Modulo rekenmachine (a mod n, congruentie en rest van een macht)

Kies wat je wilt berekenen en vul gehele getallen in. Met “Rest bepalen” werken ook negatieve getallen en zie je het verschil tussen de wiskundige rest (0 of meer) en de %-operator in programmeertalen.

Wat wil je berekenen?

Geheel getal a

Geheel getal b (om mee te vergelijken)

Exponent k (macht)

Modulus n (deler)

Vul alleen gehele getallen in (geen kommagetallen of breuken). a, b en n mogen hooguit 30 cijfers hebben, de exponent k is 0 of meer met hooguit 9 cijfers en de modulus n is 1 of meer.

Resultaat en figuur

Kies links wat je wilt berekenen, vul gehele getallen in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier (is de modulus n tussen 2 en 24, dan toont een klokdiagram ook waar de rest terechtkomt).

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vind de rest van een geheel getal $a$ gedeeld door $n$. Ook negatieve getallen werken (bijvoorbeeld $-7$ gedeeld door $3$): je ziet de wiskundige rest ($0 \le r < n$) naast het resultaat van de %-operator in C, Java, JavaScript en soortgelijke talen (die negatief kan zijn)
Controleer of de congruentie $a \equiv b \pmod{n}$ klopt, met de reden erbij: is het verschil $a - b$ een veelvoud van $n$?
Bereken de exacte rest van een enorme macht, zoals $7^{100}$ gedeeld door $13$, met de stappen van herhaald kwadrateren (getallen die te groot zijn voor een gewone rekenmachine zijn geen probleem)
Bekijk de rest op een klokdiagram (de cirkel van mod $n$) en krijg een gevoel voor hoe resten steeds weer op dezelfde plekken uitkomen (de klok verschijnt als de modulus $n$ tussen 2 en 24 ligt)
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

De modulus $n$ is een geheel getal van 1 of meer. Vul $a$, $b$ en $n$ in met hooguit 30 cijfers en de exponent $k$ als geheel getal van 0 of meer met hooguit 9 cijfers.

Waarvoor is deze berekening handig?

Klok en kalender (welke dag van de week is het over N dagen?)

Op een klok is “14 uur is 2 uur ’s middags” precies de restberekening 14 mod 12 = 2. De dagen van de week werken net zo, op een klok die elke 7 dagen een hele ronde maakt. Is het vandaag bijvoorbeeld maandag, dan is de dag over 100 dagen “2 dagen na maandag”, want 100 mod 7 = 2. Dat is dus woensdag.
Zowel een papieren agenda als een kalenderapp koppelt datums met deze restberekening aan dagen van de week.

Controlecijfers die foute nummers opsporen (streepjescodes en ISBN’s)

Het laatste cijfer van een EAN-streepjescode op een product (13 cijfers) of van een ISBN-13 van een boek is een controlecijfer, gemaakt uit de andere cijfers met een restberekening. Bij EAN worden de cijfers om de beurt met 1 en 3 vermenigvuldigd en opgeteld, en het laatste cijfer wordt zo gekozen dat het totaal een veelvoud van 10 is, dus de rest bij deling door 10 is 0.
Typ je één cijfer verkeerd, dan klopt de rest niet meer, zodat kassa’s en webwinkels de fout meteen kunnen opsporen. Ook de elfproef bij het burgerservicenummer (BSN) werkt zo: een gewogen som moet door 11 deelbaar zijn. En het controlecijfer in creditcardnummers werkt op hetzelfde idee.

Versleuteling die het internet beschermt (RSA)

RSA, de bekendste publieke-sleutelversleuteling om bijvoorbeeld creditcardnummers veilig te versturen, gebruikt “de rest van een enorme macht” rechtstreeks in zijn berekeningen. Een macht modulo n kun je snel uitrekenen, maar van de uitkomst terugrekenen naar het oorspronkelijke getal is extreem moeilijk. Die eenrichtingseigenschap maakt het veilig.
Herhaald kwadrateren, waarvan de stand “Rest van een macht” op deze pagina de stappen laat zien, is de berekening die versleutelingssoftware elke dag uitvoert.

