Stelling van De Moivre (machten en n-demachtswortels van complexe getallen met stappen en een veelhoekgrafiek)
Kies wat je wilt vinden en vul dan het reële deel a en het imaginaire deel b van z = a + bi in, en het gehele getal n. De uitdrukking hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de getallen ook rechtstreeks daarin aanpassen.
Het reële en het imaginaire deel mogen decimale getallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn (een leeg veld telt als 0). n is een geheel getal van 1 tot 20 bij machten en van 2 tot 12 bij wortels.
Resultaat en figuur
Vul links de getallen in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een grafiek in het complexe vlak verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Bereken meteen de \(n\)-de macht \(z^n\) van een complex getal \(z = a + bi\) voor een geheel getal \(n\) (1 tot 20). Gebaseerd op de stelling van De Moivre \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\): in de stappen zie je één voor één de absolute waarde tot de macht, \(r^n\), en het argument keer \(n\), \(n\theta\)
- Het antwoord \(z^n\) staat altijd als exacte waarde met gehele getallen en breuken. Is het argument een bijzondere hoek (op een as of een veelvoud van 45°), dan gebruiken ook de stappen exacte goniometrische waarden
- In de modus “n-demachtswortels” toont de rekenmachine alle \(n\) complexe getallen \(w\) met \(w^n = z\) (de n-demachtswortels van \(z\)), voor \(k = 0\) tot \(n-1\) (\(n\) van 2 tot 12). Wortels die exact te schrijven zijn, staan als exacte waarde, zoals \(-1 + \sqrt{3}i\)
- Je ziet het resultaat ook in het complexe vlak. De n-demachtswortels verschijnen als een regelmatige veelhoek met \(n\) zijden, op gelijke afstanden op een cirkel met straal \(\sqrt[n]{r}\), en een macht verschijnt als de punten \(z\) en \(z^n\) met bogen voor hun argumenten
- De uitdrukking boven de invoervelden (MathLive) is aan de velden gekoppeld, dus je kunt de getallen in \(\left(1 + i\right)^{4}\) ook rechtstreeks aanpassen
Deze pagina behandelt de stelling van De Moivre. Het reële en het imaginaire deel mogen breuken of decimale getallen (rationale getallen) zijn; irrationale getallen zoals √3 kun je niet rechtstreeks invoeren. Het argument is dus alleen een exact deel van π als het punt op een as ligt of de hoek een veelvoud van 45° is (bij hoeken op basis van 30° en 60° is de verhouding van het reële en imaginaire deel een irrationaal getal zoals √3, en dat kan niet uit rationale invoer komen). Andere argumenten worden met decimale getallen benaderd, maar het antwoord op de macht zelf is de exacte waarde die je door herhaald vermenigvuldigen vindt.
Waarvoor is deze berekening handig?
De formules voor de dubbele en drievoudige hoek afleiden (wiskunde in de bovenbouw)
Neem \(n = 2\) of \(3\) in de stelling van De Moivre, werk de linkerkant uit en vergelijk het reële en het imaginaire deel. Zo krijg je in één keer de formules voor de dubbele en drievoudige hoek, zoals \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\) en \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\).
De kracht is dat je de formules uit deze stelling zelf kunt opbouwen in plaats van ze uit je hoofd te leren, en “leid met de stelling van De Moivre de formule voor de drievoudige hoek af” is een klassieke opgave. Het is een stelling met een prachtig uitzicht, die goniometrie en complexe getallen, twee onderwerpen die je apart hebt geleerd, aan elkaar knoopt.
Digitale verwerking van muziek en beelden (discrete fouriertransformatie)
Achter het luisteren naar muziek of het opslaan van een foto op je telefoon draait een berekening die de discrete fouriertransformatie heet en een signaal opsplitst in “hoeveel van elke golftoon erin zit”. Het hart van deze berekening zijn de \(n\)-de eenheidswortels: elke waarde van het signaal wordt vermenigvuldigd met een macht van een \(n\)-de eenheidswortel en de resultaten worden opgeteld.
