請選擇求法的模式，再輸入兩點的坐標（或斜率和一點的坐標）。輸入想知道 y 值的 x，也會計算該 x 對應的 y 值。
數值請以半形輸入，可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。不使用的欄位會依模式自動切換。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄輸入坐標（或斜率），按下「計算」，結果和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入坐標，就能立即求出通過兩點 \((x_1,\ y_1)\)、\((x_2,\ y_2)\) 的一次函數 \(y = ax + b\)
- 也可以選擇由斜率 \(a\) 和通過的一點求式子的模式
- 斜率（變化率）附 \(a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) 的計算過程，答案以約分好的分數（精確值）顯示
- 同時計算和 x 軸的交點、和 y 軸的交點，以及指定的 \(x\) 對應的 \(y\) 值，並畫出直線的圖形
- 兩點的 x 坐標相同、不是一次函數時，會判定並說明這是「x = 常數」的鉛直線
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
坐標、斜率除了小數、負數，也可以輸入 3/4 這樣的分數。
這個計算有什麼用？
預估資費方案的費用（手機、電費、計程車）
「基本費＋依用量加計」的收費方式，就是一次函數 \(y = ax + b\) 本身。y 截距 \(b\) 是基本費，斜率 \(a\) 是單價。例如假設起跳 NT$100、每公里加 NT$25 的計程車，費用是 \(y = 25x + 100\)，坐 3 公里可以估計為 \(25 \times 3 + 100 = 175\)（元）。
由兩個月的帳單（用量和金額這兩點）反推單價和基本費，正是「由兩點求式子」的計算。
由彈簧的伸長掌握和重量的關係（自然科、虎克定律）
彈簧有「伸長量和懸掛的重量成正比」的性質（虎克定律），彈簧的總長度是「原長＋伸長量」，是一個一次函數。例如原長 10 cm、每掛 1 個砝碼伸長 2 cm 的彈簧，長度是 \(y = 2x + 10\)（\(x\) 是砝碼的個數）。
用實驗測得的兩筆紀錄（兩點）決定式子，就能預測還沒試過的重量下的長度。這是橫跨國中自然科和數學的代表性例子。
由海拔估計氣溫（登山、氣象）
空氣有海拔每升高 100 m，氣溫大約下降 0.6 °C 的性質（稱為氣溫垂直遞減率的平均參考值）。知道平地的氣溫，就能用一次函數大致估計山頂的氣溫。例如平地 25 °C 時，海拔 \(x\) km 處的氣溫大約是 \(y = 25 - 6x\)，海拔 2 km 的山頂大約是 13 °C。
實際的氣溫也會因天氣和濕度而變，所以不是嚴格的式子，但可以當作選擇登山服裝的實用估算。
預估營收和費用（做生意、損益計算）
做生意的費用，常常是「房租等固定費用＋每做 1 個就要花的變動費用」的形式，這也是一次函數。y 截距是固定費用，斜率是每個的變動費用。
比較費用的直線和營收的直線，就能預估「賣出幾個才會賺錢」（損益兩平點）。這是規劃事業的第一步，被廣泛使用。
換算溫度的單位（攝氏和華氏）
台灣使用的攝氏（°C）和美國等地使用的華氏（°F）的關係，可以用一次函數 \(F = 1.8C + 32\) 精確表示。這是擁有斜率 1.8 和 y 截距 32、生活中「嚴格符合一次函數的關係」的代表例子。
例如攝氏 20 °C 是 \(1.8 \times 20 + 32 = 68\)（°F）。看出國旅遊地的天氣預報、換算食譜的烤箱溫度時，都能直接使用這個式子。
公式與圖形
一次函數的式子 \(y = ax + b\)
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x\)
\(+\)
\(b\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
直線上點的 y 坐標 \(y\)
\(=\)
②
斜率 \(a\)（變化率）
\(\times\)
①
x 坐標 \(x\)
\(+\)
③
y 截距 \(b\)
用文字讀公式
①
x 坐標 \(x\)
乘以
②
斜率 \(a\)（x 每增加 1，y 增加的量）
，再加上
③
y 截距 \(b\)（x = 0 時 y 的值）
，就是
④
直線上點的 y 坐標 \(y\)
。
簡單範例
斜率為 2、y 截距為 1 的一次函數 \(y = 2x + 1\)，\(x = 3\) 時的 \(y\) 是
y 坐標 \(y\)
\(=\)
斜率（2）
\(\times\)
x 坐標（3）
\(+\)
y 截距（1）
\(y = 2 \times 3 + 1 = 7\)
思考重點