Alledaags programmeren (even of oneven, om de beurt in een lus)

Bij programmeren gebruik je de %-operator voortdurend: i % 2 laat even en oneven getallen zien, en i % n maakt een volgorde die elke n items opnieuw begint (de volgende speler kiezen in een beurtspel, terug naar de eerste dia na de laatste, enzovoort).
Zijn er negatieve getallen in het spel, dan geeft % per taal een andere uitkomst. Het helpt bij het zoeken naar fouten om het verschil te kennen tussen “de wiskundige rest en % in C en Java”.

Eerlijk verdelen en tellen wat er overblijft (uitdelen, inpakken)

Verdeel 63 potloden eerlijk over 12 leerlingen: ieder krijgt er 5 en er blijven er 3 over (63 = 12 × 5 + 3). Voorraad in dozen inpakken (hoeveel volle dozen van n en hoeveel er overblijven), mensen bij een feest in groepjes verdelen: elke situatie van “eerlijk verdelen en kijken wat er overblijft” is deze berekening.
De basisformule voor delen a = n × q + r brengt al die alledaagse situaties onder in één formule.

Formules en figuren

De basisformule voor delen (wat een rest is)

Klokdiagram (mod 12)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

$a$ $=$ $n$ $\times$ $q$ $+$ $r$

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ $a$: deeltal $=$ ① $n$: deler (modulus) $\times$ ② $q$: quotiënt $+$ ③ $r$: rest

De formule in woorden

① Neem de $n$: deler (modulus)

② vermenigvuldig die met het $q$: quotiënt

③ en tel er de $r$: rest (zo gekozen dat $0 \le r < n$)

④ bij op, dan krijg je weer het $a$: deeltal . Er is precies één manier om het zo te schrijven, en $r$ is “de rest van $a$ gedeeld door $n$” ($a \bmod n$)

Een eenvoudig voorbeeld

Deel 38 door 12 (dezelfde berekening als wanneer “38 uur” op een klok 2 uur wordt)

deeltal 38 $=$ deler 12 $\times$ quotiënt 3 $+$ rest 2

$38 = 12 \times 3 + 2$

$38 \bmod 12 = 2$

Het belangrijkste idee

In de wiskunde kies je de rest $r$ altijd in het bereik $0 \le r < n$. Dat geldt ook voor negatieve getallen. Om $-7$ door $3$ te delen, schrijf je $-7 = 3 \times (-3) + 2$: het quotiënt wordt naar het kleinere gehele getal ($-3$) afgerond, zodat de rest $2$ is (floor-deling). De %-operator in programmeertalen werkt echter per taal anders. In C, Java en JavaScript rondt -7% 3 het quotiënt af naar 0 (naar $-2$), dus is het resultaat $-1$ (de rest krijgt het teken van het deeltal). De %-operator in Python en Ruby en de functie REST in Excel geven de rest het teken van de deler, dus ze geven $2$, net als in de wiskunde. In programma’s die met de rest van negatieve getallen werken is dit verschil een veelvoorkomende bron van fouten, dus pas op.

Definitie van congruentie (wat a ≡ b (mod n) betekent)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

$a - b$ $=$ $n$ $\times$ $m$

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ $a - b$: verschil van de twee gehele getallen $=$ ① $n$: modulus $\times$ ② $m$: een geheel getal

De formule in woorden

① Als de $n$: modulus

② maal $m$: een geheel getal

③ precies gelijk is aan het $a - b$: verschil van de twee gehele getallen (dat wil zeggen: als het verschil een veelvoud van $n$ is), schrijf je $a \equiv b \pmod{n}$ en zeg je “$a$ en $b$ zijn congruent modulo $n$”

Een eenvoudig voorbeeld

38 en 14 zijn congruent modulo 12 ($38 \equiv 14 \pmod{12}$)

verschil (38 − 14 = 24) $=$ modulus 12 $\times$ geheel getal 2

$38 - 14 = 24 = 12 \times 2$

$38 \equiv 14 \pmod{12}$

Het belangrijkste idee

“Het verschil is een veelvoud van $n$” en “de resten bij deling door $n$ zijn gelijk” zeggen hetzelfde op twee manieren (inderdaad $38 \bmod 12 = 2$ en $14 \bmod 12 = 2$, dus de resten komen overeen). Daarom kun je een congruentie lezen als “een gelijkheid die alleen naar resten kijkt”. Denk aan een klok: 38 uur, 14 uur en 2 uur wijzen allemaal naar dezelfde plek op de wijzerplaat. De wereld van mod $n$ is een wijzerplaat waarop je na elke $n$ weer bij het begin bent, en congruente getallen zijn getallen die op dezelfde plek van die wijzerplaat uitkomen.

