구할 것을 고르고, 복소수 z = a + bi의 실수부분 a, 허수부분 b와 정수 n을 입력해 주세요. 아래의 수식은 입력란과 연동되어 있어서 숫자 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다.
실수부분과 허수부분에는 소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다(빈칸은 0으로 다룹니다). n은 정수이며, n제곱은 1~20, n제곱근은 2~12의 범위입니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 복소평면의 그림이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 복소수 \(z = a + bi\)와 정수 \(n\)(1~20)으로 \(n\)제곱 \(z^n\)을 바로 계산할 수 있습니다. 드무아브르 정리 \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)를 바탕으로, 절댓값의 거듭제곱 \(r^n\)과 편각의 \(n\)배 \(n\theta\)를 풀이 과정에서 한 단계씩 확인할 수 있습니다
- 답 \(z^n\)은 항상 정수·분수의 정확한 값으로 표시합니다. 편각이 특수각(축 위·45° 계열)이면 삼각비의 값까지 정확한 값으로 전개한 풀이 과정이 됩니다
- n제곱근 모드에서는 \(w^n = z\)가 되는 복소수 \(w\)(\(z\)의 \(n\)제곱근)를 \(k = 0\)부터 \(n-1\)까지 \(n\)개 모두 나열합니다(\(n\)은 2~12). 정확한 값으로 쓸 수 있는 것은 \(-1 + \sqrt{3}i\)처럼 정확한 값으로 답합니다
- 결과는 복소평면의 그림으로도 확인할 수 있습니다. \(n\)제곱근은 반지름 \(\sqrt[n]{r}\)인 원 위에 같은 간격으로 늘어선 정\(n\)각형으로, \(n\)제곱은 점 \(z\)와 점 \(z^n\), 편각의 호로 표시됩니다
- 입력란 위의 수식(MathLive)은 입력란과 연동되어 있어서 \(\left(1 + i\right)^{4}\)의 숫자 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다
이 페이지는 드무아브르 정리를 다룹니다(한국의 고등학교 교육과정에는 없고 대학의 공학수학에서 배웁니다). 실수부분과 허수부분에는 분수·소수(유리수)를 입력할 수 있으며, √3 같은 무리수는 직접 입력할 수 없습니다. 그래서 편각이 π의 분수로 된 정확한 값이 되는 것은 점이 축 위에 있거나 각이 45°의 배수인 경우뿐입니다(30°·60° 계열의 각은 실수부분과 허수부분의 비가 √3 같은 무리수가 되어 유리수의 입력으로는 나오지 않기 때문입니다). 그 밖의 편각은 소수의 근삿값으로 다루지만, 거듭제곱의 답 자체는 직교형식으로 되풀이해 곱한 정확한 값입니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
삼각함수의 2배각·3배각 공식 만들기(수학)
드무아브르 정리에서 \(n = 2\)나 \(3\)으로 놓고 좌변을 전개한 뒤 실수부분과 허수부분을 비교하면, \(\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta\)나 \(\cos 3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta\) 같은 2배각·3배각 공식이 한 번에 얻어집니다.
공식을 외우지 않아도 이 정리에서 스스로 다시 만들 수 있다는 것이 강점이며, ‘드무아브르 정리로 3배각 공식을 이끌어 내기’는 이공계 대학 1학년 수학의 단골 연습입니다. 따로 배운 삼각함수와 복소수가 하나로 이어지는, 전망이 좋은 정리입니다.
음악·이미지의 디지털 처리(이산 푸리에 변환)
스마트폰으로 음악을 듣거나 사진을 저장하는 뒤에서는 신호를 ‘어떤 높이의 파동이 얼마나 들어 있는지’로 나누는 이산 푸리에 변환이라는 계산이 돌아가고 있습니다. 이 계산의 핵심이 1의 n제곱근으로, 신호의 각 데이터에 1의 n제곱근의 거듭제곱을 곱해서 더해 나갑니다.
음성 압축, 이미지 압축(JPEG에 쓰이는 변환), 잡음 제거, 음성 인식 등 디지털 소리와 이미지의 기술은 모두 이 페이지의 ‘원을 고르게 나누는 복소수’ 위에 만들어져 있습니다.
3상 교류의 계산(발전·송전·모터)
발전소에서 공장이나 큰 건물로 보내는 3상 교류는 타이밍이 서로 120°씩 어긋난 세 개의 파동으로 이루어져 있습니다. 이 ‘120°씩의 어긋남’을 복소수로 쓰면 바로 1의 세제곱근 \(1,\ \omega,\ \omega^2\)입니다. 세 파동을 더하면 0이 되며(\(1 + \omega + \omega^2 = 0\)), 이렇게 서로 상쇄되는 성질이야말로 3상 교류가 송전선을 아낄 수 있는 이유입니다.
전력망의 설계나 공장 모터의 제어는 이 1의 세제곱근의 성질 위에 만들어져 있습니다.
정다각형의 꼭짓점 배치(게임·컴퓨터 그래픽·디자인)
게임이나 그래픽에서 ‘원 둘레에 적을 같은 간격으로 배치하기’, ‘방사형 차트의 꼭짓점 배치하기’, ‘시계 문자판의 눈금 그리기’ 같은 작업은 원을 \(n\)등분한 점의 좌표 \(\left(\cos\dfrac{2k\pi}{n},\ \sin\dfrac{2k\pi}{n}\right)\)를 구하는 것 그 자체입니다. 이것은 바로 1의 n제곱근의 배치입니다.
프로그래밍에서는 복소수에 1의 n제곱근을 곱하기만 하면 ‘점을 다음 꼭짓점으로 회전시킬’ 수 있어서, 회전이나 등간격 배치를 위한 간단한 도구로 쓰입니다.
공식과 그림
드무아브르 정리
그림(단위원 위에서 곱할 때마다 편각이 θ씩 늘어나는 모습)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)
\(n\)
\(=\)
\(\cos n\theta + i\sin n\theta\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
편각(\(\theta\))의 방향을 나타내는 부분
②
정수(\(n\))
\(=\)
③
편각을 \(n\)배 한 방향을 나타내는 부분
공식을 말로 읽으면
①
편각 \(\theta\)의 방향을 나타내는 부분(\(\cos\theta + i\sin\theta\))
을
②
정수(\(n\))
제곱하면
③
편각을 \(n\)배 한 방향을 나타내는 부분(\(\cos n\theta + i\sin n\theta\))
이 됩니다
간단한 예
\(\theta = \dfrac{\pi}{6}\)(30°)의 방향을 세제곱하면(편각이 3배인 \(\dfrac{\pi}{2}\), 즉 90°가 되어)
\(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\)
3
\(=\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)^{3} = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)
\(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2} = 0 + 1 \times i = i\)
이해의 핵심
이 정리의 바탕은 극형식의 곱셈 규칙 ‘절댓값은 곱하고 편각은 더한다’입니다. 절댓값이 1인 복소수 \(\cos\theta + i\sin\theta\)를 \(n\)번 곱하면 \(\theta\)가 \(n\)번 더해져 편각이 \(n\theta\)가 됩니다. 이 정리가 말하는 것은 그것뿐입니다.
가까운 확인으로, \(i = \cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)(90°의 방향)를 제곱하면 편각이 2배인 \(\pi\)(180°)가 되어 \(\cos\pi + i\sin\pi = -1\)입니다. 이것은 바로 \(i^2 = -1\)입니다. 복소평면에서 ‘\(i\)를 곱하는 것은 90° 회전’이라는 성질을 어떤 각에 대해서도 성립하도록 넓힌 것이 이 정리입니다.
이 정리는 \(n\)이 음의 정수여도 성립합니다(\(n = -1\)은 반대 방향의 회전). 이 페이지의 계산기는 양의 정수를 다룹니다.
복소수의 \(n\)제곱
수학 표기
(일반적인 수식)
\(z^{n}\)
\(=\)
\(r^{n}\)
\(\left(\cos n\theta + i\sin n\theta\right)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
복소수 \(z\)의 \(n\)제곱
\(=\)
①
절댓값 \(r\)의 \(n\)제곱
②
편각을 \(n\)배 한 방향을 나타내는 부분
공식을 말로 읽으면
①
원점까지의 거리를 나타내는
절댓값 \(r\)의 \(n\)제곱
에
②
편각을 \(n\)배 한 방향을 나타내는 부분(\(\cos n\theta + i\sin n\theta\))
을 곱하면
③
복소수 \(z\)의 \(n\)제곱(\(z^n\))
이 됩니다
간단한 예
\(z = 1 + i\)(절댓값 \(r = \sqrt{2}\), 편각 \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\), 즉 45°)의 네제곱은
\(\left(1 + i\right)^{4}\)
\(=\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{4}\)
\(\cos\pi + i\sin\pi\)
\(r^{4} = \left(\sqrt{2}\right)^{4} = 4\)
\(4\theta = 4 \times \dfrac{\pi}{4} = \pi\)
\(z^{4} = 4\left(\cos\pi + i\sin\pi\right) = 4 \times \left(-1\right) = -4\)
이해의 핵심
‘절댓값은 \(n\)제곱, 편각은 \(n\)배’. 이 둘을 따로 계산하기만 하면 \(n\)제곱이 한 번에 구해집니다.
같은 \(\left(1 + i\right)^4\)을 직교형식 그대로 계산하면 \(\left(1 + i\right)^2 = 2i\)를 구한 뒤 다시 제곱하는 식으로 전개를 되풀이해야 합니다. 네제곱까지는 손으로도 할 수 있지만, 10제곱이나 20제곱이 되면 전개는 거의 불가능합니다. 극형식이라면 \(\left(\sqrt{2}\right)^{10}\)과 \(10 \times 45^{\circ}\)만 계산하면 되어, 몇 제곱이든 수고가 거의 달라지지 않습니다. 이것이 이 정리의 가장 큰 장점입니다.
복소수의 n제곱근
그림(8의 세제곱근: 반지름 2인 원 위에 같은 간격으로 늘어선 정삼각형)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(w_{k}\)
\(=\)
\(\sqrt[n]{r}\)
\(\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
\(z\)의 \(n\)제곱근(\(k\)번째)
\(=\)
①
절댓값 \(r\)의 \(n\)제곱근(원의 반지름)
②
편각에 \(k\)바퀴를 더해 \(n\)등분한 방향을 나타내는 부분
공식을 말로 읽으면
①
절댓값 \(r\)의 \(n\)제곱근(\(\sqrt[n]{r}\). 모든 근이 놓이는 원의 반지름)
에
②
편각 \(\theta\)에 한 바퀴(\(2\pi\))의 \(k\)배를 더한 뒤 \(n\)등분한 방향을 나타내는 부분
을 곱하면
③
\(z\)의 \(n\)제곱근의 \(k\)번째(\(w_k\))
가 됩니다(번호 \(k\)를 \(0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\)로 바꾸면 \(n\)개의 근이 모두 나옵니다)
간단한 예
\(z = 8\)(절댓값 \(r = 8\), 편각 \(\theta = 0\))의 세제곱근은 반지름 \(\sqrt[3]{8} = 2\)인 원 위에서
세제곱근(\(w_k\))
\(=\)
반지름(\(2\))
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(w_{0} = 2\left(\cos 0 + i\sin 0\right) = 2\)
\(w_{1} = 2\left(\cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi\right) = -1 + \sqrt{3}i\)
\(w_{2} = 2\left(\cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi\right) = -1 - \sqrt{3}i\)
이해의 핵심
왜 근이 \(n\)개나 나올까요? 열쇠는 ‘편각은 한 바퀴(\(2\pi\))를 더해도 같은 방향’이라는 성질입니다. \(z\)의 편각은 \(\theta\)라고도, \(\theta + 2\pi\)라고도, \(\theta + 4\pi\)라고도 쓸 수 있습니다. \(n\)제곱근을 구할 때는 편각을 \(n\)으로 나누므로, 이 서로 다른 표기가 \(\dfrac{\theta}{n},\ \dfrac{\theta + 2\pi}{n},\ \dfrac{\theta + 4\pi}{n},\ \ldots\)라는 서로 다른 방향이 됩니다. \(k\)가 \(n\)에 이르면 정확히 한 바퀴 돌아 \(k = 0\)과 같은 점으로 돌아오므로, 서로 다른 점은 정확히 \(n\)개입니다.
이웃한 근의 편각의 차는 항상 \(\dfrac{2\pi}{n}\)(한 바퀴의 \(n\)등분)이므로 \(n\)개의 근은 같은 원 위에 같은 간격으로 늘어섭니다. 즉 \(n\)제곱근은 정\(n\)각형의 꼭짓점이 됩니다. 이 계산기의 그림에 반드시 정다각형이 나타나는 것은 이 때문입니다.
1의 n제곱근
수학 표기
(일반적인 수식)
\(z_{k}\)
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
1의 \(n\)제곱근(\(k\)번째)
\(=\)
①
한 바퀴를 \(n\)등분한 \(k\)번째 방향을 나타내는 부분
공식을 말로 읽으면
①
반지름이 1인 원의 한 바퀴를 \(n\)등분한
\(k\)번째 방향을 나타내는 부분(\(\cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n}\))
이
②
1의 \(n\)제곱근의 \(k\)번째(\(z_k\))
가 됩니다(\(k = 0,\ 1,\ \ldots,\ n-1\)의 \(n\)개)
간단한 예
1의 세제곱근(\(z^3 = 1\)이 되는 복소수)은 단위원의 한 바퀴를 3등분해서
세제곱근(\(z_k\))
\(=\)
\(\cos\dfrac{2k\pi}{3} + i\sin\dfrac{2k\pi}{3}\)
\(z_{0} = \cos 0 + i\sin 0 = 1\)
\(z_{1} = \cos\dfrac{2}{3}\pi + i\sin\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
\(z_{2} = \cos\dfrac{4}{3}\pi + i\sin\dfrac{4}{3}\pi = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\)
이해의 핵심
\(z = 1\)은 절댓값 \(1\), 편각 \(0\)이므로, 위의 n제곱근의 공식에서 \(r = 1,\ \theta = 0\)인 특별한 경우입니다. 모든 근은 단위원(반지름 1인 원) 위에 있고, \(z_0 = 1\)을 꼭짓점의 하나로 하는 정\(n\)각형을 만듭니다.
1의 세제곱근 중 허수인 것(위의 \(z_1\))은 \(\omega\)(오메가)라고 부르며, 예전 고등학교 수학과 수능에서 자주 다루던 단골 주제입니다. \(\omega^3 = 1\), \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)을 만족하고, \(z_2 = \omega^2 = \overline{\omega}\)입니다.
또 1의 \(n\)제곱근 \(n\)개를 모두 더하면 \(0\)이 됩니다(\(n \ge 2\)). 정다각형의 꼭짓점이 원점 둘레에 고르게 퍼져 있어서 무게중심이 정확히 원점이 된다고 생각하면 도형으로도 납득할 수 있습니다.
드무아브르 정리 \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)는 ‘복소수의 곱셈 = 편각의 덧셈’을 \(n\)번 되풀이한 결과입니다. 이것을 쓰면 복소수의 \(n\)제곱은 ‘절댓값은 \(n\)제곱, 편각은 \(n\)배’로 한 번에 구해지고, 거꾸로 쓰면 ‘절댓값은 \(n\)제곱근, 편각은 (\(k\)바퀴를 더해) \(n\)등분’으로 \(n\)개의 n제곱근이 모두 구해집니다. \(n\)제곱근이 원 위의 정다각형이 되는 그림이 이 정리의 하이라이트입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(i\) | 아이 | 허수단위입니다. 제곱하면 \(-1\)이 되는 수(\(i^2 = -1\))로, 상상의 수라는 뜻의 영어 imaginary number의 첫 글자에서 왔습니다. |
| \(z\) | 제트 | 복소수를 나타낼 때 자주 쓰는 문자입니다. 실수의 변수 \(x,\ y\)와 구별하기 위해 복소수에는 \(z\)나 \(w\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(w\) | 더블유 | 이 페이지에서는 \(z\)의 \(n\)제곱근(\(w^n = z\)가 되는 복소수)을 나타내는 문자입니다. 두 번째 복소수에 알파벳에서 \(z\) 바로 앞의 \(w\)를 쓰는 관례를 따랐습니다. |
| \(a,\ b\) | 에이, 비 | \(z = a + bi\)의 실수부분(\(a\))과 허수부분(\(b\))입니다. 둘 다 실수입니다. 복소평면에서는 \(a\)가 가로(실수축 방향), \(b\)가 세로(허수축 방향)의 위치입니다. |
| \(r\) | 알 | 절댓값(원점에서 점 \(z\)까지의 거리)을 나타내는 문자입니다. 반지름을 뜻하는 영어 radius의 첫 글자에서 왔습니다. 극형식에서는 0 이상의 실수입니다. |
| \(\theta\) | 세타 | 편각을 나타낼 때 쓰는 그리스 문자입니다. 수학에서는 각도를 나타내는 문자로 관례적으로 씁니다. |
| \(n\) | 엔 | 이 페이지에서는 거듭제곱의 지수(몇 제곱인지) 또는 몇 제곱근인지를 나타내는 정수입니다. 개수·횟수를 뜻하는 영어 number의 첫 글자에서 왔습니다. |
| \(k\) | 케이 | \(n\)제곱근의 번호(\(0\)부터 \(n-1\)까지)를 나타내는 문자입니다. 번호에는 보통 \(i,\ j,\ k\)를 쓰지만, 복소수에서는 \(i\)가 허수단위와 헷갈리므로 \(k\)를 쓰는 것이 보통입니다. |
| \(\sqrt[n]{\ }\) | 엔제곱근 | \(n\)제곱근의 기호입니다. \(\sqrt[3]{8} = 2\)는 ‘세제곱하면 8이 되는 양수는 2’라는 뜻입니다. 왼쪽 위의 작은 수가 몇 제곱근인지를 나타내며, 쓰지 않으면 제곱근을 나타냅니다. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | 코사인 세타, 사인 세타 | 삼각비(삼각함수)입니다. 반지름이 1인 원(단위원) 위에서 각 \(\theta\)의 방향으로 나아간 점의 가로 위치가 \(\cos\theta\), 세로 위치가 \(\sin\theta\)입니다. 극형식에서는 ‘방향을 나타내는 부품’ 역할을 합니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율(약 3.14159)입니다. 라디안(호도법)에서는 반 바퀴의 각 \(180^{\circ}\)가 정확히 \(\pi\), 한 바퀴는 \(2\pi\)가 됩니다. 그리스 문자 \(\pi\)는 둘레를 뜻하는 그리스어의 첫 글자에서 왔다고 합니다. |
| \(\omega\) | 오메가 | 1의 세제곱근 중 허수인 것(\(\omega = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{\sqrt{3}}{2}i\))을 나타내는 관용 문자입니다. \(\omega^3 = 1\), \(\omega^2 + \omega + 1 = 0\)을 만족합니다. 그리스 문자의 마지막 글자로, 1의 n제곱근에 널리 쓰입니다. |
용어
| 복소수 | \(a + bi\)(\(a,\ b\)는 실수)의 꼴로 나타내는 수입니다. 실수와 허수를 하나로 묶은 수의 세계로, 고등학교 1학년에서 배웁니다. |
| 허수단위 | 제곱하면 \(-1\)이 되는 수 \(i\)를 말합니다. 실수 중에는 제곱해서 음수가 되는 수가 없으므로 새로운 수로 도입되었습니다. |
| 복소평면 | 복소수 \(a + bi\)를 점 \((a,\ b)\)로 나타내는 평면입니다. 가로축을 실수축, 세로축을 허수축이라고 합니다. 가우스 평면이라고도 하며, 한국의 고등학교 교육과정에는 없고 대학에서 배웁니다. |
| 극형식 | 복소수를 ‘원점까지의 거리 \(r\)’와 ‘실수축에서의 회전각 \(\theta\)’로 나타내는 방법 \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\)를 말합니다. 드무아브르 정리는 이 꼴의 복소수에 대한 정리입니다. |
| 절댓값 | 원점에서 점 \(z\)까지의 거리로, \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)으로 계산합니다. \(n\)제곱하면 절댓값은 \(n\)제곱(\(r^n\))이 됩니다. |
| 편각 | 실수축의 양의 방향에서 시계 반대 방향으로 잰, 원점에서 점 \(z\)로 향하는 방향의 각입니다. 한 바퀴(\(2\pi\))를 더해도 같은 방향이므로 \(0 \le \theta < 2\pi\)의 범위로 답하는 것이 관례입니다. \(n\)제곱하면 편각은 \(n\)배(\(n\theta\))가 됩니다. |
| 거듭제곱 | 같은 수를 되풀이해서 곱하는 것입니다. \(z^4\)은 \(z\)를 4번 곱한 값입니다. 오른쪽 위의 작은 수를 지수라고 합니다. |
| n제곱근 | \(n\)제곱하면 그 수가 되는 수입니다. 복소수의 범위에서는 0이 아닌 어떤 복소수에도 \(n\)제곱근이 정확히 \(n\)개 있습니다(실수의 범위에서 8의 세제곱근은 2 하나뿐이지만, 복소수까지 넓히면 세 개가 됩니다). |
| 1의 n제곱근 | \(z^n = 1\)이 되는 복소수입니다. 단위원의 한 바퀴를 \(n\)등분한 \(n\)개의 점으로, \(1\)을 꼭짓점의 하나로 하는 정\(n\)각형을 만듭니다. |
| 드무아브르 정리 | \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\)라는 정리입니다. 프랑스 태생의 수학자 드무아브르(de Moivre)의 이름을 땄습니다. ‘곱셈 = 편각의 덧셈’을 \(n\)번 되풀이한 결과입니다. |
| 단위원 | 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원입니다. 절댓값이 1인 복소수(\(\cos\theta + i\sin\theta\)의 꼴인 수)는 모두 이 원 위에 있습니다. |
| 정다각형 | 변의 길이와 각의 크기가 모두 같은 다각형(정삼각형, 정사각형, 정오각형 등)입니다. \(n\)제곱근의 \(n\)개의 점은 원 위에 같은 간격으로 늘어서므로 정\(n\)각형의 꼭짓점이 됩니다. |
| 특수각 | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\)와 그 계열의 각(여기에 \(90^{\circ}\)의 배수를 더한 각)입니다. 삼각비의 값을 \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)처럼 정확한 값으로 쓸 수 있는 각으로, 교과서와 시험 문제의 대부분이 이 각으로 나옵니다. |
| 라디안 | 각의 크기를 반지름이 1인 원의 호의 길이로 재는 방법(호도법)의 단위입니다. \(180^{\circ} = \pi\) 라디안, 한 바퀴는 \(2\pi\) 라디안입니다. 고등학교 2학년의 삼각함수부터는 도보다 이쪽이 표준 단위입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 제곱근과 근호의 계산(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 지수법칙(중학교 2학년~고등학교 2학년, 13~17세) |
|
| 복소수(고등학교 1학년, 15~16세) |
|
| 삼각비와 삼각함수(중학교 3학년~고등학교 2학년, 14~17세) |
|
| 호도법(고등학교 2학년, 16~17세) |
|
| 복소평면과 극형식(대학 공학수학) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
복소수의 n제곱을 구하는 표
| 실수부분 a | 1 |
| 허수부분 b | 1 |
| 지수 n | 4 |
| z의 n제곱 | =IMPOWER(COMPLEX(B1,B2),B3) |
| 절댓값의 n제곱 r^n | =IMABS(COMPLEX(B1,B2))^B3 |
| 편각의 n배 nθ(라디안) | =B3*IMARGUMENT(COMPLEX(B1,B2)) |
복소수의 n제곱근(k번째)을 구하는 표
| 실수부분 a | 8 |
| 허수부분 b | 0 |
| 몇 제곱근인지 n | 3 |
| 근의 번호 k(0~n−1) | 1 |
| 근이 놓이는 원의 반지름 | =IMABS(COMPLEX(B1,B2))^(1/B3) |
| k번째 근의 편각(라디안) | =(MOD(IMARGUMENT(COMPLEX(B1,B2)),2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| k번째 근의 실수부분 | =B5*COS(B6) |
| k번째 근의 허수부분 | =B5*SIN(B6) |
붙여 넣으면 위쪽 행이 입력 칸이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다.
첫째 표의 COMPLEX(실수부분, 허수부분)는 복소수를 만드는 함수이고, IMPOWER는 그 거듭제곱을 ‘-4’ 같은 문자열로 돌려줍니다. 예의 z = 1 + i, n = 4라면 z의 n제곱은 거의 정확히 -4(부동소수점 오차 때문에 아주 작은 허수부분이 붙을 수 있습니다), r^n = 4, nθ = π ≒ 3.14159가 됩니다.
둘째 표는 k번째 근 하나를 구하는 표입니다. IMARGUMENT는 편각(−π보다 크고 π 이하)을 돌려주므로, 먼저 MOD로 0 이상 2π 미만의 값으로 고친 뒤 k바퀴를 더하고 n으로 나눕니다. 예의 z = 8, n = 3, k = 1이라면 반지름은 2, 편각은 2π/3 ≒ 2.0944이므로 실수부분 = −1, 허수부분 ≒ 1.7320508(= √3)이 됩니다. k를 0, 1, 2로 바꾸면 세 근을 모두 구할 수 있습니다.
Excel은 소수로 계산하므로 근호나 분수를 쓴 정확한 값이 필요하면 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
첫째 표의 COMPLEX(실수부분, 허수부분)는 복소수를 만드는 함수이고, IMPOWER는 그 거듭제곱을 ‘-4’ 같은 문자열로 돌려줍니다. 예의 z = 1 + i, n = 4라면 z의 n제곱은 거의 정확히 -4(부동소수점 오차 때문에 아주 작은 허수부분이 붙을 수 있습니다), r^n = 4, nθ = π ≒ 3.14159가 됩니다.
둘째 표는 k번째 근 하나를 구하는 표입니다. IMARGUMENT는 편각(−π보다 크고 π 이하)을 돌려주므로, 먼저 MOD로 0 이상 2π 미만의 값으로 고친 뒤 k바퀴를 더하고 n으로 나눕니다. 예의 z = 8, n = 3, k = 1이라면 반지름은 2, 편각은 2π/3 ≒ 2.0944이므로 실수부분 = −1, 허수부분 ≒ 1.7320508(= √3)이 됩니다. k를 0, 1, 2로 바꾸면 세 근을 모두 구할 수 있습니다.
Excel은 소수로 계산하므로 근호나 분수를 쓴 정확한 값이 필요하면 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
복소수의 n제곱을 구하는 표
| 실수부분 a | 1 |
| 허수부분 b | 1 |
| 지수 n | 4 |
| z의 n제곱 | =IMPOWER(COMPLEX(B1,B2),B3) |
| 절댓값의 n제곱 r^n | =IMABS(COMPLEX(B1,B2))^B3 |
| 편각의 n배 nθ(라디안) | =B3*IMARGUMENT(COMPLEX(B1,B2)) |
복소수의 n제곱근(k번째)을 구하는 표
| 실수부분 a | 8 |
| 허수부분 b | 0 |
| 몇 제곱근인지 n | 3 |
| 근의 번호 k(0~n−1) | 1 |
| 근이 놓이는 원의 반지름 | =IMABS(COMPLEX(B1,B2))^(1/B3) |
| k번째 근의 편각(라디안) | =(MOD(IMARGUMENT(COMPLEX(B1,B2)),2*PI())+2*PI()*B4)/B3 |
| k번째 근의 실수부분 | =B5*COS(B6) |
| k번째 근의 허수부분 | =B5*SIN(B6) |
Excel과 같은 복소수 함수(COMPLEX, IMPOWER, IMABS, IMARGUMENT)를 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 수를 원하는 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import cmath
import math
# 복소수의 n제곱 (드무아브르 정리와 같은 결과가 나옴)
z = complex(1, 1) # z = 1 + i
n = 4
z_power = z ** n
print(f"z의 {n}제곱 = {z_power}")
# 극형식의 재료 (절댓값과 편각)
absolute_value, argument = cmath.polar(z) # r과 θ (−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # 0 ≤ θ < 2π의 범위로 옮김
print(f"절댓값 r = {absolute_value}")
print(f"편각 θ = {argument} rad")
# 복소수의 n제곱근 (k = 0 ~ n−1의 n개를 모두 나열)
z = complex(8, 0) # z = 8
n = 3
radius = abs(z) ** (1 / n)
theta = cmath.phase(z) % (2 * math.pi)
for k in range(n):
angle = (theta + 2 * math.pi * k) / n
w = cmath.rect(radius, angle)
print(f"w_{k} = {w}")
복소수는 complex(실수부분, 허수부분)로 만들 수 있고, **로 바로 거듭제곱할 수 있습니다. 앞부분은 z = 1 + i의 네제곱으로 (-4+0j)가, 절댓값 r = 1.4142135623730951(√2의 근삿값)과 편각 θ = 0.7853981633974483 rad(π/4의 근삿값)가 표시됩니다. 뒷부분은 z = 8의 세제곱근으로 w_0 = (2+0j), w_1 ≒ (-1+1.7320508…j), w_2 ≒ (-1-1.7320508…j)의 세 근이 표시됩니다(1.7320508…은 √3의 근삿값). cmath.polar는 절댓값과 각(−π보다 크고 π 이하)을 돌려주므로, 음의 각에는 2π를 더해 0 이상 2π 미만의 범위로 맞춥니다. cmath.rect(반지름, 각)는 극형식에서 복소수를 만드는 함수입니다. −1이 -0.9999999999999996으로, 0이 2.4e-16 같은 아주 작은 수로 표시되는 것은 소수(부동소수점 수)의 반올림 오차 때문입니다. 근호나 분수를 쓴 정확한 값이 필요하면 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
드무아브르 정리
(cosθ + i sinθ)ⁿ = cos nθ + i sin nθ
(\cos\theta + i\sin\theta)^{n} = \cos n\theta + i\sin n\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
</mrow>
</math>
(cos theta + i sin theta)^n = cos(n theta) + i sin(n theta)
(Cos[theta] + I Sin[theta])^n == Cos[n theta] + I Sin[n theta]
(cos(theta) + I*sin(theta))^n = cos(n*theta) + I*sin(n*theta);
zn = (cos(t) + 1i*sin(t))^n;
(cos θ + i sin θ)^n = cos nθ + i sin nθ
복소수의 \(n\)제곱
zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
z^{n} = r^{n}(\cos n\theta + i\sin n\theta)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>z</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>n</mi><mi>θ</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
z^n = r^n (cos(n theta) + i sin(n theta))
r^n (Cos[n theta] + I Sin[n theta])
zn := r^n*(cos(n*theta) + I*sin(n*theta));
zn = r^n*(cos(n*t) + 1i*sin(n*t));
z^n = r^n (cos nθ + i sin nθ)
복소수의 n제곱근
w_k = ⁿ√r (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n)) (k = 0, 1, …, n−1)
w_{k} = \sqrt[n]{r}\left(\cos\dfrac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>w</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mroot><mi>r</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>(</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
w_k = root(n)(r) (cos((theta + 2k pi)/n) + i sin((theta + 2k pi)/n))
Table[r^(1/n) (Cos[(theta + 2 k Pi)/n] + I Sin[(theta + 2 k Pi)/n]), {k, 0, n - 1}]
wk := r^(1/n)*(cos((theta + 2*k*Pi)/n) + I*sin((theta + 2*k*Pi)/n));
wk = r^(1/n)*(cos((t + 2*k*pi)/n) + 1i*sin((t + 2*k*pi)/n));
w_k = r^(1/n) (cos((θ + 2kπ)/n) + i sin((θ + 2kπ)/n))
1의 n제곱근
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n) (k = 0, 1, …, n−1)
z_{k} = \cos\dfrac{2k\pi}{n} + i\sin\dfrac{2k\pi}{n} \quad (k = 0, 1, \ldots, n-1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>z</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>cos</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>i</mi><mi>sin</mi>
<mfrac>
<mrow><mn>2</mn><mi>k</mi><mi>π</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z_k = cos((2k pi)/n) + i sin((2k pi)/n)
Table[Cos[2 k Pi/n] + I Sin[2 k Pi/n], {k, 0, n - 1}]
zk := cos(2*k*Pi/n) + I*sin(2*k*Pi/n);
zk = cos(2*k*pi/n) + 1i*sin(2*k*pi/n);
z_k = cos(2kπ/n) + i sin(2kπ/n)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(복소평면·드무아브르 정리) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 1. 복소수 z = 1 + i의 네제곱 z^4를 구해 주세요. 절댓값 r과 편각 θ, 절댓값의 네제곱 r^4, 편각의 4배 4θ도 보여 주세요. 2. 복소수 z = 8의 세제곱근(세제곱하면 8이 되는 복소수)을 k = 0, 1, 2의 세 개 모두 구해 주세요. 가능하면 근호를 쓴 정확한 값도 보여 주세요. Python에서는 복소수형, cmath.polar, cmath.rect를 쓰고, 계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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관련 기능
복소수 극형식 변환 계산기(절댓값·편각·사분면 보정 풀이 과정·복소평면)
복소수 z=a+bi를 극형식 r(cos θ + i sin θ)로 바꿉니다. 절댓값은 근호를 간단히 한 정확한 값, 편각은 사분면 보정의 풀이 과정과 함께 보여 줍니다
복소수 계산기(사칙연산·분모의 실수화 풀이 과정·켤레복소수·절댓값·복소평면)
두 복소수 z₁, z₂의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈을 분모의 실수화 풀이 과정, 켤레복소수, 절댓값, 복소평면의 그림과 함께 계산합니다
