Betrouwbaarheidsinterval berekenen (voor een populatiegemiddelde)

Vul de grootte van de steekproef, het steekproefgemiddelde, de standaardafwijking en het betrouwbaarheidsniveau in. De rekenmachine berekent het betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde (onder- en bovengrens), de foutmarge en een tabel voor gangbare betrouwbaarheidsniveaus.

Grootte van de steekproef n

Steekproefgemiddelde x̄

Standaardafwijking σ

Betrouwbaarheid (%)

Vul bij de standaardafwijking de standaardafwijking σ van de populatie in als je die weet. Weet je die niet, dan kun je de standaardafwijking van je steekproef gebruiken, zolang de steekproef groot genoeg is (vuistregel 30 of meer). Vul het betrouwbaarheidsniveau in als percentage (bijvoorbeeld 95 voor 95%).

Resultaat en grafiek

Vul links getallen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een grafiek.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formule en grafiek
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de grootte van de steekproef \(n\), het steekproefgemiddelde \(\bar{x}\), de standaardafwijking \(\sigma\) en het betrouwbaarheidsniveau (%) in en je ziet meteen het betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde (onder- en bovengrens)
Ook de foutmarge \(E\) (hoever de schatting naar boven of beneden kan afwijken), de standaardfout en de kritieke waarde z voor het betrouwbaarheidsniveau worden berekend
Bekijk de betrouwbaarheidsintervallen bij gangbare betrouwbaarheidsniveaus zoals 90%, 95% en 99% in één tabel en zie in een grafiek hoe het interval breder wordt
Een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python staan ook op deze pagina

Deze rekenmachine berekent een betrouwbaarheidsinterval op basis van de normale verdeling (de z-methode), voor als de standaardafwijking σ van de populatie bekend is (of de steekproef groot genoeg is om de standaardafwijking van de steekproef te gebruiken). Een betrouwbaarheidsinterval op basis van de t-verdeling, dat je gebruikt als de steekproef klein is en de standaardafwijking van de populatie onbekend, kan ze niet berekenen.

Waarvoor is deze berekening handig?

Wat de “± procentpunten” bij peilingen echt zeggen (nieuws en politiek)

De “foutmarge” in een peilingresultaat zoals “45% is tevreden over het kabinet (foutmarge ±2,5 procentpunt)” is precies de foutmarge \(E\) op deze pagina. Bij een peiling met 45% tevredenen en 1.600 ondervraagden is de spreiding \(\sigma = \sqrt{0{,}45 \times 0{,}55} \approx 0{,}497\), dus bij een betrouwbaarheidsniveau van 95% is \(E = 1{,}96 \times 0{,}497 \div \sqrt{1600} \approx 0{,}024\) (ongeveer ±2,4 procentpunt). Dit gaat ervan uit dat het aandeel antwoorden kan worden benaderd met een normale verdeling. De “±2,5 procentpunt” in nieuwsberichten komt overeen met een schatting bij 50%, waar de spreiding het grootst is.
Zo kun je zelf beoordelen of het nieuws dat “het aandeel met 1 procentpunt is verschoven” binnen de foutmarge valt.

Kwaliteitscontrole in een fabriek: de opdruk “500 ml” met getallen onderbouwen (industrie)

Een fabriek kan niet elke fles openmaken en meten, dus ze controleert een steekproef. Als 50 flessen (met de opdruk 500 ml) gemiddeld 500,2 ml bevatten met een standaardafwijking van 2 ml, dan is het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde inhoud van alles wat is geproduceerd ongeveer 499,65 tot 500,75 ml.
Met alleen steekproefcontroles statistisch nagaan dat producten niet onder de vermelde hoeveelheid zitten, is een berekening die elke dag wordt gebruikt in de voedingsmiddelen-, drank- en geneesmiddelenindustrie.