一次函數是可以寫成 \(y = ax + b\)（\(a \neq 0\)）形式的函數，圖形是一條直線。「一次」的意思是式子中的 \(x\) 是 1 次方（不會出現 \(x^2\) 或 \(x^3\)）。台灣的國中課本把一次函數和常數函數 \(y = b\) 合稱為「線型函數」。
斜率 \(a\) 表示「x 每增加 1，y 變多少」，y 截距 \(b\) 表示「起點的高度（x = 0 時的 y）」。例如「基本費 \(b\) 元＋用量 \(x\) 乘以單價 \(a\)」這種資費方案，正是這個式子的形式。
國中七年級學的正比 \(y = ax\)，就是 y 截距 \(b\) 為 0（通過原點）的特殊一次函數。
由兩點求斜率 \(a\)（變化率）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(a\)
\(=\)
\(y_2 - y_1\)
\(\div\)
\(x_2 - x_1\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
斜率 \(a\)（變化率）
\(=\)
①
y 的變化量 \(\Delta y = y_2 - y_1\)
\(\div\)
②
x 的變化量 \(\Delta x = x_2 - x_1\)
用文字讀公式
①
y 的變化量 \(\Delta y\)（縱向變了多少）
除以
②
x 的變化量 \(\Delta x\)（橫向走了多少）
，就是
③
斜率 \(a\)（變化率）
。
簡單範例
通過兩點 (1, 3)、(4, 9) 的直線的斜率（變化率）是
斜率 \(a\)
\(=\)
y 的變化量（9 − 3 = 6）
\(\div\)
x 的變化量（4 − 1 = 3）
\(a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = \dfrac{6}{3} = 2\)
思考重點
「變化率」是 \(\dfrac{y \text{ 的變化量}}{x \text{ 的變化量}}\)。一次函數不管在哪裡量，這個值都一樣，它就是斜率 \(a\)（曲線則會因為量的位置不同而改變）。
分子和分母相減的順序要一致。如果用點 2 減點 1，兩邊都要用這個順序。順序弄反，正負號就會相反。
另外，兩點的 x 坐標相同（\(\Delta x = 0\)）時會變成除以 0，所以斜率不存在。這時通過兩點的直線是和 y 軸平行的鉛直線「x = 常數」，不是一次函數的圖形（這個計算機也會判定並說明這種情況）。
由斜率和一點求 y 截距 \(b\)
數學寫法
（一般的數學式）
\(b\)
\(=\)
\(y_1\)
\(-\)
\(a\)
\(\times\)
\(x_1\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
y 截距 \(b\)
\(=\)
③
通過點的 y 坐標 \(y_1\)
\(-\)
①
斜率 \(a\)
\(\times\)
②
通過點的 x 坐標 \(x_1\)
用文字讀公式
①
斜率 \(a\)
乘以
②
通過點的 x 坐標 \(x_1\)
（從 x = 0 走到該點期間 y 增加的量），再用
③
通過點的 y 坐標 \(y_1\)
減去它，就是
④
y 截距 \(b\)
。
簡單範例
斜率為 2、通過點 (3, 7) 的直線的 y 截距是
y 截距 \(b\)
\(=\)
y 坐標（7）
\(-\)
斜率（2）
\(\times\)
x 坐標（3）
\(b = 7 - 2 \times 3 = 1\)
\(y = 2x + 1\)
思考重點
點 \((x_1,\ y_1)\) 在直線上，就表示代入式子後 \(y_1 = a x_1 + b\) 成立。把這個式子對 \(b\) 求解，就得到 \(b = y_1 - a x_1\)。
「由兩點求式子」時，只要先用變化率求出斜率 \(a\)，接下來把其中一點代入這個式子就好。也就是說，不管哪一種模式，最後一步都會歸結到這個式子。
和 x 軸、y 軸的交點
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(x\)
\(=\)
\(-\)
\(b\)
\(\div\)
\(a\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
和 x 軸交點的 x 坐標
\(=\)
\(-\)
①
y 截距 \(b\)
\(\div\)
②
斜率 \(a\)
用文字讀公式
①
y 截距 \(b\)
變號後除以
②
斜率 \(a\)
，就是
③
和 x 軸交點的 x 坐標
（和 y 軸的交點直接就是 \((0,\ b)\)）
簡單範例
\(y = 2x + 1\) 和 x 軸的交點，代入 \(y = 0\) 得
交點的 x 坐標
\(=\)
\(-\)
y 截距（1）
