밑면(자른 면의 원)의 반지름 r, 원래 구의 반지름 R, 높이 h 중 아는 두 가지를 입력하세요. 나머지 하나와 부피를 계산합니다.
길이는 0 이상의 수만 같은 단위로 맞춰 입력하세요(단위 없이 수만). 나머지 한 항목은 비워 둡니다. 밑면의 반지름과 구의 반지름으로 계산할 때는 답이 두 가지로 표시될 수 있습니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란의 세 항목 중 두 개에 값을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 구를 평면으로 싹둑 잘라 낸 입체도형 ‘구결’의 부피를 바로 알 수 있습니다. 둥근 돔이나 엎어 놓은 그릇 같은 모양이며, 둥근 곡면 부분은 ‘구관’이라고 부릅니다(영어로는 둘 다 spherical cap)
- 밑면(자른 면의 원)의 반지름 \(r\), 원래 구의 반지름 \(R\), 높이 \(h\)의 세 가지 중 아는 두 가지만 넣으면 나머지 하나도 자동으로 계산합니다
- 밑면의 반지름과 구의 반지름으로 계산할 때는 자르는 위치가 구의 중심보다 위인지 아래인지에 따라 답이 두 가지가 될 수 있습니다. 그런 경우에도 두 답을 함께 보여 줍니다
- 계산한 구결을 3D 그림으로도 보여 줍니다(마우스로 끌어서 돌릴 수 있고, 자르기 전의 구도 옅은 선으로 표시합니다)
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
세 값은 모두 같은 단위로 맞춰 입력하세요(cm라면 모두 cm). 부피는 그 단위의 세제곱(cm로 입력하면 cm³, m로 입력하면 m³)이 됩니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
구 모양 탱크에 남은 액체의 양을 깊이로 계산하기(공업·기반 시설)
석유나 액화 가스를 저장하는 구 모양 탱크에서는 고여 있는 액체 부분이 정확히 구결 모양이 되므로, 액면의 깊이 \(h\)를 재면 이 공식으로 남은 양을 알 수 있습니다. 예를 들어 반지름 2 m인 구 모양 탱크에 깊이 0.5 m까지 액체가 들어 있을 때 남은 양은 \(\pi \times 0.5^2 \times (3 \times 2 - 0.5) \div 3 \fallingdotseq 1.44\,\mathrm{m^3}\)(약 1440 L)입니다.
센서로 잰 깊이를 부피로 환산하는 것이 이 공식의 가장 대표적인 실무 쓰임새입니다.
둥근 그릇·볼에 담긴 양 어림하기(요리)
반구에 가까운 모양의 볼(반지름 6 cm)에 국을 깊이 3 cm까지 담으면 국의 모양은 구결이므로, 양은 \(\pi \times 3^2 \times (3 \times 6 - 3) \div 3 = 45\pi \fallingdotseq 141\,\mathrm{cm^3}\)(약 141 mL)로 어림할 수 있습니다.
볼 가득(반구)이면 약 452 mL이므로 ‘깊이가 절반이어도 양은 절반보다 훨씬 적다(3분의 1 이하)’는 것을 계산으로 알 수 있습니다. 담는 양이나 레시피의 분량 감각에도 도움이 되는, 가장 가까운 응용 예입니다.
돔 지붕·천체 투영관의 내부 공간 어림하기(건축)
돔 모양의 지붕이나 천장은 구결 모양으로 어림할 수 있습니다. 예를 들어 지름 120 m(자른 면의 반지름 60 m), 높이 40 m인 돔이라면 원래 구의 반지름은 \(R = (40^2 + 60^2) \div (2 \times 40) = 65\,\mathrm{m}\)이고, 내부 공간은 약 26만 m³로 계산할 수 있습니다.
이 공간의 크기는 냉난방·환기·소리의 울림을 설계할 때의 출발점이 됩니다(실제 돔은 정확한 구결이라고 할 수 없으므로 어디까지나 어림값입니다).
표면에 올라앉은 물방울의 부피 재기(인쇄·도장·반도체 기술)
잎 위의 물방울이나 잉크젯 프린터의 잉크 방울처럼 표면에 올라앉은 작은 방울은 표면장력 때문에 거의 구결 모양이 됩니다. 연구나 제조 현장에서는 옆에서 찍은 사진으로 방울의 자른 면의 반지름과 높이를 재고, 이 공식으로 부피를 구합니다.
