向量計算機（和、差、係數積、長度、內積、夾角）

請選擇平面或空間，再輸入兩個向量 a、b 的分量，以及係數 k、l。下方的數學式和輸入欄連動，直接改寫式子裡的分量也能計算。

平面或空間

向量 a 的 x 分量

向量 a 的 y 分量

向量 a 的 z 分量

向量 b 的 x 分量

向量 b 的 y 分量

向量 b 的 z 分量

係數 k（a 乘幾倍）

係數 l（b 乘幾倍）

數值請用半形輸入。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。分量留白時視為 0，係數 k、l 留白時視為 1。

計算結果與圖形

在左側輸入欄輸入向量的分量，按下「計算」，結果和圖示就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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NumberChef 計算機一覽

這個頁面可以做什麼

只要輸入平面（二維）或空間（三維）向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 的分量，就能一次算出和 \(\vec{a}+\vec{b}\)、差 \(\vec{a}-\vec{b}\)，以及係數積的和 \(k\vec{a}+l\vec{b}\)
長度 \(|\vec{a}|\) 會同時以化簡根號後的精確值（例如 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)）和小數顯示
也會同時求出內積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)、夾角 \(\theta\)（度與弧度；\(45^{\circ}\) 等特別角以精確值表示）、單位向量，並判斷垂直或平行
計算機會顯示和手寫一樣的直行向量數學式，也可以直接改寫式子裡的分量來計算
分量和係數除了小數、負數，也可以輸入像 3/4 這樣的分數
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

長度為 0 的向量（零向量）沒有確定的方向，所以無法求夾角和單位向量。這個計算機在 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 其中之一是零向量時，不進行計算。

這個計算有什麼用？

力的合成（物理、建築、工程）

好幾個力同時作用在物體上時，合起來的效果就是向量的和。把斜拉繩子的張力分解成水平和鉛直分量再相加，正是這個計算。
設計橋梁和建築物時，會把結構本身的重量、風力、地震力等當作向量合成，求出作用在各部位的力的方向和大小。只把大小相加、忽略方向，會變成危險的設計，所以向量的計算不可或缺。

3D 遊戲與電腦繪圖

遊戲中角色的移動以「位置向量 + 速度向量」計算，鏡頭的方向、飛出去的子彈方向也全都是向量。只需要方向時（前進方向、視線方向），每一個畫格都會用到單位向量。
光照的計算也靠內積。面的朝向（法向量）和光線方向的內積越大，光就照得越正，這個值決定了畫面上的亮度；內積小於或等於 0 時，光照不到那個面。

飛機與船的航向（速度的合成）

飛機實際的路線，是機頭方向的速度向量和風速向量的和。在北風中要往正東飛，機頭必須稍微偏向迎風的一側，要偏多少，就用向量的減法求出。
在海上，船也會加減水流的向量，決定要往哪個方向操舵。能把速度和時間分成各分量來處理，正是向量的長處。

衡量文章或商品的「相似度」（AI、推薦系統）

搜尋引擎和生成式 AI 會把文章轉換成很長的一串數字，也就是向量。兩篇文章是否相似，就用向量的夾角判斷：\(\cos\theta\) 越接近 1 越相似（餘弦相似度）。
網路商店「看過這件商品的人也喜歡」的功能，也是把購買紀錄轉成向量，找出夾角小的人和商品。這裡方向（喜好的模式）比長度（例如總消費金額）更重要，所以用角度來衡量效果很好。

測量位置與姿態的裝置（無人機、導航、手機）

無人機和手機會由加速度感測器測到的重力向量，和裝置本身基準方向的向量之間的夾角，算出傾斜了多少。手機畫面自動切換直向、橫向，就是這個計算的結果。
在導航和測量中，把兩點坐標的差當作向量：它的長度是距離，方向是方位。空間（三維）只要加上高度分量，同樣的公式就能直接使用。

公式與圖示

向量的長度（由分量求出）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(|\vec{a}|\) \(=\) \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② \(|\vec{a}|\)：向量 \(\vec{a}\) 的長度（箭頭的長） \(=\) ① 分量平方和 \(a_1^{2}+a_2^{2}\) 的平方根

