Vul 2 of meer getallen in, gescheiden door puntkomma’s (;). Je kunt het kgv van 3 of meer getallen tegelijk bepalen. De stappen met priemfactorontbinding en de grootste gemene deler (ggd) worden er ook bij getoond.
Vul 2 of meer positieve gehele getallen in, gescheiden door puntkomma’s (bijvoorbeeld 4; 6). 0, kommagetallen en negatieve getallen kunnen niet.
Resultaat
Vul links je getallen in, gescheiden door puntkomma’s (;), en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formule
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul 2 of meer getallen in, gescheiden door puntkomma’s (;), en je ziet meteen het kleinste gemeen veelvoud (kgv)
- Niet alleen “Wat is het kgv van 4 en 6?”, maar ook van 3 of meer getallen tegelijk, zoals “Wat is het kgv van 12, 18 en 30?”
- In de tussenstappen zie je de priemfactorontbinding van elk getal, zodat je niet alleen het antwoord ziet maar ook waarom het zo is
- Ter vergelijking wordt ook de grootste gemene deler (ggd) getoond
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Je kunt alleen positieve gehele getallen (1, 2, 3, …) invullen. Het kleinste gemeen veelvoud is er voor positieve gehele getallen, dus 0, kommagetallen en negatieve getallen kun je niet gebruiken.
Waarvoor is deze berekening handig?
Gelijknamig maken om breuken op te tellen of af te trekken (de belangrijkste toepassing)
Om \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\) uit te rekenen, moet je de breuken gelijknamig maken: de noemers 4 en 6 moeten gelijk worden. De handigste gemeenschappelijke noemer is het kgv, \(\mathrm{lcm}(4,6) = 12\), dus de som is \(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\).
De noemers met elkaar vermenigvuldigen tot 24 kan ook, maar met het kgv blijven de getallen klein en kun je aan het eind makkelijker vereenvoudigen. Van de basisschool tot het dagelijks werk: hier gebruik je het kgv het meest.
Uitrekenen wanneer bussen of treinen weer tegelijk vertrekken
Twee buslijnen vertrekken samen van dezelfde halte, de ene elke 12 minuten en de andere elke 18 minuten. Ze vertrekken weer samen na \(\mathrm{lcm}(12,18) = 36\) minuten.
Het moment waarop twee dingen met een verschillende cyclus samenvallen, vind je met het kgv. Het is een klassiek vraagstuk op school en een praktisch hulpmiddel bij dienstregelingen en andere roosters.
Knakworsten en broodjes kopen zonder dat er iets over blijft
Knakworsten zitten in pakjes van 10 en broodjes in pakken van 8. Om precies evenveel van allebei te hebben, koop je minimaal \(\mathrm{lcm}(10,8) = 40\) van elk: 4 pakjes knakworsten en 5 pakken broodjes.
Producten die in verschillende verpakkingsgroottes komen op elkaar afstemmen, kom je overal tegen, van boodschappen voor een barbecue tot het bestellen van onderdelen voor een fabriek.
Tandwielen ontwerpen (machines en klokken)
Een tandwiel met 12 tanden draait mee met een tandwiel met 18 tanden. De twee tanden die elkaar aan het begin raakten, ontmoeten elkaar weer nadat er \(\mathrm{lcm}(12,18) = 36\) tanden voorbij zijn gekomen (3 keer rond voor het kleine wiel en 2 keer rond voor het grote).
Bij het ontwerpen van machines kiest men het aantal tanden vaak relatief priem, zodat het kgv groot wordt en dezelfde tandenparen niet steeds op elkaar botsen en ongelijk slijten.
Wanneer restafval en gft in dezelfde week worden opgehaald (afvalinzameling)
Stel dat de gemeente het restafval elke 2 weken ophaalt en het gft-afval elke 3 weken. In dezelfde week komen beide wagens dus weer langs na \(\mathrm{lcm}(2,3) = 6\) weken.
Omdat 2 en 3 allebei priemgetallen zijn, is hun kgv gewoon \(2 \times 3\). Hoe lang het duurt voordat dingen met een verschillende cyclus weer samenvallen, is precies wat het kgv je vertelt.