재료가 얼마나 잘 젖는지(접촉각)를 평가할 때도 쓰이는, 아주 작은 세계에서도 활약하는 공식입니다.
렌즈의 둥글게 부푼 부분의 모양 다루기(광학)
안경이나 카메라 렌즈의 둥글게 부푼 면은 구면의 일부(구관)이고, 부푼 부분의 모양은 바로 구결입니다. 렌즈를 갈아 만들 때 깎아 내는 양이나 재료의 부피를 어림하는 데 이 공식이 쓰여 왔습니다.
콘택트렌즈처럼 얇은 돔 모양의 설계에서도 자른 면의 반지름·구의 반지름·높이의 관계(이 페이지의 공식 2~공식 4)가 기본이 됩니다.
공식과 그림
구결의 부피 공식(구의 반지름과 높이로 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(2\)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
\(R\)
\(-\)
\(h\)
\()\)
\(\div 3\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑥
구결의 부피 \(V\)
\(=\)
③
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
①
높이 \(h\)
②
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
④
구의 반지름 \(R\)
\(-\)
높이 \(h\)
\()\)
⑤
\(\div 3\)
공식을 말로 읽으면
①
높이(\(h\))
를
②
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
하고,
③
원주율(\(\pi\), 약 3.14)
을 곱한 뒤,
④
여기에
구의 반지름(\(R\))
을 3배 한 것에서 높이 \(h\)를 뺀 ‘\(3R - h\)’를 곱하고,
⑤
마지막으로 3으로 나누면
⑥
구결의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
반지름 2 cm인 구를 꼭대기로부터의 높이가 1 cm가 되도록 잘라 낸 구결(엎어 놓은 그릇 같은 모양)의 부피는
구결의 부피 \(V\)
\(=\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
높이(1 cm)
제곱
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
구의 반지름(2 cm)
\(-\)
높이(1 cm)
\()\)
\(\div 3\)
\(\pi \times 1^{2} \times (3 \times 2 - 1) \div 3 = \pi \times 5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\pi\)
\(\dfrac{5}{3}\pi \fallingdotseq \dfrac{5}{3} \times 3.14 \fallingdotseq 5.2\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
가장 많이 하는 실수는 높이 \(h\)를 ‘제곱’할 것을 ‘2배’로 착각하는 것입니다.
이 공식은 높이 \(h\)와 구의 반지름 \(R\)의 두 값만으로 정해지며, 밑면의 반지름 \(r\)은 나오지 않습니다(\(h\)와 \(R\)이 정해지면 \(r\)은 저절로 정해지기 때문입니다). 반구(\(h = R\))를 넣으면 \(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\)으로 구의 부피의 정확히 절반이 되고, \(h = 2R\)(지름 전체)이면 \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\)으로 구 전체와 일치합니다.
밑면의 반지름 \(r\)과 높이 \(h\)로 바로 구하고 싶을 때는 같은 공식을 바꿔 쓴 \(V = \pi h (3r^2 + h^2) \div 6\)이라는 꼴도 있습니다.
구의 반지름 \(R\)을 구하는 공식(밑면의 반지름과 높이로)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(2\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
\(h\)
\()\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
구의 반지름 \(R\)
\(=\)
\((\)
①
높이 \(h\)
②
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
\(+\)
③
밑면의 반지름 \(r\)
제곱
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
④
높이 \(h\)
\()\)
공식을 말로 읽으면
①
높이(\(h\))
를
②
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
하고,
③
밑면의 반지름(\(r\))
도 제곱해서 둘을 더한 다음,
④
그 합을
높이(\(h\))
를 2배 한 ‘\(2h\)’로 나누면
⑤
구의 반지름(\(R\))
이 됩니다
간단한 예
자른 면의 원의 반지름이 1 m, 높이가 0.5 m인 돔 모양의 물체에서 원래 구의 반지름은
구의 반지름 \(R\)
\(=\)
\((\)
높이(0.5 m)
제곱
\(+\)
밑면의 반지름(1 m)
제곱
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
높이(0.5 m)
\()\)
\(R = (0.5^{2} + 1^{2}) \div (2 \times 0.5) = 1.25 \div 1\)
\(1.25 \div 1 = 1.25\,\mathrm{m}\)
이해의 핵심
이 공식의 정체는 중학교에서 배우는 피타고라스 정리입니다. 구의 중심, 자른 면의 원의 중심, 자른 면의 가장자리 세 점을 이으면 직각삼각형이 생기고, \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\)이 성립합니다. 이것을 \(R\)에 대해 푼 것이 이 공식입니다.
‘구의 일부(조각)만 남아 있는데도 원래 구의 크기를 알 수 있다’는 것이 이 공식의 재미있는 점으로, 깨진 그릇 조각으로 원래 크기를 짐작하는 것과 같은 발상입니다.
높이 \(h\)를 구하는 공식(밑면의 반지름과 구의 반지름으로, 답은 두 가지)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
구결의 높이 \(h\)
\(=\)
①
구의 반지름 \(R\)
③
\(\pm\)
②
제곱의 차 \(R^2 - r^2\)의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
구의 반지름(\(R\))
을 바탕으로
②
제곱의 차(\(R^2 - r^2\))의 제곱근
을 계산하고(구의 반지름 \(R\)의 제곱에서 밑면의 반지름 \(r\)의 제곱을 빼고, 그 루트를 씌웁니다),
③
그것을 ‘빼는’ 경우와 ‘더하는’ 경우의 두 가지를 생각하면(기호 ±는 ‘−와 + 둘 다 있을 수 있다’는 뜻)
④
구결의 높이(\(h\))
가 (보통 두 가지) 구해집니다
간단한 예
자른 면의 원의 반지름이 1 m, 원래 구의 반지름이 2 m일 때 구결의 높이는
구결의 높이 \(h\)
\(=\)
구의 반지름(2 m)
\(\pm\)
‘2² − 1²’의 제곱근
\(\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.732\)
\(h = 2 - 1.732 = 0.268\,\mathrm{m}\)
\(h = 2 + 1.732 = 3.732\,\mathrm{m}\)
이해의 핵심
답이 두 가지 나오는 것은 같은 크기의 자른 면이라도 ‘구의 중심보다 위에서 자르는 경우(얕은 그릇)’와 ‘중심보다 아래에서 자르는 경우(깊은 항아리)’의 두 가지 구결을 만들 수 있기 때문입니다.
딱 \(r = R\)(자른 면이 구의 중심을 지남)일 때만 \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\)이 되어 답은 한 가지(반구, \(h = R\))입니다. 또 \(r > R\)로는 할 수 없습니다(구보다 큰 자른 면은 만들 수 없기 때문입니다).
밑면의 반지름 \(r\)을 구하는 공식(구의 반지름과 높이로)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
밑면의 반지름 \(r\)
\(=\)
①
\(2Rh - h^2\)의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
구의 반지름 \(R\)의 2배에 높이 \(h\)를 곱한 것에서 높이 \(h\)의 제곱을 빼고, 그
값(\(2Rh - h^2\))의 제곱근
을 계산하면
②
밑면의 반지름(\(r\))
이 됩니다
간단한 예
원래 구의 반지름이 2 cm, 높이가 1 cm인 구결에서 자른 면의 원의 반지름은
밑면의 반지름 \(r\)
\(=\)
‘2 × 2 × 1 − 1²’의 제곱근
\(r = \sqrt{2 \times 2 \times 1 - 1^{2}} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73\,\mathrm{cm}\)
이해의 핵심
이것도 정체는 피타고라스 정리로, \(r^2 = R^2 - (R - h)^2\)의 우변을 전개해 정리한 꼴입니다. \(r = \sqrt{h(2R - h)}\)로 묶어 쓸 수도 있습니다.
높이가 지름 전체(\(h = 2R\))일 때는 \(r = 0\)이 되어 자른 면이 없는 구 전체로 돌아갑니다. 공식 1의 예(반지름 2 cm, 높이 1 cm)에서는 \(r = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73\,\mathrm{cm}\)입니다. 이 \(r = \sqrt{3}\)과 \(R = 2\)를 공식 3에 넣으면 \(h = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 1\) 또는 \(3\)이 되어, 해의 하나로 원래 높이 1 cm가 제대로 돌아옵니다.
구결(구관)의 부피는 ‘V = π × 높이의 제곱 × (3 × 구의 반지름 − 높이) ÷ 3’으로, 높이와 구의 반지름 두 값만으로 정해집니다. 밑면의 반지름, 구의 반지름, 높이는 피타고라스 정리로 이어져 있으므로, 어느 두 값을 알면 나머지 하나는 계산으로 구할 수 있습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(V\) | 브이 | 부피를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 영어 volume(부피)의 첫 글자로, 이 페이지에서는 구결의 부피를 나타냅니다. |
| \(r\) | 알(소문자) | 밑면(자른 면의 원)의 반지름입니다. 구를 평면으로 잘랐을 때 생기는 원의 반지름이며, 영어 radius(반지름)의 첫 글자입니다. |
| \(R\) | 알(대문자) | 원래 구의 반지름입니다. 잘라 내기 전 공 전체의 반지름으로, 자른 면의 원의 반지름 \(r\)(소문자)과 구별하기 위해 대문자로 씁니다. |
| \(h\) | 에이치 | 구결의 높이입니다. 자른 평면에서 구결의 가장 높은 곳(꼭대기)까지의 거리이며, 영어 height(높이)의 첫 글자입니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율입니다. 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 상수로, 약 3.14159…로 끝없이 이어지는 수입니다. 초등학교에서는 3.14로 계산합니다. |
| \(\pm\) | 플러스마이너스 | ‘+인 경우와 −인 경우의 두 가지가 있다’는 것을 한꺼번에 나타내는 기호입니다. 이 페이지에서는 높이의 답이 두 가지일 수 있음을 나타냅니다. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | 루트(근호) | 제곱근(제곱하면 그 수가 되는 수)을 나타내는 기호입니다. 예: \(\sqrt{9} = 3\)(\(3^2 = 9\)이므로). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 세제곱센티미터 | 부피의 단위입니다. 한 모서리가 1 cm인 정육면체의 부피가 1 cm³입니다. 넓이의 단위 cm²(제곱센티미터)와 구별하세요. |
| \(\mathrm{L}\) | 리터 | 물 같은 것의 양(부피)에 자주 쓰는 단위입니다. \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)입니다(1 L 우유 팩 하나가 딱 1 L입니다). |
용어
| 구결 | 구를 하나의 평면으로 싹둑 잘랐을 때 생기는 조각 입체도형입니다. 엎어 놓은 그릇 같은 모양이며, 이 계산기가 부피를 구하는 것이 이 입체도형입니다. |
| 구관 | 구결의 겉면 가운데 둥글게 부푼 곡면 부분을 부르는 이름입니다. 입체도형 자체(구결)와 구별해서 쓰지만, 입체도형을 ‘구관’이라고 부르기도 합니다. 영어로는 둘 다 spherical cap(구의 뚜껑)입니다. |
| 반구 | 구를 중심을 지나는 평면으로 자른 입체도형입니다. 높이 = 구의 반지름(\(h = R\))인 특별한 구결이며, 부피는 구 전체의 정확히 절반입니다. |
| 밑면 | 구결의 평평한 면, 즉 자른 면의 원입니다. 이 원의 반지름이 \(r\)입니다. |
| 피타고라스 정리 | 직각삼각형에서 ‘빗변의 제곱 = 나머지 두 변의 제곱의 합’이 성립한다는 정리입니다. 구결에서는 \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\)이 성립하고, \(r\), \(R\), \(h\) 중 두 값으로 나머지를 구하는 공식은 모두 여기에서 이끌어 냅니다. |
| 제곱근 | 제곱하면 그 수가 되는 수입니다. 9의 제곱근은 3과 −3이지만, 길이 계산에서는 양수 쪽(\(\sqrt{9} = 3\))만 씁니다. |
| 부피 | 입체도형이 차지하는 공간의 크기를 수로 나타낸 것입니다. ‘한 모서리가 1 cm인 정육면체(1 cm³)가 몇 개 들어가는가’로 잽니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 원과 원주율(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 부피의 뜻과 단위(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 거듭제곱과 지수(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 구의 부피(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 제곱근(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2~3학년, 13~15세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘구의 반지름과 높이로 부피’를 구하는 표
| 구의 반지름 R | 2 |
| 높이 h | 1 |
| 구결의 부피 | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
‘밑면의 반지름과 높이로 구의 반지름’을 구하는 표
| 밑면의 반지름 r | 1 |
| 높이 h | 0.5 |
| 구의 반지름 R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
‘밑면의 반지름과 구의 반지름으로 높이(두 가지)’를 구하는 표
| 밑면의 반지름 r | 1 |
| 구의 반지름 R | 2 |
| 높이(해 1) | =B2-SQRT(B2^2-B1^2) |
| 높이(해 2) | =B2+SQRT(B2^2-B1^2) |
‘구의 반지름과 높이로 밑면의 반지름’을 구하는 표
| 구의 반지름 R | 2 |
| 높이 h | 1 |
| 밑면의 반지름 r | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
붙여 넣으면 A열에 항목 이름, B열에 수가 들어갑니다. 위쪽 행이 입력 칸이고, 마지막 행의 수식이 입력 칸의 값으로 자동 계산합니다.
‘PI()’는 원주율 π, ‘SQRT()’는 제곱근을 계산하는 함수이고, ‘^’는 거듭제곱(제곱), ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈 기호입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B3에 약 5.24가 표시됩니다(반지름 2 cm, 높이 1 cm라면 cm³). 세 번째 표는 답이 두 가지 나오는 경우로, B3에 약 0.268, B4에 약 3.732가 표시됩니다. 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
‘PI()’는 원주율 π, ‘SQRT()’는 제곱근을 계산하는 함수이고, ‘^’는 거듭제곱(제곱), ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈 기호입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B3에 약 5.24가 표시됩니다(반지름 2 cm, 높이 1 cm라면 cm³). 세 번째 표는 답이 두 가지 나오는 경우로, B3에 약 0.268, B4에 약 3.732가 표시됩니다. 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘구의 반지름과 높이로 부피’를 구하는 표
| 구의 반지름 R | 2 |
| 높이 h | 1 |
| 구결의 부피 | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
‘밑면의 반지름과 높이로 구의 반지름’을 구하는 표
| 밑면의 반지름 r | 1 |
| 높이 h | 0.5 |
| 구의 반지름 R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
‘밑면의 반지름과 구의 반지름으로 높이(두 가지)’를 구하는 표
| 밑면의 반지름 r | 1 |
| 구의 반지름 R | 2 |
| 높이(해 1) | =B2-SQRT(B2^2-B1^2) |
| 높이(해 2) | =B2+SQRT(B2^2-B1^2) |
‘구의 반지름과 높이로 밑면의 반지름’을 구하는 표
| 구의 반지름 R | 2 |
| 높이 h | 1 |
| 밑면의 반지름 r | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
Excel과 같은 수식(PI()·SQRT() 함수 포함)을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
ball_radius = 2 # 구의 반지름 R(이 예에서는 cm)
height = 1 # 구결의 높이 h
volume = math.pi * height ** 2 * (3 * ball_radius - height) / 3 # 구결의 부피(입력 단위의 세제곱)
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * height - height ** 2) # 밑면(자른 면의 원)의 반지름 r
print(f"구결의 부피: {volume} cm3")
print(f"밑면의 반지름: {base_radius} cm")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘math.pi’가 원주율 π, ‘math.sqrt’가 제곱근, ‘**’가 거듭제곱(제곱), ‘*’가 곱셈, ‘/’가 나눗셈 기호입니다. 맨 위의 구의 반지름과 높이를 바꿔 실행하세요(cm로 입력한 경우의 예입니다).
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
구결의 부피 공식(구의 반지름과 높이로 구하기)
V = πh²(3R − h)/3
V = \dfrac{1}{3}\pi h^{2}(3R - h)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>(</mo>
<mn>3</mn><mi>R</mi>
<mo>−</mo>
<mi>h</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h^2 (3R - h)
Pi*h^2*(3*R - h)/3
V := Pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = (1/3)πh^2(3R - h)
구의 반지름 \(R\)을 구하는 공식(밑면의 반지름과 높이로)
R = (h² + r²)/(2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2)/(2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
높이 \(h\)를 구하는 공식(밑면의 반지름과 구의 반지름으로, 답은 두 가지)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 - r^2)
밑면의 반지름 \(r\)을 구하는 공식(구의 반지름과 높이로)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh - h^2)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 산수·수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 반지름 2 cm인 구를 꼭대기로부터의 높이가 1 cm가 되도록 평면으로 잘라 낸 입체도형(구결)이 있습니다. 다음 값을 각각 구하세요. 1. 이 구결의 부피는 몇 cm³인가(V = π × h² × (3R − h) ÷ 3) 2. 자른 면의 원(밑면)의 반지름은 몇 cm인가(r = √(2Rh − h²)) 계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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관련 기능
구의 부피 계산기(V = 4/3 × π × 반지름의 세제곱)
자르기 전 구 전체의 부피를 계산합니다
피타고라스 정리 계산기(두 변으로 나머지 한 변 구하기)
구결의 r·R·h 관계식의 바탕이 되는 직각삼각형의 정리를 계산합니다