用文字讀公式

① 坐標表示為 \(\vec{a}=(a_1,\ a_2)\) 時，計算 \(x\) 分量的平方加 \(y\) 分量的平方 \(a_1^{2}+a_2^{2}\) 的平方根，

② 就得到 \(|\vec{a}|\)：向量 \(\vec{a}\) 的長度（箭頭的長）

簡單範例

\(\vec{a}=(4,\ 2)\) 的長度（往右 4、往上 2 的箭頭的長）是

\(\vec{a}=(4,\ 2)\) 的長度 \(=\) \(4^2+2^2=20\) 的平方根

\(|\vec{a}| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4.4721\)

思考重點

這個公式就是畢氏定理本身。分量 \(a_1\)、\(a_2\) 把箭頭拆成「往右多少」和「往上多少」，所以箭頭就是以 \(a_1\)、\(a_2\) 為兩股的直角三角形的斜邊，長度是 \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)。空間（三維）的向量 \(\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)\)，再加上高度分量的平方：\(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\)。只是多一項，步驟完全相同。答案中的根號一定要寫成化簡後的形式（例如 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)）。這個計算機也會同時顯示化簡後的精確值和小數。

向量的和與差（各分量分別相加、相減）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \((a_1+b_1,\ a_2+b_2)\)

\(\vec{a}-\vec{b}\) \(=\) \((a_1-b_1,\ a_2-b_2)\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的和 \(=\) ① \(x\) 分量、\(y\) 分量各自相加的向量

④ \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的差 \(=\) ③ \(x\) 分量、\(y\) 分量各自相減的向量

用文字讀公式

① \(x\) 分量、\(y\) 分量各自相加的向量 \((a_1+b_1,\ a_2+b_2)\) 就是

② \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的和 \(\vec{a}+\vec{b}\) ；

③ \(x\) 分量、\(y\) 分量各自相減的向量 \((a_1-b_1,\ a_2-b_2)\) 就是

④ \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的差 \(\vec{a}-\vec{b}\)

簡單範例

當 \(\vec{a}=(4,\ 2)\)、\(\vec{b}=(-1,\ 2)\) 時

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \((4+(-1),\ 2+2)\)

\(\vec{a}+\vec{b} = (4+(-1),\ 2+2) = (3,\ 4)\)

\(\vec{a}-\vec{b} = (4-(-1),\ 2-2) = (5,\ 0)\)

思考重點

從圖上看，和 \(\vec{a}+\vec{b}\) 是「把 \(\vec{b}\) 的起點接到 \(\vec{a}\) 的終點時，從最初的起點到最後的終點的箭頭」。它也是以 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 為兩邊的平行四邊形的對角線，所以稱為平行四邊形法則。差 \(\vec{a}-\vec{b}\) 就是 \(\vec{a}+(-\vec{b})\)：把 \(\vec{b}\) 反向再相加。在圖上，它是從 \(\vec{b}\) 的終點指向 \(\vec{a}\) 的終點的箭頭。方向很容易弄錯，請記住「從減數（\(\vec{b}\)）的終點，指向被減數（\(\vec{a}\)）的終點」。只要記得箭頭是指向 \(\vec{a}\) 的，就不會畫反。空間（三維）也只是多一項 \(z\) 分量的相加或相減，步驟完全相同。

向量的係數積

圖示

數學寫法（一般的數學式）

文字寫法（把符號換成文字的公式）

\(k\vec{a}\) \(=\) \((ka_1,\ ka_2)\)

② \(\vec{a}\) 的 \(k\) 倍 \(=\) ① 各分量分別乘 \(k\) 倍的向量

用文字讀公式

① 各分量分別乘 \(k\) 倍的向量 \((ka_1,\ ka_2)\) 就是

② 向量 \(\vec{a}\) 的 \(k\) 倍 \(k\vec{a}\)

簡單範例

把 \(\vec{a}=(4,\ 2)\) 乘 2 倍（方向不變、長度變 2 倍的箭頭），得到

\(2\vec{a}\) \(=\) \((2 \times 4,\ 2 \times 2)\)

\(2\vec{a} = (2 \times 4,\ 2 \times 2) = (8,\ 4)\)

