請選擇排列的種類，並輸入要排的個數 n。會附上算式與圖示，計算排成圓形的方法數。
n 請輸入 1 以上、1,000 以下的半形整數。r 欄只在選擇「從 n 個中選 r 個排成圓形」時使用。答案不會四捨五入，完整顯示每一位數。
計算結果與圖形
在左側輸入欄選擇排列的種類並輸入個數，按下「計算」，結果與圖示就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入人數，就能算出 \(n\) 個人圍著圓桌坐的坐法（環狀排列）\((n-1)!\)
- 也能計算從 \(n\) 個中只選 \(r\) 個排成圓形的方法數 \(\dfrac{P^{n}_{r}}{r}\)
- 也能計算像項鍊那樣，把「翻面後重合的視為相同」的項鍊排列 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)（直接除會出錯的 \(n = 1,\ 2\) 也會正確處理）
- 「特定 2 人相鄰」「不相鄰」的坐法，也會附上把 2 人綁成一組的算式一起計算
- 答案不會四捨五入，完整顯示每一位數。位數很多時，也會附上像 \(1.23\times10^{35}\) 這樣的近似值，一眼就能掌握大小
- 可以用旋轉的圖確認「為什麼要把 \(n!\) 除以 \(n\)」。這個頁面還整理了可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
本頁處理的是要排的東西全都可以區分（沒有相同的東西混在一起）的情形。排成一列的排列 \(P^{n}_{r}\) 與組合 \(C^{n}_{r}\) 本身，可以用頁面下方的相關頁面計算。
這個計算有什麼用？
安排圓桌的座位（聚餐、會議、喜宴）
圓桌就算整張轉動，「誰坐在誰旁邊」的關係也不會改變。所以座位的排法不是排成直線的 \(n!\) 種，而是環狀排列的 \((n-1)!\) 種。6 人是 120 種，8 人是 5,040 種。
座位加上「這 2 人要坐隔壁（或要分開）」的要求，數量就大不相同：6 人中讓特定 2 人坐隔壁的坐法有 48 種，不坐隔壁的有 72 種。喜宴或聚餐的主辦人煩惱「座位安排有幾種」時，就能用數字而不是感覺來掌握。
估算配送路線的數量（物流、旅行推銷員問題）
把營業所也算成 1 個停靠點，考慮經過全部 \(n\) 個地點各 1 次、繞一圈的路線。同一條路線，從哪裡出發都是同一個圈（旋轉）；如果去程和回程的距離相同，反方向走距離也一樣（翻面）。所以可以區分的路線數，和項鍊排列一樣是 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) 種。
包含營業所共 10 個地點就有 181,440 種，15 個地點約有 \(4.36\times10^{10}\) 種。全部試一遍再選最短的並不實際，所以配送規劃軟體會用找捷徑的技巧（最佳化方法）。說明「全部檢查的方法行不通」的根據，就是這個方法數。
設計手鍊、項鍊（飾品）
把 \(n\) 顆顏色或形狀不同的珠子串成一圈，設計的數量是項鍊排列的 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) 種。圈不論旋轉或翻面都是同一件飾品，所以要把環狀排列再除以 \(2\)。5 顆珠子是 12 種，6 顆是 60 種。
不過，如果珠子只有一面有圖案，「正反面可以區分、不能翻過來用」，就不能把翻面視為相同。這時不除以 \(2\)，用環狀排列的 \((n-1)!\) 種（6 顆是 120 種）來數。光是能不能翻面使用，設計的數量就差 2 倍。
遊戲輪流的順序（桌遊、紙牌遊戲）
許多遊戲是沿著座位朝固定方向輪流。這種「誰的下一個是誰」的輪流順序，整圈座位轉動也不會改變，所以是環狀排列的 \((n-1)!\) 種。4 人是 6 種，5 人是 24 種。
在先手有利的遊戲中，會想連誰先開始都區分。這時把輪流順序的 \((n-1)!\) 種乘上選先手的 \(n\) 種，得到 \(n!\) 種（4 人是 24 種）。能把「只看座位順序的問題」和「也包含先手的問題」分開來數，思考公平的決定方式時就不會迷惑。
排值日生、輪班的輪替（學校、職場）
「依這個順序輪流，輪到最後再回到第一個」的值日表，從誰開始都是同一個循環，所以用環狀排列來數。5 人的值日表有 \((5-1)! = 24\) 種。