Vermenigvuldigen en resten (de basis voor de rest van een macht)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

$(a \times b) \bmod n$ $=$ $\{(a \bmod n) \times (b \bmod n)\} \bmod n$

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② rest van het product $=$ ① rest na het vermenigvuldigen van de twee resten

De formule in woorden

① De rest na het vermenigvuldigen van de twee resten

② is gelijk aan de rest van het product (je mag eerst elk getal vervangen door zijn rest en dan pas vermenigvuldigen)

Een eenvoudig voorbeeld

De rest van 38 × 15 gedeeld door 12 kun je vinden met alleen de twee resten, 2 en 3

rest van het product (38 × 15 = 570) $=$ rest 2 × rest 3 = 6

$38 \bmod 12 = 2,\quad 15 \bmod 12 = 3$

$2 \times 3 = 6$

$(38 \times 15) \bmod 12 = 570 \bmod 12 = 6$

Het belangrijkste idee

Dankzij deze eigenschap hoef je een grote vermenigvuldiging nooit af te maken: je kunt de getallen eerst vervangen door hun resten en die vermenigvuldigen. Een macht is herhaald vermenigvuldigen, dus je kunt de rest van zoiets als $7^{100}$ vinden door alleen de resten te volgen, zonder ooit het enorme getal uit te rekenen. Dit is de basis van herhaald kwadrateren (steeds kwadrateren en telkens de rest nemen, de exponent splitsen in een som van machten van 2 en de stukken vermenigvuldigen). De stand “Rest van een macht” van deze rekenmachine laat de stappen op die manier zien. Een macht heeft bovendien maar $n$ mogelijke resten, dus er komt vanzelf een rest terug die al eerder voorkwam, en daarna herhaalt alles zich in een cyclus. Het laatste cijfer van $7^{k}$ (de rest mod $10$) loopt bijvoorbeeld om de beurt door 7, 9, 3, 1. Zo’n cyclus vinden is een klassieke truc bij wiskundewedstrijden.

Rekenregels voor congruenties (optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van beide kanten)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

$a + c$ $\equiv$ $b + d$ $\pmod{n}$

$a - c$ $\equiv$ $b - d$ $\pmod{n}$

$a \times c$ $\equiv$ $b \times d$ $\pmod{n}$

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

① $a + c$: som van de linkerkanten $\equiv$ ② $b + d$: som van de rechterkanten $\pmod{n}$

$a - c$: verschil van de linkerkanten $\equiv$ $b - d$: verschil van de rechterkanten $\pmod{n}$

$a \times c$: product van de linkerkanten $\equiv$ $b \times d$: product van de rechterkanten $\pmod{n}$

De formule in woorden

① Als $a \equiv b$ en $c \equiv d \pmod{n}$, dan is de som, het verschil of het product van de linkerkanten

② nog steeds congruent met de som, het verschil of het product van de rechterkanten (je kunt congruenties optellen, aftrekken en vermenigvuldigen net als gewone vergelijkingen)

Een eenvoudig voorbeeld

Met $38 \equiv 2$ en $15 \equiv 3 \pmod{12}$ geldt:

38 + 15 = 53 $\equiv$ 2 + 3 = 5 $\pmod{12}$

$38 + 15 = 53 \equiv 5,\quad 2 + 3 = 5 \pmod{12}$

$38 \times 15 = 570 \equiv 6,\quad 2 \times 3 = 6 \pmod{12}$

Het belangrijkste idee

Het handige van deze eigenschap is dat je ook bij grote getallen eerst de resten kunt nemen en dan pas optelt, aftrekt of vermenigvuldigt. Delen mag niet zomaar. Zo klopt $6 \equiv 12 \pmod{6}$, maar als je beide kanten door 2 deelt, krijg je $3 \equiv 6 \pmod{6}$, en dat klopt niet (het verschil 3 is geen veelvoud van 6). Je mag beide kanten alleen delen als het getal waardoor je deelt en de modulus relatief priem zijn (hun grootste gemene deler is 1).