Audiocompressie, beeldcompressie (de transformaties in JPEG), ruisverwijdering, spraakherkenning en andere technieken voor digitaal geluid en beeld zijn gebouwd op de “complexe getallen die een cirkel gelijkmatig verdelen” van deze pagina.
Driefasenstroom (opwekking, transport en motoren)
De driefasenwisselstroom die van centrales naar fabrieken en grote gebouwen wordt gestuurd, bestaat uit drie golven waarvan het tijdstip 120° van elkaar verschoven is. Met complexe getallen geschreven zijn die “verschuivingen van 120°” precies de derde eenheidswortels \(1,\ \omega,\ \omega^2\). De drie golven tellen op tot 0 (\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)), en die opheffing is precies de reden dat driefasenstroom bespaart op transportkabels.
Het ontwerp van het elektriciteitsnet en de besturing van fabrieksmotoren zijn gebouwd op deze eigenschap van de derde eenheidswortels.
De hoekpunten van een regelmatige veelhoek plaatsen (games, computergraphics en ontwerp)
In games en graphics zijn taken als “vijanden gelijkmatig rond een cirkel plaatsen”, “de hoekpunten van een radardiagram plaatsen” of “de streepjes op een wijzerplaat tekenen” niets anders dan de coördinaten \(\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n},\ \sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)\) vinden van de punten die een cirkel in \(n\) gelijke delen verdelen. Dat is precies de ligging van de \(n\)-de eenheidswortels.
Bij programmeren is vermenigvuldigen met een \(n\)-de eenheidswortel genoeg om “een punt naar het volgende hoekpunt te draaien”, dus het wordt gebruikt als eenvoudig hulpmiddel om dingen te draaien en gelijkmatig te verdelen.
Formules en figuren
Stelling van De Moivre
Figuur (op de eenheidscirkel, elke vermenigvuldiging telt θ op bij het argument)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
\(n\)
\(=\)
\(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
richting gegeven door het argument \(\theta\)
②
geheel getal \(n\)
\(=\)
③
richting gegeven door het argument keer \(n\)
De formule in woorden
①
Verhef het
richtingsdeel bij het argument \(\theta\), \(\cos\theta + i\sin\theta\)
②
tot de macht
geheel getal \(n\)
③
en je krijgt het
richtingsdeel bij het argument keer \(n\), \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
Een eenvoudig voorbeeld
Het richtingsdeel voor \(\theta = \dfrac{\pi}{6}\) (30°) tot de derde macht verheffen verdrievoudigt het argument tot \(\dfrac{\pi}{2}\) (90°):
\(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
3
\(=\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{3} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 \times i = i\)
Het belangrijkste idee
Deze stelling berust op de regel voor vermenigvuldigen in poolvorm: “vermenigvuldig de absolute waarden, tel de argumenten op”. Vermenigvuldig het complex getal \(\cos\theta + i\sin\theta\), waarvan de absolute waarde 1 is, \(n\) keer met zichzelf en \(\theta\) wordt \(n\) keer opgeteld, wat het argument \(n\theta\) geeft. Meer zegt de stelling niet.
Even controleren: \(i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\) (de richting van 90°) kwadrateren verdubbelt het argument tot \(\pi\) (180°) en geeft \(\cos\pi + i\sin\pi = -1\). Dat is precies \(i^2 = -1\). Het idee “vermenigvuldigen met \(i\) is een draaiing over 90°” in het complexe vlak wordt door deze stelling uitgebreid naar elke hoek.
De stelling geldt ook als \(n\) een negatief geheel getal is (\(n = -1\) is een draaiing in de tegenovergestelde richting). De rekenmachine op deze pagina werkt met positieve gehele getallen.