Lezen hoe zeker we zijn dat een nieuwe behandeling werkt (geneeskunde)

Resultaten in medische artikelen worden bijna altijd met een betrouwbaarheidsinterval gerapporteerd, zoals in “het nieuwe medicijn verlaagde de bloeddruk gemiddeld met 8,0 mmHg (95%-betrouwbaarheidsinterval: 5,6 tot 10,4)”. In een onderzoek met 100 personen waarin de dalingen een standaardafwijking van 12 mmHg hebben, is \(E = 1{,}96 \times 12 \div \sqrt{100} \approx 2{,}4\).
Ligt het hele interval aan de plus-kant (het bevat geen 0), dan ondersteunt dat “het medicijn had effect”. Bevat het interval wel 0, lees het dan als “het kan toeval zijn”. Dit is een van de belangrijkste manieren om gezondheidsinformatie zelf te beoordelen.

Een landelijk onderzoek uitvoeren zonder iedereen te vragen (steekproeven in onderwijs en overheid)

Elke leerling in het land testen is een enorm karwei, dus landelijke onderzoeken naar fitheid en leerprestaties gebeuren vaak met steekproeven. Heeft een steekproef van 400 leerlingen bijvoorbeeld een gemiddelde tijd van 9,2 seconden op de 50 meter sprint met een standaardafwijking van 0,8 seconde, dan is het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde tijd van alle leerlingen ongeveer 9,12 tot 9,28 seconden. Slechts 400 leerlingen geven een vrij smal bereik.
Ook overheidsstatistieken, zoals de Enquête beroepsbevolking van het CBS waarop de werkloosheidscijfers zijn gebaseerd, berusten vooral op steekproeven, en deze berekening onderbouwt hoe nauwkeurig ze zijn.

Echte verbeteringen van ruis onderscheiden op een website (IT en marketing)

Als de gemiddelde tijd op je site stijgt van 180 seconden naar 184 seconden, is dat dan het effect van je aanpassing of gewoon toeval? Met 2.500 bezoekers en een standaardafwijking van 90 seconden is het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de gemiddelde tijd ongeveer 176,5 tot 183,5 seconden, dus er is een marge van ongeveer ±3,5 seconden.
Is een verandering ongeveer even groot als de breedte van het betrouwbaarheidsinterval, dan kun je zeggen dat ze “nog niet van toeval te onderscheiden is”. Dit idee is de basis om de resultaten van A/B-tests niet verkeerd te lezen.

Formule en grafiek

Foutmarge \(E\) (de helft van de breedte van het interval)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(E\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sigma\) \(\div\) \(\sqrt{n}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(E\): foutmarge \(=\) ③ \(z\): kritieke waarde voor het betrouwbaarheidsniveau \(\times\) ① \(\sigma\): standaardafwijking van de populatie \(\div\) ② \(\sqrt{n}\): wortel uit de grootte van de steekproef \(n\)

De formule in woorden

① Neem de \(\sigma\): standaardafwijking van de populatie

② deel die door de \(\sqrt{n}\): wortel uit de grootte van de steekproef \(n\) om de standaardfout te krijgen (de spreiding van het steekproefgemiddelde),

③ vermenigvuldig dat met de \(z\): kritieke waarde voor het betrouwbaarheidsniveau

④ en je krijgt de \(E\): foutmarge

Een eenvoudig voorbeeld

Je controleert de inhoud van 25 flessen. Bij een standaardafwijking van 2 ml en een betrouwbaarheidsniveau van 95% (z = 1,96) is de foutmarge

\(E\): foutmarge \(=\) z (1,96) \(\times\) standaardafwijking (2) \(\div\) wortel uit 25 (5)

\(1{,}96 \times 2 \div 5 = 1{,}96 \times 0{,}4 = 0{,}784\)

Het belangrijkste idee

\(\sigma \div \sqrt{n}\) heet de standaardfout. Het is de grootte van de spreiding van het steekproefgemiddelde zelf. Het belangrijkste is dat je deelt door \(\sqrt{n}\) (de wortel) en niet door \(n\): een 4 keer zo grote steekproef halveert de foutmarge alleen maar. Daarom heb je veel gegevens nodig om nauwkeuriger te worden.

