Abc-formule (kwadratische vergelijking oplossen met de discriminant)

Vul de coëfficiënten a, b en c van de kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 in. De vergelijking hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de coëfficiënten ook er direct in aanpassen. De abc-formule geeft de oplossingen, samen met de discriminant, het soort oplossingen en de stappen.

a (getal voor x²)

b (getal voor x)

c (constante term)

Je kunt kommagetallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 gebruiken. Ontbreekt een term, zoals in x² − 4 = 0, vul dan 0 in voor de coëfficiënt.

Resultaat en grafiek

Vul links de coëfficiënten a, b en c in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en grafieken
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de coëfficiënten \(a;\ b;\ c\) in en de abc-formule lost \(ax^2 + bx + c = 0\) meteen voor je op
Je ziet ook de waarde van de discriminant \(D = b^2 - 4ac\) en het soort oplossingen (twee verschillende reële oplossingen, een dubbele wortel of twee complexe oplossingen)
Zijn de oplossingen geen reële getallen, dan berekent de pagina toch de twee complexe oplossingen, zoals \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (een toegevoegd paar dat alleen verschilt in het teken van het imaginaire deel)
Coëfficiënten mogen kommagetallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn
Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Is a = 0, dan is de vergelijking niet kwadratisch en lost de pagina hem op als de lineaire vergelijking \(bx + c = 0\) (de oplossing is \(x = -c \div b\)). a en b mogen niet allebei 0 zijn.

Waarvoor is deze berekening handig?

De hoogte en tijd van een omhoog gegooide bal of een vuurpijl berekenen (natuurkunde en sport)

Gooi je een bal met 20 meter per seconde recht omhoog, dan is de hoogte na t seconden ongeveer \(20t - 5t^2\) meter (met de valversnelling vereenvoudigd tot 10 m/s²). “Wanneer is de bal 15 meter hoog?” betekent de kwadratische vergelijking \(-5t^2 + 20t - 15 = 0\) oplossen, en de abc-formule geeft t = 1 seconde en t = 3 seconden (één keer op weg omhoog en één keer op weg omlaag).
Van het ontwerpen van de hoogte waarop vuurwerk uiteenspat tot de baan van een basketbalschot: de beweging van alles wat gegooid wordt hangt samen met kwadratische vergelijkingen.

De afmetingen van een tuinbed of een perceel berekenen uit de oppervlakte (klussen en vastgoed)

“Ik wil een rechthoekig tuinbed met een oppervlakte van precies 28 m², dat 3 meter langer is dan breed.” Met x als breedte krijg je x(x + 3) = 28, oftewel x² + 3x − 28 = 0. De abc-formule geeft x = 4 en x = −7, maar een lengte kan niet negatief zijn, dus het bed is 4 meter breed en 7 meter lang.
In het echte leven hoort bij het gebruik van een kwadratische vergelijking deze laatste stap: kiezen welke van de twee oplossingen zinvol is (nagaan of elk antwoord logisch is).

Terugrekenen naar een samengestelde rente (geld)

Welk jaarlijks rendement maakt van € 10.000 in 2 jaar € 11.025 (rente op rente, een rekenvoorbeeld)? Met het rendement r geldt \(10.000(1 + r)^2 = 11.025\), wat te vereenvoudigen is tot \(r^2 + 2r - 0{,}1025 = 0\). De abc-formule geeft r = 0,05 en r = −2,05, en het getal dat als rente zinvol is, r = 0,05 (5% per jaar), is het antwoord.
Geldberekeningen waarbij je “twee keer met dezelfde factor vermenigvuldigt”, zoals samengestelde rente, leiden tot kwadratische vergelijkingen, zodat je vanuit een streefbedrag kunt terugrekenen naar het rendement dat je nodig hebt.

Bruggen en bogen ontwerpen (bouwkunde en civiele techniek)

De vorm van een boogbrug of van de kabel van een hangbrug wordt meestal ontworpen met een parabool, \(y = ax^2 + bx + c\). “Hoe ver van het midden is de hoogte boven de grond een bepaalde waarde?” uitrekenen is precies een kwadratische vergelijking oplossen.
Als ontwerpers en civiel ingenieurs de vorm van een constructie met formules vastleggen, is de abc-formule een van de basisgereedschappen.