De \(n\)-de macht van een complex getal
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(z^{n}\)
\(=\)
\(r^{n}\)
\(\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(z\) tot de \(n\)-de macht
\(=\)
①
absolute waarde \(r\) tot de \(n\)-de macht
②
richting gegeven door het argument keer \(n\)
De formule in woorden
①
Neem de
absolute waarde \(r\) tot de \(n\)-de macht
(de afstand tot de oorsprong)
②
vermenigvuldig die met het
richtingsdeel bij het argument keer \(n\), \(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
③
en je krijgt de
\(n\)-de macht van \(z\), \(z^n\)
Een eenvoudig voorbeeld
De 4e macht van \(z = 1 + i\) (absolute waarde \(r = \sqrt{2}\), argument \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\), oftewel 45°) is
\(\left(1 + i\right)^{4}\)
\(=\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{4}\)
\(\cos\pi + i\sin\pi\)
\(r^{4} = \left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4\)
\(4\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi\)
\(z^{4} = 4\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 4 \times \left(-1\right) = -4\)
Het belangrijkste idee
“Verhef de absolute waarde tot de \(n\)-de macht en vermenigvuldig het argument met \(n\).” Werk die twee apart uit en je hebt de \(n\)-de macht in één keer.
Reken je dezelfde \(\left(1 + i\right)^4\) uit in cartesische vorm, dan moet je steeds opnieuw uitwerken: eerst \(\left(1 + i\right)^2 = 2i\), en dan dat kwadrateren. Een 4e macht lukt nog met de hand, maar voor een 10e of 20e macht is uitwerken bijna onmogelijk. In poolvorm bereken je alleen \(\left(\sqrt{2}\right)^{10}\) en \(10 \times 45^{\circ}\), en het werk verandert nauwelijks welke macht je ook neemt. Dat is het grootste voordeel van deze stelling.
De \(n\)-demachtswortels van een complex getal
Figuur (derdemachtswortels van 8: een gelijkzijdige driehoek op gelijke afstanden op een cirkel met straal 2)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(w_{k}\)
\(=\)
\(\sqrt[n]{r}\)
\(\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(k\)-de \(n\)-demachtswortel van \(z\)
\(=\)
①
\(n\)-demachtswortel van de absolute waarde \(r\) (straal van de cirkel)
②
richting: argument plus \(k\) hele draaiingen, gedeeld door \(n\)
De formule in woorden
①
Neem de
\(n\)-demachtswortel van de absolute waarde, \(\sqrt[n]{r}\)
(de straal van de cirkel waarop alle wortels liggen)
②
vermenigvuldig die met het
richtingsdeel bij het argument \(\theta\) plus \(k\) hele draaiingen (elk \(2\pi\)), gedeeld door \(n\)
③
en je krijgt de
\(k\)-de \(n\)-demachtswortel van \(z\), \(w_k\)
(laat je \(k\) de waarden \(0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\) doorlopen, dan krijg je alle \(n\) wortels)
Een eenvoudig voorbeeld
De derdemachtswortels van \(z = 8\) (absolute waarde \(r = 8\), argument \(\theta = 0\)), met straal \(\sqrt[3]{8} = 2\), zijn
derdemachtswortel \(w_k\)
\(=\)
straal \(2\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(w_{0} = 2\left(\cos 0 + i\sin 0\right) = 2\)
\(w_{1} = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
\(w_{2} = 2\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
Het belangrijkste idee
Waarom zijn er precies \(n\) wortels? De sleutel is dat een hele draaiing (\(2\pi\)) bij een argument optellen dezelfde richting geeft. Het argument van \(z\) kun je schrijven als \(\theta\), als \(\theta + 2\pi\) of als \(\theta + 4\pi\). Om \(n\)-demachtswortels te vinden deel je het argument door \(n\), dus die verschillende schrijfwijzen worden verschillende richtingen: \(\dfrac{\theta}{n},\ \dfrac{\theta + 2\pi}{n},\ \dfrac{\theta + 4\pi}{n},\ \ldots\). Als \(k\) bij \(n\) komt, ben je precies één hele draaiing verder en weer op hetzelfde punt als bij \(k = 0\), dus er zijn precies \(n\) verschillende punten.