\(\div\)
斜率（2）
\(0 = 2x + 1\)
\(x = -\dfrac{1}{2}\)
思考重點
和 x 軸的交點是「\(y = 0\) 的地方」，所以把 \(0 = ax + b\) 對 \(x\) 求解得到的 \(x = -\dfrac{b}{a}\)，就是交點的 x 坐標。方程式 \(ax + b = 0\) 的解和圖形的交點互相對應，這是一次函數重要的觀點。
和 y 軸的交點是「\(x = 0\) 的地方」，代入後得到 \(y = b\)。也就是說，y 截距 \(b\) 直接表示「圖形和 y 軸相交的高度」。
斜率為 0（\(y = b\) 的水平線）時，直線和 x 軸平行，所以沒有交點（\(b = 0\) 時直線就是 x 軸本身）。
一次函數 \(y = ax + b\) 的式子，由兩點求時依斜率 \(a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)（變化率）→ y 截距 \(b = y_1 - a x_1\) 的順序求出；由斜率和一點求時，只要求出 y 截距就能決定。y 截距 \(b\) 是和 y 軸交點的高度，\(-\dfrac{b}{a}\) 是和 x 軸交點的 x 坐標。
符號與用語解說
符號
| \(y = ax + b\) | y 等於 a x 加 b | 一次函數的一般形式。\(a\) 是斜率，\(b\) 是 y 截距。高中以後常把斜率寫成 \(m\)（\(y = mx + k\) 等，稱為斜截式），但國中課本以 \(a\) 為標準。 |
| \(a\) | a | 斜率（變化率），表示 x 每增加 1 時 y 增加的量。表示「已知的數」時，習慣用字母表前面的字母 \(a,\ b,\ c\)。 |
| \(b\) | b | y 截距，也就是 x = 0 時 y 的值，是圖形和 y 軸相交的高度。 |
| \(x_1,\ y_1\) | x 下標 1、y 下標 1 | 點 1 的坐標。右下方的小數字稱為下標，是用來區分「第幾個點的值」的編號（不是乘法也不是指數）。 |
| \(\Delta\) | delta | 希臘字母 delta 的大寫，相當於英文 difference（差）的字首 D，用來表示「變化量」。\(\Delta x\) 是 x 的變化量，\(\Delta y\) 是 y 的變化量。 |
| \(\left(-\dfrac{b}{a},\ 0\right)\) | 負 a 分之 b，0 | 和 x 軸交點的坐標。是 y 坐標為 0 的點，x 坐標是解方程式 \(ax + b = 0\) 得到的 \(-\dfrac{b}{a}\)。 |
| \((0,\ b)\) | 0，b | 和 y 軸交點的坐標。是 x 坐標為 0 的點，y 坐標就是 y 截距 \(b\)。 |
用語
| 一次函數 | 可以寫成 \(y = ax + b\)（\(a \neq 0\)）形式的函數，圖形是一條直線。「一次」是 x 為 1 次方的意思。台灣在國中八年級學習。 |
| 函數 | 放入一個數，就會依固定的規則得到唯一一個數的對應關係。想成「放入輸入 \(x\)，就會跑出輸出 \(y\) 的機器」就很好懂，例如把 3 放進 \(y = 2x + 1\) 這台機器，就會跑出 7。 |
| 斜率 | 表示直線「橫向每走 1，縱向變多少」的數。正的是往右上升，負的是往右下降，0 是水平線。 |
| 變化率 | y 的變化量對 x 的變化量的比 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)。一次函數不管在哪裡量都一樣，和斜率 \(a\) 一致。 |
| 截距 | 圖形和 y 軸交點的 y 坐標（x = 0 時 y 的值），正式名稱是「y 截距」（和 x 軸交點的 x 坐標則是 x 截距）。一次函數 \(y = ax + b\) 中的 \(b\) 就是 y 截距。 |
| 正比 | \(y = ax\) 形式的關係。x 變成 2 倍、3 倍時，y 也變成 2 倍、3 倍。是 y 截距 \(b\) 為 0（通過原點）的特殊一次函數。台灣在國中七年級學習。 |
| 坐標 | 用 \((x,\ y)\) 這組數表示點的位置。橫向位置是 x 坐標，縱向位置是 y 坐標。 |
| 坐標平面 | 把橫的數線（x 軸）和縱的數線（y 軸）垂直組合起來的平面，就是畫圖形用的方格世界。 |
| 原點 | x 軸和 y 軸相交的點 \((0,\ 0)\)。取 origin（起源、出發點）的字首寫成 \(O\)。 |
| 交點 | 兩條線相交的點。這個頁面求的是直線和 x 軸、y 軸相交的點。 |
| 變化量 | 表示值增加了多少的量，用「變化後 − 變化前」的減法求出。減少時當作負的變化量。 |
| 常數 | 值不會改變的固定的數。「x = 2」這種式子中的 2 就是常數，表示 x 坐標永遠是 2 的鉛直線。 |
