원뿔의 밑면의 반지름과 높이를 입력하세요. 부피(1/3 × π × 반지름² × 높이)와 밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피, cm³·L·m³ 환산도 보여 줍니다.
반지름과 높이는 같은 단위로 맞춰서 0 이상의 수만 입력하세요(단위 없이 수만. 예: 3 cm라면 ‘3’).
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 밑면의 반지름과 높이를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 마우스로 돌려 볼 수 있는 3D 그림이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 밑면의 반지름과 높이만 넣으면 원뿔의 부피(부피 = \(\dfrac{1}{3}\) × 원주율 × 반지름² × 높이)를 바로 알 수 있습니다
- 계산 결과를 3D 그림으로도 보여 주므로, 마우스로 빙글 돌려 가며 어느 길이가 어디의 치수인지 눈으로 확인할 수 있습니다
- 밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피와의 비교(원뿔은 정확히 3분의 1)도 보여 주므로 공식의 뜻을 실감할 수 있습니다
- 부피의 단위 환산(cm로 입력했을 때의 L·m³)도 함께 보여 줍니다
- ‘왜 3분의 1인가’에 대한 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
반지름과 높이는 같은 단위로 맞춰서 입력하세요(cm면 둘 다 cm, m면 둘 다 m). 이 페이지에서 다루는 것은 꼭짓점이 밑면인 원의 중심 바로 위에 있는 ‘직원뿔’입니다. 원기둥·구·각뿔 등 다른 입체도형의 부피는 각각의 전용 페이지에서 다룹니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
아이스크림콘에 들어가는 양 알기(음식)
소프트아이스크림이나 아이스크림의 콘 부분은 원뿔입니다. 입구의 반지름이 3 cm, 깊이가 10 cm인 콘이라면 안에 가득 깎아 담기는 양은 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 \fallingdotseq 94\,\mathrm{cm^3}\)(약 94 mL)입니다.
‘위에 올린 부분을 빼면 콘 안의 양은 생각보다 적다’는 것을 수로 알 수 있습니다. 원뿔 모양 용기·초콜릿·크레이프처럼 음식에는 원뿔이 많이 나옵니다.
원뿔 모양 종이컵에 들어가는 물의 양(사무실·재난 대비)
정수기 옆에 놓인 원뿔 모양 종이컵(고깔컵)은 입구의 반지름이 3.5 cm, 깊이가 9 cm 정도인 것이 많고, 용량은 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3.5^2 \times 9 \fallingdotseq 115\,\mathrm{cm^3}\)(약 115 mL)입니다.
‘한 사람당 한 컵이면 몇 명분의 물을 준비할 수 있을까’ 같은 어림을 이 식 하나로 할 수 있습니다.
커피 드리퍼에 부을 수 있는 물의 양(생활)
원뿔 모양 커피 드리퍼의 안쪽은 대략 입구의 반지름 5 cm, 깊이 8 cm인 원뿔로 볼 수 있습니다. 가득 채웠을 때의 용량은 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 8 \fallingdotseq 209\,\mathrm{cm^3}\)(약 210 mL)입니다.
‘한 번에 부어도 되는 물은 얼마나 될까’, ‘두 잔 분량을 한 번에 내릴 수 있을까’의 기준을 계산할 수 있습니다.
모래나 쇄석 더미의 양 어림하기(토목·건설)
모래나 쇄석을 트럭에서 내리면 저절로 원뿔에 가까운 더미가 됩니다(무너지지 않고 유지되는 경사면의 각도를 안식각이라고 합니다). 더미 아랫부분의 반지름이 1.5 m, 높이가 1 m라면 양은 약 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 1.5^2 \times 1 \fallingdotseq 2.4\,\mathrm{m^3}\)입니다.
깔끔한 원뿔이 된다고는 할 수 없으므로 어림값이지만, 공사 현장이나 조경에서는 ‘운반에 트럭이 몇 대 필요한가’, ‘적치 장소에 들어가는가’를 이 식으로 빠르게 어림합니다.
후지산의 크기 어림하기(지구과학·교육)
일본의 후지산 같은 성층화산은 원뿔에 가까운 모양입니다. 산자락의 반지름을 약 20 km, 주변 땅에서의 높이를 약 3.3 km로 잡고 원뿔로 보면 부피는 \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 20^2 \times 3.3 \fallingdotseq 1400\,\mathrm{km^3}\) 규모입니다.
실제 산은 깔끔한 원뿔이 아니므로 어디까지나 어림값이지만, 화산 연구에서도 산체의 부피는 이런 입체도형의 근삿값으로 어림합니다.
공식과 그림
원뿔의 부피
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑥
원뿔의 부피 \(V\)
\(=\)
⑤
3분의 1 \(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
①
원주율 \(\pi\)(약 3.14)
\(\times\)
②
밑면의 반지름 \(r\)
③
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
\(\times\)
④
높이 \(h\)
공식을 말로 읽으면
①
원주율(\(\pi\), 약 3.14)
에
②
밑면의 반지름(\(r\))
의
③
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
과
④
높이(\(h\))
를 곱하면 밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피가 되고, 여기에
⑤
3분의 1(\(\dfrac{1}{3}\))
을 곱하면(3으로 나누면)
⑥
원뿔의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
아이스크림콘(밑면의 반지름 3 cm, 높이 10 cm인 원뿔)의 부피는
원뿔의 부피 \(V\)
\(=\)
3분의 1 \(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
반지름(3 cm)
제곱
\(\times\)
높이(10 cm)
\(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^{2} \times 10 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 90 = 30\pi\)
\(30\pi \fallingdotseq 30 \times 3.14 = 94.2\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
왜 ‘3분의 1’일까요? 밑면과 높이가 같은 원기둥 모양 그릇을 준비하고, 원뿔 모양 그릇으로 물을 떠서 부으면 정확히 3번 만에 가득 찹니다(학교에서도 자주 하는 실험입니다). 즉 원뿔의 부피는 원기둥의 부피 \(\pi r^2 h\)의 정확히 \(\dfrac{1}{3}\)입니다. 엄밀한 증명에는 고등학교에서 배우는 적분이 필요하므로, 중학교에서는 ‘뿔의 부피는 기둥의 3분의 1’을 공식으로 익힙니다.
또 하나 주의할 점은 ‘높이’를 재는 방법입니다. 높이 \(h\)는 밑면에서 꼭짓점까지 수직으로 잰 길이이며, 옆면을 따라 잰 길이(모선)가 아닙니다.
원기둥의 부피와의 관계(외우는 법)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(\pi r^{2} h\)
\(\div\)
\(3\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
원뿔의 부피 \(V\)
\(=\)
①
밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피 \(\pi r^2 h\)
\(\div\)
②
3(3등분의 3)
공식을 말로 읽으면
①
밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피(\(\pi r^2 h\))
를
②
3(3등분의 3)
으로 나누면
③
원뿔의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
밑면의 반지름 3 cm, 높이 10 cm일 때, 밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피로 원뿔의 부피를 구하면
원뿔의 부피 \(V\)
\(=\)
원기둥의 부피(90π ≒ 282.6 cm³)
\(\div\)
3
\(\pi \times 3^{2} \times 10 = 90\pi \fallingdotseq 90 \times 3.14 = 282.6\,\mathrm{cm^3}\)
\(90\pi \div 3 = 30\pi \fallingdotseq 94.2\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
말로 하면 ‘(원뿔의 부피) = (밑넓이) × (높이) ÷ 3’입니다. 밑넓이(원의 넓이 \(\pi r^2\))에 높이를 곱한 것이 원기둥의 부피이고, 그것을 3등분한 하나가 원뿔입니다. 이 ‘밑넓이 × 높이 ÷ 3’이라는 형태는 밑면이 삼각형이나 사각형인 뿔(삼각뿔·사각뿔)에도 똑같이 쓸 수 있습니다.
부피의 단위 환산(cm³ → L)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
L로 나타낸 부피 \(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
①
cm³로 나타낸 부피 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
②
1 L에 들어 있는 cm³의 수 \(1000\)
공식을 말로 읽으면
①
cm³로 나타낸 부피(\(V_{\mathrm{cm^3}}\))
를
②
1 L에 들어 있는 cm³의 수(\(1000\))
로 나누면
③
L로 나타낸 부피(\(V_{\mathrm{L}}\))
가 됩니다
간단한 예
아이스크림콘의 부피 94.2 cm³를 L(리터)로 바꾸면
L로 나타낸 부피
\(=\)
cm³로 나타낸 부피(94.2)
\(\div\)
1 L에 들어 있는 cm³의 수(1000)
\(94.2 \div 1000 = 0.0942\,\mathrm{L}\ \ (94.2\,\mathrm{mL})\)
이해의 핵심
\(1\,\mathrm{L}\)는 한 모서리가 10 cm인 정육면체의 부피이므로 \(1\,\mathrm{L} = 10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\)입니다. 부피의 환산 비율은 길이의 환산 비율의 세제곱이 됩니다. \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\)이면 \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)(= 1000 L)입니다. ‘100배’나 ‘10000배’가 아니라 ‘1000000배’라는 점이 틀리기 쉬운 부분입니다.
원뿔의 부피는 ‘\(\dfrac{1}{3}\) × 원주율 × 반지름의 제곱 × 높이’, 즉 ‘밑넓이 × 높이 ÷ 3’으로 구하며, 밑면과 높이가 같은 원기둥의 정확히 3분의 1입니다. 반지름과 높이는 같은 단위로 맞추고, 답의 단위는 그 단위의 세제곱(cm라면 cm³)입니다. cm³를 L로 바꾸려면 1000으로 나누기만 하면 됩니다.
용어·기호 해설
기호
| \(V\) | 브이 | 부피를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 영어 volume(부피)의 첫 글자로, 이 페이지에서는 원뿔의 부피를 나타냅니다. |
| \(r\) | 알 | 밑면인 원의 반지름입니다. 영어 radius(반지름)의 첫 글자로, 원의 중심에서 둘레까지의 길이이며 지름의 절반입니다. |
| \(h\) | 에이치 | 원뿔의 높이입니다. 영어 height(높이)의 첫 글자로, 밑면에서 꼭짓점까지 수직으로 잰 길이입니다. 옆면을 따라 잰 길이(모선)와 구별합니다. |
| \(r^2\) | 알의 제곱 | 같은 수 \(r\)을 2번 곱한 값(\(r \times r\))입니다. 오른쪽 위의 작은 2는 ‘2번 곱한다’는 뜻의 지수입니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율입니다. 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 수로, 약 3.14159…로 끝없이 이어지는 소수입니다. 초등학교에서는 3.14로 계산하고, 중학교부터는 문자 \(\pi\) 그대로 식에 남깁니다. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 세제곱센티미터 | 부피의 단위입니다. 한 모서리가 1 cm인 정육면체의 부피가 1 cm³입니다. 넓이의 단위 cm²(제곱센티미터)와 구별하세요. |
| \(\mathrm{m^3}\) | 세제곱미터 | 부피의 단위입니다. 한 모서리가 1 m인 정육면체의 부피가 1 m³이며, \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{L}\)입니다. |
| \(\mathrm{L}\) | 리터 | 음료 등에서 익숙한 부피(들이)의 단위입니다. 한 모서리가 10 cm인 정육면체의 부피가 1 L이며, \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{mL}\)입니다. |
용어
| 원뿔 | 밑면이 원이고, 거기서 한 꼭짓점을 향해 매끄럽게 가늘어지는 입체도형입니다. 아이스크림콘·고깔모자·라바콘(교통 콘) 등이 원뿔 모양입니다. |
| 직원뿔 | 꼭짓점이 밑면인 원의 중심 바로 위에 있는 원뿔입니다. 중학교까지의 교과서에 나오는 원뿔은 보통 이것을 가리키며, 이 계산기도 직원뿔을 다룹니다. 꼭짓점이 중심 바로 위에 있지 않은 원뿔은 ‘빗원뿔’이라고 합니다. |
| 밑면 | 원뿔의 바닥을 이루는 원입니다. 그 넓이(원뿔에서는 \(\pi r^2\))를 밑넓이라고 합니다. |
| 밑넓이 | 밑면의 넓이입니다. 원뿔의 밑면은 원이므로 밑넓이는 \(\pi r^2\)(반지름 × 반지름 × 원주율)입니다. |
| 꼭짓점 | 원뿔의 뾰족한 끝의 점입니다. 높이는 이 꼭짓점에서 밑면에 수직으로 내린 길이로 잽니다. |
| 모선 | 꼭짓점에서 밑면인 원의 둘레까지 옆면을 따라 곧게 이은 선분입니다. 길이는 피타고라스 정리로 \(\sqrt{r^2 + h^2}\)과 같이 구합니다. 높이와 헷갈리기 쉬우니 주의하세요. |
| 부피 | 입체도형이 차지하는 공간의 크기를 수로 나타낸 것입니다. ‘한 모서리가 1 cm인 정육면체(1 cm³)가 몇 개 들어가는가’로 잽니다. |
| 원주율 | 원주의 길이가 지름의 몇 배인지를 나타내는 수(약 3.14)입니다. 원이나 원뿔·원기둥처럼 ‘원’이 관계된 도형의 계산에는 반드시 나옵니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 부피의 뜻과 단위(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 원의 넓이(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 문자와 식, 원주율 π(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 입체도형의 겉넓이와 부피(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 소수의 곱셈과 나눗셈(초등학교 5~6학년, 10~12세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘원뿔의 부피’를 구하는 표
| 밑면의 반지름 | 3 |
| 높이 | 10 |
| 원뿔의 부피 | =PI()*B1^2*B2/3 |
‘원기둥의 부피와의 관계’를 확인하는 표
| 밑면의 반지름 | 3 |
| 높이 | 10 |
| 밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피 | =PI()*B1^2*B2 |
| 원뿔의 부피(원기둥의 3분의 1) | =B3/3 |
‘cm³를 L로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm³로 나타낸 부피 | 94.25 |
| L로 나타낸 부피 | =B1/1000 |
붙여 넣으면 A열에 항목 이름, B열에 수가 들어갑니다. 위쪽 행이 입력 칸이고, 마지막 행의 수식이 입력 칸의 값으로 자동 계산합니다.
수식 안의 ‘B1’ ‘B2’는 ‘그 셀에 들어 있는 수를 쓴다’는 뜻이고, ‘PI()’는 원주율(3.14159…), ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지), ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈 기호입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B3에 약 94.25(= 1/3 × π × 3² × 10)가 표시됩니다(cm로 입력했으므로 cm³). 두 번째 표는 B3에 약 282.74, B4에 그 3분의 1인 약 94.25가 나와서 원뿔 = 원기둥의 3분의 1임을 확인할 수 있습니다. 세 번째 표는 B2에 0.09425가 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 원뿔 치수로 바꾸기만 하면 됩니다.
수식 안의 ‘B1’ ‘B2’는 ‘그 셀에 들어 있는 수를 쓴다’는 뜻이고, ‘PI()’는 원주율(3.14159…), ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지), ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈 기호입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B3에 약 94.25(= 1/3 × π × 3² × 10)가 표시됩니다(cm로 입력했으므로 cm³). 두 번째 표는 B3에 약 282.74, B4에 그 3분의 1인 약 94.25가 나와서 원뿔 = 원기둥의 3분의 1임을 확인할 수 있습니다. 세 번째 표는 B2에 0.09425가 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 원뿔 치수로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘원뿔의 부피’를 구하는 표
| 밑면의 반지름 | 3 |
| 높이 | 10 |
| 원뿔의 부피 | =PI()*B1^2*B2/3 |
‘원기둥의 부피와의 관계’를 확인하는 표
| 밑면의 반지름 | 3 |
| 높이 | 10 |
| 밑면과 높이가 같은 원기둥의 부피 | =PI()*B1^2*B2 |
| 원뿔의 부피(원기둥의 3분의 1) | =B3/3 |
‘cm³를 L로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm³로 나타낸 부피 | 94.25 |
| L로 나타낸 부피 | =B1/1000 |
Excel과 같은 수식(PI() 함수 포함)을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 수를 자신의 원뿔 치수로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
radius = 3 # 밑면의 반지름(이 예에서는 cm)
height = 10 # 높이(반지름과 같은 단위로)
volume = math.pi * radius ** 2 * height / 3 # 원뿔의 부피(입력 단위의 세제곱. 이 예에서는 cm3)
volume_l = volume / 1000 # cm로 입력한 경우 L(리터)로 바꾼 부피
print(f"원뿔의 부피: {volume} cm3")
print(f"L로 바꾸면: {volume_l} L")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘math.pi’가 원주율(3.14159…), ‘**’가 거듭제곱(radius ** 2로 반지름의 제곱), ‘*’가 곱셈, ‘/’가 나눗셈 기호입니다. 맨 위의 반지름과 높이 값을 바꿔 실행하세요(cm로 입력한 경우의 예입니다. m로 입력하면 답이 m³가 되므로 L로 바꾸려면 1000을 곱합니다).
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
원뿔의 부피
V = (1/3)πr²h
V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 pi r^2 h
Pi*r^2*h/3
V := (1/3)*Pi*r^2*h;
V = (1/3)*pi*r^2*h;
V = (1/3)πr^2 h
원기둥의 부피와의 관계(외우는 법)
V = πr²h ÷ 3
V = \frac{\pi r^{2} h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mi>h</mi></mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi r^2 h)/3
Pi*r^2*h/3
V := Pi*r^2*h/3;
V = pi*r^2*h/3;
V = πr^2 h/3
부피의 단위 환산(cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 산수·수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 밑면의 반지름이 3 cm, 높이가 10 cm인 원뿔이 있습니다. 다음 값을 각각 구하세요. 1. 이 원뿔의 부피는 몇 cm³인가(V = 1/3 × π × 반지름² × 높이) 2. 그 부피를 L(리터)로 바꾸면 얼마인가 계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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출처 표기 불필요
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무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
원 계산기(반지름·지름·원주·넓이 한 번에 계산)
원뿔의 밑면은 원입니다. 반지름으로 밑넓이(πr²)를 구하는 등 원의 기본값을 서로 계산합니다