Naburige wortels verschillen altijd \(\dfrac{2\pi}{n}\) in argument (één hele draaiing in \(n\) gelijke delen), dus de \(n\) wortels liggen op gelijke afstanden op dezelfde cirkel. De \(n\)-demachtswortels zijn dus de hoekpunten van een regelmatige veelhoek met \(n\) zijden. Daarom verschijnt in de grafiek van deze rekenmachine altijd een regelmatige veelhoek.
De \(n\)-de eenheidswortels
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(z_{k}\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(k\)-de \(n\)-demachtswortel van 1
\(=\)
①
\(k\)-de richting als een hele draaiing in \(n\) gelijke delen wordt gesplitst
De formule in woorden
①
Verdeel een hele draaiing van de cirkel met straal 1 in \(n\) gelijke delen. De
\(k\)-de richting, \(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
②
is de
\(k\)-de \(n\)-demachtswortel van 1, \(z_k\)
(er zijn er \(n\), voor \(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\))
Een eenvoudig voorbeeld
De derdemachtswortels van 1 (de complexe getallen met \(z^3 = 1\)) verdelen een hele draaiing van de eenheidscirkel in 3 gelijke delen:
derdemachtswortel \(z_k\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(z_{0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\)
\(z_{1} = \cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(z_{2} = \cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
Het belangrijkste idee
\(z = 1\) heeft absolute waarde \(1\) en argument \(0\), dus dit is het bijzondere geval \(r = 1,\ \theta = 0\) van de formule voor \(n\)-demachtswortels hierboven. Alle wortels liggen op de eenheidscirkel (de cirkel met straal 1) en vormen een regelmatige veelhoek met \(n\) zijden waarvan \(z_0 = 1\) een hoekpunt is.
De imaginaire derdemachtswortel van 1 (\(z_1\) hierboven) heet \(\omega\) (omega), een geliefd onderwerp in verdiepende cursussen en wiskundewedstrijden. Er geldt \(\omega^3 = 1\) en \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\), en \(z_2 = \omega^2 = \overline{\omega}\).
Ook is de som van alle \(n\) \(n\)-demachtswortels van 1 gelijk aan \(0\) (voor \(n \ge 2\)). Dat is meetkundig logisch: de hoekpunten van de regelmatige veelhoek liggen gelijkmatig rond de oorsprong, dus hun zwaartepunt ligt precies in de oorsprong.
De stelling van De Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), krijg je door “vermenigvuldigen van complexe getallen telt hun argumenten op” \(n\) keer te herhalen. Daarmee volgt de \(n\)-de macht van een complex getal in één stap: verhef de absolute waarde tot de \(n\)-de macht en vermenigvuldig het argument met \(n\). Omgekeerd gebruikt geeft ze alle \(n\) \(n\)-demachtswortels: neem de \(n\)-demachtswortel van de absolute waarde en deel het argument door \(n\) (nadat je \(k\) hele draaiingen hebt opgeteld). Het mooiste is het plaatje: de \(n\)-demachtswortels vormen een regelmatige veelhoek op een cirkel.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(i\) | i | De imaginaire eenheid, het getal waarvan het kwadraat \(-1\) is (\(i^2 = -1\)). De letter komt van “imaginair”. |
| \(z\) | z | De letter die meestal voor een complex getal wordt gebruikt. Volgens de gewoonte gebruik je \(z\) en \(w\) voor complexe getallen, om ze te onderscheiden van de reële variabelen \(x\) en \(y\). |
| \(w\) | w | Op deze pagina de letter voor een \(n\)-demachtswortel van \(z\) (een complex getal met \(w^n = z\)). Het volgt de gewoonte om \(w\), de letter vlak vóór \(z\) in het alfabet, te gebruiken voor een tweede complex getal. |
| \(a,\ b\) | a, b | Het reële deel (\(a\)) en het imaginaire deel (\(b\)) van \(z = a + bi\). Beide zijn reële getallen. In het complexe vlak is \(a\) de positie naar rechts (langs de reële as) en \(b\) de positie omhoog (langs de imaginaire as). |