| 常數函數 | 不管 x 是多少，y 的值永遠固定的函數。式子是 \(y = b\) 的形式，圖形是和 x 軸平行的水平線。是把一次函數 \(y = ax + b\) 的 \(a\) 換成 0 的形式，但不算在一次函數裡（台灣的國中課本把兩者合稱為線型函數）。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 正負數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 坐標平面（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 正比（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 代數式與方程式（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「由兩點求一次函數」的表
| 點 1 的 x 坐標 x1 | 1 |
| 點 1 的 y 坐標 y1 | 3 |
| 點 2 的 x 坐標 x2 | 4 |
| 點 2 的 y 坐標 y2 | 9 |
| 斜率 a（變化率） | =(B4-B2)/(B3-B1) |
| y 截距 b | =B2-B5*B1 |
| 和 x 軸交點的 x 坐標 | =-B6/B5 |
求「由斜率和一點求一次函數」的表
| 斜率 a | 2 |
| 通過點的 x 坐標 x1 | 3 |
| 通過點的 y 坐標 y1 | 7 |
| y 截距 b | =B3-B1*B2 |
| 想知道 y 值的 x | 5 |
| 這時 y 的值 | =B1*B5+B4 |
求「和 x 軸、y 軸的交點」的表
| 斜率 a | 2 |
| y 截距 b | 1 |
| 和 x 軸交點的 x 坐標 | =-B2/B1 |
| 和 y 軸交點的 y 坐標 | =B2 |
貼上後，上面幾列（坐標或斜率）是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。
第 1 個表是由兩點 (1, 3)、(4, 9) 求式子的例子，斜率 a 是 2，y 截距 b 是 1（直線方程式是 y = 2x + 1），和 x 軸交點的 x 坐標是 −0.5。「/」是除法，「*」是乘法的符號。
第 2 個表是由斜率 2 和點 (3, 7) 求的例子，y 截距 b 是 1，x = 5 時的 y 是 11。
第 3 個表是由式子（斜率和 y 截距）只求交點的表。兩點的 x 坐標相同時，除法的分母是 0，會顯示錯誤（#DIV/0!）。這對應到斜率不存在（不是一次函數）的情況。
第 1 個表是由兩點 (1, 3)、(4, 9) 求式子的例子，斜率 a 是 2，y 截距 b 是 1（直線方程式是 y = 2x + 1），和 x 軸交點的 x 坐標是 −0.5。「/」是除法，「*」是乘法的符號。
第 2 個表是由斜率 2 和點 (3, 7) 求的例子，y 截距 b 是 1，x = 5 時的 y 是 11。
第 3 個表是由式子（斜率和 y 截距）只求交點的表。兩點的 x 坐標相同時，除法的分母是 0，會顯示錯誤（#DIV/0!）。這對應到斜率不存在（不是一次函數）的情況。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「由兩點求一次函數」的表
| 點 1 的 x 坐標 x1 | 1 |
| 點 1 的 y 坐標 y1 | 3 |
| 點 2 的 x 坐標 x2 | 4 |
| 點 2 的 y 坐標 y2 | 9 |
| 斜率 a（變化率） | =(B4-B2)/(B3-B1) |
| y 截距 b | =B2-B5*B1 |
| 和 x 軸交點的 x 坐標 | =-B6/B5 |
求「由斜率和一點求一次函數」的表
| 斜率 a | 2 |
| 通過點的 x 坐標 x1 | 3 |
| 通過點的 y 坐標 y1 | 7 |
| y 截距 b | =B3-B1*B2 |
| 想知道 y 值的 x | 5 |
| 這時 y 的值 | =B1*B5+B4 |
求「和 x 軸、y 軸的交點」的表
| 斜率 a | 2 |
| y 截距 b | 1 |
| 和 x 軸交點的 x 坐標 | =-B2/B1 |
| 和 y 軸交點的 y 坐標 | =B2 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把坐標或斜率改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 兩點的坐標（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
x1, y1 = Fraction(1), Fraction(3)