De rest van een geheel getal $a$ gedeeld door $n$ is de $r$ in de ene manier om $a = n \times q + r$ te schrijven met $0 \le r < n$. De congruentie $a \equiv b \pmod{n}$ zegt dat het verschil van $a$ en $b$ een veelvoud van $n$ is (met andere woorden: ze hebben dezelfde rest bij deling door $n$), en je mag congruenties optellen, aftrekken en vermenigvuldigen zoals vergelijkingen. Daardoor is zelfs de rest van een enorme macht snel te vinden met herhaald kwadrateren, waarbij je alleen de resten bijhoudt.

Symbolen en begrippen

Symbolen

$\equiv$	is congruent met	Het teken voor congruentie. Het is een gelijkheidsteken met drie streepjes in plaats van twee en betekent “gelijk in de wereld van de resten”, wat losser is dan “precies gelijk”.
$\bmod$ (mod)	mod	Afkorting van “modulus”, van het Latijnse woord modulus (een kleine maat). “$a \bmod n$” staat voor “de rest van $a$ gedeeld door $n$”, en “$\pmod{n}$” achter een vergelijking betekent “we rekenen modulo $n$”.
$a,\ b$	a, b	De gehele getallen waarvan je de resten bekijkt. In een congruentie zijn het de twee gehele getallen links en rechts. Letters vanaf het begin van het alfabet gebruik je van oudsher voor vaste getallen.
$n$	n	De modulus (het getal waardoor je deelt). De letter $n$, van “number” (getal), wordt vaak gebruikt. Op deze pagina is het een geheel getal van 1 of meer.
$q$	q	Het quotiënt, van de eerste letter van “quotiënt”. Bij het delen van een negatief getal wordt het quotiënt naar het kleinere gehele getal afgerond, zodat de rest 0 of meer is (floor-deling).
$r$	r	De rest, van de eerste letter van “remainder” (het Engelse woord voor rest). In de wiskunde kies je die altijd in het bereik $0 \le r < n$.
$m$	m	Het gehele getal in de definitie van congruentie dat zegt hoeveel keer de modulus in het verschil past. Het kan negatief of 0 zijn.
$a^{k}$	a tot de macht k	$a$ die $k$ keer met zichzelf is vermenigvuldigd (een macht). Het kleine getal $k$ rechtsboven is de exponent en geeft aan hoe vaak je vermenigvuldigt.
%	procent (als operator: mod)	De modulo-operator die in veel programmeertalen een rest bepaalt. Het is hetzelfde teken als het procentteken, maar het doet iets anders. In C, Java en JavaScript kan de uitkomst bij negatieve getallen verschillen van de wiskundige rest (zie het belangrijkste idee bij formulekaart 1).