\(|2\vec{a}| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2|\vec{a}|\)

思考重點

係數積就是把箭頭「伸長或縮短」。\(k>0\) 時方向不變，長度變成 \(k\) 倍；\(k<0\) 時方向相反，長度變成 \(|k|\) 倍（\(k=-1\) 就是反向量 \(-\vec{a}\)）。長度為 \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\)。這個計算機用 \(k\vec{a}+l\vec{b}\) 的形式計算。\(k=1,\ l=1\) 是和，\(k=1,\ l=-1\) 是差，只要改變係數，也能計算 \(2\vec{a}-3\vec{b}\) 這類式子。 \(k=0\) 時，會得到分量全部為 0 的零向量 \(\vec{0}\)。零向量的長度是 0，沒有確定的方向。

內積（由兩個向量得到一個數的計算）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(|\vec{a}|\) \(\times\) \(|\vec{b}|\) \(\times\) \(\cos\theta\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(a_1b_1+a_2b_2\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的內積 \(=\) ① \(\vec{a}\) 的長度 \(\times\) ② \(\vec{b}\) 的長度 \(\times\) ③ \(\cos\theta\)：夾角 \(\theta\) 的餘弦

⑥ \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 的內積 \(=\) ⑤ \(x\) 分量的乘積與 \(y\) 分量的乘積之和

用文字讀公式

① 把 \(\vec{a}\) 的長度 \(|\vec{a}|\) 、

② \(\vec{b}\) 的長度 \(|\vec{b}|\) 和

③ \(\cos\theta\)：夾角 \(\theta\) 的餘弦相乘，就是

④ 內積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) 。用分量表示時，它和

⑤ \(x\) 分量的乘積與 \(y\) 分量的乘積之和 \(a_1b_1+a_2b_2\) 的值相同，所以用這個也能求出

⑥ 內積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)

簡單範例

\(\vec{a}=(4,\ 2)\)、\(\vec{b}=(-1,\ 2)\) 的內積是

內積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(4 \times (-1) + 2 \times 2\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)

思考重點

內積的答案不是向量，而是一個數（純量）。名稱聽起來像乘法，但請把它想成「把兩個箭頭變成一個數」的特別計算。符號一定要寫成中間的點；寫成 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 就變成另一種計算（外積）了。從圖上看，它是「把 \(\vec{b}\) 從正上方投影到 \(\vec{a}\) 的方向所得的影子（正射影）長度 \(|\vec{b}|\cos\theta\)，再乘上 \(|\vec{a}|\)」。所以兩個方向越一致，內積越大；成直角時影子長度是 0，內積也是 0；方向接近相反時，影子朝反方向，內積就是負的。知道角度時用定義式（長度與夾角），知道坐標時用分量的公式。空間（三維）時再加上一項 \(a_3b_3\)：\(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\)。

兩個向量的夾角

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② \(\cos\theta\)：夾角 \(\theta\) 的餘弦 \(=\) ① \(\dfrac{\text{內積 }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{兩個長度的乘積 }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

用文字讀公式

① 計算 \(\dfrac{\text{內積 }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{兩個長度的乘積 }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\) ，就能求出

② \(\cos\theta\)：夾角 \(\theta\) 的餘弦，再由它知道角度 \(\theta\)

簡單範例

\(\vec{a}=(1,\ 1)\)、\(\vec{b}=(2,\ 0)\) 的夾角（內積是 \(1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\)，長度是 \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\)、\(|\vec{b}|=2\)）是

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2}\)

\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)

思考重點

這只是把內積的定義 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) 對 \(\cos\theta\) 解出來的式子。請注意，先得到的是 \(\cos\theta\) 的值，而不是角度本身。要由 \(\cos\theta\) 求角度，可以和特別角的值比較：\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) 是 \(45^{\circ}\)，\(\dfrac{1}{2}\) 是 \(60^{\circ}\)，\(0\) 是 \(90^{\circ}\)。其他的值用反餘弦 \(\cos^{-1}\)（arccos）求出，這個計算機會以小數顯示。依照慣例，兩向量的夾角取 \(0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}\) 的範圍。只看 \(\cos\theta\) 的正負，就知道角的種類：正的是銳角，0 是直角，負的是鈍角。分母有根號時要有理化，例如 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)。