如果加上「這 2 人不要連續（相鄰）」的條件，就從全部減去 2 人相鄰的情形，得到 \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\) 種。5 人的話是 24 − 12 = 12 種。只加 1 個條件，候選就減半，從公式可以具體看出來。
公式與圖示
環狀排列 \((n-1)!\)（\(n\) 個全部排成圓形）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{n}\)
\(=\)
\((n-1)!\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(N\)：環狀排列的總數
\(=\)
①
\(\dfrac{n\text{ 個排成一列的排法 }n!}{\text{旋轉後重合的排法 }n\text{ 種}}\)
\(=\)
②
\((n-1)!\)：少 \(1\) 個的 \(n-1\) 個的階乘
用文字讀公式
①
把 \(n\) 個排成一列的排法 \(n!\)，除以旋轉後重合的 \(n\) 種所得的數
，
②
等於
\((n-1)!\)：少 \(1\) 個的 \(n-1\) 個的階乘
，
③
這就是
\(N\)：環狀排列的總數
。
簡單範例
\(4\) 個人圍著圓桌坐的坐法是
4 人的環狀排列總數
\(=\)
\(\dfrac{4\text{ 人排成一列 }24\text{ 種}}{\text{旋轉後重合的 }4\text{ 種}}\)
\(=\)
\(3\) 的階乘 \(3!\)
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
\(\dfrac{24}{4} = 6\)
\((4-1)! = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6\)
思考重點
排成圓形時，規定「旋轉後會重合的排法，算成同 1 種」。因為把圓桌連同坐著的人一起轉，誰坐在誰旁邊的關係完全不會改變。
為什麼要除以 \(n\)？用 \(4\) 個人 A、B、C、D 來確認最快。一列的排法 ABCD、BCDA、CDAB、DABC，以字母順序來看全都不同。但把它們排成圓形、從上方順時針讀，每一個都是「A 的右邊是 B，B 的右邊是 C，C 的右邊是 D，D 的右邊是 A」這個完全相同的圓圈，因為只是把第 1 個字母移到最後而已。
也就是說，1 個圓圈剛好對應 \(n\) 種一列的排法（轉一圈可以移動 \(n\) 次，不會多也不會少）。在 \(n!\) 種之中，同一個圓圈都被重複計算了 \(n\) 次，所以除以 \(n\)，重複就消掉了，得到的就是圓圈的種類數。
另一個想法是「固定一個」。先決定某 1 個人的座位，就再也不能靠旋轉讓排法重合。只要排剩下的 \(n-1\) 個人，所以是 \((n-1)!\) 種。不用除法，也能得到相同的答案。
環狀排列 \(\dfrac{P^{n}_{r}}{r}\)（從 \(n\) 個中選 \(r\) 個排成圓形）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(N\)
\(=\)
\(\dfrac{P^{n}_{r}}{r}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(N\)：排成圓形的排法總數
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{從 }n\text{ 個中選 }r\text{ 個排成一列的排法 }P^{n}_{r}}{\text{旋轉後重合的排法 }r\text{ 種}}\)
用文字讀公式
①
把從 \(n\) 個中選 \(r\) 個排成一列的排法 \(P^{n}_{r}\)，除以旋轉後重合的 \(r\) 種所得的數
，
②
就是
\(N\)：排成圓形的排法總數
。
簡單範例
從 \(8\) 人中選 \(3\) 人，坐在 3 人座的圓桌，坐法是
從 8 人選 3 人的環狀排列總數
\(=\)
\(\dfrac{\text{從 8 人選 3 人排成一列 }336\text{ 種}}{\text{旋轉後重合的 }3\text{ 種}}\)
\(P^{8}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)
\(\dfrac{336}{3} = 112\)
