請選擇模式並輸入整數。「求餘數」也支援負數，還會顯示數學上的餘數（大於或等於 0）和程式的 % 運算子有什麼不同。
請以半形數字輸入整數（不能用小數或分數）。a、b、n 在 30 位數以內，指數 k 大於或等於 0 且在 9 位數以內，模 n 大於或等於 1。
計算結果與圖形
在左邊選擇模式、輸入整數，按下「計算」，結果就會顯示在這裡（模 n 為 2～24 時，還會出現標示餘數位置的時鐘圖）。
這個頁面可以做什麼
- 可以求整數 \(a\) 除以 \(n\) 的餘數。也支援負數（例如：\(-7\) 除以 \(3\) 的餘數），並排顯示數學上的餘數（\(0 \le r < n\)），以及 C、Java、JavaScript 等語言的 % 運算子結果（可能是負數）
- 可以判定同餘式 \(a \equiv b \pmod{n}\) 是否成立，並附上「差 \(a - b\) 是不是 \(n\) 的倍數」這個理由
- 像 \(7^{100}\) 除以 \(13\) 的餘數這種大次方的餘數，也能附反覆平方法的計算過程精確算出（計算機位數不夠的數也能直接計算）
- 可以用時鐘圖（mod \(n\) 的圓環）看出餘數的變化，掌握「餘數會在同樣的位置繞圈圈」的感覺（模 \(n\) 為 2～24 時會顯示時鐘圖）
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
模 \(n\) 是大於或等於 1 的整數。\(a\)、\(b\)、\(n\) 請在 30 位數以內，指數 \(k\) 請輸入大於或等於 0、9 位數以內的整數。
這個計算有什麼用？
時鐘、月曆的計算（幾天後是星期幾？）
時鐘的「14 點＝下午 2 點」，就是 14 mod 12 = 2 的餘數計算。星期也和「每 7 繞一圈的時鐘」是同樣的道理，例如今天是星期一，100 天後是 100 mod 7 = 2，所以是「星期一往後 2 天＝星期三」。
不論是記事本上的月曆還是月曆 App，都是用這個餘數的計算來對應日期和星期。
抓出號碼錯誤的檢查碼（條碼、ISBN）
商品條碼（台灣以 471 開頭的 EAN-13 條碼）和書籍 ISBN 的最後 1 碼，是由前面的數字用餘數計算產生的檢查用數字（檢查碼）。例如 EAN-13 條碼，是把各位數字交替乘以 1 倍、3 倍後相加，再由總和除以 10 的餘數決定最後一碼。
只要打錯 1 碼，餘數就對不上，所以收銀機和網購系統能當場抓出輸入錯誤。信用卡號碼和身分證字號最後一碼的檢查碼，也是同樣的想法。
保護網路的加密（RSA 加密）
用來安全傳送信用卡號碼等資料的公鑰加密代表——RSA 加密，計算時用的正是「巨大數的次方除以某數的餘數」。次方的餘數可以很快算出來，但要從結果反推回原來的數卻非常困難，這種單向的性質就是安全性的根據。
這個頁面「求次方的餘數」模式顯示計算過程所用的反覆平方法，正是加密軟體每天在內部執行的計算。
程式設計的基本功（判定偶數奇數、讓順序循環）
程式設計中，常用 i % 2 判定偶數或奇數，或用 i % n 做出「每 n 個繞一圈的順序」（例如回合制遊戲中決定下一位玩家、投影片播到最後再回到第一張等），% 運算子是日常使用的工具。
摻雜負數時，% 的結果依語言而不同，所以「數學上的餘數和 C、Java 系 % 的差異」，是除錯時很有用的知識。
平分後計算剩下多少（分配、裝箱）
63 枝鉛筆平均分給 12 個人，每人 5 枝，還剩 3 枝（63 = 12 × 5 + 3）。庫存裝箱（每箱 n 個，能裝幾箱、剩幾個）、活動分組等，「平分後看剩下多少」的場合，用的都是這個計算。
除法的基本式 a = n × q + r，就是把這些生活中的場景寫成一個式子。
公式與圖示
除法的基本式（餘數的定義）
時鐘圖（mod 12）
數學寫法
（一般的數學式）
\(a\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\(q\)
\(+\)
\(r\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(a\)：被除數
\(=\)
①
\(n\)：除數（模）
\(\times\)
②
\(q\)：商
\(+\)
③
\(r\)：餘數
用文字讀公式
①
\(n\)：除數（模）
乘以
②
\(q\)：商
，再加上
③
\(r\)：餘數（取 \(0 \le r < n\)）
，就會回到
④
\(a\)：被除數
。寫成這個形式的方法只有一種，其中的 \(r\) 就是「\(a\) 除以 \(n\) 的餘數（\(a \bmod n\)）」
簡單範例
38 除以 12（和時鐘上「38 點」就是 2 點的計算相同）
被除數 38
\(=\)
除數 12
\(\times\)
商 3
\(+\)
餘數 2
\(38 = 12 \times 3 + 2\)
\(38 \bmod 12 = 2\)
思考重點