垂直與平行的條件

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\vec{a}\perp\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{b}=k\vec{a}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

① \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 垂直 \(\iff\) ② 內積為 0

③ \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 平行 \(\iff\) ④ 一方是另一方的係數積

用文字讀公式

① 當 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 都不是零向量時， \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 垂直和

② 內積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) 等價；

③ \(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 平行和

④ 存在實數 \(k\) 使 \(\vec{b}=k\vec{a}\) 等價

簡單範例

當 \(\vec{a}=(4,\ 2)\)、\(\vec{b}=(-1,\ 2)\) 時，內積為 \(4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0\)，所以

\(\vec{a}\) 與 \(\vec{b}\) 垂直 \(\iff\) 內積為 \(0\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)

\(\vec{c} = (8,\ 4) = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)

思考重點

判斷垂直，不必求夾角，只要看內積是不是 0。因為 \(\cos 90^{\circ}=0\)，定義式 \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) 整個會變成 0。這是在幾何證明中說明某個角是直角的標準工具。在平面上，平行的條件 \(\vec{b}=k\vec{a}\) 用分量寫成 \(a_1b_2-a_2b_1=0\)。這個式子不必求出 \(k\) 就能判斷，很方便（意思和分量的比相等 \(a_1:a_2=b_1:b_2\) 相同）。兩個條件都以「\(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 都不是零向量」為前提。零向量和任何向量的內積都是 0，但它沒有方向，所以不說它垂直，也不討論它是否平行。因此教科書會加上「當 \(\vec{a} \neq \vec{0},\ \vec{b} \neq \vec{0}\) 時」這個條件。

單位向量（只取出方向）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) \(=\) \(\left(\dfrac{a_1}{|\vec{a}|},\ \dfrac{a_2}{|\vec{a}|}\right)\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

② 與 \(\vec{a}\) 同方向、長度為 1 的向量 \(=\) ① \(\dfrac{\text{原來的分量 }(a_1,\ a_2)}{\text{該向量的長度 }|\vec{a}|}\)

用文字讀公式

① 像 \(\dfrac{\text{原來的分量 }(a_1,\ a_2)}{\text{該向量的長度 }|\vec{a}|}\) 這樣，把各分量分別除以長度，就得到

② 與 \(\vec{a}\) 同方向、長度為 1 的向量（單位向量）

簡單範例

與 \(\vec{a}=(4,\ 2)\) 同方向的單位向量（長度為 \(|\vec{a}|=2\sqrt{5}\)）是

與 \(\vec{a}=(4,\ 2)\) 同方向的單位向量 \(=\) \(\dfrac{(4,\ 2)}{2\sqrt{5}}\)

\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\dfrac{4}{2\sqrt{5}},\ \dfrac{2}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\ \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\)

\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)

思考重點

單位向量是「捨去長度的資訊，只留下方向的向量」。因為 \(\left|\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} = 1\)，除以長度後長度一定是 1，不必再檢查一次。只要取出方向，「沿著 \(\vec{a}\) 的方向前進 5 的點」就能寫成「5 × 單位向量」。在前進方向、視線方向、面的朝向（法向量）等「只在乎方向、不在乎長度」的場合，都會用到它。分量除以長度時，分母會出現根號，所以答案要有理化，例如 \(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\)。長度為 1 的向量每個方向都有，所以要說「與 \(\vec{a}\) 同方向的」，和反方向的單位向量 \(-\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) 區別。空間（三維）也只是多一項把 \(z\) 分量除以同樣長度的計算，步驟完全相同。

向量是「有方向和大小的量」，寫成坐標表示 \(\vec{a}=(a_1,\ a_2)\) 後，計算就簡單多了。和、差、係數積只要各分量分別計算；長度是 \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)（畢氏定理）；內積是分量乘積的和 \(a_1b_1+a_2b_2\)。把內積除以兩個長度的乘積得到 \(\cos\theta\)，就知道兩向量的夾角。內積為 0 就垂直，一方是另一方的係數積就平行。