De prijzen schatten waarbij de winst nul is (ondernemen)

“Als je de prijs verhoogt, stijgt de winst per stuk, maar er worden minder stuks verkocht.” In een eenvoudig model hiervan is de winst een kwadratische functie van de prijs. De prijzen waarbij de winst precies 0 is, zijn de oplossingen van die kwadratische vergelijking en geven een grove boven- en ondergrens voor de prijsstelling.
Echte markten zijn ingewikkelder, maar een eerste schatting van “waar de winstberg ophoudt” met een kwadratische vergelijking is een veelgebruikt beginpunt bij bedrijfsanalyse.

Formules en grafieken

De abc-formule

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{b^2 - 4ac}\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(x\): oplossing \(=\) \((\) ① \(-b\): tegengestelde van de coëfficiënt van \(x\) \(\pm\) ② \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): wortel uit de discriminant \()\) \(\div\) \((\) ③ \(2a\): tweemaal de coëfficiënt van \(x^2\) \()\)

De formule in woorden

① Neem \(-b\): tegengestelde van de coëfficiënt van \(x\)

② en tel er \(\sqrt{b^2 - 4ac}\): wortel uit de discriminant bij op en trek die er af (de twee kanten van ±),

③ deel beide uitkomsten door \(2a\): tweemaal de coëfficiënt van \(x^2\)

④ en je krijgt \(x\): oplossing (door ± zijn er meestal twee oplossingen)

Een eenvoudig voorbeeld

De oplossingen van de kwadratische vergelijking x² + 3x − 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = −4) zijn:

\(x\): oplossing \(=\) \((\) tegengestelde van \(b\) (−3) \(\pm\) wortel uit de discriminant 25 (5) \()\) \(\div\) \((\) tweemaal \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 1 \times (-4)}}{2 \times 1} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{25}}{2} = \dfrac{-3 \pm 5}{2}\)

\(x = \dfrac{-3 + 5}{2} = 1;\quad x = \dfrac{-3 - 5}{2} = -4\)

Het belangrijkste idee

De abc-formule is de “antwoordformule” die je krijgt als je \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)) helemaal oplost met kwadraat afsplitsen. Welke coëfficiënten je ook hebt, je vult alleen de waarden van \(a;\ b;\ c\) in om de oplossingen te krijgen. ± (plus of min) betekent dat “zowel optellen als aftrekken een oplossing geeft”, dus er zijn meestal twee oplossingen. Vergelijkingen die je ook kunt oplossen door te ontbinden in factoren, los je natuurlijk ook zo op, en de antwoorden zijn altijd gelijk.

De discriminant (laat zien welk soort oplossingen er zijn)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(D\) \(=\) \(b\) \(2\) \(-\) \(4\) \(\times\) \(a\) \(\times\) \(c\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

⑥ \(D\): discriminant \(=\) ① \(b\): coëfficiënt van \(x\) ② in het kwadraat \(-\) ③ het getal \(4\) \(\times\) ④ \(a\): coëfficiënt van \(x^2\) \(\times\) ⑤ \(c\): constante term

De formule in woorden

① Neem \(b\): coëfficiënt van \(x\)

② en kwadrateer dat. Trek daarvan het product af van

③ het getal \(4\)

④ \(a\): coëfficiënt van \(x^2\) en

⑤ \(c\): constante term

⑥ en je krijgt \(D\): discriminant

Een eenvoudig voorbeeld

De discriminant van x² + 3x − 4 = 0 (a = 1; b = 3; c = −4) is:

\(D\): discriminant \(=\) \(b\) (3) in het kwadraat \(-\) 4 \(\times\) \(a\) (1) \(\times\) \(c\) (−4)

\(D = 3^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\)

Het belangrijkste idee

De discriminant \(D\) is precies wat onder de √ staat in de abc-formule. Hij laat zien welk soort oplossingen je kunt verwachten voordat je ze uitrekent. - \(D > 0\): de wortel is een positief reëel getal, dus er zijn twee verschillende reële oplossingen (in de grafiek snijdt de parabool de x-as in twee punten) - \(D = 0\): de wortel is 0, dus er is een dubbele wortel, precies één reële oplossing (de parabool raakt de x-as) - \(D < 0\): het getal onder de √ is negatief, dus er is geen reële oplossing. Breiden we de getallen uit met imaginaire getallen, dan zijn er twee complexe oplossingen (de parabool komt de x-as niet tegen)

Dubbele wortel (als de discriminant \(D = 0\))

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \(-b\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(x\): dubbele wortel \(=\) ① \(-b\): tegengestelde van de coëfficiënt van \(x\) \(\div\) \((\) ② \(2a\): tweemaal de coëfficiënt van \(x^2\) \()\)