數學上約定餘數 \(r\) 要取在「\(0 \le r < n\)」的範圍內。負數也一樣，\(-7\) 除以 \(3\) 時，要像 \(-7 = 3 \times (-3) + 2\) 這樣，把商降到較小的整數（\(-3\)），讓餘數變成 \(2\)（向下取整除法）。
另一方面，程式的 % 運算子依語言而有不同的做法。C、Java、JavaScript 的 -7 % 3，會把商往接近 0 的方向（\(-2\)）捨去，所以結果是 \(-1\)（餘數的正負號和被除數相同的方式）。Python、Ruby 的 % 和 Excel 的 MOD 函數，採用餘數的正負號和除數相同的方式，所以會傳回和數學相同的 \(2\)。處理負數餘數的程式，這個差異常常直接造成錯誤（bug），請特別注意。
同餘式的定義（a ≡ b (mod n) 是什麼意思）
數學寫法
（一般的數學式）
\(a - b\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\(m\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(a - b\)：兩個整數的差
\(=\)
①
\(n\)：模
\(\times\)
②
\(m\)：某個整數
用文字讀公式
①
\(n\)：模
乘以
②
\(m\)：某個整數
所得的積，如果剛好等於
③
\(a - b\)：兩個整數的差
（＝差是 \(n\) 的倍數），就寫成 \(a \equiv b \pmod{n}\)，稱為「\(a\) 與 \(b\) 以 \(n\) 為模同餘」
簡單範例
38 與 14 以 12 為模同餘（\(38 \equiv 14 \pmod{12}\)）
差（38 − 14 = 24）
\(=\)
模 12
\(\times\)
整數 2
\(38 - 14 = 24 = 12 \times 2\)
\(38 \equiv 14 \pmod{12}\)
思考重點
「差是 \(n\) 的倍數」和「除以 \(n\) 的餘數相等」是同一件事的不同說法（實際上 \(38 \bmod 12 = 2\)、\(14 \bmod 12 = 2\)，餘數相同）。所以同餘式可以看成「只看餘數的等式」。
想像一下時鐘，38 點、14 點和 2 點，在鐘面上都指向同一個位置。mod \(n\) 的世界就是「每 \(n\) 繞一圈的時鐘」，同餘的數就是在時鐘上同一個位置的數。
乘法與餘數的關係（次方餘數的基礎）
數學寫法
（一般的數學式）
\((a \times b) \bmod n\)
\(=\)
\(\{(a \bmod n) \times (b \bmod n)\} \bmod n\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
積的餘數
\(=\)
①
各自的餘數相乘後再取的餘數
用文字讀公式
①
各自的餘數相乘後再取的餘數
算出來會和
②
積的餘數
相同（可以先換成餘數再相乘）
簡單範例
38 × 15 除以 12 的餘數，只用各自的餘數 2 和 3 就能求出
積（38 × 15 = 570）的餘數
\(=\)
餘數 2 × 餘數 3 ＝ 6
\(38 \bmod 12 = 2,\quad 15 \bmod 12 = 3\)
\(2 \times 3 = 6\)
\((38 \times 15) \bmod 12 = 570 \bmod 12 = 6\)
思考重點
有了這個性質，大數的乘法不必算到最後，可以先換成餘數再相乘。次方就是一再相乘，所以像 \(7^{100}\) 這麼巨大的數，不必真的算出來，只要追蹤餘數就能計算。這就是反覆平方法（每平方一次就取餘數，再把指數分解成 2 的次方之和來相乘的方法）的基礎，這個計算機的「求次方的餘數」模式，也是用這個方法顯示計算過程。
此外，次方的餘數只有 \(n\) 種，所以一定會在某處回到相同的餘數，呈週期性重複。例如 \(7^{k}\) 的個位數字（mod \(10\) 的餘數），會依序在 7、9、3、1 這 4 個數之間繞圈圈。找出這個週期的解法，在考試中也是常見的題型。
同餘式的性質（兩式相加、相減、相乘）
數學寫法
（一般的數學式）
\(a + c\)
\(\equiv\)
\(b + d\)
\(\pmod{n}\)
\(a - c\)
\(\equiv\)
\(b - d\)
\(\pmod{n}\)
\(a \times c\)
\(\equiv\)
\(b \times d\)
\(\pmod{n}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(a + c\)：左邊相加
\(\equiv\)
②
\(b + d\)：右邊相加
\(\pmod{n}\)
\(a - c\)：左邊相減
\(\equiv\)
\(b - d\)：右邊相減
\(\pmod{n}\)