符號與用語解說

符號

\(\vec{a}\)	向量 a	表示向量的符號。字母上方的箭頭表示「有方向的量」。有些教科書會寫成粗體 \(\boldsymbol{a}\)，意思相同。從 A 點到 B 點的有向線段寫成 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)（由 A 指向 B 的向量）。
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a 下標 1、a 下標 2、a 下標 3	向量 \(\vec{a}\) 的分量。右下角的小數字（下標）表示第幾個分量：\(a_1\) 是 \(x\) 方向、\(a_2\) 是 \(y\) 方向、\(a_3\) 是 \(z\) 方向的前進量。也有教科書用 \(x,\ y\) 當下標，寫成 \(\vec{a}=(a_x,\ a_y)\)。
\(\|\vec{a}\|\)	向量 a 的長度	向量 \(\vec{a}\) 的長度（箭頭的長）。使用和實數絕對值相同的直線符號，意思一樣是「去掉方向，只看大小」。值一定大於或等於 0。
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)	a 內積 b（a dot b）	內積。習慣上用中間的點表示，答案不是向量而是一個數。英文稱為 dot product（點積），就是來自這個符號的形狀。
\(\theta\)	theta	兩個向量的夾角。習慣上用希臘字母表示角度，\(\theta\) 是最常見的。向量的夾角是把起點對齊時張開的角，取 \(0^{\circ}\) 到 \(180^{\circ}\) 的範圍。
\(\cos\theta\)	cosine theta	角 \(\theta\) 的餘弦。在直角三角形中相當於「鄰邊與斜邊的比」，取 \(-1\) 到 \(1\) 的值，是連結內積與夾角的主角。
\(\cos^{-1}\)	反餘弦（arccos）	反餘弦。由 \(\cos\theta\) 的值求角 \(\theta\) 的函數，也寫成 \(\arccos\)。右上角的 \(-1\) 表示「反向的運算」，不是 \(\cos\) 的 \(-1\) 次方。在工程計算機上，是印在 cos 鍵上方的小字（通常按 SHIFT 或 2nd 使用）。
\(k,\ l\)	k、l	表示向量乘幾倍的實數（純量）。常數常用字母 \(k\) 表示。在這個計算機中，作為 \(k\vec{a}+l\vec{b}\) 的係數輸入。
\(\vec{0}\)	零向量	分量全部為 0 的向量（零向量）。這是長度為 0、沒有確定方向的特別向量，無法討論夾角和單位向量。
\(\perp\)	垂直	表示「垂直」的符號。\(\vec{a}\perp\vec{b}\) 讀作「\(\vec{a}\) 垂直 \(\vec{b}\)」，是把直角的形狀圖案化的符號。
\(\parallel\)	平行	表示「平行」的符號。\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) 讀作「\(\vec{a}\) 平行 \(\vec{b}\)」，是兩條平行直線並排的形狀。
\(\iff\)	等價（若且唯若）	表示左右兩邊意思相同（等價）的符號，意思是「左邊成立時右邊也成立，而且只有這時才成立」，寫成雙向箭頭。
\(\sqrt{\ }\)	根號	平方根的符號。\(\sqrt{20}\) 是「平方後等於 20 的正數」。向量的長度都用這個符號表示，答案要寫成把根號內的平方因數提出來的形式（化簡後的形式），例如 \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)。