Formule
Kgv van twee getallen (met de ggd)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b)\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\div\)
\(\gcd(a,\,b)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(\mathrm{lcm}(a,b)\): kleinste gemeen veelvoud
\(=\)
①
\(a\): eerste getal
\(\times\)
②
\(b\): tweede getal
\(\div\)
③
\(\gcd(a,b)\): grootste gemene deler
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig
\(a\): eerste getal
②
met
\(b\): tweede getal
③
deel door de
\(\gcd(a,b)\): grootste gemene deler
④
en je krijgt het
\(\mathrm{lcm}(a,b)\): kleinste gemeen veelvoud
Een eenvoudig voorbeeld
Het kgv van 4 en 6 (de ggd van 4 en 6 is 2) is
kgv van 4 en 6
\(=\)
eerste getal (4)
\(\times\)
tweede getal (6)
\(\div\)
ggd (2)
\(4 \times 6 \div 2 = 24 \div 2 = 12\)
Het belangrijkste idee
Als je de twee getallen gewoon met elkaar vermenigvuldigt, tel je het deel dat ze gemeen hebben (de grootste gemene deler) twee keer mee. Door er één keer door te delen haal je die extra kopie weer weg, en wat overblijft is het kleinste gemeen veelvoud.
Is de ggd gelijk aan 1 (de getallen zijn relatief priem), dan verandert delen door 1 niets en is het kgv gewoon het product \(\mathrm{lcm}(a,b) = a \times b\) (bij 8 en 9 is dat \(8 \times 9 = 72\)).
Met priemfactorontbinding (ook voor 3 of meer getallen)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(L\)
\(=\)
\(p_1^{\,a_1} \times p_2^{\,a_2} \times \cdots \times p_k^{\,a_k}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(L\): kleinste gemeen veelvoud
\(=\)
①
product van de hoogste macht van elk voorkomend priemgetal
De formule in woorden
①
Schrijf elk getal als product van priemgetallen en neem het
product van de hoogste macht van elk voorkomend priemgetal
②
om het te krijgen
\(L\): kleinste gemeen veelvoud
Een eenvoudig voorbeeld
Voor het kgv van 12, 18 en 30 geldt: de priemfactorontbindingen zijn \(12 = 2^2 \times 3\), \(18 = 2 \times 3^2\) en \(30 = 2 \times 3 \times 5\), en de hoogste machten van de priemgetallen 2, 3 en 5 zijn \(2^2\), \(3^2\) en \(5\), dus
kgv van 12, 18 en 30, \(L\)
\(=\)
product van de hoogste machten \(2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)
Het belangrijkste idee
Waarom de hoogste exponent? Omdat het kleinste gemeen veelvoud een veelvoud van elk van de getallen moet zijn. Om bijvoorbeeld een veelvoud van \(12 = 2^2 \times 3\) te zijn, heb je twee tweeën nodig, dus wordt de exponent van 2 de grootste die voorkomt, namelijk 2. Neem voor elk priemgetal de exponent van het getal dat het meest nodig heeft: dat is het hele idee achter deze methode.
De stappen die de rekenmachine op deze pagina laat zien, gebruiken ook deze methode met priemfactorontbinding.
Kgv van 3 of meer getallen (steeds twee tegelijk)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b,\,c)\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(m,\,c)\)
\(m\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
kgv van alle drie de getallen
\(=\)
②
kgv van \(m\) en \(c\)
①
\(m\): kgv van \(a\) en \(b\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(a,b)\): kgv van \(a\) en \(b\)
De formule in woorden
①
Bepaal eerst het
\(m\): kgv van \(a\) en \(b\)
②
bepaal dan het
kgv van \(m\) en \(c\)
③
en dat is het
kgv van alle drie de getallen
(bij 4 of meer getallen herhaal je gewoon dezelfde stap)
Een eenvoudig voorbeeld
Voor het kgv van 12, 18 en 30 bepaal je eerst het kgv van 12 en 18 (36) en dan het kgv van die 36 en 30:
kgv van 12, 18 en 30
\(=\)
kgv van “het kgv van 12 en 18 (36)” en 30
\(\mathrm{lcm}(12,\,18) = 36\)
\(\mathrm{lcm}(36,\,30) = 180\)
Het belangrijkste idee
Je kunt met elke twee van de getallen beginnen en het antwoord blijft hetzelfde (de volgorde maakt niet uit). De rekenmachine op deze pagina gebruikt ook deze methode, steeds twee getallen tegelijk, voor een willekeurig aantal getallen.