\(a \times c\)：左邊相乘
\(\equiv\)
\(b \times d\)：右邊相乘
\(\pmod{n}\)
用文字讀公式
①
當 \(a \equiv b\)、\(c \equiv d \pmod{n}\) 時，
左邊相加、相減、相乘的結果
和
②
右邊相加、相減、相乘的結果
分別仍然同餘（同餘式可以像一般的等式一樣相加、相減、相乘）
簡單範例
利用 \(38 \equiv 2\)、\(15 \equiv 3 \pmod{12}\)
38 ＋ 15 ＝ 53
\(\equiv\)
2 ＋ 3 ＝ 5
\(\pmod{12}\)
\(38 + 15 = 53 \equiv 5,\quad 2 + 3 = 5 \pmod{12}\)
\(38 \times 15 = 570 \equiv 6,\quad 2 \times 3 = 6 \pmod{12}\)
思考重點
即使是大數的計算，也能先換成餘數再相加、相減、相乘，這就是這個性質方便的地方。
不過，只有除法不能隨意做。例如 \(6 \equiv 12 \pmod{6}\) 成立，但兩邊同除以 2 得到的 \(3 \equiv 6 \pmod{6}\) 並不成立（差 3 不是 6 的倍數）。只有當除數和模互質（最大公因數是 1）時，兩邊才可以同除。
整數 \(a\) 除以 \(n\) 的餘數，就是寫成 \(a = n \times q + r\)（\(0 \le r < n\)）這個唯一形式時的 \(r\)。同餘式 \(a \equiv b \pmod{n}\) 的意思是「\(a\) 和 \(b\) 的差是 \(n\) 的倍數（＝除以 \(n\) 的餘數相等）」，可以像等式一樣相加、相減、相乘。有了這個性質，大次方的餘數也能用只追蹤餘數的反覆平方法很快求出來。
符號與用語解說
符號
| \(\equiv\) | 同餘 | 表示同餘的符號。把等號（＝）的線變成 3 條的形狀，表示比「完全相等」寬鬆的「在餘數的世界裡相等」。 |
| \(\bmod\)（mod） | mod | 表示模的符號，是英文 modulus（模）的縮寫，據說來自拉丁文的 modulus（尺度）。「\(a \bmod n\)」表示「\(a\) 除以 \(n\) 的餘數」，寫在式子後面的「\(\pmod{n}\)」則是宣告「以 \(n\) 為模來思考」。 |
| \(a,\ b\) | 要求餘數的整數，在同餘式中是左右兩邊的 2 個整數。表示「已知的數」時，習慣用字母表前面的字母。 | |
| \(n\) | 模（決定用除以多少的餘數來思考的數）。常用 number（數）的第一個字母 \(n\)。這個頁面中是大於或等於 1 的整數。 | |
| \(q\) | 商，取自 quotient（商）的第一個字母。負數的除法中，為了讓餘數大於或等於 0，商要往較小的整數取（向下取整除法）。 | |
| \(r\) | 餘數，取自 remainder（餘數）的第一個字母。數學上約定取在 \(0 \le r < n\) 的範圍內。 | |
| \(m\) | 出現在同餘式定義中、表示「差是模的幾倍」的整數，也可能是負整數或 0。 | |
| \(a^{k}\) | a 的 k 次方 | 把 \(a\) 自乘 \(k\) 次（次方）。右上角的小數字 \(k\) 是表示「相乘次數」的指數。 |
| % | 百分比符號（當作取餘數運算子時讀作 mod） | 許多程式語言中用來求餘數的取餘數運算子。和百分率的百分比符號相同，但意思不同。C、Java、JavaScript 對負數的結果，可能和數學上的餘數不同（請參考第 1 個公式的「思考重點」）。 |
用語
| 餘數 | 除法中除不盡而剩下的數。數學上約定取大於或等於 \(0\)、小於除數的值。 |
| 商 | 相當於除法中「可以減幾次」的整數，也就是除法基本式 \(a = n \times q + r\) 的 \(q\)。 |
| 模 | 決定「用除以多少的餘數來思考」的數 \(n\)，相當於時鐘繞一圈的刻度數。「以 12 為模」的意思是「用除以 12 的餘數來思考」。 |
| 同餘 | 2 個整數除以模 \(n\) 的餘數相等。這是整數性質的用語，和圖形的全等（形狀和大小都相同）不同。 |
| 同餘式 | \(a \equiv b \pmod{n}\) 形式的式子。可以像等式一樣相加、相減、相乘來變形，用式子的變形來進行餘數的計算。是數論的基本工具，也常出現在數學競賽中。 |
| 倍數 | 把某個整數乘以整數所得的數。「差是模的倍數」就是同餘的定義。 |
| 向下取整除法 | 把商往較小的整數取的除法（floor division）。除數是正數時，即使被除數是負數，餘數也會大於或等於 0。Python 的 // 運算子和 Excel 的 INT 函數都是這種方式。 |