用語

向量	同時具有「方向」和「大小」的量。用來描述速度、力、位移等只看大小不夠、還需要方向的東西。用箭頭表示，平移後（方向和長度相同）視為同一個向量。
純量	沒有方向、只是一個數的量（例如長度、重量、溫度）。用來和向量區別，內積的答案就是純量。
有向線段	有方向的線段，也就是決定了起點和終點的箭頭本身。「不管位置，只取出方向和長度」的，就是向量。
坐標表示	用「\(x\) 方向多少、\(y\) 方向多少」的一組數來表示向量的寫法。除了像 \(\vec{a}=(4,\ 2)\) 這樣橫著寫，也可以寫成直行的行向量，兩者意思相同。用坐標表示，和、內積都只是數的計算。
長度	向量箭頭的長，也稱為大小或範數，由分量用 \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) 求出。
單位向量	長度為 1 的向量。計算 \(\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}\)，就得到與 \(\vec{a}\) 同方向、只把長度調成 1 的向量。用在「只想表示方向」的時候。
零向量	分量全部為 0 的向量 \(\vec{0}\)。長度為 0，沒有確定的方向。會以同一個向量的差出現，例如 \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\)。
反向量	長度相同、方向完全相反的向量 \(-\vec{a}\)。相當於係數積中 \(k=-1\) 的情形，用在差的計算 \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\)。
係數積	把向量乘 \(k\) 倍（也稱為純量積、實數倍）。方向不變，長度變成 \(k\) 倍；\(k\) 為負數時方向相反。
平行四邊形法則	兩個向量的和，是以這兩個向量為兩邊的平行四邊形的對角線，這個性質稱為平行四邊形法則。用作圖求力的合成時直接使用。
內積	由兩個向量得到一個數的計算。定義為 \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\)，用分量則是 \(a_1b_1+a_2b_2\)。它用數表示「兩個方向有多一致」。
夾角	把兩個向量的起點對齊時所形成的角 \(\theta\)，取 \(0^{\circ}\) 到 \(180^{\circ}\) 的範圍。
正射影	把某個向量從正上方打光，投影到另一個向量方向上所得的影子。\(\vec{b}\) 在 \(\vec{a}\) 方向上的正射影長度是 \(\|\vec{b}\|\cos\theta\)，內積可以解釋成這個影子長度與 \(\|\vec{a}\|\) 的乘積。
垂直	兩個向量成直角相交（也稱為正交）。對兩個非零向量來說，和內積為 0 意思相同。
平行	兩個向量方向相同或完全相反。和一方能寫成另一方的係數積意思相同，在平面上只用分量 \(a_1b_2-a_2b_1=0\) 就能判斷。
位置向量	以原點為起點、表示點的位置的向量。A 點的位置向量是 \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\)，點的坐標就是它的分量。這是用向量研究圖形性質的起點。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到困難時，回頭複習這張表的內容是最快的方法。

坐標平面與空間坐標（國中七年級～高二，12～17 歲）	能用 \((4,\ 2)\) 這樣的一組數表示點的位置（\(x\) 是左右、\(y\) 是上下）知道在空間中會加上高度坐標 \(z\)，用 \((4,\ 2,\ 4)\) 這樣的 3 個數表示一個點知道坐標為負時，表示在原點的左方或下方（空間中則是前方或正下方）
正負數的計算（國中七年級，12～13 歲）	能正確計算 \(4+(-1)\)、\(4-(-1)\) 這類負數的加減會計算 \(4 \times (-1) = -4\) 這類異號數的乘法
平方根（國中八年級，13～14 歲）	知道 \(\sqrt{20}\) 是「平方後等於 20 的正數」能把根號內的平方因數提出來化簡，例如 \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\) 能把分母的根號消去（有理化），例如 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
畢氏定理（國中八年級，13～14 歲）	知道直角三角形中，斜邊的平方等於另外兩邊的平方和（\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)）能由兩股求出斜邊的長（向量的長度正是如此）
三角比 cos（高一，15～16 歲）	知道 \(\cos\theta\) 取 \(-1\) 到 \(1\) 的值，角度越大值越小知道特別角的值，例如 \(\cos 0^{\circ}=1\)、\(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\)、\(\cos 90^{\circ}=0\)、\(\cos 180^{\circ}=-1\) 知道要由 \(\cos\theta\) 的值反求角度，要用反餘弦 \(\cos^{-1}\)（計算機上 cos 的反函數）
代數式與分數的計算（國中七～九年級，12～15 歲）	會解 \(2x-12=0\) 這樣的一元一次方程式能保持 \(\dfrac{3}{5}\) 這樣的分數繼續計算，並約分

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「向量的長度」的表格

x 分量 a1	4
y 分量 a2	2
z 分量 a3（平面時為 0）	4
長度 \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)