思考重點
想像一張只有 \(r\) 個座位的圓桌，從 \(n\) 個候選人中選人來坐。排在圓上的是 \(r\) 個，所以旋轉後重合的也是每 \(r\) 種一組。請注意不要誤除以 \(n\)。
\(r = n\) 時 \(P^{n}_{n} = n!\)，所以 \(\dfrac{n!}{n} = (n-1)!\)，和上一個公式完全一致。也就是說，這個是更一般的形式，\((n-1)!\) 是它的特殊情形。
項鍊排列 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)（翻面後重合的視為相同）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(M\)
\(=\)
\(\dfrac{(n-1)!}{2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(M\)：項鍊排列的總數
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{環狀排列的總數 }(n-1)!}{\text{翻面後重合的排法 }2\text{ 種}}\)
用文字讀公式
①
把環狀排列的總數 \((n-1)!\)，除以翻面後重合的 \(2\) 種所得的數
，
②
就是
\(M\)：項鍊排列的總數
（但限於 \(n\) 為 \(3\) 以上時）。
簡單範例
把 \(5\) 顆顏色不同的珠子串成一圈手鍊，做法有
5 顆珠子的項鍊排列總數
\(=\)
\(\dfrac{\text{5 個的環狀排列 }24\text{ 種}}{\text{翻面後重合的 }2\text{ 種}}\)
\((5-1)! = 4! = 24\)
\(\dfrac{24}{2} = 12\)
思考重點
項鍊或手鍊放在桌上翻過來，左右就對調了。不論旋轉或翻面都是同一件東西，所以要把環狀排列再除以 \(2\)。也可以想成「旋轉有 \(n\) 種、翻面有 \(2\) 種，合計每 \(2n\) 種重複一次」，寫成 \(\dfrac{n!}{2n}\) 也一樣。
環狀排列和項鍊排列的分界，在於「能不能拿起來翻面」。圓桌的坐法，人坐在位子上，不可能把桌子翻過來，所以是環狀排列。手鍊可以拿在手上翻面，所以是項鍊排列。題目出現「圈」「項鍊」「手鍊」「念珠」時就要想到翻面，這樣記就不會搞混。
要注意的是 \(n = 1\) 和 \(n = 2\)。只有 1 顆或 2 顆珠子的圈，翻面後排法完全不變。「每 2 種重複一次」不成立，直接套公式會得到 \(\dfrac{1}{2}\) 種這種答案。正確答案兩者都是 \(1\) 種（這個計算機會自動分情形處理）。
\(n\) 為 \(3\) 以上時，每一種排法一定和「翻面後的排法」湊成一對，所以除以 \(2\) 就能正確計算。
特定 2 個相鄰的環狀排列 \(2 \times (n-2)!\)
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(A\)
\(=\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(A\)：2 個相鄰的排法總數
\(=\)
①
\((n-2)!\)：把一組當成 1 個時，\(n-1\) 個的環狀排列
\(\times\)
②
組內 2 個的順序 \(2\) 種
用文字讀公式
①
把
要相鄰的 2 個綁成一組後，\(n-1\) 個的環狀排列 \((n-2)!\)
②
乘上
組內 2 個的順序 \(2\) 種
，
③
就得到
\(A\)：2 個相鄰的排法總數
。
簡單範例
\(6\) 個人圍著圓桌坐時，小明和小華相鄰的坐法是
2 人相鄰的坐法總數
\(=\)
2 人綁成一組後 5 個的環狀排列 \(4!\)
\(\times\)
組內 2 人的順序 \(2\) 種
\((6-2)! = 4! = 24\)
\(24 \times 2 = 48\)
思考重點
遇到「一定要相鄰」的條件，標準做法是用繩子把這 2 個綁起來，當成一組。6 人中把 2 人綁成一組，排成圓形的就是「這一組＋剩下的 4 人」共 5 個。5 個的環狀排列是 \((5-1)! = 4!\) 種。
最後，組內是「小明、小華」的順序，還是「小華、小明」的順序，有 \(2\) 種，要乘上去。綁成一組之後別忘了乘上組內的順序，這是最需要注意的地方。