| \(r\) | r | De letter voor de absolute waarde (de afstand van de oorsprong tot het punt \(z\)). Die komt van “radius” (straal). In poolvorm is het een reëel getal dat 0 of groter is. |
| \(\theta\) | theta | De Griekse letter voor het argument. In de wiskunde is dat de gebruikelijke letter voor een hoek. |
| \(n\) | n | Op deze pagina het gehele getal dat de exponent van een macht is (welke macht) of de graad van een wortel (welke wortel). De letter komt van “number” (aantal). |
| \(k\) | k | De letter die de \(n\)-demachtswortels nummert (van \(0\) tot \(n-1\)). Tellende letters zijn meestal \(i,\ j,\ k\), maar bij complexe getallen wordt \(i\) gemakkelijk verward met de imaginaire eenheid, dus \(k\) is de gebruikelijke keuze. |
| \(\sqrt[n]{\ }\) | n-demachtswortel | Het teken voor de \(n\)-demachtswortel. \(\sqrt[3]{8} = 2\) zegt “het positieve getal waarvan de derde macht 8 is, is 2”. Het kleine getal linksboven is de graad van de wortel; zonder getal is het een vierkantswortel. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | cosinus theta, sinus theta | Goniometrische functies. Op de cirkel met straal 1 (de eenheidscirkel) heeft het punt in de richting van hoek \(\theta\) de horizontale positie \(\cos\theta\) en de verticale positie \(\sin\theta\). In poolvorm zijn dit het deel dat de richting geeft. |
| \(\pi\) | pi | De verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn middellijn (ongeveer 3,14159). In radialen is een halve draaiing, \(180^{\circ}\), precies \(\pi\) en een hele draaiing \(2\pi\). De Griekse letter \(\pi\) komt naar verluidt van de eerste letter van het Griekse woord voor “omtrek”. |
| \(\omega\) | omega | De gebruikelijke letter voor de imaginaire derdemachtswortel van 1 (\(\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)). Er geldt \(\omega^3 = 1\) en \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\). Het is de laatste letter van het Griekse alfabet en wordt veel gebruikt voor eenheidswortels. |
Begrippen
| complex getal | Een getal van de vorm \(a + bi\), waarbij \(a\) en \(b\) reële getallen zijn. Het is een getalsysteem dat de reële en imaginaire getallen samenbrengt. |
| imaginaire eenheid | Het getal \(i\) waarvan het kwadraat \(-1\) is. Geen enkel reëel getal heeft een negatief kwadraat, dus het is als nieuw getal ingevoerd. |
| complexe vlak | Het vlak waarin \(a + bi\) wordt getoond als het punt \((a;\ b)\). De horizontale as is de reële as en de verticale as is de imaginaire as. Een tekening ervan heet ook wel een Argand-diagram. |
| poolvorm (goniometrische vorm) | Een complex getal schrijven met zijn afstand \(r\) tot de oorsprong en zijn draaiingshoek \(\theta\) vanaf de reële as, als \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Ook wel goniometrische vorm genoemd. De stelling van De Moivre gaat over complexe getallen in deze vorm. |
| absolute waarde (modulus) | De afstand van de oorsprong tot het punt \(z\), berekend als \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Bij de \(n\)-de macht wordt de absolute waarde tot de \(n\)-de macht verheven (\(r^n\)). |
| argument | De hoek van de richting van de oorsprong naar het punt \(z\), tegen de klok in gemeten vanaf de positieve reële as. Een hele draaiing (\(2\pi\)) erbij optellen geeft dezelfde richting, dus volgens afspraak geef je het antwoord in het bereik \(0 \le \theta < 2\pi\). Bij de \(n\)-de macht wordt het argument met \(n\) vermenigvuldigd (\(n\theta\)). |
| machtsverheffen | Hetzelfde getal steeds opnieuw met zichzelf vermenigvuldigen. \(z^4\) is \(z\) 4 keer met zichzelf vermenigvuldigd. Het kleine getal rechtsboven is de exponent. |