Begrippen

rest (residu)	Wat er overblijft als een deling niet opgaat. “Residu” is een wat formelere naam voor hetzelfde. In de wiskunde is de rest altijd minstens $0$ en kleiner dan de deler.
quotiënt	Het gehele getal dat zegt hoe vaak je de deler kunt wegnemen. Het is de $q$ in de basisformule voor delen $a = n \times q + r$.
modulus	Het getal $n$ waardoor je deelt om de resten te krijgen waarmee je werkt. Op een wijzerplaat is het het aantal streepjes in één hele ronde. “Modulo 12” is een korte manier om te zeggen: “kijken naar de resten bij deling door 12”.
congruent	Twee gehele getallen zijn congruent modulo $n$ als ze dezelfde rest hebben bij deling door $n$. Dit is een begrip voor gehele getallen en iets anders dan congruente figuren in de meetkunde (zelfde vorm en afmetingen).
congruentie	Een bewering van de vorm $a \equiv b \pmod{n}$. Je kunt congruenties optellen, aftrekken en vermenigvuldigen zoals vergelijkingen, dus vraagstukken over resten los je op door te herschrijven. Het is een basisgereedschap van de getaltheorie, gebruikt bij wiskundewedstrijden en in de informatica.
veelvoud	Een getal dat je krijgt door een geheel getal met een ander geheel getal te vermenigvuldigen. “Het verschil is een veelvoud van de modulus” is de definitie van congruentie.
floor-deling	Een manier van delen waarbij het quotiënt naar het kleinere gehele getal wordt afgerond. Is de deler positief, dan is de rest 0 of meer, ook bij een negatief deeltal. De operator // in Python en de functie INTEGER in Excel werken zo.
modulo-operator	De %-operator die in programmeertalen een rest bepaalt. C, Java en JavaScript ronden het quotiënt af naar 0 (de rest krijgt het teken van het deeltal). Python en Ruby gebruiken floor-deling (de rest krijgt het teken van de deler, dus hij is 0 of meer als de modulus positief is).
herhaald kwadrateren	Een manier om de rest van een enorme macht met weinig vermenigvuldigingen te vinden: steeds kwadrateren en telkens de rest nemen, de exponent splitsen in een som van machten van 2 en de stukken vermenigvuldigen. Het heet in het Engels ook “exponentiation by squaring” of “square-and-multiply” en wordt onder meer gebruikt bij RSA-versleuteling.
restklasse	Het idee om gehele getallen in te delen naar hun rest bij deling door $n$. In de wereld van mod $n$ valt elk geheel getal in één van $n$ groepen, met rest $0$ tot $n-1$. Even en oneven getallen zijn de indeling naar de rest bij deling door 2.
periodiciteit	Het feit dat de resten van machten hetzelfde patroon herhalen. Er zijn maar $n$ mogelijke resten, dus er komt vanzelf een rest terug die al eerder voorkwam. De cyclus vinden bij opgaven over het laatste cijfer (mod 10) is een klassieker bij wiskundewedstrijden.
relatief priem	Twee gehele getallen zijn relatief priem als hun grootste gemene deler 1 is. Het komt voor in de voorwaarde om beide kanten van een congruentie door hetzelfde getal te mogen delen.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is terugkeren naar deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Delen met rest (groep 5-6, 8-10 jaar)	Een som als $17 \div 5 = 3$ rest $2$ kunnen uitrekenen Het kunnen controleren met “deler × quotiënt + rest = deeltal”
Veelvouden en delers (klas 1, 12-13 jaar)	Weten dat $24$ een veelvoud van $12$ is Weten wat de grootste gemene deler is (je hebt hem nodig voor de voorwaarde “relatief priem” bij het delen van een congruentie)
Negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Kunnen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met negatieve getallen (bijvoorbeeld $3 \times (-3) = -9$) Weten dat $-3$ op de getallenlijn kleiner is dan $-2$ (links ervan ligt)
Machten en exponenten (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat de exponent rechtsboven aangeeft hoe vaak je vermenigvuldigt, zoals in $3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ De rekenregels voor machten $a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}$ en $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ kunnen gebruiken (daarom werkt herhaald kwadrateren)
Delen met rest bij gehele getallen als formule (bovenbouw havo/vwo, 15-18 jaar)	Weten dat je een geheel getal $a$ gedeeld door een positief geheel getal $n$ op precies één manier kunt schrijven als $a = nq + r$ (met $0 \le r < n$) Het idee “gehele getallen indelen naar hun rest” al eens zijn tegengekomen (even en oneven getallen zijn de indeling naar de rest bij deling door 2)

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om a mod n te berekenen (de rest)

Deeltal a	-7
Modulus (deler) n	3
Wiskundige rest (0 of meer)	=REST(B1;B2)
Quotiënt (floor-deling)	=INTEGER(B1/B2)
Controle n × quotiënt + rest	=B2*B4+B3
Rest zoals in C/Java (afgerond naar 0)	=B1-B2*GEHEEL(B1/B2)

Tabel om a ≡ b (mod n) te controleren

Geheel getal a	38
Geheel getal b	14
Modulus n	12
Verschil a − b	=B1-B2
Rest van het verschil ÷ n	=REST(B4;B3)
Uitkomst (WAAR = congruent)	=REST(B4;B3)=0

Tabel om de rest van een macht modulo n te berekenen (herhaald kwadrateren)

Grondtal a	7
Exponent k	100
Modulus n	13
Rest van a^1	=REST(B1;B3)
Rest van a^2 (kwadrateer de rij erboven en neem de rest)	=REST(B4^2;$B$3)
Rest van a^4	=REST(B5^2;$B$3)
Rest van a^8	=REST(B6^2;$B$3)
Rest van a^16	=REST(B7^2;$B$3)
Rest van a^32	=REST(B8^2;$B$3)
Rest van a^64	=REST(B9^2;$B$3)
Rest gecombineerd voor 100 = 64 + 32 + 4	=REST(REST(B10B9;$B$3)B6;$B$3)

