百分誤差越接近 0，測量越準確。除數一定要用「真值」。同樣偏差 1.4，相對於真值 100 是 1.4%，相對於真值 10 就是 14%——因為百分誤差表示的是「和真值相比偏差多少」。台灣高中物理、化學的實驗報告，常把百分誤差寫成加上絕對值的 $|A - T| \div T \times 100\%$，永遠是正的、只表示偏差的大小（這個例子是 1.4%）。本頁的計算機保留正負號，讓您也能看出方向；如果您的課程使用不帶正負號的寫法，去掉正負號即可。

求絕對誤差的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$D$ $=$ $|$ $A$ $-$ $T$ $|$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 絕對誤差 $D$ $=$ ③ $|$ ① 測量值 $A$ $-$ ② 真值 $T$ $|$

用文字讀公式

① 從測量值 $A$

② 減去真值 $T$ ，得到誤差，

③ 用絕對值符號 | | 去掉負號，只留下「偏差的大小」，

④ 就得到絕對誤差 $D$

簡單範例

沸點的測量值 98.6 °C 和真值 100 °C 的絕對誤差是

絕對誤差 $D$ $=$ $|$ 測量值（98.6 °C） $-$ 真值（100 °C） $|$

$98.6 - 100 = -1.4$

$| -1.4 | = 1.4$

思考重點

絕對誤差是把「實際偏差了多少」用 °C、g 等實際的單位表示的量。不管方向，所以用絕對值去掉負號。只看絕對誤差，無法判斷測量的好壞。同樣是絕對誤差 1.4，相對於真值 100 是很小的偏差，相對於真值 2 就是很大的偏差。所以要用下一個「相對誤差」或百分誤差，換成「和真值相比的比率」來評估。

求相對誤差的公式

圖示

數學寫法（一般的數學式）

$R$ $=$ $D$ $\div$ $|T|$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 相對誤差 $R$ $=$ ① 絕對誤差 $D$ $\div$ ② 真值的大小 $|T|$

用文字讀公式

① 把絕對誤差 $D$

② 除以真值的大小 $|T|$ ，

③ 就得到相對誤差 $R$

簡單範例

由沸點的絕對誤差 1.4 °C 和真值 100 °C，相對誤差是

相對誤差 $R$ $=$ 絕對誤差（1.4 °C） $\div$ 真值的大小（100 °C）

$1.4 \div 100 = 0.014$

思考重點

相對誤差是把「和真值相比偏差多少」用小數的比率表示的量。乘上 100 就變成 %，和百分誤差的大小（不帶正負號的百分誤差）一致（$0.014 \times 100 = 1.4$%）。除數用 $|T|$（真值的絕對值），是為了即使真值是負數，也能「用大小去除」。真值是正數時，就和除以 $T$ 一樣。從單位來看，絕對誤差是帶有 °C、g 等單位的量，相對誤差則是沒有單位的比率。要比較單位不同的測量（例：溫度的測量和重量的測量）的準確度，就要用沒有單位的相對誤差或百分誤差。

誤差的計算，出發點是「誤差＝測量值 − 真值」。把誤差直接除以真值再乘上 100，就是帶正負號的百分誤差（%），正負號表示偏差的方向（正＝量得偏大，負＝量得偏小）。只想看偏差的大小時，就用絕對誤差（|測量值 − 真值|）和相對誤差（絕對誤差 ÷ |真值|）。

符號與用語解說

符號

$A$	A	測量值（實驗值），也就是實驗或測量實際得到的值，相當於「量到水的沸點是 98.6 °C」的 98.6 °C。
$T$	T	真值，也就是理論值或資料上記載的、公認正確的值，相當於「水的沸點（1 大氣壓）是 100 °C」的 100 °C。
$A - T$	A 減 T	誤差，把測量值偏離真值多少，帶正負號、用實際的單位表示的量。負的表示量得比真值小。
$E$	E	百分誤差（誤差率），把誤差除以真值再乘上 100，以 % 表示。本頁帶正負號處理，$-1.4$ 表示「比真值小 1.4%」。
$D$	D	絕對誤差，也就是誤差的絕對值（\|測量值 − 真值\|）。不管偏差的方向，只用實際的單位表示偏差的大小。
$R$	R	相對誤差，把絕對誤差除以真值的大小所得到、沒有單位的比率。乘上 100 就是百分誤差的大小（%）（0.014 → 1.4%）。
$\|\ \|$	絕對值符號	絕對值的符號，表示把裡面的數去掉正負號後的「大小」。例：$\|-1.4\| = 1.4$、$\|1.4\| = 1.4$。
$\%$	百分比	百分率的單位符號，表示「相當於 100 份中的幾份」。語源是拉丁文的 per centum（每 100）。