x2, y2 = Fraction(4), Fraction(9)
slope = (y2 - y1) / (x2 - x1) # 斜率 a（變化率）= Δy ÷ Δx
intercept = y1 - slope * x1 # y 截距 b = y1 − a×x1
print(f"斜率 a = {slope}")
print(f"y 截距 b = {intercept}")
print(f"直線方程式: y = {slope}x + {intercept}")
if slope != 0:
print(f"和 x 軸的交點: ({-intercept / slope}, 0)")
print(f"和 y 軸的交點: (0, {intercept})")
x_value = Fraction(5) # 想知道 y 值的 x
print(f"x = {x_value} 時 y = {slope * x_value + intercept}")
使用標準函式庫的 fractions 模組，可以用沒有小數捨入誤差的精確分數來計算。這個例子是由兩點 (1, 3)、(4, 9) 求式子，執行後會顯示斜率 2、y 截距 1（y = 2x + 1）、和 x 軸的交點 (-1/2, 0)，以及 x = 5 時 y = 11。請改寫坐標後執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
一次函數的式子 \(y = ax + b\)
y = ax + b
y = ax + b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>x</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
y = a x + b
y == a x + b
y := a*x + b;
y = a*x + b;
y = ax + b
由兩點求斜率 \(a\)（變化率）
a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)
a = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
(y2 - y1)/(x2 - x1)
a := (y2 - y1)/(x2 - x1);
a = (y2 - y1)/(x2 - x1);
a = (y_2 - y_1)/(x_2 - x_1)
由斜率和一點求 y 截距 \(b\)
b = y₁ − ax₁
b = y_1 - a x_1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi>
<msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
</mrow>
</math>
b = y_1 - a x_1
y1 - a x1
b := y1 - a*x1;
b = y1 - a*x1;
b = y_1 - a x_1
和 x 軸、y 軸的交點
x = −b ÷ a
x = -\frac{b}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
x = -b/a
-b/a
x := -b/a;
x = -b/a;
x = −b/a
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（一次函數）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 請求出通過兩點 (1, 3)、(4, 9) 的一次函數 y = ax + b。 請分別列出下列內容： 1. 斜率 a（變化率），附 Δy/Δx 的計算過程 2. y 截距 b 3. 直線方程式 y = ax + b 4. 和 x 軸的交點、和 y 軸的交點的坐標 5. x = 5 時 y 的值 請在 Python 中使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出計算用的公式和執行結果的數值。答案是分數時，請以約分好的分數表示。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
斜率計算機（直線的斜率、距離、角度）
由兩點坐標計算直線的斜率、兩點距離和斜角。想深入了解斜率本身請看這裡
兩點距離計算機（由坐標求距離、直線方程式）
由兩點的坐標計算距離。距離公式（畢氏定理）的解說請看這裡
內分點與外分點計算機（也能算中點、三角形重心）
以分數的精確值和圖形，計算把線段分成 m:n 的點、中點和三角形的重心
正比與反比計算機（由一點求式子與比例常數，附對應表和圖形）
由通過的一點，附計算過程、對應表和圖形，求出正比 y=ax、反比 y=a/x 的式子與比例常數