De formule in woorden

① Deel \(-b\): tegengestelde van de coëfficiënt van \(x\)

② door \(2a\): tweemaal de coëfficiënt van \(x^2\)

③ en je krijgt \(x\): dubbele wortel (dit is de enige oplossing)

Een eenvoudig voorbeeld

De oplossing van x² + 2x + 1 = 0 (a = 1; b = 2; c = 1; discriminant D = 4 − 4 = 0) is:

\(x\): dubbele wortel \(=\) tegengestelde van \(b\) (−2) \(\div\) \((\) tweemaal \(a\) (2) \()\)

\(D = 2^2 - 4 \times 1 \times 1 = 0\)

\(x = \dfrac{-2}{2 \times 1} = -1\)

Het belangrijkste idee

Is \(D = 0\), dan is \(\sqrt{0} = 0\), dus het deel “± √D” van de abc-formule verdwijnt en de twee oplossingen vallen samen tot één. Dat heet een dubbele wortel (of dubbele oplossing). Het gebeurt als het linkerlid te ontbinden is in een volkomen kwadraat, zoals \(x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2\).

Twee complexe oplossingen (als de discriminant \(D < 0\))

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \((\) \(-b\) \(\pm\) \(\sqrt{4ac - b^2}\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) \(2a\) \()\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

⑤ \(x\): twee complexe oplossingen \(=\) \((\) ① \(-b\): tegengestelde van de coëfficiënt van \(x\) \(\pm\) ② \(\sqrt{4ac - b^2}\): wortel uit \(4ac - b^2\) ③ \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) ④ \(2a\): tweemaal de coëfficiënt van \(x^2\) \()\)

De formule in woorden

① Neem \(-b\): tegengestelde van de coëfficiënt van \(x\)

② en tel er \(\sqrt{4ac - b^2}\): wortel uit het positieve getal \(4ac - b^2\) (de discriminant met omgekeerd teken) bij op en trek die er af,

③ beide keren maal de imaginaire eenheid \(i\) (het getal waarvan het kwadraat −1 is), de twee kanten van ±,

④ deel beide uitkomsten door \(2a\): tweemaal de coëfficiënt van \(x^2\)

⑤ en je krijgt \(x\): twee complexe oplossingen (een toegevoegd paar dat alleen verschilt in het teken van het imaginaire deel)

Een eenvoudig voorbeeld

De oplossingen van x² + x + 1 = 0 (a = 1; b = 1; c = 1; discriminant D = 1 − 4 = −3) zijn:

\(x\): twee complexe oplossingen \(=\) \((\) tegengestelde van \(b\) (−1) \(\pm\) wortel uit \(4ac - b^2 = 3\) \(\,i\) \()\) \(\div\) \((\) tweemaal \(a\) (2) \()\)

\(x = \dfrac{-1 \pm \sqrt{3}\,i}{2} \approx -0{,}5 \pm 0{,}866\,i\)

Het belangrijkste idee

Is \(D < 0\), dan is het getal onder de √ negatief. Geen enkel reëel getal geeft een negatief getal als je het kwadrateert, dus er is geen oplossing onder de reële getallen. Daarom voeren we de imaginaire eenheid \(i\) in, “het getal waarvan het kwadraat −1 is”. Dan kunnen we \(\sqrt{-3} = \sqrt{3}\,i\) schrijven en kunnen de oplossingen worden geschreven als twee complexe getallen. \(4ac - b^2\) is de discriminant \(b^2 - 4ac\) met omgekeerd teken en is altijd positief als \(D < 0\), dus je kunt er veilig de wortel uit trekken.

Als \(a = 0\) (het wordt een lineaire vergelijking)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(x\) \(=\) \(-c\) \(\div\) \(b\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(x\): oplossing van de lineaire vergelijking \(=\) ① \(-c\): tegengestelde van de constante term \(\div\) ② \(b\): coëfficiënt van \(x\)

De formule in woorden

① Deel \(-c\): tegengestelde van de constante term

② door \(b\): coëfficiënt van \(x\)

③ en je krijgt \(x\): oplossing van de lineaire vergelijking

Een eenvoudig voorbeeld

Bij a = 0 is de oplossing van 2x + 4 = 0 (b = 2; c = 4):

\(x\): oplossing van de lineaire vergelijking \(=\) tegengestelde van \(c\) (−4) \(\div\) \(b\) (2)

\(x = \dfrac{-4}{2} = -2\)

Het belangrijkste idee

Is \(a = 0\), dan verdwijnt de term met \(x^2\) en wordt de vergelijking de lineaire vergelijking \(bx + c = 0\), en dus niet kwadratisch. In de abc-formule staat \(2a\) in de noemer, dus daarin ga je uit van \(a \neq 0\). Deze rekenmachine ziet a = 0 niet als fout; ze lost de lineaire vergelijking op en geeft één oplossing (alleen als a en b allebei 0 zijn, is er geen vergelijking om op te lossen en krijg je een foutmelding).