Na het plakken hoef je alleen de bovenste rijen (de invoer) aan te passen, dan worden de onderste rijen automatisch berekend.
De Excel-functie REST geeft dezelfde “wiskundige rest” (0 of meer) als deze rekenmachine. Ook bij negatieve getallen is =REST(-7;3) gelijk aan 2. Heb je de rest zoals in C/Java nodig, gebruik dan de laatste rij van de eerste tabel, die met GEHEEL het quotiënt naar 0 afrondt.
De eerste tabel deelt −7 door 3: de rest is 2 en het quotiënt is −3.
De tweede tabel controleert 38 ≡ 14 (mod 12). De rest van het verschil 24 is 0, dus er staat WAAR (congruent).
De derde tabel bepaalt met herhaald kwadrateren de rest van 7 tot de macht 100 gedeeld door 13. Het antwoord is 9. “^” is het machtsteken. Excel rekent maar tot ongeveer 15 cijfers exact, dus als de modulus n meer dan 7 cijfers heeft, verliezen de gekwadrateerde waarden precisie. Gebruik dan de rekenmachine op deze pagina of Python.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om a mod n te berekenen (de rest)

Deeltal a	-7
Modulus (deler) n	3
Wiskundige rest (0 of meer)	=REST(B1;B2)
Quotiënt (floor-deling)	=INTEGER(B1/B2)
Controle n × quotiënt + rest	=B2*B4+B3
Rest zoals in C/Java (afgerond naar 0)	=B1-B2*GEHEEL(B1/B2)

Tabel om a ≡ b (mod n) te controleren

Geheel getal a	38
Geheel getal b	14
Modulus n	12
Verschil a − b	=B1-B2
Rest van het verschil ÷ n	=REST(B4;B3)
Uitkomst (WAAR = congruent)	=REST(B4;B3)=0

Tabel om de rest van een macht modulo n te berekenen (herhaald kwadrateren)

Grondtal a	7
Exponent k	100
Modulus n	13
Rest van a^1	=REST(B1;B3)
Rest van a^2 (kwadrateer de rij erboven en neem de rest)	=REST(B4^2;$B$3)
Rest van a^4	=REST(B5^2;$B$3)
Rest van a^8	=REST(B6^2;$B$3)
Rest van a^16	=REST(B7^2;$B$3)
Rest van a^32	=REST(B8^2;$B$3)
Rest van a^64	=REST(B9^2;$B$3)
Rest gecombineerd voor 100 = 64 + 32 + 4	=REST(REST(B10B9;$B$3)B6;$B$3)

Dezelfde formules als in Excel (REST, INTEGER, GEHEEL) werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de invoer door je eigen getallen.

Berekenen met Python

a = -7
n = 3

# De %-operator van Python geeft dezelfde wiskundige rest als deze rekenmachine (0 of meer als de modulus positief is)
print(a % n)                 # 2

# divmod geeft het quotiënt van de floor-deling en de rest tegelijk (a = n × quotiënt + rest)
quotient, remainder = divmod(a, n)
print(quotient, remainder)   # -3 2

# congruentiecontrole: klopt 38 ≡ 14 (mod 12)? (kijk of het verschil een veelvoud van 12 is)
print((38 - 14) % 12 == 0)   # True

# rest van een macht: de rest van 7 tot de macht 100 gedeeld door 13
# pow met 3 argumenten gebruikt herhaald kwadrateren, dus het is meteen klaar, ook bij enorme exponenten
print(pow(7, 100, 13))       # 9

def c_style_mod(x, m):
    # zelfde resultaat als % in C, Java en JavaScript (quotiënt afgerond naar 0)
    r = x % m
    if r != 0 and x < 0:
        r -= m
    return r

print(c_style_mod(-7, 3))    # -1

De %-operator van Python komt overeen met de wiskundige rest. Is de deler positief, dan geeft hij een waarde van 0 of meer, ook bij negatieve getallen (-7% 3 is 2). Voor de rest van een macht rekent de vorm met 3 argumenten, pow(grondtal, exponent, modulus), intern met herhaald kwadrateren, dus hij vindt de rest snel, zelfs bij machten met tienduizenden cijfers. Heb je hetzelfde resultaat nodig als % in C, Java en JavaScript, voeg dan een correctie toe die het quotiënt naar 0 afrondt, zoals in de laatste functie.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

De basisformule voor delen (wat een rest is)

a = n × q + r (0 ≤ r < n)

a = nq + r \quad (0 \le r < n)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>q</mi><mo>+</mo><mi>r</mi>
    <mo>,</mo>
    <mn>0</mn><mo>&#x2264;</mo><mi>r</mi><mo>&lt;</mo><mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

a = n q + r, \ 0 <= r < n

{Quotient[a, n], Mod[a, n]}

q := floor(a/n); r := a mod n;

q = floor(a/n); r = mod(a, n);

a = nq + r (0 ≤ r < n)