| 取餘數運算子 | 程式設計中求餘數的 %。C、Java、JavaScript 是把商往 0 的方向捨去的方式（餘數的正負號和被除數相同），Python、Ruby 是向下取整除法的方式（餘數的正負號和除數相同，模是正數時大於或等於 0）。 |
| 反覆平方法 | 一再平方並取餘數，再把指數分解成 2 的次方之和來相乘，用很少的乘法次數求出大次方餘數的方法。也叫快速冪，用在 RSA 加密等的實作中。 |
| 同餘類 | 把整數依「除以 \(n\) 的餘數」分組的想法。在 mod \(n\) 的世界裡，所有整數都分成餘數 \(0\)～\(n-1\) 這 \(n\) 類。偶數和奇數，就是依除以 2 的餘數分成的同餘類。 |
| 週期性 | 次方的餘數會重複同樣排列的性質。餘數只有 \(n\) 種，所以一定會在某處回到相同的餘數。在個位數字的問題（mod 10）中找出週期，是考試的常見題型。 |
| 互質 | 2 個整數的最大公因數是 1。出現在同餘式兩邊可以同除以某數的條件中。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。
遇到卡關的地方，回到這張表的內容複習是最快的捷徑。
| 有餘數的除法（國小三～四年級，8～10 歲） |
|
| 倍數與因數（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 正負數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 次方與指數（國中七年級～高一，12～16 歲） |
|
| 整數的除法原理（高中，15～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「a mod n（餘數）」的表格
| 被除數 a | -7 |
| 模（除數）n | 3 |
| 數學上的餘數（大於或等於 0） | =MOD(B1,B2) |
| 商（向下取整除法） | =INT(B1/B2) |
| 驗算 n×商＋餘數 | =B2*B4+B3 |
| C、Java 方式的餘數（往 0 方向捨去） | =B1-B2*TRUNC(B1/B2) |
「同餘判定 a ≡ b (mod n)」的表格
| 整數 a | 38 |
| 整數 b | 14 |
| 模 n | 12 |
| 差 a−b | =B1-B2 |
| 差除以 n 的餘數 | =MOD(B4,B3) |
| 判定（TRUE 表示同餘） | =MOD(B4,B3)=0 |
求「次方的餘數（反覆平方法）」的表格
| 底數 a | 7 |
| 指數 k | 100 |
| 模 n | 13 |
| a 的 1 次方的餘數 | =MOD(B1,B3) |
| a 的 2 次方的餘數（把上一列平方後取餘數） | =MOD(B4^2,$B$3) |
| a 的 4 次方的餘數 | =MOD(B5^2,$B$3) |
| a 的 8 次方的餘數 | =MOD(B6^2,$B$3) |
| a 的 16 次方的餘數 | =MOD(B7^2,$B$3) |
| a 的 32 次方的餘數 | =MOD(B8^2,$B$3) |
| a 的 64 次方的餘數 | =MOD(B9^2,$B$3) |
| 組合 100=64+32+4 的餘數 | =MOD(MOD(B10*B9,$B$3)*B6,$B$3) |
貼上之後，只要改掉上面幾列（輸入），下面幾列就會自動計算。
Excel 的 MOD 函數會傳回和這個計算機相同的「數學上的餘數」（大於或等於 0）。即使是負數，=MOD(-7,3) 也是 2。想知道 C、Java 方式的餘數時，請用第 1 個表格最後一列、把商往 0 方向捨去的 TRUNC。
第 1 個表格是 −7 除以 3 的例子，餘數是 2、商是 −3。
第 2 個表格是 38 ≡ 14 (mod 12) 的判定，差 24 的餘數是 0，所以顯示 TRUE（同餘）。
第 3 個表格是用反覆平方法求 7 的 100 次方除以 13 的餘數，答案是 9。「^」是次方的符號。Excel 的數值只能精確處理約 15 位數，所以模 n 超過 7 位數時，平方後的值會失去精確度。這時請使用這個頁面的計算機或 Python。
Excel 的 MOD 函數會傳回和這個計算機相同的「數學上的餘數」（大於或等於 0）。即使是負數，=MOD(-7,3) 也是 2。想知道 C、Java 方式的餘數時，請用第 1 個表格最後一列、把商往 0 方向捨去的 TRUNC。
第 1 個表格是 −7 除以 3 的例子，餘數是 2、商是 −3。
第 2 個表格是 38 ≡ 14 (mod 12) 的判定，差 24 的餘數是 0，所以顯示 TRUE（同餘）。
第 3 個表格是用反覆平方法求 7 的 100 次方除以 13 的餘數，答案是 9。「^」是次方的符號。Excel 的數值只能精確處理約 15 位數，所以模 n 超過 7 位數時，平方後的值會失去精確度。這時請使用這個頁面的計算機或 Python。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「a mod n（餘數）」的表格