只有 \(n = 2\) 是例外。只有 2 個人時一定相鄰，答案是 \(1\) 種，但直接套綁成一組的公式會得到 \(2 \times 0! = 2\) 種（這個計算機會自動分情形處理）。
特定 2 個不相鄰的環狀排列 \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(B\)
\(=\)
\((n-1)!\)
\(-\)
\((n-2)!\)
\(\times\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(B\)：2 個不相鄰的排法總數
\(=\)
①
\((n-1)!\)：沒有條件的環狀排列總數
\(-\)
②
\((n-2)!\)：把一組當成 1 個時，\(n-1\) 個的環狀排列
\(\times\)
③
組內 2 個的順序 \(2\) 種
用文字讀公式
①
從
沒有條件的環狀排列總數 \((n-1)!\)
中，
②
減去
要相鄰的 2 個綁成一組後，\(n-1\) 個的環狀排列 \((n-2)!\)
③
乘上
組內 2 個的順序 \(2\) 種
的數（＝2 個相鄰的排法），
④
就得到
\(B\)：2 個不相鄰的排法總數
。
簡單範例
\(6\) 個人圍著圓桌坐時，小明和小華不相鄰的坐法是
2 人不相鄰的坐法總數
\(=\)
6 人的環狀排列 \(5!\)
\(-\)
2 人綁成一組後 5 個的環狀排列 \(4!\)
\(\times\)
組內 2 人的順序 \(2\) 種
\((6-1)! = 5! = 120\)
\(2 \times (6-2)! = 2 \times 24 = 48\)
\(120 - 48 = 72\)
思考重點
想直接數「不相鄰」，要分的情形會變多，很麻煩。所以改從「全部的排法」減去「會相鄰的排法」。數出想求條件的相反情形（餘事件），再從全體減掉，是標準的做法。
整理公式後也可以寫成 \((n-1)! - 2(n-2)! = (n-1)(n-2)! - 2(n-2)! = (n-3) \times (n-2)!\)。代入 \(n = 3\) 得到 \(0 \times 1! = 0\) 種。3 人的圓桌上任 2 人一定相鄰，可以確認 \(0\) 種確實正確。
排成圓形時，「旋轉後會重合的排法」算成同 1 種，所以把排成一列的 \(n!\) 種除以 \(n\)，得到 \((n-1)!\) 種。像項鍊那樣翻面也視為相同時（項鍊排列），再除以 \(2\)，得到 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) 種（只有 \(n\) 在 \(2\) 以下時例外，為 \(1\) 種）。
符號與用語解說
符號
| \(n\) | n | 要排的全體個數。取自 number（數）的字首，常用來表示「個數」。本頁指圍著圓桌坐的人數，或串成一圈的珠子個數。 |
| \(r\) | r | 從全體 \(n\) 個中選出、實際要排的個數。像 \(P^{n}_{r}\) 這樣和 \(n\) 一起使用，意思是「從 \(n\) 個中取 \(r\) 個」。 |
| \(n!\) | n 階乘 | 階乘。\(n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)，表示 \(n\) 個全部排成一列的排法數。據說用驚嘆號表示階乘的寫法，是法國數學家克拉姆（Kramp）在 1808 年開始使用的。另外規定 \(0! = 1\)。 |
| \(P^{n}_{r}\) | P n 取 r | 排列。從 \(n\) 個中選 \(r\) 個排成一列的排法數，計算方式是 \(P^{n}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots \times (n-r+1)\)。P 是 permutation（排列）的字首。本頁計算結果的算式寫成 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)（例：\({}_{8}\mathrm{P}_{3}\)），意思相同。 |
| \(N\) | 大寫 N | 本頁用來表示環狀排列總數的字母。是 number（數）字首的大寫，常用來代表「想求的個數」。 |
| \(M\) | M | 本頁用來表示項鍊排列總數的字母。是 \(N\) 前一個英文字母，想表示和 \(N\) 不同的「另一個個數」時使用。 |