Definitie van congruentie (wat a ≡ b (mod n) betekent)

a ≡ b (mod n)  ⇔  a − b = n × m

a \equiv b \pmod{n} \iff a - b = nm

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi>
    <mspace width="0.3em"/>
    <mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>m</mi>
  </mrow>
</math>

a -= b (mod n) iff a - b = n m

Mod[a - b, n] == 0

(a - b) mod n = 0;

mod(a - b, n) == 0

a ≡ b (mod n)

Vermenigvuldigen en resten (de basis voor de rest van een macht)

(a × b) mod n = {(a mod n) × (b mod n)} mod n

(a \times b) \bmod n = \{(a \bmod n)(b \bmod n)\} \bmod n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>&#xD7;</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
    <mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>{</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
    <mo>}</mo>
    <mspace width="0.3em"/><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

(a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n

Mod[a b, n] == Mod[Mod[a, n] Mod[b, n], n]

(a * b) mod n = ((a mod n) * (b mod n)) mod n;

mod(a*b, n) == mod(mod(a, n)*mod(b, n), n)

(a×b) mod n = ((a mod n)×(b mod n)) mod n

Rekenregels voor congruenties (optellen, aftrekken en vermenigvuldigen van beide kanten)

a ≡ b, c ≡ d (mod n) ⇒ a+c ≡ b+d, a−c ≡ b−d, a×c ≡ b×d (mod n)

a \equiv b,\ c \equiv d \pmod{n} \Rightarrow a + c \equiv b + d,\ a - c \equiv b - d,\ ac \equiv bd \pmod{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>a</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>d</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2261;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi>
    <mspace width="0.3em"/>
    <mo>(</mo><mi>mod</mi><mspace width="0.3em"/><mi>n</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

a + c -= b + d, \ a - c -= b - d, \ a c -= b d (mod n)

Mod[a + c, n] == Mod[b + d, n] && Mod[a - c, n] == Mod[b - d, n] && Mod[a c, n] == Mod[b d, n]

(a + c) mod n = (b + d) mod n;

mod(a + c, n) == mod(b + d, n)

a + c ≡ b + d (mod n)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor getaltheorie (eigenschappen van gehele getallen). Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord op basis van hoofdrekenen of gokken).

Bereken de volgende 3 vraagstukken.
1. De wiskundige rest van −7 gedeeld door 3 (gekozen als 0 of meer) en het quotiënt
2. Of 38 ≡ 14 (mod 12) klopt (laat ook zien of het verschil een veelvoud van 12 is)
3. De rest van 7 tot de macht 100 gedeeld door 13 (gebruik pow(7, 100, 13))

Gebruik in Python %, divmod en pow(grondtal, exponent, modulus) en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule

Kenmerken van DataChef

Eenvoudig en gratis

Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening

Geen registratie nodig

Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven

Veilig en betrouwbaar

Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt

Snel

Snelle laadtijden en snelle conversie

Zonder watermerk

Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist

Commercieel gebruik toegestaan

Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig

\(\equiv\)	is congruent met	Het teken voor congruentie. Het is een gelijkheidsteken met drie streepjes in plaats van twee en betekent “gelijk in de wereld van de resten”, wat losser is dan “precies gelijk”.
\(\bmod\) (mod)	mod	Afkorting van “modulus”, van het Latijnse woord modulus (een kleine maat). “\(a \bmod n\)” staat voor “de rest van \(a\) gedeeld door \(n\)”, en “\(\pmod{n}\)” achter een vergelijking betekent “we rekenen modulo \(n\)”.
\(a,\ b\)	a, b	De gehele getallen waarvan je de resten bekijkt. In een congruentie zijn het de twee gehele getallen links en rechts. Letters vanaf het begin van het alfabet gebruik je van oudsher voor vaste getallen.
\(n\)	n	De modulus (het getal waardoor je deelt). De letter \(n\), van “number” (getal), wordt vaak gebruikt. Op deze pagina is het een geheel getal van 1 of meer.
\(q\)	q	Het quotiënt, van de eerste letter van “quotiënt”. Bij het delen van een negatief getal wordt het quotiënt naar het kleinere gehele getal afgerond, zodat de rest 0 of meer is (floor-deling).
\(r\)	r	De rest, van de eerste letter van “remainder” (het Engelse woord voor rest). In de wiskunde kies je die altijd in het bereik \(0 \le r < n\).
\(m\)	m	Het gehele getal in de definitie van congruentie dat zegt hoeveel keer de modulus in het verschil past. Het kan negatief of 0 zijn.
\(a^{k}\)	a tot de macht k	\(a\) die \(k\) keer met zichzelf is vermenigvuldigd (een macht). Het kleine getal \(k\) rechtsboven is de exponent en geeft aan hoe vaak je vermenigvuldigt.
%	procent (als operator: mod)	De modulo-operator die in veel programmeertalen een rest bepaalt. Het is hetzelfde teken als het procentteken, maar het doet iets anders. In C, Java en JavaScript kan de uitkomst bij negatieve getallen verschillen van de wiskundige rest (zie het belangrijkste idee bij formulekaart 1).