Betrouwbaarheidsinterval (ondergrens \(L\) en bovengrens \(U\))

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(L,\ U\) \(=\) \(\bar{x}\) \(\pm\) \(E\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(L\), \(U\): onder- en bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval \(=\) ① \(\bar{x}\): steekproefgemiddelde \(\pm\) ② \(E\): foutmarge

De formule in woorden

① Neem het \(\bar{x}\): steekproefgemiddelde

② trek daar de \(E\): foutmarge van af en tel haar erbij op (het teken ± staat voor zowel “min” als “plus”)

③ en je krijgt de \(L\), \(U\): onder- en bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval

Een eenvoudig voorbeeld

Is de gemiddelde inhoud van de 25 flessen 500,2 ml en de foutmarge 0,784 ml, dan is het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde

\(L\), \(U\): onder- en bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval \(=\) steekproefgemiddelde (500,2) \(\pm\) foutmarge (0,784)

\(L = 500{,}2 - 0{,}784 = 499{,}416\)

\(U = 500{,}2 + 0{,}784 = 500{,}984\)

Het belangrijkste idee

Zet je de eerste twee formules aan elkaar, dan krijg je de bekende formule uit het wiskundeboek voor een betrouwbaarheidsinterval, \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Let op hoe je “95%-betrouwbaarheidsinterval” leest. Het zegt niet: “het populatiegemiddelde ligt met 95% kans in dit interval”. Het zegt: “als je 100 keer een steekproef trekt en op dezelfde manier een interval maakt, bevatten ongeveer 95 van die intervallen het populatiegemiddelde”. Het populatiegemiddelde is één vaste waarde; het interval is wat verschuift van steekproef tot steekproef.

De kritieke waarde z vinden uit het betrouwbaarheidsniveau

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(z\) \(=\) \(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

② \(z\): kritieke waarde voor het betrouwbaarheidsniveau \(=\) ① het aandeel van links geteld, (1 + betrouwbaarheidsniveau \(C\)) ÷ 2, omgezet in een plaats op de z-as

De formule in woorden

① Bereken het aandeel van links geteld, (1 + betrouwbaarheidsniveau \(C\)) ÷ 2, omgezet in een plaats op de z-as (\(\Phi^{-1}\), “fi invers”, is de functie die “een aandeel van links geteld” omzet in “een plaats op de horizontale as”. Schrijf het betrouwbaarheidsniveau \(C\) als decimaal getal, zoals 0,95 voor 95%)

② en dat is de \(z\): kritieke waarde voor het betrouwbaarheidsniveau

Een eenvoudig voorbeeld

De kritieke waarde z voor een betrouwbaarheidsniveau van 95% (C = 0,95) is

kritieke waarde \(z\) \(=\) plaats 97,5% van links, \(\Phi^{-1}(0{,}975)\)

\(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+0{,}95}{2}\right) = \Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)

Het belangrijkste idee

De kritieke waarde z is de grens in de standaard normale verdeling waartussen precies het betrouwbaarheidsniveau (95% bij 95%) in het midden ligt. Met 95% in het midden blijft 2,5% over in elke staart, dus z is de plaats 97,5% van links: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\). De gangbare waarden liggen vast: 90% → 1,6449, 95% → 1,9600, 99% → 2,5758, 99,9% → 3,2905. Deze rekenmachine berekent ook minder gangbare betrouwbaarheidsniveaus die niet in de tabel staan (bijvoorbeeld 97%).