De oplossingen van de kwadratische vergelijking ax² + bx + c = 0 krijg je door de coëfficiënten in te vullen in de abc-formule, x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a). Het teken van de discriminant D = b² − 4ac, het deel onder de √, laat al voor je gaat rekenen zien of er twee oplossingen zijn, één (een dubbele wortel) of complexe oplossingen.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(a, b, c\)	a, b, c	De coëfficiënten van de kwadratische vergelijking. \(a\) is het getal voor \(x^2\), \(b\) is het getal voor \(x\) en \(c\) is de constante term (de term met alleen een getal).
\(x\)	x	Het onbekende getal dat je wilt vinden als oplossing van de vergelijking. Een kwadratische vergelijking heeft ten hoogste twee oplossingen.
\(D\)	D (discriminant)	De discriminant, \(D = b^2 - 4ac\), met de eerste letter van “discriminant”. Sommige boeken schrijven hem met de Griekse letter \(\Delta\) (delta).
\(\sqrt{\phantom{9}}\)	wortel	Het teken voor “het getal, 0 of groter, waarvan het kwadraat het getal eronder is”. \(\sqrt{25} = 5\) en \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\).
\(\pm\)	plus of min	Een teken dat “zowel het +-geval als het −-geval” in één keer opschrijft. In de abc-formule betekent het dat zowel de som als het verschil een oplossing is.
\(i\)	i (imaginaire eenheid)	Het getal waarvan het kwadraat \(-1\) is (\(i^2 = -1\)). Je gebruikt het om de oplossingen op te schrijven als het getal onder de √ negatief is.
\(x_1, x_2\)	x één, x twee	Namen voor de twee oplossingen. Op deze pagina is de +-kant van ± gelijk aan \(x_1\) en de −-kant aan \(x_2\).

Begrippen

kwadratische vergelijking	Een vergelijking met een term met \(x^2\) (kwadraat). Je kunt haar schrijven in de vorm \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\)). Je leert haar in klas 3 (14-15 jaar).
coëfficiënt	Het getal voor een letter. In \(3x\) is de coëfficiënt 3. Let bij het aflezen van coëfficiënten op een weggelaten 1 en op tekens: \(x^2 - x = 0\) betekent a = 1, b = −1, c = 0.
oplossing	Een waarde van de letter waarvoor de vergelijking klopt. Een vergelijking “oplossen” betekent alle oplossingen vinden. De oplossingen van een kwadratische vergelijking heten ook wel wortels.
abc-formule	Een formule die de oplossingen van een kwadratische vergelijking direct uitrekent uit de coëfficiënten a, b en c. De kracht ervan is dat ze altijd werkt, ook als je niet ziet hoe je moet ontbinden.
discriminant	Het deel onder de √ in de abc-formule, \(b^2 - 4ac\). Alleen aan het teken zie je het soort oplossingen (twee reële oplossingen, een dubbele wortel of twee complexe oplossingen).
dubbele wortel	Een oplossing waarbij de twee oplossingen samenvallen tot één. Dat gebeurt als de discriminant 0 is, en in de grafiek raakt de parabool de x-as.
reële oplossing	Een oplossing die een reëel getal is (een getal op de gewone getallenlijn). Er zijn reële oplossingen als de discriminant 0 of groter is.
complexe oplossing	Een oplossing die geen reëel getal is en die je opschrijft met de imaginaire eenheid \(i\). Is de discriminant negatief, dan zijn de oplossingen een paar van de vorm “reëel deel ± imaginair deel \(i\)”, zoals \(-0{,}5 \pm 0{,}866i\) (toegevoegde complexe getallen). Op school leer je dat meestal pas in de bovenbouw van het vwo (16-18 jaar). In de onderbouw en op de havo zeg je bij een negatieve discriminant “geen reële oplossingen”.
kwadraat afsplitsen	Een vergelijking herschrijven in de vorm \((x + p)^2 = q\) (een kwadraat is gelijk aan een getal). Doe je dat helemaal met de letters a, b en c, dan vind je de abc-formule.
ontbinden in factoren	Een uitdrukking schrijven als een product. Kun je \(x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)\) ontbinden, dan vind je de oplossingen x = 1 en x = −4 zonder de abc-formule.
parabool	De vorm van de grafiek van \(y = ax^2 + bx + c\). De reële oplossingen van de kwadratische vergelijking zijn de x-coördinaten van de punten waar deze parabool de x-as snijdt (de nulpunten).