求「向量的和與差」的表格

a 的 x 分量 a1	4
a 的 y 分量 a2	2
a 的 z 分量 a3	4
b 的 x 分量 b1	-1
b 的 y 分量 b2	2
b 的 z 分量 b3	2
和的 x 分量	=B1+B4
和的 y 分量	=B2+B5
和的 z 分量	=B3+B6
差的 x 分量	=B1-B4
差的 y 分量	=B2-B5
差的 z 分量	=B3-B6

求「向量的係數積」的表格

實數 k	2
x 分量 a1	4
y 分量 a2	2
z 分量 a3	4
k 倍的 x 分量	=B1*B2
k 倍的 y 分量	=B1*B3
k 倍的 z 分量	=B1*B4

求「內積」的表格

a 的 x 分量 a1	4
a 的 y 分量 a2	2
a 的 z 分量 a3	4
b 的 x 分量 b1	-1
b 的 y 分量 b2	2
b 的 z 分量 b3	2
內積 a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6

求「夾角」的表格

內積 a·b	8
長度 \|a\|	6
長度 \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
夾角 θ（度）	=DEGREES(ACOS(B4))
夾角 θ（弧度）	=ACOS(B4)

確認「垂直與平行的條件」的表格（平面）

a 的 x 分量 a1	4
a 的 y 分量 a2	2
b 的 x 分量 b1	-1
b 的 y 分量 b2	2
內積 a·b	=B1B3+B2B4
是否垂直	=IF(B5=0,"垂直","不垂直")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
是否平行	=IF(B7=0,"平行","不平行")

求「單位向量」的表格

x 分量 a1	4
y 分量 a2	2
z 分量 a3（平面時為 0）	4
長度 \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
單位向量的 x 分量	=B1/B4
單位向量的 y 分量	=B2/B4
單位向量的 z 分量	=B3/B4
驗算：單位向量的長度	=SQRT(B5^2+B6^2+B7^2)

貼上後，上面幾列（分量和係數）是輸入欄，下面幾列會顯示自動計算的結果。
「^」是次方，SQRT 是平方根，ACOS 是反餘弦（由餘弦值求角度的函數），DEGREES 是把弧度換成度。
表格 1～4 使用空間向量 a = (4, 2, 4)、b = (−1, 2, 2)。長度 |a| 是 6，和是 (3, 4, 6)，差是 (5, 0, 2)，2a 是 (8, 4, 8)，內積是 8。平面向量請把 z 分量的儲存格設為 0。
表格 5 由內積 8 和長度 6、3 求夾角。cosθ 是 0.4444…，夾角約 63.61 度（約 1.1102 弧度）。
表格 6 使用平面向量 a = (4, 2)、b = (−1, 2)。內積為 0，所以顯示「垂直」；a1b2 − a2b1 是 10 不是 0，所以顯示「不平行」。
表格 7 求和表格 1 相同的 a = (4, 2, 4) 的單位向量。各分量除以長度 6，得到 (0.6667, 0.3333, 0.6667)，最下面一列確認它的長度剛好是 1。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「向量的長度」的表格

x 分量 a1	4
y 分量 a2	2
z 分量 a3（平面時為 0）	4
長度 \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)

求「向量的和與差」的表格

a 的 x 分量 a1	4
a 的 y 分量 a2	2
a 的 z 分量 a3	4
b 的 x 分量 b1	-1
b 的 y 分量 b2	2
b 的 z 分量 b3	2
和的 x 分量	=B1+B4
和的 y 分量	=B2+B5
和的 z 分量	=B3+B6
差的 x 分量	=B1-B4
差的 y 分量	=B2-B5
差的 z 分量	=B3-B6

求「向量的係數積」的表格

實數 k	2
x 分量 a1	4
y 分量 a2	2
z 分量 a3	4
k 倍的 x 分量	=B1*B2
k 倍的 y 分量	=B1*B3
k 倍的 z 分量	=B1*B4

求「內積」的表格

a 的 x 分量 a1	4
a 的 y 分量 a2	2
a 的 z 分量 a3	4
b 的 x 分量 b1	-1
b 的 y 分量 b2	2
b 的 z 分量 b3	2
內積 a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6

求「夾角」的表格

內積 a·b	8
長度 \|a\|	6
長度 \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
夾角 θ（度）	=DEGREES(ACOS(B4))
夾角 θ（弧度）	=ACOS(B4)