| n-demachtswortel | Een getal waarvan de \(n\)-de macht het gegeven getal is. Onder de complexe getallen heeft elk complex getal dat niet 0 is precies \(n\) \(n\)-demachtswortels (onder de reële getallen heeft 8 maar één derdemachtswortel, 2, maar onder de complexe getallen zijn het er drie). |
| eenheidswortel (eenheidswortels) | De complexe getallen met \(z^n = 1\). Het zijn de \(n\) punten die de eenheidscirkel in \(n\) gelijke delen verdelen, en ze vormen een regelmatige veelhoek met \(n\) zijden waarvan \(1\) een hoekpunt is. (“Eenheid” is een ander woord voor 1.) |
| stelling van De Moivre | De stelling \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), genoemd naar de in Frankrijk geboren wiskundige Abraham de Moivre. Ze is het resultaat van \(n\) keer herhalen van “vermenigvuldigen telt de argumenten op”. |
| eenheidscirkel | De cirkel met straal 1 en de oorsprong als middelpunt. Elk complex getal met absolute waarde 1 (een getal van de vorm \(\cos\theta + i\sin\theta\)) ligt op deze cirkel. |
| regelmatige veelhoek | Een veelhoek waarvan alle zijden even lang zijn en alle hoeken even groot (een gelijkzijdige driehoek, een vierkant, een regelmatige vijfhoek enzovoort). De \(n\) punten van de \(n\)-demachtswortels liggen op gelijke afstanden op een cirkel, dus ze zijn de hoekpunten van een regelmatige veelhoek met \(n\) zijden. |
| bijzondere hoek (bijzondere hoeken) | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) en verwante hoeken (deze plus veelvouden van \(90^{\circ}\)). Hun goniometrische waarden kun je exact schrijven, als \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) en \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), en de meeste opgaven in boeken en toetsen gebruiken deze hoeken. |
| radiaal (radialen) | Een hoek meten met de lengte van de boog die hij afsnijdt op een cirkel met straal 1. \(180^{\circ} = \pi\) radialen en een hele draaiing is \(2\pi\) radialen. In de wiskunde zijn radialen de standaardeenheid in plaats van graden. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Wortels (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Rekenregels voor machten (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Complexe getallen |
|
| Goniometrie en de eenheidscirkel (klas 3-4, 14-16 jaar) |
|
| Radialen (havo/vwo 4, 15-16 jaar) |
|
| Het complexe vlak en de poolvorm |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor de n-de macht van een complex getal
| Reëel deel a | 1 |
| Imaginair deel b | 1 |
| Exponent n | 4 |
| z tot de n-de macht | =C.MACHT(COMPLEX(B1;B2);B3) |
| Absolute waarde tot de n-de macht r^n | =C.ABS(COMPLEX(B1;B2))^B3 |
| Argument keer n, nθ (radialen) | =B3*C.ARGUMENT(COMPLEX(B1;B2)) |
Tabel voor de k-de n-demachtswortel van een complex getal
| Reëel deel a | 8 |
| Imaginair deel b | 0 |
| Graad van de wortel n | 3 |
| Nummer van de wortel k (0 tot n−1) | 1 |
| Straal van de wortelcirkel | =C.ABS(COMPLEX(B1;B2))^(1/B3) |
| Argument van de k-de wortel (radialen) | =(REST(C.ARGUMENT(COMPLEX(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Reëel deel van de k-de wortel | =B5*COS(B6) |
| Imaginair deel van de k-de wortel | =B5*SIN(B6) |
Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
In de eerste tabel maakt COMPLEX(reëel deel; imaginair deel) een complex getal, en C.MACHT geeft de macht terug als tekst zoals “-4”. Voor het voorbeeld z = 1 + i en n = 4 is z tot de n-de macht bijna precies -4 (door afrondingsfouten van drijvendekommagetallen kan een klein imaginair deel verschijnen), r^n = 4 en nθ = π ≈ 3,14159.
