행렬 계산기(덧셈·뺄셈·곱셈·전치·거듭제곱)

연산의 종류와 행렬의 크기(행의 수·열의 수)를 고르고, 칸에 성분을 입력하세요. 전치 Aᵀ와 거듭제곱 Aⁿ은 행렬 A만 씁니다.

연산의 종류

행렬 A의 행의 수

행렬 A의 열의 수

행렬 B의 행의 수

행렬 B의 열의 수

지수 n(A를 곱하는 개수)

성분은 숫자(소수·음수도 가능)로 입력하세요. 덧셈·뺄셈은 A와 B의 크기가 같을 때, 곱셈 AB는 ‘A의 열의 수 = B의 행의 수’일 때만 계산할 수 있습니다.

계산 결과

왼쪽에서 연산의 종류와 행렬의 크기를 고르고 성분을 넣은 뒤 ‘계산’을 누르면 여기에 결과 행렬과 풀이 과정이 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

2×2~4×4(2×3 같은 직사각형 모양도 가능) 행렬끼리의 덧셈 \(A+B\), 뺄셈 \(A-B\), 곱셈 \(AB\)를 바로 계산할 수 있습니다
행과 열을 바꾸는 전치 \(A^{T}\)와 정사각행렬의 거듭제곱 \(A^{n}\)(\(n\)은 1~10)도 계산할 수 있습니다
곱셈의 ‘행 × 열의 내적’ 등 계산 방법을 실제 수의 풀이 과정으로 확인할 수 있습니다
공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트(MMULT, TRANSPOSE)·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다

한국에서는 2022 개정 교육과정부터 고등학교 1학년 ‘공통수학1’에서 2×2까지의 행렬의 덧셈·뺄셈·실수배·곱셈을 배우고, 더 큰 행렬과 행렬식·역행렬은 주로 대학의 선형대수에서 배웁니다. 행렬식·역행렬은 이 페이지에서 다루지 않습니다.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

게임·3D 그래픽에서 캐릭터 움직이기

3D 그래픽에서는 캐릭터를 회전하거나 확대·축소하는 변환을 ‘좌표에 행렬을 곱하는’ 계산으로 합니다. 여러 변환을 연달아 할 때도 행렬끼리 먼저 곱해 하나의 행렬로 합칠 수 있습니다.
게임기나 컴퓨터의 GPU(그래픽 처리 장치)는 이런 행렬의 곱셈을 엄청난 양으로 해내기 위한 전용 계산기입니다.

사진·이미지 편집(이미지는 수의 행렬)

디지털 이미지는 각 화소의 밝기를 행과 열로 늘어놓은 행렬 그 자체입니다. 사진 앱의 흐림·선명하게 같은 필터는 이 행렬에 대한 연산으로 계산합니다.
‘이미지를 행렬로 보는’ 생각은 이미지 인식 같은 AI 기술의 출발점이기도 합니다.

연립방정식을 한꺼번에 풀기(구조 계산·전기 회로)

미지수가 많은 연립방정식도 계수를 행렬로 정리하면 \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\)라는 하나의 식으로 쓸 수 있습니다.
건물의 강도 계산이나 전기 회로의 해석에서는 수천~수만 개의 방정식을 이 꼴로 만들어 컴퓨터의 행렬 계산으로 한꺼번에 풉니다.

노선도·SNS의 연결 세기(인접행렬과 거듭제곱)

역과 역, 사람과 사람의 연결을 ‘이어져 있으면 1, 아니면 0’으로 나타낸 행렬(인접행렬)을 만들면, 거듭제곱 \(A^{n}\)의 (\(i\), \(j\)) 성분은 ‘\(i\)에서 \(j\)까지 정확히 \(n\)번 연결을 따라가는 방법의 수’가 됩니다.
이 생각은 길 찾기 서비스나 SNS의 ‘친구의 친구’ 분석의 기초 중 하나입니다.

경제의 파급 효과 어림하기(산업연관표)

한국은행 등이 작성하는 산업연관표는 각 산업이 다른 산업에서 얼마나 사들이는지를 큰 행렬로 나타낸 것입니다. ‘어떤 산업의 수요가 늘면 다른 산업의 생산이 얼마나 늘어나는가’ 하는 파급 효과는 이 표에 대한 행렬 계산으로 어림합니다(노벨 경제학상을 받은 레온티예프가 개발한 방법).