確認「垂直與平行的條件」的表格（平面）

a 的 x 分量 a1	4
a 的 y 分量 a2	2
b 的 x 分量 b1	-1
b 的 y 分量 b2	2
內積 a·b	=B1B3+B2B4
是否垂直	=IF(B5=0,"垂直","不垂直")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
是否平行	=IF(B7=0,"平行","不平行")

求「單位向量」的表格

x 分量 a1	4
y 分量 a2	2
z 分量 a3（平面時為 0）	4
長度 \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
單位向量的 x 分量	=B1/B4
單位向量的 y 分量	=B2/B4
單位向量的 z 分量	=B3/B4
驗算：單位向量的長度	=SQRT(B5^2+B6^2+B7^2)

和 Excel 相同的公式可以直接使用（SQRT、ACOS、DEGREES、IF 的函數名稱兩者相同）。請把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把分量改成您自己的數值。
Google 試算表也有 SUMPRODUCT 函數。像「=SUMPRODUCT(B1:B3,B4:B6)」這樣給它兩組分量的範圍，一個公式就能求出內積。

用 Python 計算的方法

import math
from fractions import Fraction

# 向量的分量（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)；平面向量用 2 個元素）
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)

# 和、差、係數積的和（各分量分別計算）
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]

# 內積、長度與夾角
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))

print(f"和：{vector_sum}")
print(f"差：{vector_diff}")
print(f"ka + lb：{combination}")
print(f"內積：{dot}")
print(f"長度 |a|：{size_a}，|b|：{size_b}")
print(f"cos(theta)：{float(cos_theta)}，夾角：{theta_degrees} 度")

# 單位向量與垂直判斷
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"與 a 同方向的單位向量：{unit_a}")
print("垂直" if dot == 0 else "不垂直")

只用標準函式庫就能撰寫。把分量存成 Fraction（分數），和、差、內積就是沒有捨入誤差的精確值。長度和夾角含有平方根，所以用 math 模組以小數計算。這個例子使用 a = (4, 2, 4)、b = (−1, 2, 2)，會顯示內積 8、長度 6 和 3、夾角約 63.61 度。請修改分量後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

向量的長度（由分量求出）

|a| = √(a₁² + a₂²)

\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)

Norm[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);

norm([a1 a2])

|a| = √(a_1^2 + a_2^2)

向量的和與差（各分量分別相加、相減）

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

{a1, a2} + {b1, b2}

Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);

[a1 a2] + [b1 b2]

a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

向量的係數積

ka = (ka₁, ka₂)

k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

k vec a = (k a_1, k a_2)

k {a1, a2}

k * Vector([a1, a2]);

k * [a1 a2]

ka = (k a_1, k a_2)

內積（由兩個向量得到一個數的計算）

a ⋅ b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
  </mrow>
</math>

vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]

DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

dot([a1 a2], [b1 b2])

a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2

兩個向量的夾角

cos θ = (a ⋅ b) / (|a||b|)

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#x22C5;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
        <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))

ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]

VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))

cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)

垂直與平行的條件

a⊥b ⟺ a ⋅ b = 0,  a∥b ⟺ b = ka

\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22A5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x27FA;</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0

Dot[a, b] == 0

evalb(DotProduct(a, b) = 0);

dot(a, b) == 0

a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0

單位向量（只取出方向）

a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)

\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))

Normalize[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);

[a1 a2] / norm([a1 a2])

a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學（向量）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

針對空間向量 a = (4, 2, 4)、b = (−1, 2, 2)，請分別求出下列各項。
1. 和 a + b、差 a − b，以及 2a + 3b 的分量
2. 長度 |a| 和 |b|（化簡根號後的精確值和小數兩種）
3. 內積 a·b
4. 夾角 θ（度和弧度兩種；若是特別角，也請給出精確值）
5. 與 a 同方向的單位向量
6. a 和 b 是否垂直或平行，以及理由

在 Python 中請使用 fractions 和 math 模組（必要時使用 sympy），並列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。

使用方法

1

輸入數值

在輸入欄中輸入要計算的數值
2

計算

按下「計算」按鈕
3

查看結果

計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看

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目錄

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