De tweede tabel vindt één wortel, de k-de. C.ARGUMENT geeft het argument terug (groter dan −π en maximaal π), dus REST maakt er eerst een waarde van vanaf 0 tot (maar niet tot en met) 2π van; daarna worden k hele draaiingen opgeteld en wordt het resultaat door n gedeeld. Voor het voorbeeld z = 8, n = 3 en k = 1 is de straal 2 en het argument 2π/3 ≈ 2,0944, dus het reële deel = −1 en het imaginaire deel ≈ 1,7320508 (= √3). Verander k in 0, 1 en 2 om alle drie de wortels te krijgen.
Excel geeft decimale getallen; wil je exacte waarden met wortels of breuken, gebruik dan de rekenmachine op deze pagina.
In de eerste tabel maakt COMPLEX(reëel deel; imaginair deel) een complex getal, en C.MACHT geeft de macht terug als tekst zoals “-4”. Voor het voorbeeld z = 1 + i en n = 4 is z tot de n-de macht bijna precies -4 (door afrondingsfouten van drijvendekommagetallen kan een klein imaginair deel verschijnen), r^n = 4 en nθ = π ≈ 3,14159.
De tweede tabel vindt één wortel, de k-de. C.ARGUMENT geeft het argument terug (groter dan −π en maximaal π), dus REST maakt er eerst een waarde van vanaf 0 tot (maar niet tot en met) 2π van; daarna worden k hele draaiingen opgeteld en wordt het resultaat door n gedeeld. Voor het voorbeeld z = 8, n = 3 en k = 1 is de straal 2 en het argument 2π/3 ≈ 2,0944, dus het reële deel = −1 en het imaginaire deel ≈ 1,7320508 (= √3). Verander k in 0, 1 en 2 om alle drie de wortels te krijgen.
Excel geeft decimale getallen; wil je exacte waarden met wortels of breuken, gebruik dan de rekenmachine op deze pagina.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor de n-de macht van een complex getal
| Reëel deel a | 1 |
| Imaginair deel b | 1 |
| Exponent n | 4 |
| z tot de n-de macht | =C.MACHT(COMPLEX(B1;B2);B3) |
| Absolute waarde tot de n-de macht r^n | =C.ABS(COMPLEX(B1;B2))^B3 |
| Argument keer n, nθ (radialen) | =B3*C.ARGUMENT(COMPLEX(B1;B2)) |
Tabel voor de k-de n-demachtswortel van een complex getal
| Reëel deel a | 8 |
| Imaginair deel b | 0 |
| Graad van de wortel n | 3 |
| Nummer van de wortel k (0 tot n−1) | 1 |
| Straal van de wortelcirkel | =C.ABS(COMPLEX(B1;B2))^(1/B3) |
| Argument van de k-de wortel (radialen) | =(REST(C.ARGUMENT(COMPLEX(B1;B2));2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| Reëel deel van de k-de wortel | =B5*COS(B6) |
| Imaginair deel van de k-de wortel | =B5*SIN(B6) |
Dezelfde functies voor complexe getallen als in Excel (COMPLEX, C.MACHT, C.ABS en C.ARGUMENT) werken ongewijzigd. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen door je eigen getallen.