| \(A,\ B\) | A、B | 本頁用 \(A\) 表示特定 2 個相鄰的排法總數，用 \(B\) 表示不相鄰的排法總數。用前面的英文字母代表「想求的特定數」是慣例。 |
| \((n-1)!\) | n 減 1 的階乘 | 表示環狀排列總數的式子。是把 \(n\) 個排成圓形時，去掉旋轉後重合的 \(n\) 種重複所得的結果。想成「固定 1 個，排剩下的 \(n-1\) 個」也會得到相同的式子。 |
用語
| 方法數 | 滿足某個條件的做法共有幾種的數。台灣在高一的「排列組合」學到。題目問「有幾種？」時，就是在求方法數。 |
| 排列 | 把幾個東西考慮順序排起來，或指這種排法的數。排成一列的情形特別稱為直線排列，用 \(P^{n}_{r}\) 來數。 |
| 直線排列 | 排成橫的一列（直線）的一般排列。想和環狀排列區分時這樣稱呼。從左邊依序排，有頭有尾，錯開位置就變成不同的排法。 |
| 環狀排列 | 把東西排成圓形（一圈）的排法。規定旋轉後重合的排法算同 1 種，\(n\) 個就有 \((n-1)!\) 種。 |
| 項鍊排列 | 環狀排列之中，把翻面後重合的排法也算成同 1 種的排法。用來數像項鍊、手鍊這種可以翻面的圈，\(n\) 在 \(3\) 以上時有 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) 種。 |
| 階乘 | 從 \(1\) 到 \(n\) 的整數全部相乘的數（符號是 \(n!\)）。和 \(n\) 個東西排成一列的排法數相同，\(n\) 一變大就會急遽增加（\(10! = 3{,}628{,}800\)）。 |
| 旋轉後重合 | 把圈上的排法直接轉動，就和另一種排法完全相同。環狀排列不區分這樣重合的排法，算成同 1 種。轉一圈會產生 \(n\) 種重複。 |
| 翻面後重合 | 把圈翻過來（像照鏡子一樣左右顛倒）後，和另一種排法相同。項鍊排列把這種情形也算成同 1 種。 |
| 綁成一組 | 把有「一定相鄰」條件的東西用繩子綁起來，當成 1 個來處理的想法（綑綁法）。全體個數會少 1，最後再乘上組內的順序數。 |
| 餘事件 | 某個條件不發生的所有情形，寫成 \(A'\)。像「不相鄰」這種不容易直接數的條件，就從全體減去「相鄰」的情形來求。 |
| 重複計算 | 把同一個情形數了 2 次以上。環狀排列會把同一個圈的排法各數 \(n\) 次，所以最後要除以 \(n\)，去掉重複。 |
| 固定一個 | 環狀排列的標準想法。先決定某 1 個人的位置，就不能再靠旋轉讓排法重合，所以就和把剩下的 \(n-1\) 個排成一列相同。 |
| 乘法原理 | 「A 的決定方式有 \(a\) 種，每一種之下 B 的決定方式各有 \(b\) 種」，全部就有 \(a \times b\) 種，這是計數的規則。把綁成一組後的環狀排列乘上順序的 \(2\)，用的也是這個原理。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習，是最快的捷徑。
| 方法數的基礎（高一，15～16 歲） |
|
| 排列與階乘（高一，15～16 歲） |
|
| 用除法去掉重複的想法（國小三～五年級，8～11 歲） |
|
| 圖形的旋轉與對稱（國小高年級～國中，10～15 歲） |
|
| 餘事件（高一，15～16 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「環狀排列 (n−1)!」的表格
| 要排的個數 n | 8 |
| 環狀排列總數 (n−1)! | =FACT(B1-1) |
求「從 n 個中選 r 個排成圓形的環狀排列」的表格
| 全體個數 n | 8 |
| 排成圓形的個數 r | 3 |
| 排成一列的排法 nPr | =PERMUT(B1,B2) |
| 環狀排列總數 nPr÷r | =B3/B2 |
求「項鍊排列 (n−1)!÷2」的表格
| 要排的個數 n | 5 |
| 項鍊排列總數 | =IF(B1<=2,1,FACT(B1-1)/2) |
求「特定 2 個相鄰、不相鄰的環狀排列」的表格
| 要排的個數 n | 6 |
| 沒有條件的環狀排列 (n−1)! | =FACT(B1-1) |
| 2 個相鄰 2×(n−2)! | =2*FACT(B1-2) |