AI(기계 학습)의 속은 행렬의 곱셈

글이나 이미지를 다루는 AI(신경망)의 계산은 대부분 ‘입력된 수의 나열에 학습으로 얻은 행렬을 곱하는’ 일의 반복입니다.
AI를 학습시키고 움직이는 계산의 많은 부분이 행렬의 곱셈이기 때문에, 행렬 계산에 강한 GPU가 AI 개발에 꼭 필요해졌습니다.

공식

덧셈·뺄셈(같은 위치의 성분끼리 계산)

수학 표기 (일반적인 수식)

\((A+B)_{ij}\) \(=\) \(a_{ij}\) \(+\) \(b_{ij}\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

③ 합의 행렬 \(A+B\)의 (\(i\), \(j\)) 성분 \(=\) ① A의 (\(i\), \(j\)) 성분(\(a_{ij}\)) \(+\) ② B의 (\(i\), \(j\)) 성분(\(b_{ij}\))

공식을 말로 읽으면

① A의 (\(i\), \(j\)) 성분(\(a_{ij}\)) 과

② B의 (\(i\), \(j\)) 성분(\(b_{ij}\)) 을 더하면

③ 합의 행렬 \(A+B\)의 (\(i\), \(j\)) 성분 이 됩니다(뺄셈은 ‘+’를 ‘−’로 바꾸기만 하면 됩니다)

간단한 예

두 2×2 행렬의 덧셈은 같은 위치의 성분끼리 더합니다

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)

이해의 핵심

덧셈·뺄셈은 A와 B의 크기(행의 수와 열의 수)가 같을 때만 할 수 있습니다. 덧셈은 순서를 바꾸어도 같지만(\(A+B=B+A\)), 뺄셈은 보통의 수와 마찬가지로 순서에 따라 답이 달라집니다.

곱셈(A의 행과 B의 열의 내적)

수학 표기 (일반적인 수식)

\(c_{ij}\) \(=\) \(a_{i1}\) \(\times\) \(b_{1j}\) \(+ \cdots +\) \(a_{in}\) \(\times\) \(b_{nj}\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

③ 곱 \(AB\)의 (\(i\), \(j\)) 성분(\(c_{ij}\)) \(=\) ① A의 제\(i\)행의 1번째(\(a_{i1}\)) \(\times\) ② B의 제\(j\)열의 1번째(\(b_{1j}\)) \(+ \cdots +\) A의 제\(i\)행의 \(n\)번째(\(a_{in}\)) \(\times\) B의 제\(j\)열의 \(n\)번째(\(b_{nj}\))

공식을 말로 읽으면

① A의 제\(i\)행의 성분(\(a_{i1}, \dots, a_{in}\)) 과

② B의 제\(j\)열의 성분(\(b_{1j}, \dots, b_{nj}\)) 을 앞에서부터 차례로 짝지어 곱해 모두 더하면

③ 곱 \(AB\)의 (\(i\), \(j\)) 성분(\(c_{ij}\)) 이 됩니다

간단한 예

곱 AB의 (1, 1) 성분은 ‘A의 1행’과 ‘B의 1열’의 내적입니다. 예를 들어

\(c_{11} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4\)

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\)

이해의 핵심

곱 \(AB\)를 계산할 수 있는(정의할 수 있는) 것은 ‘A의 열의 수 = B의 행의 수’일 때뿐입니다. \(m \times n\) 행렬과 \(n \times p\) 행렬의 곱은 \(m \times p\) 행렬이 됩니다. 또 보통의 수와 달리 순서를 바꿀 수 없습니다(\(AB\)와 \(BA\)는 일반적으로 같지 않고, 한쪽만 정의되는 경우도 있습니다).

전치(행과 열을 바꾸기)

수학 표기 (일반적인 수식)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

\((A^{T})_{ij}\) \(=\) \(a_{ji}\)

② 전치행렬 \(A^{T}\)의 (\(i\), \(j\)) 성분 \(=\) ① A의 (\(j\), \(i\)) 성분(\(a_{ji}\))

공식을 말로 읽으면

① A의 (\(j\), \(i\)) 성분(\(a_{ji}\)) 이 행과 열을 바꾼

② 전치행렬 \(A^{T}\)의 (\(i\), \(j\)) 성분 이 됩니다

간단한 예

2×3 행렬을 전치하면 1행이 1열로, 2행이 2열로 옮겨 가서 3×2 행렬이 됩니다

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)

이해의 핵심

전치행렬은 \(A^{T}\) 외에 책이나 소프트웨어에 따라 \(A^{\top}\)나 \(A'\)으로 쓰기도 합니다. 두 번 전치하면 원래대로 돌아옵니다(\((A^{T})^{T} = A\)).

거듭제곱(같은 정사각행렬을 되풀이해 곱하기)

수학 표기 (일반적인 수식)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

\(A^{n}\) \(=\) \(\underbrace{A\,A\,\cdots\,A}_{n}\)

② 행렬 \(A\)의 \(n\)제곱(\(A^{n}\)) \(=\) ① 정사각행렬 \(A\)를 \(n\)개 늘어놓고 곱한 것

공식을 말로 읽으면

① 정사각행렬 \(A\)를 \(n\)개 늘어놓고 곱한 것 이

② 행렬 \(A\)의 \(n\)제곱(\(A^{n}\)) 이 됩니다(앞에서부터 차례로 \(A^{2}=AA\), \(A^{3}=A^{2}A\), …처럼 계산합니다)

간단한 예

\(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)의 세제곱은 곱셈을 두 번 되풀이해서

\(A^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

\(A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)

이해의 핵심

거듭제곱은 정사각행렬(행의 수 = 열의 수)만 할 수 있습니다. 정사각형 모양이 아니면 \(AA\)의 곱셈 조건 ‘A의 열의 수 = A의 행의 수’를 만족할 수 없기 때문입니다. 또 성분을 하나씩 \(n\)제곱하는 것이 아니라 행렬의 곱셈을 \(n-1\)번 되풀이한다는 점에 주의하세요.

행렬의 덧셈·뺄셈은 ‘같은 위치의 성분끼리’, 곱셈은 ‘A의 행과 B의 열의 내적’이 기본입니다. 곱셈은 ‘A의 열의 수 = B의 행의 수’일 때만 정의되고, 순서를 바꾸면 결과가 달라지는 것이 보통의 수와 크게 다른 점입니다.

용어·기호 해설

기호

\(A,\ B\)	에이, 비	행렬에 붙이는 이름. 행렬은 알파벳 대문자로 나타내는 것이 관례입니다.
\(a_{ij}\)	에이 아이 제이	행렬 \(A\)의 (\(i\), \(j\)) 성분(위에서 \(i\)번째 행, 왼쪽에서 \(j\)번째 열에 있는 수). 오른쪽 아래의 작은 문자(첨자)가 ‘위치’를 나타냅니다.
\(b_{ij}\)	비 아이 제이	행렬 \(B\)의 (\(i\), \(j\)) 성분. 읽는 방법은 \(a_{ij}\)와 같고 행렬의 이름만 다릅니다.
\(m \times n\)	엠 곱하기 엔	행렬의 크기(꼴). \(m\)개의 행(가로줄)과 \(n\)개의 열(세로줄)로 이루어진 행렬을 \(m \times n\) 행렬이라고 합니다(예: 2×3 행렬은 수가 세로로 2개, 가로로 3개, 모두 6개 늘어선 행렬).
\(c_{ij}\)	시 아이 제이	곱 \(AB\)를 \(C\)라고 둘 때 \(C\)의 (\(i\), \(j\)) 성분.
\(A^{T}\)	에이 트랜스포즈(A의 전치)	\(A\)의 전치행렬. 행과 열을 바꾼 행렬이며, \(A^{\top}\)나 \(A'\)으로 쓰기도 합니다.
\(A^{n}\)	에이의 엔제곱	\(A\)를 \(n\)개 곱한 행렬. 정사각행렬에서만 정의됩니다.
\(\sum\)	시그마	‘모두 더한다’는 것을 나타내는 기호. \(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\)는 \(k\)를 1부터 \(n\)까지 바꾸어 가며 \(a_{ik} b_{kj}\)를 모두 더하라는 뜻입니다.

용어

행렬	수를 직사각형(가로세로) 모양으로 늘어놓은 것. 늘어선 수 하나하나를 성분이라고 합니다. 스프레드시트의 표처럼 ‘몇 번째 행, 몇 번째 열’로 위치를 나타냅니다.
행	행렬의 ‘가로줄’. 위에서부터 차례로 제1행, 제2행, …으로 셉니다. 한국어판 Excel에서도 1행, 2행은 가로줄입니다.
열	행렬의 ‘세로줄’. 왼쪽에서부터 차례로 제1열, 제2열, …로 셉니다. Excel의 A열, B열이 세로줄인 것과 같으니 ‘행은 가로, 열은 세로’로 기억하세요.
성분	행렬 안의 수 하나하나. 원소라고도 합니다. 제\(i\)행 제\(j\)열의 성분을 (\(i\), \(j\)) 성분이라 하고 \(a_{ij}\)처럼 첨자로 나타냅니다.
정사각행렬	행의 수와 열의 수가 같은(정사각형 모양의) 행렬. 거듭제곱이나, 이 페이지에서 다루지 않는 행렬식·역행렬은 정사각행렬에서만 생각합니다.
전치행렬	행과 열을 바꾼 행렬. \(m \times n\) 행렬을 전치하면 \(n \times m\) 행렬이 됩니다.
내적	두 수의 나열을 ‘앞에서부터 차례로 짝지어 곱해 모두 더한’ 값. 행렬의 곱셈에서는 A의 행과 B의 열의 내적이 곱의 성분 하나가 됩니다.
선형대수	행렬이나 벡터를 다루는 수학의 분야. 대학 1~2학년의 필수 과목으로 배우는 경우가 많고, 컴퓨터 그래픽·통계·AI 등 응용의 바탕이 됩니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.

정수와 유리수의 사칙계산(중학교 1학년, 12~13세)	음수가 들어간 덧셈·뺄셈·곱셈을 정확하게 할 수 있는 것
문자와 식, 첨자(중학교 1학년~고등학교, 12~18세)	\(a_{12}\) 같은 오른쪽 아래의 작은 문자(첨자)가 ‘값’이 아니라 ‘위치를 구별하는 표시’라는 것을 읽어 낼 수 있는 것
거듭제곱(중학교 1학년, 12~13세)	\(A^{3}\)의 오른쪽 위의 수(지수)가 ‘3개를 곱한다’는 것을 나타낸다는 것을 아는 것
표의 행과 열(초등학교부터)	표에서 ‘행은 가로줄, 열은 세로줄’임을 알고 ‘2행 3열’처럼 위치를 나타낼 수 있는 것

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘덧셈 A + B’를 구하는 표

행렬 A의 1행	1	2
행렬 A의 2행	3	4
행렬 B의 1행	5	6
행렬 B의 2행	7	8
A + B의 1행	=B1+B3	=C1+C3
A + B의 2행	=B2+B4	=C2+C4

‘뺄셈 A − B’를 구하는 표

행렬 A의 1행	9	8
행렬 A의 2행	7	6
행렬 B의 1행	1	2
행렬 B의 2행	3	4
A − B의 1행	=B1-B3	=C1-C3
A − B의 2행	=B2-B4	=C2-C4

‘곱셈 AB’를 구하는 표

행렬 A의 1행	1	2
행렬 A의 2행	3	4
행렬 B의 1행	2	0
행렬 B의 2행	1	2
AB(1행부터 자동으로 채워짐)	=MMULT(B1:C2,B3:C4)

‘전치 Aᵀ’를 구하는 표

행렬 A의 1행	1	2	3
행렬 A의 2행	4	5	6
Aᵀ(1행부터 자동으로 채워짐)	=TRANSPOSE(B1:D2)

‘거듭제곱 A³’을 구하는 표

행렬 A의 1행	1	1
행렬 A의 2행	0	1
A³(1행부터 자동으로 채워짐)	=MMULT(MMULT(B1:C2,B1:C2),B1:C2)

덧셈·뺄셈은 같은 위치의 셀끼리 ‘=B1+B3’처럼 계산하기만 하면 됩니다(첫 번째 표라면 A + B는 6, 8, 10, 12가 됩니다).
곱셈은 MMULT 함수, 전치는 TRANSPOSE 함수를 씁니다. 최신 Excel(Microsoft 365 등)에서는 결과가 옆 셀로 자동으로 채워집니다(동적 배열의 ‘분산’). 세 번째 표라면 AB는 4, 4, 10, 8, 다섯 번째 표라면 A³은 1, 3, 0, 1이 됩니다.
예전 버전의 Excel에서는 먼저 결과와 같은 크기의 범위를 선택한 뒤 수식을 입력하고 Ctrl+Shift+Enter로 확정하세요.

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘덧셈 A + B’를 구하는 표

행렬 A의 1행	1	2
행렬 A의 2행	3	4
행렬 B의 1행	5	6
행렬 B의 2행	7	8
A + B의 1행	=B1+B3	=C1+C3
A + B의 2행	=B2+B4	=C2+C4

‘곱셈 AB’를 구하는 표

행렬 A의 1행	1	2
행렬 A의 2행	3	4
행렬 B의 1행	2	0
행렬 B의 2행	1	2
AB(1행부터 자동으로 채워짐)	=MMULT(B1:C2,B3:C4)

‘전치 Aᵀ’를 구하는 표

행렬 A의 1행	1	2	3
행렬 A의 2행	4	5	6
Aᵀ(1행부터 자동으로 채워짐)	=TRANSPOSE(B1:D2)

‘거듭제곱 A³’을 구하는 표

행렬 A의 1행	1	1
행렬 A의 2행	0	1
A³(1행부터 자동으로 채워짐)	=MMULT(MMULT(B1:C2,B1:C2),B1:C2)

Excel의 MMULT, TRANSPOSE와 같은 함수를 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣으세요.
Google 스프레드시트에서는 MMULT, TRANSPOSE의 결과가 옆 셀로 자동으로 채워집니다(Ctrl+Shift+Enter는 필요 없습니다).

Python으로 계산하는 방법

A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[2, 0], [1, 2]]

def matrix_add(x, y):        # 덧셈 (같은 위치의 성분끼리 더함)
    return [[x[i][j] + y[i][j] for j in range(len(x[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_multiply(x, y):   # 곱셈 (A의 행과 B의 열의 내적)
    return [[sum(x[i][k] * y[k][j] for k in range(len(y))) for j in range(len(y[0]))] for i in range(len(x))]

def matrix_transpose(x):     # 전치 (행과 열을 바꿈)
    return [[x[i][j] for i in range(len(x))] for j in range(len(x[0]))]

def matrix_power(x, n):      # 거듭제곱 (앞에서부터 차례로 n번 곱함)
    result = x
    for _ in range(n - 1):
        result = matrix_multiply(result, x)
    return result

print("A + B =", matrix_add(A, B))
print("AB =", matrix_multiply(A, B))
print("A의 전치 =", matrix_transpose(A))
print("A의 세제곱 =", matrix_power(A, 3))

표준 라이브러리만으로 동작합니다. 맨 위의 A와 B를 원하는 행렬로 바꿔서 실행하세요(뺄셈은 matrix_add의 ‘+’를 ‘-’로 바꾸기만 하면 됩니다). 본격적인 수치 계산에서는 행렬 전용 라이브러리 NumPy(곱셈을 ‘A @ B’로 쓸 수 있습니다)를 쓰는 것이 정석입니다.

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

덧셈·뺄셈(같은 위치의 성분끼리 계산)

(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ

(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A + B)_(ij) = a_(ij) + b_(ij)

A + B

C := A + B;

C = A + B;

(A + B)_ij = a_ij + b_ij

곱셈(A의 행과 B의 열의 내적)

cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ⋯ + aᵢₙbₙⱼ

c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>c</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </munderover>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub>
    <msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

c_(ij) = sum_(k=1)^(n) a_(ik) b_(kj)

A . B

C := A . B;

C = A * B;

c_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj

전치(행과 열을 바꾸기)

(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ

(A^{T})_{ij} = a_{ji}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub>
      <mrow><mo>(</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
    </msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub>
  </mrow>
</math>

(A^T)_(ij) = a_(ji)

Transpose[A]

C := LinearAlgebra:-Transpose(A);

C = A.';

(A^T)_ij = a_ji

거듭제곱(같은 정사각행렬을 되풀이해 곱하기)

Aⁿ = AA⋯A

A^{n} = \underbrace{AA\cdots A}_{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup>
    <mo>=</mo>
    <mi>A</mi><mi>A</mi><mo>&#x22EF;</mo><mi>A</mi>
  </mrow>
</math>

A^n

MatrixPower[A, n]

C := A^n;

C = A^n;

A^n

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 행렬 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).

행렬 A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[2, 0], [1, 2]]에 대해 다음 행렬을 각각 구해 주세요.
1. 합 A + B
2. 차 A − B
3. 곱 AB
4. A의 전치행렬
5. A의 세제곱

각각 사용한 식(어느 성분끼리 어떻게 계산했는지)과 실행 결과의 행렬을 보여 주세요.