Berekenen met Python
import cmath
import math
# n-de macht van een complex getal (geeft hetzelfde resultaat als de stelling van De Moivre)
z = complex(1, 1) # z = 1 + i
n = 4
z_power = z ** n
print(f"z tot de macht {n} = {z_power}")
# Onderdelen van de poolvorm (absolute waarde en argument)
absolute_value, argument = cmath.polar(z) # r en θ (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # verplaats het naar het bereik 0 ≤ θ < 2π
print(f"Absolute waarde r = {absolute_value}")
print(f"Argument θ = {argument} rad")
# n-demachtswortels van een complex getal (alle n, k = 0 tot n−1)
z = complex(8, 0) # z = 8
n = 3
radius = abs(z) ** (1 / n)
theta = cmath.phase(z) % (2 * math.pi)
for k in range(n):
angle = (theta + 2 * math.pi * k) / n
w = cmath.rect(radius, angle)
print(f"w_{k} = {w}")
Met complex(reëel deel, imaginair deel) maak je een complex getal en met ** verhef je dat rechtstreeks tot een macht. De eerste helft berekent de 4e macht van z = 1 + i en geeft als uitvoer (-4+0j), de absolute waarde r = 1,4142135623730951 (een benadering van √2) en het argument θ = 0,7853981633974483 rad (een benadering van π/4). De tweede helft berekent de derdemachtswortels van z = 8 en geeft drie wortels: w_0 = (2+0j), w_1 ≈ (-1+1,7320508…j) en w_2 ≈ (-1-1,7320508…j) (1,7320508… is een benadering van √3). cmath.polar geeft de absolute waarde en de hoek (groter dan −π en maximaal π), dus bij een negatieve hoek wordt 2π opgeteld om die in het bereik van 0 tot 2π te brengen. cmath.rect(radius, angle) maakt een complex getal uit poolvorm. Sommige waarden komen er een klein beetje naast uit, zoals -0,9999999999999996 in plaats van -1, of een heel klein getal zoals 2,4e-16 in plaats van 0; dat zijn afrondingsfouten van decimale getallen (drijvendekommagetallen). Python toont decimalen met een punt. Voor exacte waarden met wortels of breuken gebruik je de rekenmachine op deze pagina.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Stelling van De Moivre
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)
(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]
(cos(theta) + I*sin(theta))^n = cos(n*theta) + I*sin(n*theta);
zn = (cos(t) + 1i*sin(t))^n;
(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ
De \(n\)-de macht van een complex getal
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>z</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta))
r^n (Cos[n theta] + I Sin[n theta])
zn := r^n*(cos(n*theta) + I*sin(n*theta));
zn = r^n*(cos(n*t) + 1i*sin(n*t));
z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ)
De \(n\)-demachtswortels van een complex getal
w_k = ⁿ√r (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) (k = 0, 1, …, n−1)
w_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>w</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mroot><mi>r</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
w_k = root(n)(r) (cos((theta + 2k pi)/n) + i sin((theta + 2k pi)/n))
Table[r^(1/n) (Cos[(theta + 2 k Pi)/n] + I Sin[(theta + 2 k Pi)/n]), {k, 0, n - 1}]
wk := r^(1/n)*(cos((theta + 2*k*Pi)/n) + I*sin((theta + 2*k*Pi)/n));
wk = r^(1/n)*(cos((t + 2*k*pi)/n) + 1i*sin((t + 2*k*pi)/n));
w_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))
De \(n\)-de eenheidswortels
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) (k = 0, 1, …, n−1)
z_{k} = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z_k = cos((2k pi)/n) + i sin((2k pi)/n)
Table[Cos[2 k Pi/n] + I Sin[2 k Pi/n], {k, 0, n - 1}]
zk := cos(2*k*Pi/n) + I*sin(2*k*Pi/n);
zk = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor het complexe vlak en de stelling van De Moivre. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef dus geen antwoord uit je hoofd of op gevoel). 1. Bereken de 4e macht z^4 van het complexe getal z = 1 + i. Laat ook de absolute waarde r en het argument θ zien, de absolute waarde tot de 4e macht r^4 en het argument keer 4, 4θ. 2. Bereken alle drie de derdemachtswortels van het complexe getal z = 8 (de complexe getallen waarvan de derde macht 8 is), voor k = 0, 1, 2. Laat ze als het kan ook zien als exacte waarden met wortels. Gebruik in Python het type complex, cmath.polar en cmath.rect, en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Complex getal omzetten naar poolvorm (modulus, argument en kwadrantcorrectie met stappen en complexe vlak)
Zet z=a+bi om naar poolvorm r(cos θ + i sin θ), met de modulus als vereenvoudigde wortel en stappen voor het argument, inclusief de kwadrantcorrectie
Complexe getallen rekenmachine (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen met stappen, toegevoegde, modulus en complexe vlak)
Telt twee complexe getallen z₁ en z₂ op, trekt ze af, vermenigvuldigt en deelt ze, met de stappen van het vermenigvuldigen met de toegevoegde, de complex toegevoegde, de absolute waarde en een grafiek in het complexe vlak