用語

誤差	測量值與真值之間的偏差。理化上通常定義為「誤差＝測量值 − 真值」。再精密的測量儀器也無法讓誤差完全為 0，所以估計誤差的大小是測量很重要的一部分。
真值	某個量真正的值。實際測量時，往往無法知道真值本身，所以會用理論值、官方資料的值或更精密測量的值代替「真值」來評估誤差。也稱為理論值、公認值。
測量值	實驗、觀測、測量實際得到的值，也稱為實驗值、觀測值。
百分誤差	表示誤差相當於真值的幾 % 的比率，英文是 percent error，也稱為誤差率、誤差百分率。帶正負號寫，也能表示偏差的方向；用絕對值寫，就只表示偏差的大小。
絕對誤差	誤差的絕對值，用 °C、g、cm 等實際的單位表示偏差的大小。要注意的是，不和真值的大小比較，就無法判斷測量的好壞。
相對誤差	把絕對誤差除以真值的大小所得到的比率。因為沒有單位，種類不同的測量（溫度和重量等）也能比較準確度。乘上 100 就以 % 表示（百分誤差的大小）。
絕對值	數線上與 0 的距離。負數的絕對值就是去掉負號後的值（例：$\|-1.4\| = 1.4$）。在國中七年級的「正負數」學到。
百分率	把基準量看成 100 來表示的比率，單位是 %（百分比）。小數的比率乘上 100 就是百分率（0.014 → 1.4%）。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表格中的內容是最快的方法。

比率與百分率（國小五年級，10～11 歲）	了解「比較量 ÷ 基準量＝比率」的關係（百分誤差中，真值就是基準量）能把小數的比率和百分率互相換算，例如 0.014 和 1.4%（要換成 % 就乘上 100）
正負數（國中七年級，12～13 歲）	能做 $98.6 - 100 = -1.4$ 這類答案為負的減法了解負數可以表示「比基準小、不足的方向」
絕對值（國中七年級，12～13 歲）	了解絕對值是「去掉正負號後的大小」（例：$\|-1.4\| = 1.4$）
小數的乘法與除法（國小五年級，10～11 歲）	能做 $1.4 \div 100$、$0.014 \times 100$ 這類小數和 100 的乘除能感覺到除以 100 小數點往左移兩位，乘上 100 往右移兩位

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「百分誤差（%）」的表格（沸點的測量值 98.6 °C，真值 100 °C）

測量值	98.6
真值	100
百分誤差（%）	=(B1-B2)/B2*100

求「絕對誤差」的表格（同一個例子）

測量值	98.6
真值	100
絕對誤差	=ABS(B1-B2)

求「相對誤差」的表格（同一個例子）

測量值	98.6
真值	100
相對誤差	=ABS(B1-B2)/ABS(B2)

貼上後，B1 和 B2 就是輸入欄，B3 會自動算出結果。
公式中的「B1」「B2」表示「使用該儲存格的數值」，「*」是乘號，「/」是除號，「ABS( )」是絕對值（去掉負號）的函數。
例如第 1 個表格的 B3 會顯示 -1.4（比真值小 1.4%），第 2 個是 1.4，第 3 個是 0.014。只要把 B1 和 B2 改成您自己的數值即可。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「百分誤差（%）」的表格（沸點的測量值 98.6 °C，真值 100 °C）

測量值	98.6
真值	100
百分誤差（%）	=(B1-B2)/B2*100

求「絕對誤差」的表格（同一個例子）

測量值	98.6
真值	100
絕對誤差	=ABS(B1-B2)

求「相對誤差」的表格（同一個例子）

測量值	98.6
真值	100
相對誤差	=ABS(B1-B2)/ABS(B2)

可以直接使用和 Excel 相同的公式（包括 ABS 函數）。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把 B1 和 B2 改成您自己的數值。