Delen met rest (groep 5-6, 8-10 jaar)	Een som als \(17 \div 5 = 3\) rest \(2\) kunnen uitrekenen Het kunnen controleren met “deler × quotiënt + rest = deeltal”
Veelvouden en delers (klas 1, 12-13 jaar)	Weten dat \(24\) een veelvoud van \(12\) is Weten wat de grootste gemene deler is (je hebt hem nodig voor de voorwaarde “relatief priem” bij het delen van een congruentie)
Negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Kunnen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen met negatieve getallen (bijvoorbeeld \(3 \times (-3) = -9\)) Weten dat \(-3\) op de getallenlijn kleiner is dan \(-2\) (links ervan ligt)
Machten en exponenten (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat de exponent rechtsboven aangeeft hoe vaak je vermenigvuldigt, zoals in \(3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\) De rekenregels voor machten \(a^{m} \times a^{n} = a^{m+n}\) en \((a^{m})^{n} = a^{mn}\) kunnen gebruiken (daarom werkt herhaald kwadrateren)
Delen met rest bij gehele getallen als formule (bovenbouw havo/vwo, 15-18 jaar)	Weten dat je een geheel getal \(a\) gedeeld door een positief geheel getal \(n\) op precies één manier kunt schrijven als \(a = nq + r\) (met \(0 \le r < n\)) Het idee “gehele getallen indelen naar hun rest” al eens zijn tegengekomen (even en oneven getallen zijn de indeling naar de rest bij deling door 2)

Modulo rekenmachine (a mod n, congruentie en rest van een macht)

Inhoudsopgave

Wat je op deze pagina kunt doen

Waarvoor is deze berekening handig?

Formules en figuren

Symbolen en begrippen

Symbolen

Begrippen

Handig om vooraf te weten

Berekenen met Excel

Berekenen met Google Spreadsheets

Berekenen met Python

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Zo werkt het

Kenmerken van DataChef

Gerelateerde functies

Diofantische vergelijking ax + by = c oplossen met stappen

Lost ax + by = c op in gehele getallen, met de stappen van het algoritme van Euclides, de algemene oplossing en een filter voor alleen positieve oplossingen

Grootste gemene deler (ggd) berekenen

Berekent de grootste gemene deler van 2 of meer gehele getallen, met uitleg via priemfactoren en het algoritme van Euclides

Staartdeling berekenen (met rest, stap voor stap)

Deelt gehele getallen en kommagetallen met een staartdeling en laat elke stap zien (delen, vermenigvuldigen, aftrekken, naar beneden halen)

Aanbevolen

Kansrekening en willekeurige getallen

Gemiddelden en statistiek

Procenten en verhoudingen

Snelheid

Dichtheid en concentratie

Natuurkunde en elektriciteit

Eenheden omrekenen

Gehele getallen

Breuken, decimalen en afronden

Vergelijkingen en ongelijkheden

Veeltermen

Wortels

Machten en logaritmen

Complexe getallen

Functies en grafieken

Rijen

Vectoren

Matrices

Vlakke meetkunde

Ruimtemeetkunde

Datum en tijd

Financiën en economie

Online marketing en advertentiecijfers

Gezondheid en fitness

Sport

Weer

Informatica

Energie in huis en budget

Auto

Zonne-energie en batterijen

Wonen en klussen

Advertenties verwijderen