| 2 個不相鄰 | =B2-B3 |
貼上後，上面的列（個數）就是輸入的儲存格，下面的列會自動算出結果。
FACT 是計算階乘（n!）的函數，PERMUT 是計算排列（nPr）的函數。
第 1 個表格是 8 人圍圓桌的坐法，答案是 5040。
第 2 個表格是從 8 人中選 3 人圍圓桌的坐法，nPr 是 336，除以 r 得到 112。
第 3 個表格的 IF，是為了在 n 為 2 以下時不除以 2 的分情形處理。n 輸入 5 會得到 12。
第 4 個表格是 6 人圍圓桌的例子，沒有條件為 120，相鄰為 48，不相鄰為 72。
FACT 是計算階乘（n!）的函數，PERMUT 是計算排列（nPr）的函數。
第 1 個表格是 8 人圍圓桌的坐法，答案是 5040。
第 2 個表格是從 8 人中選 3 人圍圓桌的坐法，nPr 是 336，除以 r 得到 112。
第 3 個表格的 IF，是為了在 n 為 2 以下時不除以 2 的分情形處理。n 輸入 5 會得到 12。
第 4 個表格是 6 人圍圓桌的例子，沒有條件為 120，相鄰為 48，不相鄰為 72。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「環狀排列 (n−1)!」的表格
| 要排的個數 n | 8 |
| 環狀排列總數 (n−1)! | =FACT(B1-1) |
求「從 n 個中選 r 個排成圓形的環狀排列」的表格
| 全體個數 n | 8 |
| 排成圓形的個數 r | 3 |
| 排成一列的排法 nPr | =PERMUT(B1,B2) |
| 環狀排列總數 nPr÷r | =B3/B2 |
求「項鍊排列 (n−1)!÷2」的表格
| 要排的個數 n | 5 |
| 項鍊排列總數 | =IF(B1<=2,1,FACT(B1-1)/2) |
求「特定 2 個相鄰、不相鄰的環狀排列」的表格
| 要排的個數 n | 6 |
| 沒有條件的環狀排列 (n−1)! | =FACT(B1-1) |
| 2 個相鄰 2×(n−2)! | =2*FACT(B1-2) |
| 2 個不相鄰 | =B2-B3 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式（FACT、PERMUT、IF）。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把個數改成自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
from math import factorial, perm
n = 8 # 要排的個數
r = 3 # 排成圓形的個數（從 n 個中選取時）
# 環狀排列：n 個全部排成圓形
circular = factorial(n - 1)
# 環狀排列：從 n 個中選 r 個排成圓形
circular_select = perm(n, r) // r
# 項鍊排列：翻面後重合的視為相同
# n 為 1 或 2 時，翻面後排法也不變，所以不除以 2，為 1 種
necklace = 1 if n <= 2 else factorial(n - 1) // 2
# 特定 2 個相鄰／不相鄰的環狀排列（n 為 3 以上時）
adjacent = 2 * factorial(n - 2)
not_adjacent = factorial(n - 1) - adjacent
print(f"環狀排列：{circular}")
print(f"從 {n} 個中選 {r} 個的環狀排列：{circular_select}")
print(f"項鍊排列：{necklace}")
print(f"相鄰：{adjacent} 不相鄰：{not_adjacent}")
只用標準函式庫的 math 模組就能計算（perm 需要 Python 3.8 以上）。整數相除時，用不會變成小數的「//」是訣竅。執行這個例子，會顯示環狀排列 5040、從 8 個中選 3 個的環狀排列 112、項鍊排列 2520、相鄰 1440、不相鄰 3600。把 n 和 r 改掉後執行即可。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
環狀排列 \((n-1)!\)（\(n\) 個全部排成圓形）
N = n! ÷ n = (n−1)!