Een betrouwbaarheidsinterval is “steekproefgemiddelde ± foutmarge”. De foutmarge is \(z \times \sigma \div \sqrt{n}\), dus samen is het \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\). Hoe groter de steekproef (hoe groter \(\sqrt{n}\)), hoe smaller het interval; hoe hoger het betrouwbaarheidsniveau (hoe groter z), hoe breder het interval.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(n\)	n	De grootte van de steekproef: hoeveel stuks of mensen je echt hebt gemeten. (Voorbeeld: meet je 50 flessen, dan is \(n = 50\))
\(\bar{x}\)	x-streep	Het steekproefgemiddelde, het gemiddelde van de steekproef die je hebt gemeten. De streep erboven is het teken voor een gemiddelde.
\(\sigma\)	sigma	De standaardafwijking van de populatie, de grootte van de spreiding in de hele populatie. Een Griekse letter die overeenkomt met de s. Is de steekproef groot genoeg, dan kun je in plaats daarvan de standaardafwijking van de steekproef gebruiken.
\(\sqrt{n}\)	wortel uit n	De wortel uit de grootte van de steekproef (voorbeeld: \(\sqrt{25} = 5\)). Ze staat in de noemer van de standaardfout, en ze is de reden dat 4 keer zoveel gegevens de fout alleen maar halveert.
\(z\)	zet (kritieke waarde)	De factor die door het betrouwbaarheidsniveau wordt bepaald. Het is de grens in de standaard normale verdeling waartussen precies het betrouwbaarheidsniveau in het midden ligt. Voor 95% is het ongeveer 1,96. Ze wordt ook z* geschreven.
\(E\)	E	De foutmarge. Ze is de helft van de breedte van het betrouwbaarheidsinterval en een maat voor hoever het steekproefgemiddelde naar boven of beneden van het populatiegemiddelde kan afwijken. E staat voor “error” (fout).
\(L,\ U\)	L, U	De onder- en bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval, te vinden met \(L = \bar{x} - E\) en \(U = \bar{x} + E\).
\(\Phi^{-1}\)	fi invers (inverse van Φ)	De functie die andersom werkt dan \(\Phi\), de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaard normale verdeling. Ze neemt een kans (oppervlakte) en geeft de bijbehorende z. (Voorbeeld: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\))
\(C\)	C	Het betrouwbaarheidsniveau als decimaal getal. Voor 95% is \(C = 0{,}95\).

Begrippen

betrouwbaarheidsinterval	Een bereik dat uit steekproefgegevens is geschat en waarin het populatiegemiddelde waarschijnlijk ligt. Je maakt het door het steekproefgemiddelde met de foutmarge naar boven en beneden uit te breiden.
betrouwbaarheidsniveau	Hoe zeker je van het interval kunt zijn. Het is het deel van de intervallen dat het populatiegemiddelde zou bevatten als je steeds op dezelfde manier intervallen maakte. 95% wordt het meest gebruikt. Het heet ook wel betrouwbaarheidscoëfficiënt.
populatie	De hele groep die je eigenlijk zou willen onderzoeken. (Voorbeelden - alle flessen die een fabriek maakt, of alle kiezers in het land)
steekproef	Het deel van de populatie dat je echt uitkiest en onderzoekt. Met een steekproef afleiden hoe de populatie eruitziet is waar het schatten in de statistiek om draait.
populatiegemiddelde	Het gemiddelde van de hele populatie. Je kunt niet alles meten, dus de precieze waarde is onbekend. Een betrouwbaarheidsinterval schat waar deze onbekende waarde ligt. Het wordt meestal \(\mu\) (mu) geschreven.
steekproefgemiddelde	Het gemiddelde van de steekproef, \(\bar{x}\). Het is de meest waarschijnlijke schatting in één getal van het populatiegemiddelde (een puntschatting), maar het verandert elke keer een beetje, afhankelijk van welke steekproef je toevallig trekt.
standaardfout	De grootte van de spreiding van het steekproefgemiddelde zelf, te vinden met \(\sigma \div \sqrt{n}\). Je verwart haar makkelijk met de spreiding van de afzonderlijke gegevenswaarden (de standaardafwijking), dus pas op.
intervalschatting	Een manier om een onbekende waarde zoals het populatiegemiddelde te schatten met een bereik in plaats van met één getal. Vergeleken met een puntschatting is het voordeel dat het ook laat zien hoe ver de schatting ernaast kan zitten.
t-verdeling	De verdeling die je gebruikt in plaats van de normale verdeling (z) als de steekproef klein is en de standaardafwijking van de populatie onbekend. De rekenmachine op deze pagina ondersteunt alleen de z-methode. Naarmate de steekproef groter wordt, komt de t-verdeling dichter bij de normale verdeling en worden de resultaten bijna gelijk.