| 被除數 a | -7 |
| 模（除數）n | 3 |
| 數學上的餘數（大於或等於 0） | =MOD(B1,B2) |
| 商（向下取整除法） | =INT(B1/B2) |
| 驗算 n×商＋餘數 | =B2*B4+B3 |
| C、Java 方式的餘數（往 0 方向捨去） | =B1-B2*TRUNC(B1/B2) |
「同餘判定 a ≡ b (mod n)」的表格
| 整數 a | 38 |
| 整數 b | 14 |
| 模 n | 12 |
| 差 a−b | =B1-B2 |
| 差除以 n 的餘數 | =MOD(B4,B3) |
| 判定（TRUE 表示同餘） | =MOD(B4,B3)=0 |
求「次方的餘數（反覆平方法）」的表格
| 底數 a | 7 |
| 指數 k | 100 |
| 模 n | 13 |
| a 的 1 次方的餘數 | =MOD(B1,B3) |
| a 的 2 次方的餘數（把上一列平方後取餘數） | =MOD(B4^2,$B$3) |
| a 的 4 次方的餘數 | =MOD(B5^2,$B$3) |
| a 的 8 次方的餘數 | =MOD(B6^2,$B$3) |
| a 的 16 次方的餘數 | =MOD(B7^2,$B$3) |
| a 的 32 次方的餘數 | =MOD(B8^2,$B$3) |
| a 的 64 次方的餘數 | =MOD(B9^2,$B$3) |
| 組合 100=64+32+4 的餘數 | =MOD(MOD(B10*B9,$B$3)*B6,$B$3) |
和 Excel 相同的公式（MOD、INT、TRUNC）可以直接使用。把整個表格複製後貼到 A1 儲存格，再把輸入改成您自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
a = -7
n = 3
# Python 的 % 會傳回和這個計算機相同的「數學上的餘數」（模為正數時大於或等於 0）
print(a % n) # 2
# divmod 會一起傳回向下取整除法的商和餘數（a = n × 商 + 餘數）
quotient, remainder = divmod(a, n)
print(quotient, remainder) # -3 2
# 同餘判定：38 ≡ 14 (mod 12) 是否成立（看差是不是 12 的倍數）
print((38 - 14) % 12 == 0) # True
# 次方的餘數：7 的 100 次方除以 13 的餘數
# pow 的 3 個引數版本用反覆平方法計算，即使指數很大也能瞬間算完
print(pow(7, 100, 13)) # 9
def c_style_mod(x, m):
# 和 C、Java、JavaScript 的 % 結果相同（把商往 0 方向捨去的方式）
r = x % m
if r != 0 and x < 0:
r -= m
return r
print(c_style_mod(-7, 3)) # -1
Python 的 % 運算子和數學上的餘數相同，除數是正數時，即使是負數也會傳回大於或等於 0 的值（-7 % 3 是 2）。次方的餘數使用 pow（底數，指數，模）的 3 個引數版本，內部會運作反覆平方法，即使是好幾萬位數的次方，也能只快速算出餘數。需要和 C、Java、JavaScript 的 % 相同的結果時，就像最後的函式一樣，加上把商往 0 方向捨去的修正。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
除法的基本式（餘數的定義）
a = n × q + r（0 ≤ r < n）
a = nq + r \quad (0 \le r < n)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>q</mi><mo>+</mo><mi>r</mi>
<mo>,</mo>
<mn>0</mn><mo>≤</mo><mi>r</mi><mo><</mo><mi>n</mi>
</mrow>
</math>
a = n q + r, \ 0 <= r < n
{Quotient[a, n], Mod[a, n]}
q := floor(a/n); r := a mod n;
q = floor(a/n); r = mod(a, n);
a = nq + r (0 ≤ r < n)
同餘式的定義（a ≡ b (mod n) 是什麼意思）
a ≡ b (mod n) ⇔ a − b = n × m
a \equiv b \pmod{n} \iff a - b = nm