N = \frac{n!}{n} = (n-1)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
N = (n!)/n = (n-1)!
N = (n - 1)!
N := (n-1)!;
N = factorial(n-1);
N = n!/n = (n-1)!
環狀排列 \(\dfrac{P^{n}_{r}}{r}\)（從 \(n\) 個中選 \(r\) 個排成圓形）
N = Pⁿᵣ ÷ r
N = \frac{P^{n}_{r}}{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msubsup><mi>P</mi><mi>r</mi><mi>n</mi></msubsup></mrow>
<mi>r</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (P_r^n)/r
N = (n!/(n - r)!)/r
N := numbperm(n, r)/r;
N = nchoosek(n,r)*factorial(r)/r;
N = P_r^n/r
項鍊排列 \(\dfrac{(n-1)!}{2}\)（翻面後重合的視為相同）
M = (n−1)! ÷ 2
M = \frac{(n-1)!}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>M</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
M = ((n-1)!)/2
M = (n - 1)!/2
M := (n-1)!/2;
M = factorial(n-1)/2;
M = (n-1)!/2
特定 2 個相鄰的環狀排列 \(2 \times (n-2)!\)
A = 2 × (n−2)!
A = 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
A = 2 * (n-2)!
A = 2 (n - 2)!
A := 2*(n-2)!;
A = 2*factorial(n-2);
A = 2(n-2)!
特定 2 個不相鄰的環狀排列 \((n-1)! - 2 \times (n-2)!\)
B = (n−1)! − 2 × (n−2)!
B = (n-1)! - 2 \times (n-2)!
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>B</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</math>
B = (n-1)! - 2 * (n-2)!
B = (n - 1)! - 2 (n - 2)!
B := (n-1)! - 2*(n-2)!;
B = factorial(n-1) - 2*factorial(n-2);
B = (n-1)! - 2(n-2)!
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（方法數）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 關於 8 個人圍著圓桌坐的坐法，請求出下列 4 項。 1. 8 人全部的環狀排列（旋轉後重合的坐法算同 1 種） 2. 從 8 人中選 3 人，坐在 3 人座圓桌的坐法 3. 8 顆珠子串成一圈的項鍊排列（旋轉或翻面後相同的算 1 種） 4. 8 人的圓桌中，特定 2 人相鄰的坐法與不相鄰的坐法 請在 Python 中使用標準函式庫的 math 模組（factorial、perm）精確計算，並列出使用的公式和執行結果的數值。同時也請說明每個公式為什麼是這個形式。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
排列組合計算機（排列 nPr、組合 nCr）
計算排成一列的排列 nPr，以及不考慮順序的組合 nCr
重複排列與重複組合計算機（nʳ、H 重複組合、不盡相異物排列）
計算同一個可以重複選取時的方法數，以及有相同物的排列