Handig om vooraf te weten

Dit is wat je helpt om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.

Het gemiddelde (groep 7-8, 10-12 jaar)	Weten dat je het gemiddelde vindt door alle gegevens op te tellen en te delen door het aantal waarden
Wortels (klas 3, 14-15 jaar)	Weten dat een wortel het getal is dat het oorspronkelijke getal geeft als je het kwadrateert, zoals in \(\sqrt{25} = 5\)
Steekproeven (klas 2-3, 13-15 jaar)	Weten dat je in plaats van het geheel (de populatie) te onderzoeken ook een deel (een steekproef) kunt onderzoeken en daaruit het geheel kunt afleiden Weten dat de steekproef zonder vertekening (aselect) moet worden gekozen
Gegevens analyseren en standaardafwijking (bovenbouw havo/vwo, 15-18 jaar)	Weten dat de standaardafwijking één getal is dat aangeeft hoe verspreid de gegevens zijn
De normale verdeling en intervalschattingen (bovenbouw havo/vwo, 16-18 jaar)	Weten dat de normale verdeling een symmetrische klokvorm rond het gemiddelde is Weten dat ongeveer 95% van een normale verdeling binnen 1,96 standaardafwijkingen van het gemiddelde ligt

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de kritieke waarde z voor een betrouwbaarheidsniveau te vinden

Betrouwbaarheid (%)	95
z	=NORM.S.INV((1+B1/100)/2)

Tabel om de foutmarge E te vinden

z	1,96
Standaardafwijking σ	2
Grootte van de steekproef n	25
Foutmarge E	=B1*B2/WORTEL(B3)

Tabel om het betrouwbaarheidsinterval (onder- en bovengrens) te vinden

Grootte van de steekproef n	50
Steekproefgemiddelde x̄	500,2
Standaardafwijking σ	2
Betrouwbaarheid (%)	95
z	=NORM.S.INV((1+B4/100)/2)
Foutmarge E	=B5*B3/WORTEL(B1)
Ondergrens	=B2-B6
Bovengrens	=B2+B6

“NORM.S.INV(kans)” is de functie die z vindt uit een kans (de inverse van de cumulatieve verdelingsfunctie, \(\Phi^{-1}\)). “WORTEL” is de wortel.
De eerste tabel vindt z alleen uit het betrouwbaarheidsniveau (B1); vul 95 in en B2 is ongeveer 1,959964. De tweede tabel is de foutmarge; met de voorbeeldwaarden is B4 gelijk aan 0,784.
De derde tabel vindt het betrouwbaarheidsinterval uit alle invoer tegelijk. Met de voorbeeldwaarden (n = 50, x̄ = 500,2, σ = 2, 95%) is de ondergrens (B7) ongeveer 499,6456 en de bovengrens (B8) ongeveer 500,7544. Vervang gewoon B1 tot en met B4 door je eigen getallen.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de kritieke waarde z voor een betrouwbaarheidsniveau te vinden

Betrouwbaarheid (%)	95
z	=STAND.NORM.INV((1+B1/100)/2)

Tabel om de foutmarge E te vinden

z	1,96
Standaardafwijking σ	2
Grootte van de steekproef n	25
Foutmarge E	=B1*B2/WORTEL(B3)

Tabel om het betrouwbaarheidsinterval (onder- en bovengrens) te vinden

Grootte van de steekproef n	50
Steekproefgemiddelde x̄	500,2
Standaardafwijking σ	2
Betrouwbaarheid (%)	95
z	=STAND.NORM.INV((1+B4/100)/2)
Foutmarge E	=B5*B3/WORTEL(B1)
Ondergrens	=B2-B6
Bovengrens	=B2+B6

In Google Spreadsheets heet de functie die z vindt uit een kans “STAND.NORM.INV(kans)” (ze werkt hetzelfde als “NORM.S.INV” in Excel). Alle andere formules zijn hetzelfde als in Excel.
Kopieer de hele tabel, plak ze in cel A1 en vervang de getallen in kolom B door je eigen getallen. De resultaten zijn dezelfde als in de Excel-versie: in de derde tabel is de ondergrens ongeveer 499,6456 en de bovengrens ongeveer 500,7544.