De basismethode voor het kleinste gemeen veelvoud is: ontbind elk getal in priemfactoren, kies voor elk voorkomend priemgetal de hoogste macht en vermenigvuldig die. Bij twee getallen is er een snelle weg, namelijk “het product van de twee getallen gedeeld door hun ggd”. Bij 3 of meer getallen bepaal je het kgv steeds voor twee getallen tegelijk.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(\mathrm{lcm}(a,b)\) | kgv van a en b | Het kleinste gemeen veelvoud van \(a\) en \(b\). In Nederlandse schoolboeken schrijf je dit meestal als kgv(a, b); de internationale afkorting is lcm, van “least common multiple”. |
| \(\gcd(a,b)\) | ggd van a en b | De grootste gemene deler van \(a\) en \(b\). In Nederlandse schoolboeken schrijf je dit meestal als ggd(a, b); de internationale afkorting is gcd, van “greatest common divisor”. |
| \(2^2\) | twee in het kwadraat | Een macht: het kleine getal rechtsboven (de exponent) geeft aan hoe vaak je hetzelfde getal met zichzelf vermenigvuldigt. \(2^2 = 2 \times 2 = 4\) en \(3^2 = 3 \times 3 = 9\). |
| \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) | p met index 1, p met index 2 | De priemgetallen die voorkomen in de priemfactorontbindingen, van klein naar groot. Het kleine getal rechtsonder (de index) geeft aan het hoeveelste priemgetal het is. |
| \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) | a met index 1, a met index 2 | Voor elk priemgetal de grootste exponent (het aantal keer dat het wordt vermenigvuldigd) die voorkomt in een van de priemfactorontbindingen. |
| \(m\) | m | Het kgv van de eerste twee getallen, dat je onderweg bepaalt. Je gebruikt het als je het kgv van 3 of meer getallen steeds voor twee getallen tegelijk bepaalt. |
Begrippen
| veelvoud | Een getal vermenigvuldigd met 1, 2, 3 enzovoort. De veelvouden van 6 zijn 6, 12, 18, 24, … |
| gemeenschappelijk veelvoud | Een veelvoud dat twee of meer getallen gemeen hebben. De gemeenschappelijke veelvouden van 4 en 6 zijn 12, 24, 36, … en ze gaan eindeloos door. |
| kleinste gemeen veelvoud (kgv) | Het kleinste van de gemeenschappelijke veelvouden. Dit is de waarde die deze pagina berekent. |
| deler | Een geheel getal dat een getal zonder rest deelt. De delers van 12 zijn 1, 2, 3, 4, 6 en 12. |
| grootste gemene deler (ggd) | De grootste deler die twee of meer getallen gemeen hebben. Het hoort vaak bij het kgv, daarom laat deze pagina het ter vergelijking ook zien. |
| priemgetal | Een geheel getal van 2 of meer waarvan de enige delers 1 en het getal zelf zijn (2, 3, 5, 7, 11, …). 1 is geen priemgetal. |
| ontbinden in priemfactoren | Een geheel getal schrijven als product van alleen priemgetallen. Voorbeeld: \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\). |
| relatief priem | Als de ggd van twee getallen 1 is (ze hebben geen priemfactor gemeen). Je zegt ook wel dat ze onderling ondeelbaar zijn. Het kgv van twee getallen die relatief priem zijn, is gewoon hun product. |
| gelijknamig maken | Breuken met verschillende noemers dezelfde noemer geven. De handigste gemeenschappelijke noemer is het kleinste gemeen veelvoud van de noemers. Dit is waar je het kgv het vaakst nodig hebt, bijvoorbeeld bij het optellen en aftrekken van breuken. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
| Tafels van vermenigvuldiging en delen (groep 4-5, 7-9 jaar) |
|
| Veelvouden en delers (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Gelijknamig maken (groep 7, 10-11 jaar) |
|
| Priemgetallen en ontbinden in priemfactoren (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Machten (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om het kgv van twee getallen te berekenen (met de ggd)
| Eerste getal a | 4 |
| Tweede getal b | 6 |
| Kgv(a; b) | =B1*B2/GGD(B1;B2) |
Tabel om het kgv van 3 of meer getallen te berekenen
| Eerste getal | 12 |
| Tweede getal | 18 |
| Derde getal | 30 |
| Kgv | =KGV(B1;B2;B3) |
Tabel om het kgv te berekenen, steeds twee getallen tegelijk
| Eerste getal | 12 |
| Tweede getal | 18 |
| Derde getal | 30 |
| Eerst het kgv van de eerste twee, m | =KGV(B1;B2) |
| Kgv van alle drie | =KGV(B4;B3) |
Na het plakken zijn de bovenste cellen in kolom B de invoer en is de laatste rij het automatisch berekende resultaat.
In Excel vindt “GGD” de grootste gemene deler en “KGV” het kleinste gemeen veelvoud. De functie KGV doet de priemfactorontbinding van formule 2 voor je.
In de eerste tabel staat in B3 het getal 12 en in de tweede tabel staat in B4 het getal 180. Vervang de getallen gewoon door je eigen getallen (de functie KGV accepteert meer getallen, zoals “=KGV(B1;B2;B3;B4)”).
In Excel vindt “GGD” de grootste gemene deler en “KGV” het kleinste gemeen veelvoud. De functie KGV doet de priemfactorontbinding van formule 2 voor je.
In de eerste tabel staat in B3 het getal 12 en in de tweede tabel staat in B4 het getal 180. Vervang de getallen gewoon door je eigen getallen (de functie KGV accepteert meer getallen, zoals “=KGV(B1;B2;B3;B4)”).
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om het kgv van twee getallen te berekenen (met de ggd)
| Eerste getal a | 4 |
| Tweede getal b | 6 |
| Kgv(a; b) | =B1*B2/GGD(B1;B2) |
Tabel om het kgv van 3 of meer getallen te berekenen
| Eerste getal | 12 |
| Tweede getal | 18 |
| Derde getal | 30 |
| Kgv | =KGV(B1;B2;B3) |
Tabel om het kgv te berekenen, steeds twee getallen tegelijk
| Eerste getal | 12 |
| Tweede getal | 18 |
| Derde getal | 30 |
| Eerst het kgv van de eerste twee, m | =KGV(B1;B2) |
| Kgv van alle drie | =KGV(B4;B3) |
Google Spreadsheets heeft dezelfde functies KGV en GGD, dus de formules uit Excel werken ook daar. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen door je eigen getallen.
Berekenen met Python
import math
numbers = [330, 75, 450, 225] # getallen waarvan je het kgv zoekt (2 of meer)
least_common_multiple = math.lcm(*numbers)
greatest_common_divisor = math.gcd(*numbers)
print(f"Kleinste gemeen veelvoud (kgv): {least_common_multiple}")
print(f"(Ter vergelijking) grootste gemene deler (ggd): {greatest_common_divisor}")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek (math.lcm vereist Python 3.9 of hoger). “*numbers” geeft de elementen van de lijst één voor één aan de functie, dus het werkt met elk aantal getallen. Pas de getallen bovenaan in de lijst aan en voer de code uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Kgv van twee getallen (met de ggd)
lcm(a, b) = a × b ÷ gcd(a, b)
\mathrm{lcm}(a, b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a, b)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>b</mi></mrow>
<mrow><mi>gcd</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lcm(a, b) = (a xx b) / (gcd(a, b))
a*b/GCD[a, b]
L := a*b/igcd(a, b);
L = a*b/gcd(a, b);
lcm(a, b) = (a × b)/gcd(a, b)
Met priemfactorontbinding (ook voor 3 of meer getallen)
L = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></msubsup>
</mrow>
</math>
L = p_1^(a_1) xx p_2^(a_2) xx cdots xx p_k^(a_k)
Product[p[i]^a[i], {i, 1, k}]
L := product(p[i]^a[i], i = 1 .. k);
L = prod(p.^a);
L = p_1^(a_1) × p_2^(a_2) × ⋯ × p_k^(a_k)
Kgv van 3 of meer getallen (steeds twee tegelijk)
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
\mathrm{lcm}(a, b, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a, b),\ c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>lcm</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
LCM[LCM[a, b], c]
L := ilcm(ilcm(a, b), c);
L = lcm(lcm(a, b), c);
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor gehele getallen. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord op basis van hoofdrekenen of gokken). Zoek voor de vier getallen 330, 75, 450 en 225 het volgende: 1. Het kleinste gemeen veelvoud (kgv) 2. De grootste gemene deler (ggd) 3. De priemfactorontbinding van elk getal Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Rekenmachine voor breuken (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen)
Telt breuken op, trekt ze af, vermenigvuldigt en deelt ze, met tussenstappen (het kgv geeft de gemeenschappelijke noemer)