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina écht te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Rekenen met negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar)	Weten dat het kwadraat van een negatief getal positief is, zoals bij \((-5)^2 = 25\) Kunnen vermenigvuldigen met aandacht voor de tekens, zoals bij \(-4 \times 1 \times (-4) = +16\)
Wortels (klas 2–3, 13-15 jaar)	Een wortel begrijpen als “het getal waarvan het kwadraat dat getal is”, zoals bij \(\sqrt{25} = 5\) Weten dat een wortel die niet precies uitkomt, zoals \(\sqrt{2}\), als benaderd kommagetal kan worden geschreven
Kwadratische vergelijkingen (klas 3, 14-15 jaar)	Een vergelijking kunnen herschrijven in de vorm \(ax^2 + bx + c = 0\) en de coëfficiënten \(a;\ b;\ c\) met hun tekens kunnen aflezen Kunnen controleren dat bij een vergelijking die je ook kunt ontbinden de antwoorden overeenkomen met die van de abc-formule
Grafieken van kwadratische functies (klas 3, 14-15 jaar)	Weten dat de grafiek van \(y = ax^2 + bx + c\) een parabool is Je kunnen voorstellen dat de reële oplossingen “de x-coördinaten van de punten zijn waar de parabool de x-as snijdt”

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om twee reële oplossingen te vinden met de abc-formule (als D > 0)

Coëfficiënt a	1
Coëfficiënt b	3
Constante term c	-4
Discriminant D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Oplossing 1, x₁	=(-B2+WORTEL(B4))/(2*B1)
Oplossing 2, x₂	=(-B2-WORTEL(B4))/(2*B1)

Tabel om het soort oplossingen te bepalen met de discriminant

Coëfficiënt a	1
Coëfficiënt b	1
Constante term c	1
Discriminant D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Soort oplossingen	=ALS(B4>0;"Twee verschillende reële oplossingen";ALS(B4=0;"Dubbele wortel";"Twee complexe oplossingen"))

Tabel om de dubbele wortel te vinden (als D = 0)

Coëfficiënt a	1
Coëfficiënt b	2
Constante term c	1
Dubbele wortel x	=-B2/(2*B1)

Tabel om het reële en het imaginaire deel van de twee complexe oplossingen te vinden (als D < 0)

Coëfficiënt a	1
Coëfficiënt b	1
Constante term c	1
Reëel deel (−b ÷ 2a)	=-B2/(2*B1)
Imaginair deel (het deel met ±)	=WORTEL(4B1B3-B2^2)/ABS(2*B1)

Tabel om de oplossing te vinden als a = 0 (een lineaire vergelijking)

Coëfficiënt b	2
Constante term c	4
Oplossing x	=-B2/B1

Na het plakken zijn de bovenste rijen (de coëfficiënten a, b en c) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
“^2” betekent in het kwadraat en WORTEL( ) is de functie voor de wortel.
In de eerste tabel zie je bijvoorbeeld de discriminant 25, oplossing 1 = 1 en oplossing 2 = −4.
De WORTEL in de eerste tabel werkt alleen als D > 0 (is D < 0, dan krijg je een foutmelding; gebruik dan de vierde tabel, voor complexe oplossingen).

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om twee reële oplossingen te vinden met de abc-formule (als D > 0)

Coëfficiënt a	1
Coëfficiënt b	3
Constante term c	-4
Discriminant D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Oplossing 1, x₁	=(-B2+WORTEL(B4))/(2*B1)
Oplossing 2, x₂	=(-B2-WORTEL(B4))/(2*B1)

Tabel om het soort oplossingen te bepalen met de discriminant

Coëfficiënt a	1
Coëfficiënt b	1
Constante term c	1
Discriminant D = b² − 4ac	=B2^2-4B1B3
Soort oplossingen	=ALS(B4>0;"Twee verschillende reële oplossingen";ALS(B4=0;"Dubbele wortel";"Twee complexe oplossingen"))

Tabel om de dubbele wortel te vinden (als D = 0)