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>≡</mo><mi>b</mi>
<mspace width="0.3em"/>
<mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
<mo>⇔</mo>
<mi>a</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>m</mi>
</mrow>
</math>
a -= b (mod n) iff a - b = n m
Mod[a - b, n] == 0
(a - b) mod n = 0;
mod(a - b, n) == 0
a ≡ b (mod n)
乘法與餘數的關係（次方餘數的基礎）
(a × b) mod n = {(a mod n) × (b mod n)} mod n
(a \times b) \bmod n = \{(a \bmod n)(b \bmod n)\} \bmod n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mo>{</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
<mo>}</mo>
<mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi>
</mrow>
</math>
(a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n
Mod[a b, n] == Mod[Mod[a, n] Mod[b, n], n]
(a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n;
mod(a*b, n) == mod(mod(a, n)*mod(b, n), n)
(a×b) mod n = ((a mod n)×(b mod n)) mod n
同餘式的性質（兩式相加、相減、相乘）
a ≡ b, c ≡ d (mod n) ⇒ a+c ≡ b+d, a−c ≡ b−d, a×c ≡ b×d (mod n)
a \equiv b,\ c \equiv d \pmod{n} \Rightarrow a + c \equiv b + d,\ a - c \equiv b - d,\ ac \equiv bd \pmod{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>≡</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi>
<mo>,</mo>
<mi>a</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>≡</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>d</mi>
<mo>,</mo>
<mi>a</mi><mi>c</mi><mo>≡</mo><mi>b</mi><mi>d</mi>
<mspace width="0.3em"/>
<mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a + c -= b + d, \ a - c -= b - d, \ a c -= b d (mod n)
Mod[a + c, n] == Mod[b + d, n] && Mod[a - c, n] == Mod[b - d, n] && Mod[a c, n] == Mod[b d, n]
(a + c) mod n = (b + d) mod n;
mod(a + c, n) == mod(b + d, n)
a + c ≡ b + d (mod n)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（整數的性質）計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（不要用心算或推測回答）。 請計算下列 3 題： 1. −7 除以 3 的數學上的餘數（取大於或等於 0 的值），以及這時的商 2. 38 ≡ 14 (mod 12) 是否成立（也要說明差是不是 12 的倍數） 3. 7 的 100 次方除以 13 的餘數（使用 pow(7, 100, 13)） 請用 Python 的 %、divmod、pow（底數，指數，模）計算，並列出計算所用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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