Berekenen met Python

import math
from statistics import NormalDist

sample_size = 50        # steekproefgrootte n
sample_mean = 500.2     # steekproefgemiddelde x̄
sd = 2                  # standaardafwijking σ
confidence_level = 95   # betrouwbaarheidsniveau (%)

z = NormalDist().inv_cdf((1 + confidence_level / 100) / 2)  # kritieke waarde z voor het betrouwbaarheidsniveau
standard_error = sd / math.sqrt(sample_size)                # standaardfout σ ÷ √n
margin_of_error = z * standard_error                        # foutmarge E
lower = sample_mean - margin_of_error                       # ondergrens van het betrouwbaarheidsinterval
upper = sample_mean + margin_of_error                       # bovengrens van het betrouwbaarheidsinterval

print(f"z: {z}")
print(f"Foutmarge E: {margin_of_error}")
print(f"{confidence_level}%-betrouwbaarheidsinterval: {lower} tot {upper}")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. NormalDist().inv_cdf() is de functie die z vindt uit een kans (\(\Phi^{-1}\)). Vervang de eerste vier waarden door je eigen getallen en voer het uit. Met de voorbeeldwaarden toont het ongeveer 499,65 tot 500,75.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Foutmarge \(E\) (de helft van de breedte van het interval)

E = z × σ ÷ √n

E = z \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>z</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mfrac>
      <mi>&#x3C3;</mi>
      <msqrt><mi>n</mi></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

E = z sigma / sqrt(n)

z*sigma/Sqrt[n]

E := z*sigma/sqrt(n);

E = z*sigma/sqrt(n);

E = zσ/√n

Betrouwbaarheidsinterval (ondergrens \(L\) en bovengrens \(U\))

L = x̄ − E,  U = x̄ + E

L = \bar{x} - E,\quad U = \bar{x} + E

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>E</mi>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>U</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mi>E</mi>
  </mrow>
</math>

L = bar x - E, U = bar x + E

{xbar - e, xbar + e}

L := xbar - E; U := xbar + E;

L = xbar - E; U = xbar + E;

L = x̄ - E, U = x̄ + E

De kritieke waarde z vinden uit het betrouwbaarheidsniveau

z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)

z = \Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>&#x3A6;</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac>
        <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow>
        <mn>2</mn>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

z = Phi^-1((1 + C)/2)

InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], (1 + c)/2]

with(Statistics): Quantile(RandomVariable(Normal(0, 1)), (1 + c)/2);

z = norminv((1 + c)/2);

z = Φ^(-1)((1+C)/2)

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor statistische berekeningen. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren, en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het uitvoerresultaat (geen hoofdrekenen of gokken).

Er zijn 50 flessen van een productielijn gehaald en hun inhoud is gemeten. Het gemiddelde was 500,2 ml. De spreiding van de vulhoeveelheid (de standaardafwijking van de populatie) is bekend: 2 ml.
1. Bereken de kritieke waarde z voor een betrouwbaarheidsniveau van 95% (gebruik de inverse van de cumulatieve verdelingsfunctie van de standaardnormale verdeling; je mag statistics.NormalDist().inv_cdf uit de standaardbibliotheek van Python gebruiken).
2. Bereken de foutmarge E = z × σ ÷ √n.
3. Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval (onder- en bovengrens) voor het populatiegemiddelde (de werkelijke gemiddelde inhoud van alle flessen).

Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het uitvoerresultaat.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule