Kies de bewerking en het formaat van de matrices (rijen en kolommen) en vul de elementen in de roosters in. De getransponeerde Aᵀ en de macht Aⁿ gebruiken alleen matrix A.
Vul de elementen in als getallen (decimale en negatieve getallen mogen). Voor optellen en aftrekken moeten A en B hetzelfde formaat hebben; het product AB vraagt “kolommen van A = rijen van B”.
Resultaat
Kies links de bewerking en het formaat van de matrices, vul de elementen in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen de matrix met het resultaat en de stappen.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formule
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Tel matrices van 2×2 tot 4×4 ter plekke op (\(A+B\)), trek ze af (\(A-B\)) en vermenigvuldig ze (\(AB\)). Rechthoekige formaten zoals 2×3 mogen ook
- Je kunt ook de getransponeerde \(A^{T}\) vinden, waarbij rijen en kolommen van plaats wisselen, en machten \(A^{n}\) van een vierkante matrix (\(n\) van 1 tot 10)
- Je ziet hoe elke berekening werkt, zoals het inproduct “rij × kolom” bij het vermenigvuldigen, in stappen met je eigen getallen
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets (PRODUCTMAT, TRANSPONEREN) en Python vind je ook op deze pagina
Matrices leer je meestal in een vak lineaire algebra in het eerste jaar aan hbo of universiteit (op school komen ze soms voor in verdiepende wiskunde). Determinanten en inverse matrices komen op deze pagina niet aan bod.
Waarvoor is deze berekening handig?
Personages bewegen in games en 3D-graphics
In 3D-graphics reken je transformaties zoals het draaien of schalen van een personage uit door “de coördinaten met een matrix te vermenigvuldigen”. Meerdere transformaties kun je tot één matrix combineren door de matrices eerst met elkaar te vermenigvuldigen.
De GPU (grafische processor) in een spelcomputer of computer is een speciale rekenmachine die is gebouwd om enorme aantallen van deze matrixvermenigvuldigingen uit te voeren.
Foto’s en afbeeldingen bewerken (een afbeelding is een matrix van getallen)
Een digitale afbeelding is zelf een matrix: de helderheid van elke pixel, gerangschikt in rijen en kolommen. Filters in fotoapps, zoals vervagen en verscherpen, worden uitgerekend als bewerkingen op deze matrix.
“Een afbeelding als matrix” zien is ook het beginpunt van AI-technieken zoals beeldherkenning.
Stelsels vergelijkingen in één keer oplossen (constructies en schakelingen)
Een stelsel vergelijkingen met veel onbekenden kun je als één vergelijking schrijven, \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\), door de coëfficiënten in een matrix te zetten.
Bij de sterkteberekening van gebouwen en de analyse van elektrische schakelingen worden duizenden of tienduizenden vergelijkingen in deze vorm gezet en in één keer opgelost met matrixberekeningen op de computer.
Routes in een lijnennet of verbindingen in een sociaal netwerk tellen (adjacentiematrix en machten)
Schrijf de verbindingen tussen stations, of tussen mensen, op als een matrix met “1 als ze verbonden zijn, 0 als niet” (een adjacentiematrix). Dan is het element in rij \(i\), kolom \(j\) van de macht \(A^{n}\) “het aantal manieren om van \(i\) naar \(j\) te komen door precies \(n\) verbindingen te volgen”.
Dit idee is een van de basisideeën achter routeplanners en achter de analyse van “vrienden van vrienden” in sociale netwerken.
De doorwerking in de economie schatten (input-outputtabellen)
Nationale en regionale economische statistieken gebruiken een grote matrix, een input-outputtabel, om te laten zien hoeveel elke bedrijfstak van de andere inkoopt. Het doorwerkingseffect, “als de vraag in één bedrijfstak groeit, hoeveel groeit de productie dan in de andere”, wordt geschat met matrixberekeningen op deze tabel (een methode van Wassily Leontief, die er de Nobelprijs voor de Economie voor won).
In AI (machine learning) zit matrixvermenigvuldiging
Het grootste deel van de berekeningen in AI die tekst en afbeeldingen verwerkt (neurale netwerken) bestaat uit het herhalen van “een rijtje invoergetallen vermenigvuldigen met een aangeleerde matrix”.
Omdat zo veel van het rekenwerk voor het trainen en draaien van AI matrixvermenigvuldiging is, zijn GPU’s, die goed zijn in matrixberekeningen, onmisbaar geworden voor de ontwikkeling van AI.
Formule
Optellen en aftrekken (element voor element op dezelfde plaats)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\((A+B)_{ij}\)
\(=\)
\(a_{ij}\)
\(+\)
\(b_{ij}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
element in rij \(i\), kolom \(j\) van de som \(A+B\)
\(=\)
①
\(a_{ij}\): element in rij \(i\), kolom \(j\) van A
\(+\)
②
\(b_{ij}\): element in rij \(i\), kolom \(j\) van B
De formule in woorden
①
Tel het
\(a_{ij}\): element in rij \(i\), kolom \(j\) van A
op bij het
②
\(b_{ij}\): element in rij \(i\), kolom \(j\) van B
, dan krijg je het
③
element in rij \(i\), kolom \(j\) van de som \(A+B\)
(bij aftrekken verander je alleen “+” in “−”)
Een eenvoudig voorbeeld
Om twee 2×2-matrices op te tellen, tel je de elementen op dezelfde plaats op
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)
Het belangrijkste idee
Je kunt alleen optellen of aftrekken als A en B hetzelfde formaat hebben (evenveel rijen en kolommen). Optellen geeft in beide volgordes hetzelfde antwoord (\(A+B=B+A\)), maar bij aftrekken verandert de volgorde het antwoord, net als bij gewone getallen.
Vermenigvuldigen (inproduct van een rij van A en een kolom van B)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(c_{ij}\)
\(=\)
\(a_{i1}\)
\(\times\)
\(b_{1j}\)
\(+ \cdots +\)
\(a_{in}\)
\(\times\)
\(b_{nj}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(c_{ij}\): element in rij \(i\), kolom \(j\) van het product \(AB\)
\(=\)
①
\(a_{i1}\): 1e element in rij \(i\) van A
\(\times\)
②
\(b_{1j}\): 1e element in kolom \(j\) van B
\(+ \cdots +\)
\(a_{in}\): \(n\)e element in rij \(i\) van A
\(\times\)
\(b_{nj}\): \(n\)e element in kolom \(j\) van B
De formule in woorden
①
Maak paren van de
\(a_{i1}, \dots, a_{in}\): elementen in rij \(i\) van A
met de
②
\(b_{1j}, \dots, b_{nj}\): elementen in kolom \(j\) van B
: vermenigvuldig elk paar vanaf het begin en tel alles op, dan krijg je het
③
\(c_{ij}\): element in rij \(i\), kolom \(j\) van het product \(AB\)
Een eenvoudig voorbeeld
Het element (1, 1) van AB is het inproduct van “rij 1 van A” en “kolom 1 van B”. Bijvoorbeeld:
\(c_{11} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\)
Het belangrijkste idee
Het product \(AB\) kun je alleen berekenen (het is alleen gedefinieerd) als “kolommen van A = rijen van B”. Het product van een \(m \times n\)-matrix en een \(n \times p\)-matrix is een \(m \times p\)-matrix.
En anders dan bij gewone getallen mag je de volgorde niet omdraaien (\(AB\) en \(BA\) zijn meestal niet gelijk en soms is er maar één van de twee gedefinieerd).
Transponeren (rijen en kolommen verwisselen)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
\((A^{T})_{ij}\)
\(=\)
\(a_{ji}\)
②
element in rij \(i\), kolom \(j\) van de getransponeerde \(A^{T}\)
\(=\)
①
\(a_{ji}\): element in rij \(j\), kolom \(i\) van A
De formule in woorden
①
Het
\(a_{ji}\): element in rij \(j\), kolom \(i\) van A
wordt, als je rijen en kolommen verwisselt, het
②
element in rij \(i\), kolom \(j\) van de getransponeerde \(A^{T}\)
Een eenvoudig voorbeeld
Als je een 2×3-matrix transponeert, gaat rij 1 naar kolom 1 en rij 2 naar kolom 2, en krijg je een 3×2-matrix
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)
Het belangrijkste idee
Naast \(A^{T}\) schrijven sommige boeken en programma’s de getransponeerde ook als \(A^{\top}\) of \(A'\). Twee keer transponeren brengt je terug bij het origineel (\((A^{T})^{T} = A\)).
Machten (steeds dezelfde vierkante matrix vermenigvuldigen)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
\(A^{n}\)
\(=\)
\(\underbrace{A\,A\,\cdots\,A}_{n}\)
②
\(A^{n}\): matrix \(A\) tot de \(n\)e macht
\(=\)
①
\(n\) keer de vierkante matrix \(A\) met zichzelf vermenigvuldigd
De formule in woorden
①
\(n\) keer de vierkante matrix \(A\) met zichzelf vermenigvuldigd
geeft
②
\(A^{n}\): matrix \(A\) tot de \(n\)e macht
(reken van links naar rechts: \(A^{2}=AA\), \(A^{3}=A^{2}A\), enzovoort)
Een eenvoudig voorbeeld
De derde macht van \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) vraagt twee vermenigvuldigingen:
\(A^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
Het belangrijkste idee
Machten bestaan alleen voor vierkante matrices (rijen = kolommen). Is de matrix niet vierkant, dan kan niet voldaan worden aan de voorwaarde voor het product \(AA\): “kolommen van A = rijen van A”.
Let er ook op dat je niet elk element tot de \(n\)e macht verheft: je herhaalt de matrixvermenigvuldiging \(n-1\) keer.
Matrices optellen en aftrekken gaat “element voor element op dezelfde plaats”, en vermenigvuldigen is opgebouwd uit “het inproduct van een rij van A en een kolom van B”. Vermenigvuldigen kan alleen als “kolommen van A = rijen van B”, en het grote verschil met gewone getallen is dat het omdraaien van de volgorde meestal het resultaat verandert.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(A,\ B\) | A, B | Namen die je aan matrices geeft. Matrices noem je gewoonlijk met hoofdletters. |
| \(a_{ij}\) | a i j | Het element van matrix \(A\) in rij \(i\), kolom \(j\) (het getal in de \(i\)e rij van boven en de \(j\)e kolom van links). De kleine letters rechtsonder (de indices) geven de plaats aan. |
| \(b_{ij}\) | b i j | Het element van matrix \(B\) in rij \(i\), kolom \(j\). Je leest het op dezelfde manier als \(a_{ij}\); alleen de naam van de matrix verschilt. |
| \(m \times n\) | m bij n | Het formaat (de afmetingen) van een matrix: \(m\) rijen (horizontale lijnen) en \(n\) kolommen (verticale lijnen). (Voorbeeld: een 2×3-matrix heeft 2 getallen onder elkaar en 3 naast elkaar, samen 6 getallen.) |
| \(c_{ij}\) | c i j | Als je het product \(AB\) \(C\) noemt, het element van \(C\) in rij \(i\), kolom \(j\). |
| \(A^{T}\) | A getransponeerd | De getransponeerde van \(A\): de matrix met rijen en kolommen verwisseld. Ze wordt ook geschreven als \(A^{\top}\) of \(A'\). |
| \(A^{n}\) | A tot de n | De matrix die je krijgt door \(n\) keer \(A\) met zichzelf te vermenigvuldigen. Ze bestaat alleen voor vierkante matrices. |
| \(\sum\) | sigma | Het teken voor “alles bij elkaar optellen”. \(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\) betekent: tel \(a_{ik} b_{kj}\) op voor elke \(k\) van 1 tot \(n\). |
Begrippen
| matrix | Getallen die in een rechthoek zijn gerangschikt (rijen en kolommen). Elk getal erin heet een element. Net als in een spreadsheet geef je een plaats aan met “welke rij en welke kolom”. |
| rij | Een horizontale lijn getallen in een matrix. Rijen tel je van boven naar beneden: rij 1, rij 2, enzovoort. Denk aan de rijen stoelen in een theater. |
| kolom | Een verticale lijn getallen in een matrix. Kolommen tel je van links naar rechts: kolom 1, kolom 2, enzovoort. Denk aan de kolommen (zuilen) van een gebouw, die rechtop staan. |
| element | Elk getal in een matrix. Het element in rij \(i\), kolom \(j\) schrijf je met indices, zoals \(a_{ij}\). |
| vierkante matrix | Een matrix met evenveel rijen als kolommen (de vorm van een vierkant). Machten, en ook determinanten en inverses (die op deze pagina niet aan bod komen), bestaan alleen voor vierkante matrices. |
| getransponeerde matrix | De matrix met rijen en kolommen verwisseld. De getransponeerde van een \(m \times n\)-matrix is een \(n \times m\)-matrix. |
| inproduct | De waarde die je krijgt door twee rijtjes getallen vanaf het begin in paren te zetten, elk paar te vermenigvuldigen en alles op te tellen. Bij matrixvermenigvuldiging geeft het inproduct van een rij van A en een kolom van B één element van het product. |
| lineaire algebra | Het deel van de wiskunde over matrices en vectoren. Het is vaak een verplicht vak in het eerste studiejaar aan hbo of universiteit en vormt de basis van computergraphics, statistiek, AI en meer. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met echt begrip, en niet alleen door op de knop te drukken.
| Rekenen met negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Rekenen met letters en indices (klas 1 tot en met de bovenbouw, 12-18 jaar) |
|
| Machten (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Rijen en kolommen van een tabel (basisschool) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de som A + B te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 2 |
| Rij 2 van matrix A | 3 | 4 |
| Rij 1 van matrix B | 5 | 6 |
| Rij 2 van matrix B | 7 | 8 |
| Rij 1 van A + B | =B1+B3 | =C1+C3 |
| Rij 2 van A + B | =B2+B4 | =C2+C4 |
Tabel om het verschil A − B te vinden
| Rij 1 van matrix A | 9 | 8 |
| Rij 2 van matrix A | 7 | 6 |
| Rij 1 van matrix B | 1 | 2 |
| Rij 2 van matrix B | 3 | 4 |
| Rij 1 van A − B | =B1-B3 | =C1-C3 |
| Rij 2 van A − B | =B2-B4 | =C2-C4 |
Tabel om het product AB te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 2 |
| Rij 2 van matrix A | 3 | 4 |
| Rij 1 van matrix B | 2 | 0 |
| Rij 2 van matrix B | 1 | 2 |
| AB (loopt automatisch over vanaf rij 1) | =PRODUCTMAT(B1:C2;B3:C4) |
Tabel om de getransponeerde Aᵀ te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 2 | 3 |
| Rij 2 van matrix A | 4 | 5 | 6 |
| Aᵀ (loopt automatisch over vanaf rij 1) | =TRANSPONEREN(B1:D2) |
Tabel om de macht A³ te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 1 |
| Rij 2 van matrix A | 0 | 1 |
| A³ (loopt automatisch over vanaf rij 1) | =PRODUCTMAT(PRODUCTMAT(B1:C2;B1:C2);B1:C2) |
Voor optellen en aftrekken combineer je gewoon de cellen op dezelfde plaats, zoals in “=B1+B3” (in de eerste tabel komt A + B uit op 6, 8, 10, 12).
Gebruik de functie PRODUCTMAT voor vermenigvuldigen en de functie TRANSPONEREN voor de getransponeerde. In recente versies van Excel (zoals Microsoft 365) loopt het resultaat automatisch over naar de aangrenzende cellen (overloopgedrag). In de derde tabel is AB gelijk aan 4, 4, 10, 8 en in de vijfde tabel is A³ gelijk aan 1, 3, 0, 1.
In oudere versies van Excel selecteer je eerst een bereik van dezelfde grootte als het resultaat, typ je de formule en bevestig je met Ctrl+Shift+Enter.
Gebruik de functie PRODUCTMAT voor vermenigvuldigen en de functie TRANSPONEREN voor de getransponeerde. In recente versies van Excel (zoals Microsoft 365) loopt het resultaat automatisch over naar de aangrenzende cellen (overloopgedrag). In de derde tabel is AB gelijk aan 4, 4, 10, 8 en in de vijfde tabel is A³ gelijk aan 1, 3, 0, 1.
In oudere versies van Excel selecteer je eerst een bereik van dezelfde grootte als het resultaat, typ je de formule en bevestig je met Ctrl+Shift+Enter.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de som A + B te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 2 |
| Rij 2 van matrix A | 3 | 4 |
| Rij 1 van matrix B | 5 | 6 |
| Rij 2 van matrix B | 7 | 8 |
| Rij 1 van A + B | =B1+B3 | =C1+C3 |
| Rij 2 van A + B | =B2+B4 | =C2+C4 |
Tabel om het product AB te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 2 |
| Rij 2 van matrix A | 3 | 4 |
| Rij 1 van matrix B | 2 | 0 |
| Rij 2 van matrix B | 1 | 2 |
| AB (loopt automatisch over vanaf rij 1) | =PRODUCTMAT(B1:C2;B3:C4) |
Tabel om de getransponeerde Aᵀ te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 2 | 3 |
| Rij 2 van matrix A | 4 | 5 | 6 |
| Aᵀ (loopt automatisch over vanaf rij 1) | =TRANSPONEREN(B1:D2) |
Tabel om de macht A³ te vinden
| Rij 1 van matrix A | 1 | 1 |
| Rij 2 van matrix A | 0 | 1 |
| A³ (loopt automatisch over vanaf rij 1) | =PRODUCTMAT(PRODUCTMAT(B1:C2;B1:C2);B1:C2) |
Dezelfde functies PRODUCTMAT en TRANSPONEREN als in Excel werken zoals ze zijn. Kopieer de hele tabel en plak die in cel A1.
In Google Spreadsheets lopen de resultaten van PRODUCTMAT en TRANSPONEREN automatisch over naar de aangrenzende cellen (Ctrl+Shift+Enter is niet nodig).
In Google Spreadsheets lopen de resultaten van PRODUCTMAT en TRANSPONEREN automatisch over naar de aangrenzende cellen (Ctrl+Shift+Enter is niet nodig).
Berekenen met Python
A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[2, 0], [1, 2]]
def matrix_add(x, y): # optellen (tel de elementen op dezelfde plaats op)
return [[x[i][j] + y[i][j] for j in range(len(x[0]))] for i in range(len(x))]
def matrix_multiply(x, y): # vermenigvuldigen (inproduct van een rij van A en een kolom van B)
return [[sum(x[i][k] * y[k][j] for k in range(len(y))) for j in range(len(y[0]))] for i in range(len(x))]
def matrix_transpose(x): # transponeren (rijen en kolommen verwisselen)
return [[x[i][j] for i in range(len(x))] for j in range(len(x[0]))]
def matrix_power(x, n): # macht (n keer van links naar rechts vermenigvuldigen)
result = x
for _ in range(n - 1):
result = matrix_multiply(result, x)
return result
print("A + B =", matrix_add(A, B))
print("AB =", matrix_multiply(A, B))
print("Getransponeerde van A =", matrix_transpose(A))
print("A tot de derde macht =", matrix_power(A, 3))
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. Vervang bovenaan A en B door je eigen matrices en voer de code uit (voor aftrekken verander je in matrix_add alleen de “+” in “-”). Voor serieus numeriek werk gebruik je meestal NumPy, een bibliotheek die voor matrices is gemaakt (vermenigvuldigen schrijf je daar als “A @ B”).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Optellen en aftrekken (element voor element op dezelfde plaats)
(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub>
<mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
(A + B)_(ij) = a_(ij) + b_(ij)
A + B
C := A + B;
C = A + B;
(A + B)_ij = a_ij + b_ij
Vermenigvuldigen (inproduct van een rij van A en een kolom van B)
cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ⋯ + aᵢₙbₙⱼ
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>c</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub>
<msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
c_(ij) = sum_(k=1)^(n) a_(ik) b_(kj)
A . B
C := A . B;
C = A * B;
c_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj
Transponeren (rijen en kolommen verwisselen)
(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ
(A^{T})_{ij} = a_{ji}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub>
<mrow><mo>(</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
(A^T)_(ij) = a_(ji)
Transpose[A]
C := LinearAlgebra:-Transpose(A);
C = A.';
(A^T)_ij = a_ji
Machten (steeds dezelfde vierkante matrix vermenigvuldigen)
Aⁿ = AA⋯A
A^{n} = \underbrace{AA\cdots A}_{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi><mi>A</mi><mo>⋯</mo><mi>A</mi>
</mrow>
</math>
A^n
MatrixPower[A, n]
C := A^n;
C = A^n;
A^n
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor matrices. Voer de volgende berekening uit door Python-code daadwerkelijk uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken). Bereken voor de matrices A = [[1, 2], [3, 4]] en B = [[2, 0], [1, 2]] elk van de volgende matrices. 1. De som A + B 2. Het verschil A − B 3. Het product AB 4. De getransponeerde van A 5. A tot de derde macht (A³) Laat voor elke matrix de formule zien die je hebt gebruikt (welke elementen je hoe hebt gecombineerd) en de resulterende matrix uit de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Inverse matrix berekenen (2×2, 3×3, 4×4)
Bereken de inverse matrix A⁻¹, de matrix die de eenheidsmatrix oplevert als je ermee vermenigvuldigt. Er wordt ook gecontroleerd of de inverse bestaat
Determinant berekenen (2×2, 3×3, 4×4)
Bereken de determinant det(A) van een vierkante matrix, met stappen voor de regel van Sarrus en de ontwikkeling naar cofactoren
Machten berekenen (a tot de macht n, exponent en grondtal)
Machten van gewone getallen (zoals 2 tot de macht 10), niet van matrices
Rekenen met wetenschappelijke notatie (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen, machten)
Een zusterpagina waar je stap voor stap leert rekenen met de rekenregels voor machten