Coëfficiënt a	1
Coëfficiënt b	2
Constante term c	1
Dubbele wortel x	=-B2/(2*B1)

Tabel om het reële en het imaginaire deel van de twee complexe oplossingen te vinden (als D < 0)

Coëfficiënt a	1
Coëfficiënt b	1
Constante term c	1
Reëel deel (−b ÷ 2a)	=-B2/(2*B1)
Imaginair deel (het deel met ±)	=WORTEL(4B1B3-B2^2)/ABS(2*B1)

Tabel om de oplossing te vinden als a = 0 (een lineaire vergelijking)

Coëfficiënt b	2
Constante term c	4
Oplossing x	=-B2/B1

Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coëfficiënten door die van je eigen vergelijking.

Berekenen met Python

import math

a = 1.0   # coëfficiënt van x^2
b = 3.0   # coëfficiënt van x
c = -4.0  # constante term

if a == 0 and b == 0:
    print("Als a en b allebei 0 zijn, is er geen vergelijking om op te lossen")
elif a == 0:
    # Als a = 0, wordt het de lineaire vergelijking bx + c = 0
    print(f"Oplossing van de lineaire vergelijking: x = {-c / b}")
else:
    discriminant = b**2 - 4*a*c  # discriminant D
    print(f"Discriminant D = {discriminant}")
    if discriminant > 0:
        root = math.sqrt(discriminant)
        print(f"Twee verschillende reële oplossingen: x1 = {(-b + root) / (2*a)}, x2 = {(-b - root) / (2*a)}")
    elif discriminant == 0:
        print(f"Dubbele wortel: x = {-b / (2*a)}")
    else:
        real_part = -b / (2*a)
        imaginary_part = math.sqrt(-discriminant) / (2*abs(a))
        print(f"Twee complexe oplossingen: x = {real_part} ± {imaginary_part}i")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “**2” betekent in het kwadraat en math.sqrt( ) is de wortel. Pas a, b en c bovenaan aan naar de coëfficiënten van je eigen vergelijking en voer de code uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

De abc-formule

x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
          </mrow>
        </msqrt>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(b^2 - 4ac)) / (2a)

Solve[a*x^2 + b*x + c == 0, x]

solve(a*x^2 + b*x + c = 0, x);

x = roots([a b c]);

x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

De discriminant (laat zien welk soort oplossingen er zijn)

D = b² − 4ac

D = b^{2} - 4ac

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>D</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

D = b^2 - 4ac

b^2 - 4*a*c

d := b^2 - 4*a*c;

d = b^2 - 4*a*c;

D = b^2 - 4ac

Dubbele wortel (als de discriminant \(D = 0\))

x = −b ÷ (2a)

x = -\frac{b}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -b / (2a)

-b/(2*a)

x := -b/(2*a);

x = -b/(2*a);

x = -b/(2a)

Twee complexe oplossingen (als de discriminant \(D < 0\))

x = (−b ± √(4ac − b²) i) ÷ (2a)

x = \frac{-b \pm \sqrt{4ac - b^2}\,i}{2a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi>
        <mo>&#xB1;</mo>
        <msqrt>
          <mrow>
            <mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
            <mo>&#x2212;</mo>
            <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
          </mrow>
        </msqrt>
        <mi>i</mi>
      </mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (-b +- sqrt(4ac - b^2) i) / (2a)

{(-b + Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a), (-b - Sqrt[4*a*c - b^2]*I)/(2*a)}

x := [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*I)/(2*a)];

x = [(-b + sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a), (-b - sqrt(4*a*c - b^2)*1i)/(2*a)];

x = (-b ± √(4ac - b^2) i)/(2a)

Als \(a = 0\) (het wordt een lineaire vergelijking)

x = −c ÷ b

x = -\frac{c}{b}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac><mi>c</mi><mi>b</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

x = -c/b

-c/b

x := -c/b;

x = -c/b;

x = -c/b

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor wiskunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit hoofdrekenen of gokken).

Los de kwadratische vergelijking x² + 3x − 4 = 0 op met de abc-formule.
Laat elk van de volgende onderdelen zien:
1. De waarde van de discriminant D = b² − 4ac en het soort oplossingen dat daaruit volgt (twee verschillende reële oplossingen, een dubbele wortel of twee complexe oplossingen)
2. De waarden van de oplossingen x (zijn ze complex, geef ze dan in de vorm “reëel deel ± imaginair deel i”)
3. De stappen waarin je laat zien hoe de waarden in de abc-formule zijn ingevuld

Laat de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering zien.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule