삼각형의 세 변의 길이를 입력하세요. 높이를 몰라도 헤론의 공식으로 넓이를 계산할 수 있습니다. 중간 계산인 반둘레 s도 보여 줍니다.
세 변은 같은 단위로 맞춰 입력하세요(예: 모두 cm). 넓이는 그 단위의 제곱(cm로 입력하면 cm²)으로 표시됩니다. 어느 두 변의 합도 나머지 한 변보다 크지 않으면 삼각형을 만들 수 없습니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 삼각형의 세 변의 길이를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 삼각형의 세 변의 길이를 넣기만 하면 넓이를 바로 알 수 있습니다(높이를 잴 필요가 없습니다)
- 계산에는 헤론의 공식 \(S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)를 쓰고, 중간 계산인 반둘레 \(s\)도 함께 보여 줍니다
- 초등학교에서 배우는 ‘밑변 × 높이 ÷ 2’와 정삼각형의 넓이를 구하는 식 \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)도 쉬운 해설과 함께 소개합니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
세 변은 같은 단위로 맞춰 입력하세요(예: 모두 cm). 넓이는 그 단위의 제곱(cm로 입력하면 cm²)으로 표시됩니다. 또 ‘어느 두 변의 길이의 합도 나머지 한 변보다 크다’는 삼각형의 성립 조건을 만족하지 않는 세 변으로는 삼각형 자체를 만들 수 없으므로 계산할 수 없습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
땅의 넓이 재기(측량·부동산)
땅을 여러 개의 삼각형으로 나누어 넓이를 더하는 방법은 예부터 땅의 넓이를 구하는 기본 방법이었습니다. 삼각형마다 높이를 직접 재기 어려운 현장에서는 세 변의 거리를 재서 헤론의 공식으로 넓이를 구하는 방법도 쓰입니다.
예를 들어 세 변이 30 m, 45 m, 50 m인 삼각형 모양의 땅이라면 넓이는 약 666.6 m²(약 201.6평)입니다. 부동산 광고나 등기의 면적이 타당한지 스스로 확인할 수 있는 것은, 땅이라는 인생에서 가장 큰 구매의 순간에 든든한 지식입니다.
지붕·벽의 페인트칠과 자재 어림하기(건축·DIY)
박공지붕 아래 박공벽(삼각형 부분)이나 경사진 지붕의 끝부분 등 건물에는 삼각형 면이 많습니다. 밑변 8 m, 높이 3 m인 삼각형 벽이라면 \(8 \times 3 \div 2 = 12\) m²입니다.
페인트 통에는 ‘한 통으로 몇 m²를 칠할 수 있는지’가 적혀 있으므로, 넓이만 구하면 필요한 통 수와 비용을 직접 어림할 수 있습니다.
손공예·만들기 재료 어림하기
삼각 깃발(페넌트)이나 퀼트 조각 등 손공예에서는 삼각형 조각을 자주 씁니다. 밑변 20 cm, 높이 30 cm인 삼각 깃발 한 장의 넓이는 \(20 \times 30 \div 2 = 300\) cm²입니다.
필요한 장수만큼 넓이를 합하면 살 원단의 양을 낭비 없이 정할 수 있습니다.
3D 그래픽·게임의 세계는 삼각형으로 되어 있다
게임이나 영화의 3D 그래픽 모델은 엄청난 수의 작은 삼각형(폴리곤)을 조합해 만듭니다. 곡면처럼 보이는 캐릭터의 얼굴도 확대하면 삼각형의 모임입니다.
컴퓨터에게는 세 꼭짓점 사이의 거리(= 세 변의 길이)로 넓이를 구할 수 있는 헤론의 공식이 다루기 쉬워서, 도형 처리 프로그램의 기초로 지금도 쓰이고 있습니다. 게임 프로그래머와 그래픽 디자이너를 뒷받침하는 수학 가운데 하나입니다.
공식과 그림
헤론의 공식(세 변의 길이로 넓이 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(s\)
\(=\)
\((a+b+c)\)
\(\div\)
\(2\)
\(S\)
\(=\)
\(\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
반둘레 \(s\)
\(=\)
①
세 변의 길이의 합 \((a+b+c)\)
\(\div\)
②
2(절반으로 나눔)
⑤
삼각형의 넓이 \(S\)
\(=\)
④
\(s\), \(s-a\), \(s-b\), \(s-c\)를 곱한 수의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
세 변의 길이의 합(\(a+b+c\))
을
②
2(절반으로 나눔)
로 나눈 것이
③
반둘레(\(s\))
입니다.
④
\(s\), \(s-a\), \(s-b\), \(s-c\)의 네 수를 곱한 수의 제곱근
이
⑤
삼각형의 넓이(\(S\))
가 됩니다
간단한 예
세 변의 길이가 3 m, 4 m, 5 m인 삼각형의 넓이는 먼저 반둘레를 구한 뒤
반둘레 \(s\)
\(=\)
세 변의 합(3 + 4 + 5)
\(\div\)
2
삼각형의 넓이 \(S\)
\(=\)
\(\sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1}\)
\(s = (3 + 4 + 5) \div 2 = 6\)
\(S = \sqrt{6 \times (6-3) \times (6-4) \times (6-5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6\)
이해의 핵심
헤론의 공식의 가장 큰 장점은 ‘높이를 재지 않아도 세 변의 길이만으로 넓이를 구할 수 있다’는 것입니다. 1세기 무렵 알렉산드리아의 수학자 헤론의 이름을 딴 공식으로, 한국의 교육과정에서 따로 배우는 내용은 아니지만 삼각비·삼각함수를 배운 뒤 참고서의 심화 내용으로 자주 소개됩니다.
세 변으로 삼각형을 만들 수 없을 때(식 4의 삼각형의 성립 조건을 만족하지 않을 때)는 근호 안의 수가 0 이하가 되어 넓이를 계산할 수 없습니다. 식 자체가 ‘세 변으로 삼각형을 만들 수 있는지’도 알려 주는 셈입니다.
밑변 × 높이 ÷ 2(초등학교에서 배우는 기본 공식)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(S\)
\(=\)
\(b\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(2\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
삼각형의 넓이 \(S\)
\(=\)
①
밑변 \(b\)
\(\times\)
②
높이 \(h\)
\(\div\)
③
2(절반으로 나눔)
공식을 말로 읽으면
①
밑변(\(b\))
과
②
높이(\(h\))
를 곱해서
③
2(절반으로 나눔)
로 나누면
④
삼각형의 넓이(\(S\))
가 됩니다
간단한 예
밑변 6 cm, 높이 4 cm인 삼각형의 넓이는
삼각형의 넓이 \(S\)
\(=\)
밑변(6 cm)
\(\times\)
높이(4 cm)
\(\div\)
2
\(6 \times 4 \div 2 = 12\)
이해의 핵심
왜 2로 나눌까요? 같은 삼각형을 하나 더 준비해 거꾸로 붙이면 ‘밑변 × 높이’인 평행사변형이 딱 만들어집니다. 삼각형은 그 절반이므로 2로 나눕니다. 밑변은 어느 변을 골라도 되고, 높이는 밑변과 마주 보는 꼭짓점에서 밑변(또는 그 연장선)까지 수직으로 잰 거리입니다.
높이를 알고 있는 삼각형이라면 이 식이 가장 빠른 방법입니다. 예를 들어 세 변이 3, 4, 5인 삼각형은 직각삼각형이므로 밑변 3, 높이 4로 보면 \(3 \times 4 \div 2 = 6\)이 되어, 헤론의 공식으로 구한 넓이 6과 일치합니다.
정삼각형의 넓이(한 변의 길이만으로 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(S\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\times\)
\(a^2\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
정삼각형의 넓이 \(S\)
\(=\)
②
상수 \(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\)(약 0.433)
\(\times\)
①
한 변의 길이 \(a\)의 제곱
공식을 말로 읽으면
①
한 변의 길이 \(a\)의 제곱
에
②
상수(\(\dfrac{\sqrt{3}}{4}\), 약 0.433)
를 곱하면
③
정삼각형의 넓이(\(S\))
가 됩니다
간단한 예
한 변이 10 cm인 정삼각형의 넓이는
정삼각형의 넓이 \(S\)
\(=\)
상수(약 0.433)
\(\times\)
한 변의 제곱(10 × 10 = 100)
\(S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} \times 10^{2} \fallingdotseq 0.433 \times 100 = 43.3\)
이해의 핵심
정삼각형은 세 변이 모두 같으므로 헤론의 공식에 \(a = b = c\)를 대입하면 이 꼴까지 간단해집니다(\(s = \frac{3a}{2}\), \(s - a = \frac{a}{2}\)이므로 \(S = \sqrt{\frac{3a}{2} \times (\frac{a}{2})^3} = \sqrt{\frac{3a^4}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)).
\(\sqrt{3} \fallingdotseq 1.732\)이므로 \(\frac{\sqrt{3}}{4} \fallingdotseq 0.433\)입니다. ‘한 변의 제곱의 약 43%’라고 기억해 두면 암산으로 어림할 때도 쓸 수 있습니다.
삼각형의 성립 조건(세 변으로 삼각형을 만들 수 있는가)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(a + b\)
\(>\)
\(c\)
\(b + c\)
\(>\)
\(a\)
\(c + a\)
\(>\)
\(b\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
변 \(a\)와 변 \(b\)의 합
\(>\)
②
나머지 변 \(c\)
변 \(b\)와 변 \(c\)의 합
\(>\)
나머지 변 \(a\)
변 \(c\)와 변 \(a\)의 합
\(>\)
나머지 변 \(b\)
공식을 말로 읽으면
①
두 변의 길이의 합
이
②
나머지 한 변의 길이
보다 크다는 관계가 세 가지 조합 모두에서 성립할 때만 세 변으로 삼각형을 만들 수 있습니다
간단한 예
세 변이 1, 2, 10이면 가장 긴 변 10에 나머지 두 변의 합(1 + 2 = 3)이 미치지 못하므로 삼각형을 만들 수 없습니다
두 변의 합(1 + 2 = 3)
\(<\)
나머지 한 변(10)
\(1 + 2 = 3 < 10\)
이해의 핵심
두 변의 합이 나머지 한 변과 ‘꼭 같은’ 경우(예: 1, 2, 3)도 안 됩니다. 세 변이 한 직선 위에 납작하게 겹쳐 넓이가 0이 되어 삼각형이라고 할 수 없기 때문입니다. 이 계산기도 같은 경우는 오류로 처리합니다.
헤론의 공식과의 관계도 깔끔합니다. 성립 조건을 만족하지 않을 때는 근호 안의 \(s(s-a)(s-b)(s-c)\)가 0 이하가 되어 넓이를 계산할 수 없습니다.
세 변만 알 때는 ‘반둘레 s를 구해 헤론의 공식’, 높이를 알 때는 ‘밑변 × 높이 ÷ 2’. 어느 길로 가도 같은 넓이에 이릅니다. 계산하기 전에 세 변으로 삼각형을 만들 수 있는지(성립 조건)만 확인합시다.
용어·기호 해설
기호
| \(a\), \(b\), \(c\) | 에이, 비, 시 | 삼각형의 세 변의 길이입니다. 셋 모두 같은 단위(cm라면 모두 cm)로 맞춰 씁니다. |
| \(s\) | 에스(소문자) | 반둘레입니다. 세 변의 합(둘레의 길이)의 절반으로, \(s = (a+b+c) \div 2\)로 구합니다. 헤론의 공식의 중간 계산에 씁니다. |
| \(S\) | 에스(대문자) | 구하려는 삼각형의 넓이입니다. 한국의 교과서에서도 넓이를 나타내는 기호로 자주 씁니다. 소문자 \(s\)(반둘레)와는 다른 것이니 주의하세요. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | 루트(근호) | ‘제곱하면 그 수가 되는 수’(제곱근)를 나타내는 기호입니다. 예: \(\sqrt{36} = 6\)(6을 제곱하면 36이 됩니다). |
| \(b\), \(h\)(식 2에서 사용) | 비, 에이치 | ‘밑변 × 높이 ÷ 2’의 식에서 \(b\)는 밑변(base), \(h\)는 높이(height)를 나타냅니다. 헤론의 공식의 변 \(b\)와는 다른 뜻으로 쓰니 주의하세요. |
용어
| 헤론의 공식 | 세 변의 길이만으로 삼각형의 넓이를 구하는 공식입니다. 1세기 무렵 알렉산드리아의 수학자 헤론의 이름을 땄습니다. 한국의 교육과정에는 없지만 참고서의 심화 내용으로 자주 나옵니다. |
| 반둘레 | 둘레의 길이(세 변의 합)의 절반입니다. 헤론의 공식의 중간 계산에 쓰는 양으로, 기호는 소문자 \(s\)입니다. |
| 삼각형의 성립 조건 | 세 변의 길이로 삼각형을 만들 수 있는 조건으로, ‘어느 두 변의 길이의 합도 나머지 한 변보다 크다’는 것입니다(가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 작으면 됩니다). 두 변의 합이 나머지 한 변과 꼭 같으면 한 직선 위에 납작하게 겹쳐 삼각형이 되지 않습니다. |
| 밑변 | 넓이를 구할 때 기준으로 고른 변입니다. 어느 변을 골라도 되며, 고른 밑변에 따라 높이가 정해집니다. |
| 높이 | 밑변과 마주 보는 꼭짓점에서 밑변(또는 그 연장선)에 수직으로 내린 선분의 길이입니다. 어느 변을 밑변으로 고르느냐에 따라 달라집니다. |
| 정삼각형 | 세 변의 길이가 모두 같은 삼각형입니다. 한 변의 길이 \(a\)만으로 넓이가 정해지며, \(S = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2\)으로 구할 수 있습니다. |
| 제곱근 | 제곱하면 그 수가 되는 수입니다. 기호는 \(\sqrt{\phantom{a}}\)(근호, 루트)입니다. 예: \(\sqrt{144} = 12\)입니다. 중학교 3학년에서 배웁니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 삼각형의 넓이(초등학교 5학년) |
|
| 삼각형의 성립 조건(중학교 1학년) |
|
| 문자와 식, 대입(중학교 1~2학년) |
|
| 제곱근(중학교 3학년) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
헤론의 공식으로 넓이를 구하는 표
| 변 a의 길이 | 3 |
| 변 b의 길이 | 4 |
| 변 c의 길이 | 5 |
| 반둘레 s | =(B1+B2+B3)/2 |
| 삼각형의 넓이 S | =SQRT(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
밑변 × 높이 ÷ 2로 넓이를 구하는 표
| 밑변의 길이 | 6 |
| 높이 | 4 |
| 삼각형의 넓이 S | =B1*B2/2 |
정삼각형의 넓이를 구하는 표
| 한 변의 길이 a | 10 |
| 정삼각형의 넓이 S | =SQRT(3)/4*B1^2 |
첫 번째 표는 B1~B3이 세 변의 입력란이고, B4에 반둘레, B5에 넓이가 자동으로 계산됩니다. ‘SQRT’는 Excel의 제곱근(√) 함수, ‘^2’는 제곱이라는 뜻입니다.
예를 들어 첫 번째 표는 B4에 6, B5에 6이 표시됩니다(세 변이 3, 4, 5인 삼각형의 넓이는 6). 두 번째 표는 B3에 12, 세 번째 표는 B2에 약 43.3이 표시됩니다. 입력 숫자를 자신의 삼각형 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
예를 들어 첫 번째 표는 B4에 6, B5에 6이 표시됩니다(세 변이 3, 4, 5인 삼각형의 넓이는 6). 두 번째 표는 B3에 12, 세 번째 표는 B2에 약 43.3이 표시됩니다. 입력 숫자를 자신의 삼각형 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
헤론의 공식으로 넓이를 구하는 표
| 변 a의 길이 | 3 |
| 변 b의 길이 | 4 |
| 변 c의 길이 | 5 |
| 반둘레 s | =(B1+B2+B3)/2 |
| 삼각형의 넓이 S | =SQRT(B4*(B4-B1)*(B4-B2)*(B4-B3)) |
밑변 × 높이 ÷ 2로 넓이를 구하는 표
| 밑변의 길이 | 6 |
| 높이 | 4 |
| 삼각형의 넓이 S | =B1*B2/2 |
정삼각형의 넓이를 구하는 표
| 한 변의 길이 a | 10 |
| 정삼각형의 넓이 S | =SQRT(3)/4*B1^2 |
Excel과 같은 수식과 함수(SQRT)를 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 숫자를 자신의 삼각형 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
edge_a = 3.0 # 변 a의 길이
edge_b = 4.0 # 변 b의 길이
edge_c = 5.0 # 변 c의 길이
# 먼저 삼각형의 성립 조건(어느 두 변의 합도 나머지 한 변보다 큼)을 확인
if edge_a + edge_b > edge_c and edge_b + edge_c > edge_a and edge_c + edge_a > edge_b:
half_perimeter = (edge_a + edge_b + edge_c) / 2 # 반둘레 s
area = math.sqrt(half_perimeter * (half_perimeter - edge_a)
* (half_perimeter - edge_b) * (half_perimeter - edge_c))
print(f"반둘레 s: {half_perimeter}")
print(f"삼각형의 넓이 S: {area}")
else:
print("이 세 변으로는 삼각형을 만들 수 없습니다")
표준 라이브러리의 math만으로 동작합니다. math.sqrt(...)가 제곱근(√) 계산입니다. 맨 앞의 세 변의 길이를 자신의 값으로 바꿔 실행하세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
헤론의 공식(세 변의 길이로 넓이 구하기)
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c) / 2
S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}, \quad s = \dfrac{a+b+c}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mi>s</mi>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>s</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</msqrt>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>s</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2
s = (a + b + c)/2; Sqrt[s (s - a) (s - b) (s - c)]
s := (a + b + c)/2; S := sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
s = (a + b + c)/2; S = sqrt(s*(s - a)*(s - b)*(s - c));
S = √(s(s − a)(s − b)(s − c)), s = (a + b + c)/2
밑변 × 높이 ÷ 2(초등학교에서 배우는 기본 공식)
S = b × h ÷ 2
S = \dfrac{1}{2} b h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
<mi>b</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S = 1/2 b h
b*h/2
S := b*h/2;
S = b*h/2;
S = bh/2
정삼각형의 넓이(한 변의 길이만으로 구하기)
S = (√3 / 4) × a²
S = \dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msqrt><mn>3</mn></msqrt>
<mn>4</mn>
</mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = (sqrt(3)/4) a^2
Sqrt[3]/4*a^2
S := sqrt(3)/4*a^2;
S = sqrt(3)/4*a^2;
S = (√3/4)a^2
삼각형의 성립 조건(세 변으로 삼각형을 만들 수 있는가)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c, \quad b + c > a, \quad c + a > b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>b</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>></mo><mi>a</mi>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"/>
<mi>c</mi><mo>+</mo><mi>a</mi><mo>></mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
a + b > c, b + c > a, c + a > b
a + b > c && b + c > a && c + a > b
is(a + b > c and b + c > a and c + a > b);
(a + b > c) && (b + c > a) && (c + a > b)
a + b > c, b + c > a, c + a > b
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 도형 계산 도우미입니다. 다음 계산을 실제로 Python 코드를 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 삼각형의 세 변의 길이는 7.5, 10.2, 12.3입니다(단위는 m). 1. 이 세 변으로 삼각형을 만들 수 있는지(삼각형의 성립 조건) 확인하세요. 2. 반둘레 s = (a + b + c) ÷ 2를 구하세요. 3. 헤론의 공식 S = √(s(s−a)(s−b)(s−c))로 삼각형의 넓이를 구하세요. 계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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무료로 횟수 제한 없이 변환
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