변환 방향을 고르고 수를 입력해 주세요. ‘직교형식 → 극형식’에서는 실수부분 a와 허수부분 b를, ‘극형식 → 직교형식’에서는 절댓값 r과 편각 θ(단위도 선택)를 입력합니다.
소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. 직교형식의 실수부분이나 허수부분의 빈칸은 0으로 다룹니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 복소평면의 그림이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 복소수 \(z = a + bi\)(직교형식)를 절댓값 \(r\)과 편각 \(\theta\)를 쓴 극형식 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)로 바로 변환할 수 있습니다. 절댓값은 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)처럼 근호를 간단히 한 정확한 값으로, 편각은 특수각이면 π의 분수로 된 정확한 값으로 답합니다
- 편각 \(\theta\)는 \(0 \le \theta < 2\pi\)의 범위를 기본으로 하고 \(-\pi < \theta \le \pi\)의 범위의 값도 함께 보여 줍니다(교재가 어느 방식을 쓰든 답을 맞춰 볼 수 있습니다)
- 반대 방향의 변환(극형식 → 직교형식)도 할 수 있습니다. 절댓값 \(r\)과 편각 \(\theta\)(도·π의 분수·라디안의 소수)를 넣으면 \(a + bi\)를 \(1 + \sqrt{3}i\)처럼 정확한 값으로 표시합니다
- \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\)와 점이 있는 사분면으로 편각을 구하는 ‘사분면 보정’의 과정을 풀이 과정에서 한 단계씩 확인할 수 있습니다
- 결과는 복소평면의 그림으로도 확인할 수 있어서, 절댓값 \(r\)(원점까지의 거리)과 편각 \(\theta\)(실수축에서의 회전각)가 그림의 어디에 해당하는지 한눈에 알 수 있습니다
이 페이지는 복소수의 극형식을 다룹니다(한국의 고등학교 교육과정에는 없고 대학의 공학수학이나 회로이론에서 배웁니다). 실수부분과 허수부분에는 분수·소수(유리수)를 입력할 수 있으며, √3 같은 무리수는 직접 입력할 수 없습니다. 그래서 편각이 π의 분수로 된 정확한 값이 되는 것은 점이 축 위에 있거나 각이 45°의 배수인 경우뿐입니다(30°·60° 계열의 각은 tan θ가 1/√3 같은 무리수가 되어, 유리수의 실수부분·허수부분으로는 나오지 않기 때문입니다). 반대로 극형식에서 직교형식으로 바꿀 때는 30°·45°의 배수인 특수각을 모두 정확한 값으로 계산합니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
교류 전기 회로의 계산(전기·전자공학)
콘센트의 교류는 전압과 전류가 파도처럼 변하며, ‘파동의 크기’와 ‘타이밍의 어긋남(위상)’이라는 두 가지 정보를 가집니다. 전기공학에서는 이 둘을 하나의 복소수(절댓값 = 파동의 크기, 편각 = 위상)로 나타내고, 극형식으로 곱셈·나눗셈을 해서 회로를 푸는 것이 표준 방법입니다. 이것을 페이저 표기라고 부릅니다.
발전소에서 집까지의 전력망, 휴대폰 충전기 안의 회로 설계는 이 ‘절댓값과 편각’의 계산에 기대고 있습니다. 공학 실무에서 복소수를 가장 일상적으로 쓰는 예로, 한국의 전기기사·전기산업기사 시험의 회로이론에서도 나옵니다.
소리와 전파의 분석(푸리에 변환·신호 처리)
컴퓨터가 소리나 전파를 다룰 때는 푸리에 변환이라는 계산으로 ‘어떤 높이의 파동이 얼마나 들어 있는지’로 나눕니다. 그 결과는 복소수의 목록이며, 각 복소수의 절댓값이 그 파동의 세기(진폭), 편각이 어긋남(위상)을 나타냅니다.
음악 앱의 이퀄라이저, 이어폰의 노이즈 캔슬링, 음성 인식처럼 소리와 전파를 다루는 많은 기술이 이 ‘복소수를 절댓값과 편각으로 읽는’ 생각 위에 만들어져 있습니다.
도형의 회전 계산(게임·컴퓨터 그래픽)
극형식의 규칙 ‘절댓값은 곱하고 편각은 더한다’는 도형으로 보면 ‘늘리고 회전시키는’ 것 그 자체입니다. 예를 들어 \(i\)(절댓값 1, 편각 90°)를 곱하면 점이 원점 둘레로 정확히 90° 회전합니다. 2D 게임에서 캐릭터나 총알의 방향을 바꾸는 계산은 복소수의 곱셈으로 쓸 수 있습니다.
3D 그래픽이나 로봇 제어에 쓰이는 사원수(쿼터니언)는 이 ‘복소수에 의한 회전’의 생각을 3차원으로 넓힌 것입니다.
레이더·소나의 ‘거리와 방위’(항공·선박)
공항의 레이더나 배의 소나는 대상의 위치를 ‘얼마나 떨어져 있는가’와 ‘어느 방향인가’의 쌍으로 잡습니다. 이것은 점을 \(r\)과 \(\theta\)로 나타내는 극형식(극좌표)과 같은 생각이며, 화면에 표시할 위치(가로·세로 좌표)로 바꿀 때 이 페이지와 같은 변환을 합니다.
‘거리와 방향’으로 위치를 나타내는 것이 자연스러운 곳이라면 어디서든 이 직교좌표와의 변환이 나옵니다.
공식과 그림
극형식(복소수를 나타내는 또 하나의 방법)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(z\)
\(=\)
\(r\)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
복소수(\(z\))
\(=\)
①
절댓값(\(r\)). 원점까지의 거리
②
편각(\(\theta\))의 방향을 나타내는 부분
공식을 말로 읽으면
①
원점에서 점까지의 거리인
절댓값(\(r\))
에
②
편각 \(\theta\)의 방향을 나타내는 부분(\(\cos\theta + i\sin\theta\))
을 곱하면
③
복소수(\(z\))
가 됩니다
간단한 예
\(z = 1 + \sqrt{3}i\)를 극형식으로 나타내면(절댓값은 \(r = 2\), 편각은 \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), 즉 60°)
복소수(\(1 + \sqrt{3}i\))
\(=\)
절댓값(\(2\))
\(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)
\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)
\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)
이해의 핵심
같은 복소수를 나타내는 방법이 두 가지 있습니다. ‘가로로 \(a\), 세로로 \(b\)만큼 간 점’으로 읽으면 직교형식 \(a + bi\), ‘원점에서 거리 \(r\), 실수축에서 각 \(\theta\)만큼 돌린 방향에 있는 점’으로 읽으면 극형식입니다. 길 안내로 말하면 직교형식은 ‘동쪽으로 1, 북쪽으로 √3’, 극형식은 ‘동쪽에서 북쪽으로 60° 돌린 방향으로 2’라고 알려 주는 방식입니다.
덧셈·뺄셈은 직교형식이 편하고, 곱셈·나눗셈·거듭제곱은 극형식이 편합니다(이유는 아래의 극형식의 곱셈 공식에서 알 수 있습니다).
절댓값 \(r\)(원점까지의 거리)
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
절댓값(\(r\))
\(=\)
①
실수부분(\(a\))과 허수부분(\(b\))의 제곱의 합의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
실수부분(\(a\))의 제곱과 허수부분(\(b\))의 제곱을 더해 제곱근(루트)을 구한 것(\(\sqrt{a^2 + b^2}\))
이
②
절댓값(\(r\))
이 됩니다
간단한 예
\(z = 3 + 4i\)의 절댓값은
절댓값(\(r\))
\(=\)
\(\sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
이해의 핵심
이것은 중학교 2학년에서 배우는 피타고라스 정리 그 자체입니다. 복소평면에서 점 \(z = a + bi\)는 가로로 \(a\), 세로로 \(b\)만큼 간 위치에 있습니다. 원점, 점 \((a,\ 0)\), \(z\)를 이으면 직각삼각형이 되고, 원점에서 \(z\)까지의 거리(빗변)는 \(\sqrt{a^2 + b^2}\)입니다.
답의 근호는 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)처럼 안의 제곱인수를 밖으로 꺼내 간단히 한 꼴로 쓰는 것이 관례입니다(이 계산기도 그 꼴로 표시합니다).
편각 \(\theta\)(tan θ와 사분면으로 구하기)
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{a}\)
②
편각(\(\theta\))의 탄젠트
\(=\)
①
허수부분(\(b\))을 실수부분(\(a\))으로 나눈 것
공식을 말로 읽으면
①
허수부분(\(b\))을 실수부분(\(a\))으로 나눈 것
이
②
편각 \(\theta\)의 탄젠트(\(\tan\theta\))
가 됩니다(다만 이 식만으로는 \(\theta\)가 하나로 정해지지 않으므로, 점 \(z\)가 어느 사분면에 있는지로 좁힙니다)
간단한 예
\(z = -1 + i\)의 편각은(실수부분이 음수, 허수부분이 양수이므로 점은 제2사분면에 있습니다)
탄젠트(\(\tan\theta\))
\(=\)
\(\dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)
이해의 핵심
\(0 \le \theta < 2\pi\)의 범위에서 \(\tan\theta = -1\)이 되는 각은 \(\dfrac{3}{4}\pi\)(135°)와 \(\dfrac{7}{4}\pi\)(315°)의 두 개입니다. 어느 쪽이 맞는지는 점 \(z\)가 있는 사분면으로 정해집니다. \(z = -1 + i\)는 실수부분이 음수, 허수부분이 양수인 제2사분면(왼쪽 위)에 있으므로 \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\)를 고릅니다. 이것이 사분면 보정입니다.
계산기나 스프레드시트의 \(\arctan\)(역탄젠트)는 \(-\dfrac{\pi}{2}\)와 \(\dfrac{\pi}{2}\) 사이의 각만 돌려주므로, 제2·제3사분면의 점은 그 답이 그대로 편각이 되지 않습니다. \(\arctan\)로 구한 예각에 \(\pi\)를 더하는 등 사분면에 따른 보정이 필요합니다(이 계산기는 풀이 과정에서 이 보정을 보여 줍니다).
극형식의 곱셈(절댓값은 곱, 편각은 합)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(z_{1} z_{2}\)
\(=\)
\(r_{1} r_{2}\)
\(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
두 복소수의 곱
\(=\)
①
절댓값끼리의 곱
②
편각끼리의 합의 방향을 나타내는 부분
공식을 말로 읽으면
①
절댓값끼리의 곱(\(r_1 r_2\))
에
②
편각끼리의 합(\(\theta_1 + \theta_2\))의 방향을 나타내는 부분
을 곱하면
③
두 복소수의 곱(\(z_1 z_2\))
이 됩니다(\(z_2\)를 곱하면 길이는 \(r_2\)배가 되고 방향은 \(\theta_2\)만큼 회전합니다)
간단한 예
\(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\)와 \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)의 곱은
곱(\(z_1 z_2\))
\(=\)
절댓값의 곱(\(2 \times 3\))
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)
\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)
이해의 핵심
이것이 극형식의 가장 큰 장점입니다. 직교형식의 곱셈은 분배법칙으로 네 항을 전개해야 하지만, 극형식에서는 ‘절댓값은 곱하고 편각은 더하기’만 하면 됩니다.
도형으로 보면 \(z_2\)를 곱하는 것은 ‘원점을 중심으로 \(\theta_2\)만큼 회전하고 \(r_2\)배로 늘리는’ 조작입니다. 예를 들어 \(i\)(절댓값 1, 편각 90°)를 곱하면 점이 원점 둘레로 정확히 90° 회전합니다.
이 성질을 같은 수를 \(n\)번 곱하는 데 쓰면 드무아브르 정리 \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)가 얻어지고, 복소수의 \(n\)제곱이나 \(n\)제곱근의 계산으로 이어집니다.
복소수 \(z = a + bi\)는 절댓값 \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)(원점까지의 거리)과 편각 \(\theta\)(실수축의 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 잰 각)를 써서 극형식 \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)로도 나타낼 수 있습니다. 편각은 \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\)와 점이 있는 사분면으로 구합니다. 극형식에서는 복소수의 곱셈이 ‘절댓값은 곱하고 편각은 더한다’는 간단한 규칙이 됩니다.
용어·기호 해설
기호
| \(i\) | 아이 | 허수단위입니다. 제곱하면 \(-1\)이 되는 수(\(i^2 = -1\))로, 상상의 수라는 뜻의 영어 imaginary number의 첫 글자에서 왔습니다. |
| \(z\) | 제트 | 복소수를 나타낼 때 자주 쓰는 문자입니다. 실수의 변수 \(x,\ y\)와 구별하기 위해 복소수에는 \(z\)나 \(w\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(a,\ b\) | 에이, 비 | \(z = a + bi\)의 실수부분(\(a\))과 허수부분(\(b\))입니다. 둘 다 실수입니다. 복소평면에서는 \(a\)가 가로(실수축 방향), \(b\)가 세로(허수축 방향)의 위치입니다. |
| \(r\) | 알 | 절댓값(원점에서 점 \(z\)까지의 거리)을 나타내는 문자입니다. 반지름을 뜻하는 영어 radius의 첫 글자에서 왔습니다. 극형식에서는 0 이상의 실수입니다. |
| \(|z|\) | 제트의 절댓값 | 복소수 \(z\)의 절댓값을 나타내는 기호입니다. 실수의 절댓값과 같은 세로줄 두 개로 쓰며, \(|a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}\)입니다. |
| \(\theta\) | 세타 | 편각을 나타낼 때 쓰는 그리스 문자입니다. 수학에서는 각도를 나타내는 문자로 관례적으로 씁니다. |
| \(\arg z\) | 아규먼트 제트 | \(z\)의 편각을 나타내는 기호입니다. 편각을 뜻하는 영어 argument의 앞 세 글자이며, \(\arg z = \theta\)처럼 씁니다. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | 코사인 세타, 사인 세타 | 삼각비(삼각함수)입니다. 반지름이 1인 원(단위원) 위에서 각 \(\theta\)의 방향으로 나아간 점의 가로 위치가 \(\cos\theta\), 세로 위치가 \(\sin\theta\)입니다. 극형식에서는 ‘방향을 나타내는 부품’ 역할을 합니다. |
| \(\tan\theta\) | 탄젠트 세타 | 삼각비의 하나로, \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)로 정의됩니다. 복소평면에서는 \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\)(세로 ÷ 가로 = 기울기)가 되어 편각을 구하는 실마리가 됩니다. |
| \(\arctan\) | 아크탄젠트 | 탄젠트의 역계산(\(\tan^{-1}\)로도 씀)입니다. ‘\(\tan\theta = x\)가 되는 각 \(\theta\)’를 돌려줍니다. 돌려주는 각은 항상 \(-\dfrac{\pi}{2}\)와 \(\dfrac{\pi}{2}\) 사이이므로, 제2·제3사분면의 편각에는 사분면 보정이 필요합니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율(약 3.14159)입니다. 라디안(호도법)에서는 반 바퀴의 각 \(180^{\circ}\)가 정확히 \(\pi\)가 됩니다. 그리스 문자 \(\pi\)는 둘레를 뜻하는 그리스어의 첫 글자에서 왔다고 합니다. |
용어
| 복소수 | \(a + bi\)(\(a,\ b\)는 실수)의 꼴로 나타내는 수입니다. 실수와 허수를 하나로 묶은 수의 세계로, 고등학교 1학년에서 배웁니다. |
| 허수단위 | 제곱하면 \(-1\)이 되는 수 \(i\)를 말합니다. 실수 중에는 제곱해서 음수가 되는 수가 없으므로 새로운 수로 도입되었습니다. |
| 실수부분 | 복소수 \(z = a + bi\)의 \(a\) 부분입니다. 복소평면에서는 가로 좌표에 해당합니다. |
| 허수부분 | 복소수 \(z = a + bi\)의 \(b\) 부분입니다. \(i\)에 붙어 있는 실수로, \(i\) 자체는 포함하지 않습니다(\(1 + 2i\)의 허수부분은 \(2i\)가 아니라 \(2\)). |
| 복소평면 | 복소수 \(a + bi\)를 점 \((a,\ b)\)로 나타내는 평면입니다. 가로축을 실수축, 세로축을 허수축이라고 합니다. 가우스 평면이라고도 하며, 한국의 고등학교 교육과정에는 없고 대학에서 배웁니다. |
| 직교형식 | 복소수를 \(a + bi\)의 꼴(가로 \(a\), 세로 \(b\)의 좌표)로 나타내는 방법입니다. 덧셈·뺄셈은 이 꼴이 계산하기 쉽습니다. |
| 극형식 | 복소수를 ‘원점까지의 거리 \(r\)’와 ‘실수축에서의 회전각 \(\theta\)’로 나타내는 방법 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)를 말합니다. 삼각형식이라고도 하며, 곱셈·나눗셈·거듭제곱은 이 꼴이 계산하기 쉽습니다. |
| 절댓값 | 원점에서 점 \(z\)까지의 거리로, \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)으로 계산합니다. 실수의 절댓값(수직선 위에서 0까지의 거리)을 평면으로 넓힌 것입니다. |
| 편각 | 실수축의 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 잰, 원점에서 점 \(z\)로 향하는 방향의 각입니다. 기호는 \(\arg z\)입니다. 한 바퀴(\(2\pi\))를 더해도 같은 방향이므로 \(0 \le \theta < 2\pi\)나 \(-\pi < \theta \le \pi\)처럼 범위를 정해서 답하는 것이 관례입니다. |
| 사분면 | 좌표평면을 두 축으로 나눈 네 개의 방입니다. 오른쪽 위가 제1사분면이고, 거기서 시계 반대 방향으로 제2·제3·제4사분면이라고 셉니다. 점이 어느 사분면에 있는지가 편각을 하나로 정하는 열쇠입니다. |
| 라디안 | 각의 크기를 반지름이 1인 원의 호의 길이로 재는 방법(호도법)의 단위입니다. \(180^{\circ} = \pi\) 라디안입니다. 고등학교 2학년의 삼각함수부터는 도보다 이쪽이 표준 단위입니다. |
| 특수각 | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\)와 그 계열의 각(여기에 \(90^{\circ}\)의 배수를 더한 각)입니다. 삼각비의 값을 \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)처럼 정확한 값으로 쓸 수 있는 각으로, 교과서와 시험 문제의 대부분이 이 각으로 나옵니다. |
| 사분면 보정 | \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\)를 만족하는 각은 한 바퀴 안에 두 개 있으므로, 점이 있는 사분면에 맞는 쪽을 고르는(\(\arctan\)로 구한 예각에 \(\pi\)를 더하는 등의) 손질을 말합니다. |
| 드무아브르 정리 | \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)라는 정리입니다. ‘곱셈 = 편각의 덧셈’을 \(n\)번 되풀이한 결과로, 복소수의 \(n\)제곱과 \(n\)제곱근을 계산할 때 씁니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 제곱근과 근호의 계산(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 복소수(고등학교 1학년, 15~16세) |
|
| 삼각비와 삼각함수(중학교 3학년~고등학교 2학년, 14~17세) |
|
| 호도법(고등학교 2학년, 16~17세) |
|
| 복소평면(대학 공학수학) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
직교형식 → 극형식을 구하는 표
| 실수부분 a | 3 |
| 허수부분 b | 4 |
| 절댓값 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 편각 θ(라디안, 0 ≤ θ < 2π) | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 편각 θ(도) | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
극형식 → 직교형식을 구하는 표
| 절댓값 r | 2 |
| 편각 θ(도) | 60 |
| 실수부분 a = r cos θ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| 허수부분 b = r sin θ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
붙여 넣으면 위쪽 행이 입력 칸이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다.
첫째 표의 ATAN2(x좌표, y좌표)는 사분면 보정까지 마친 편각(−π보다 크고 π 이하)을 돌려주는 함수이며, 2π로 MOD를 구하면 0 이상 2π 미만의 편각이 됩니다. 예의 z = 3 + 4i라면 r = 5, θ ≒ 0.9273(약 53.13도)입니다.
둘째 표의 RADIANS는 도를 라디안으로 바꾸는 함수입니다. 예의 r = 2, θ = 60도라면 a = 1, b ≒ 1.7320508(= √3)입니다. Excel은 소수로 계산하므로 √2나 π의 분수 같은 정확한 값이 필요하면 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
첫째 표의 ATAN2(x좌표, y좌표)는 사분면 보정까지 마친 편각(−π보다 크고 π 이하)을 돌려주는 함수이며, 2π로 MOD를 구하면 0 이상 2π 미만의 편각이 됩니다. 예의 z = 3 + 4i라면 r = 5, θ ≒ 0.9273(약 53.13도)입니다.
둘째 표의 RADIANS는 도를 라디안으로 바꾸는 함수입니다. 예의 r = 2, θ = 60도라면 a = 1, b ≒ 1.7320508(= √3)입니다. Excel은 소수로 계산하므로 √2나 π의 분수 같은 정확한 값이 필요하면 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
직교형식 → 극형식을 구하는 표
| 실수부분 a | 3 |
| 허수부분 b | 4 |
| 절댓값 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 편각 θ(라디안, 0 ≤ θ < 2π) | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 편각 θ(도) | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
극형식 → 직교형식을 구하는 표
| 절댓값 r | 2 |
| 편각 θ(도) | 60 |
| 실수부분 a = r cos θ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| 허수부분 b = r sin θ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(ATAN2의 인수 순서도 똑같이 ‘x좌표, y좌표’입니다). 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 수를 원하는 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
# 직교형식 -> 극형식
real_part = 3 # 실수부분 a
imaginary_part = 4 # 허수부분 b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part) # 사분면 보정까지 포함 (-π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # 0 ≤ θ < 2π의 범위로 옮김
print(f"절댓값 r = {absolute_value}")
print(f"편각 θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)}도)")
# 극형식 -> 직교형식
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"실수부분 a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"허수부분 b = {r * math.sin(theta)}")
math.atan2(y, x)는 사분면 보정까지 마친 각을 돌려주는 함수여서, arctan과 달리 제2·제3사분면의 점도 올바른 방향이 나옵니다. 이 예의 앞부분은 z = 3 + 4i를 변환하며, 실행하면 r = 5.0, θ ≒ 0.9272952180016122 rad(약 53.13도)가 표시됩니다. 뒷부분은 r = 2, θ = 60°에서 되돌리는 변환으로, a ≒ 1.0000000000000002, b ≒ 1.7320508075688772(= √3)가 됩니다. a가 정확히 1이 되지 않는 것은 소수(부동소수점 수)의 반올림 오차 때문이며, 정확한 값이 필요하면 이 페이지의 계산기처럼 기호로 계산해야 합니다. 표준 모듈 cmath의 cmath.polar(complex(3, 4))로 절댓값과 각(−π < θ ≤ π)을 한 번에 구할 수도 있습니다.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
극형식(복소수를 나타내는 또 하나의 방법)
z = r(cosθ + i sinθ)
z = r(\cos\theta + i\sin\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mi>r</mi>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z = r(cos theta + i sin theta)
z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])
z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));
z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));
z = r(cos θ + i sin θ)
절댓값 \(r\)(원점까지의 거리)
r = |z| = √(a² + b²)
r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)
Abs[a + b I]
r := abs(a + b*I);
r = abs(a + b*1i);
r = √(a^2 + b^2)
편각 \(\theta\)(tan θ와 사분면으로 구하기)
tanθ = b/a
\tan\theta = \dfrac{b}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = b/a
theta = Arg[a + b I]
theta := argument(a + b*I);
theta = angle(a + b*1i);
tan θ = b/a
극형식의 곱셈(절댓값은 곱, 편각은 합)
z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}
z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub>
<msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub>
<msub><mi>r</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>{</mo>
<mi>cos</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi>
<mi>sin</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>θ</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
<mo>}</mo>
</mrow>
</math>
z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))
r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])
z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));
z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));
z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(복소평면) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 1. 복소수 z = 3 + 4i를 극형식 r(cos θ + i sin θ)로 바꿔 주세요. 절댓값 r과 편각 θ(0 ≤ θ < 2π의 범위로, 라디안과 도 둘 다)를 보여 주세요. 2. 절댓값 r = 2, 편각 θ = 60°인 복소수를 직교형식 a + bi로 바꿔 주세요. a와 b를 소수로 보여 주고, 가능하면 근호를 쓴 정확한 값도 보여 주세요. Python에서는 math.atan2와 math.sqrt를 쓰고, 계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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관련 기능
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두 복소수 z₁, z₂의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈을 분모의 실수화 풀이 과정, 켤레복소수, 절댓값, 복소평면의 그림과 함께 계산합니다
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드무아브르 정리로 복소수의 n제곱과 n제곱근을 계산합니다. 절댓값의 거듭제곱과 편각의 n배의 풀이 과정을 보여 주고, n제곱근은 원 위의 정n각형으로 그립니다