用 Python 計算的方法

# 求百分誤差、絕對誤差、相對誤差（零件的長度：測量值 48 mm，真值 50 mm）
observed = 48      # 測量值
true_value = 50    # 真值
error = observed - true_value                        # 誤差（帶正負號）
percent_error = error / true_value * 100             # 百分誤差（%，帶正負號）
absolute_error = abs(error)                          # 絕對誤差
relative_error = abs(error) / abs(true_value)        # 相對誤差
print(f"誤差 = {error}")
print(f"百分誤差 = {percent_error}%")
print(f"絕對誤差 = {absolute_error}")
print(f"相對誤差 = {relative_error}")

只用標準函式庫就能執行。abs( ) 是絕對值（去掉負號）的函數。請修改 observed（測量值）和 true_value（真值）兩個數值後執行。這個例子會顯示誤差 -2、百分誤差 -4.0%、絕對誤差 2、相對誤差 0.04。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

求百分誤差（%）的公式

E = (A − T) ÷ T × 100

E = \frac{A - T}{T} \times 100

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>A</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>T</mi></mrow>
      <mi>T</mi>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>100</mn>
  </mrow>
</math>

E = (A - T)/T xx 100

(observed - truevalue)/truevalue*100

percenterror := (observed - truevalue)/truevalue*100;

percent_error = (observed - truevalue)/truevalue*100;

E = (A - T)/T × 100

求絕對誤差的公式

D = |A − T|

D = \left| A - T \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>|</mo>
      <mi>A</mi>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <mi>T</mi>
      <mo>|</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

D = |A - T|

Abs[observed - truevalue]

abserror := abs(observed - truevalue);

abs_error = abs(observed - truevalue);

D = |A - T|

求相對誤差的公式

R = |A − T| ÷ |T|

R = \frac{\left| A - T \right|}{\left| T \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mi>A</mi>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>T</mi>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mi>T</mi>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = |A - T|/|T|

Abs[observed - truevalue]/Abs[truevalue]

relerror := abs(observed - truevalue)/abs(truevalue);

rel_error = abs(observed - truevalue)/abs(truevalue);

R = |A - T|/|T|

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是百分誤差（誤差率）的計算助理。請實際執行 Python 程式碼來完成以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。百分誤差請帶正負號求出（（測量值 − 真值）÷ 真值 × 100）。

1. 測量值 98.6、真值 100 時的百分誤差（%）
2. 測量值 10、真值 11 時的百分誤差（%）、絕對誤差、相對誤差
3. 測量值 123.456、真值 100 時的百分誤差（%）

請列出使用的公式和執行結果的數值。

使用方法

1

輸入數值

在輸入欄中輸入要計算的數值
2

計算

按下「計算」按鈕
3

查看結果

計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看

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\(A\)	A	測量值（實驗值），也就是實驗或測量實際得到的值，相當於「量到水的沸點是 98.6 °C」的 98.6 °C。
\(T\)	T	真值，也就是理論值或資料上記載的、公認正確的值，相當於「水的沸點（1 大氣壓）是 100 °C」的 100 °C。
\(A - T\)	A 減 T	誤差，把測量值偏離真值多少，帶正負號、用實際的單位表示的量。負的表示量得比真值小。
\(E\)	E	百分誤差（誤差率），把誤差除以真值再乘上 100，以 % 表示。本頁帶正負號處理，\(-1.4\) 表示「比真值小 1.4%」。
\(D\)	D	絕對誤差，也就是誤差的絕對值（\|測量值 − 真值\|）。不管偏差的方向，只用實際的單位表示偏差的大小。
\(R\)	R	相對誤差，把絕對誤差除以真值的大小所得到、沒有單位的比率。乘上 100 就是百分誤差的大小（%）（0.014 → 1.4%）。
\(\|\ \|\)	絕對值符號	絕對值的符號，表示把裡面的數去掉正負號後的「大小」。例：\(\|-1.4\| = 1.4\)、\(\|1.4\| = 1.4\)。
\(\%\)	百分比	百分率的單位符號，表示「相當於 100 份中的幾份」。語源是拉丁文的 per centum（每 100）。

百分誤差計算機（誤差率、絕對誤差、相對誤差）

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