구의 반지름을 입력하세요. 겉넓이(4 × π × 반지름의 제곱)와 m²로 바꾼 값도 보여 줍니다.
반지름은 0 이상의 수만 입력하세요(단위 없이 수만. 예: 반지름 12 cm라면 ‘12’). 지름만 알 때는 지름을 2로 나눈 값(반지름)을 입력하세요.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 구의 반지름을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 구의 반지름만 넣으면 구의 겉넓이(겉넓이 = \(4 \times \pi \times\) 반지름의 제곱)를 바로 알 수 있습니다
- 계산한 구를 3D 그림으로도 보여 줍니다(마우스로 끌어서 돌릴 수 있습니다)
- 겉넓이의 단위 환산도 함께 보여 줍니다(cm로 입력했을 때의 m²)
- 지름만 알 때 구하는 방법(반지름 = 지름 ÷ 2, \(S = \pi d^2\))도 쉽게 설명합니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
반지름은 한 가지 단위(cm라면 cm)로 입력하세요. 겉넓이는 그 단위의 제곱(cm로 입력하면 cm², m로 입력하면 m²)이 됩니다. 구의 부피(속의 양)는 전용 페이지(구의 부피 계산기)에서 다룹니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
구 모양 탱크의 도장 면적 어림하기(공업·기반 시설)
가스 시설에서 보이는 구 모양 가스 탱크는 정기적으로 겉면 전체를 다시 칠합니다. 페인트의 필요량은 ‘칠할 넓이’, 즉 구의 겉넓이로 어림합니다. 지름 20 m인 탱크라면 \(S = \pi d^2 = \pi \times 20^2 \fallingdotseq 1257\,\mathrm{m^2}\)입니다. 1 L로 10 m²를 칠할 수 있는 도료라면 약 126 L, 이런 식으로 재료비나 공사 기간 계산으로 이어집니다.
실제 탱크에는 배관이나 비계도 있으므로 이 값을 바탕으로 여유를 두고 발주합니다.
지구의 겉넓이와 ‘바다가 70%’ 확인하기(지리·천문)
지구는 거의 구이므로(정확히는 아주 조금 납작한 회전타원체) 반지름을 약 6371 km로 보면 \(4\pi \times 6371^2 \fallingdotseq 5.1 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\)(약 5.1억 km²)입니다. 과학이나 지리 교과서에 나오는 ‘지구의 겉넓이는 약 5.1억 km², 그중 바다가 약 70%’라는 숫자는 이 공식에 의한 어림과 실측에 바탕을 두고 있습니다.
달(반지름 약 1737 km)로 계산하면 약 3800만 km²로, 지구의 겉넓이의 약 \(\dfrac{1}{13}\)밖에 되지 않는다는 것도 알 수 있습니다.
공의 겉가죽·패널 재료 어림하기(스포츠·제조)
축구공(5호 공)은 지름이 약 22 cm이므로 겉가죽의 넓이는 \(\pi \times 22^2 \fallingdotseq 1521\,\mathrm{cm^2}\)입니다. 공 제조사는 이 겉넓이를 패널(전통적인 오각형·육각형이라면 32장)로 나누어 가죽이나 합성 가죽의 재단량을 계산합니다.
시접이나 버려지는 부분을 더하기 전의 ‘이론값’으로서 겉넓이 공식이 출발점이 됩니다.
몸의 크기와 체온을 잃기 쉬운 정도의 관계 생각하기(과학·생물)
동물의 몸을 거의 구로 보고 어림하면, 반지름이 절반이 될 때 부피(몸무게의 기준)는 \(\dfrac{1}{8}\)이 되는데 겉넓이(열이 빠져나가는 피부의 넓이)는 \(\dfrac{1}{4}\)밖에 되지 않습니다. 즉 몸이 작을수록 ‘부피당 겉넓이’가 커서 열이 빠져나가기 쉽습니다.
‘추운 지방의 동물일수록 몸이 큰 경향이 있다’, ‘아기는 어른보다 목욕 후에 몸이 쉽게 식는다’ 같은 이야기는 이 겉넓이와 부피의 비로 설명됩니다(물론 실제 몸은 구가 아니므로 어디까지나 생각을 돕는 모형입니다).
물방울이나 비눗방울이 둥글어지는 이유 알기(자연·화학)
같은 부피를 감싸는 모양 가운데 겉넓이가 가장 작은 것은 구라는 사실이 수학적으로 증명되어 있습니다. 물방울이나 비눗방울이 둥글어지는 것은 표면장력이 겉넓이를 되도록 작게 만들려고 하기 때문입니다.
반대로 분유나 인스턴트커피처럼 ‘빨리 녹이고 싶은’ 것, 핫팩 속 철가루처럼 ‘빨리 반응시키고 싶은’ 것은 작은 알갱이로 만들어 부피당 겉넓이를 늘립니다. 겉넓이 공식은 이런 주변 현상을 숫자로 확인하는 도구가 됩니다.
공식과 그림
구의 겉넓이(반지름으로 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
구의 겉넓이 \(S\)
\(=\)
④
상수 \(4\)
\(\times\)
③
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
①
반지름 \(r\)
②
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
공식을 말로 읽으면
①
반지름(\(r\))
을
②
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
하고
③
원주율(\(\pi\))
을 곱한 뒤
④
상수(\(4\))
를 한 번 더 곱하면
⑤
구의 겉넓이(\(S\))
가 됩니다
간단한 예
반지름이 3 cm인 구의 겉넓이는
구의 겉넓이 \(S\)
\(=\)
상수 \(4\)
\(\times\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
반지름(3 cm)
제곱
\(4 \times \pi \times 3^{2} = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi\)
\(36\pi \fallingdotseq 36 \times 3.14 = 113.04 \fallingdotseq 113\,\mathrm{cm^2}\)
이해의 핵심
‘왜 4π를 곱할까요?’는 고대 그리스의 수학자 아르키메데스가 발견한 관계로 설명할 수 있습니다. 구를 중심에서 정확히 반으로 자른 단면의 원(대원)의 넓이는 \(\pi r^2\)이고, 구의 겉넓이는 정확히 그 4배(\(\pi r^2 \times 4 = 4\pi r^2\))입니다. ‘자른 면의 원 4장만큼의 껍질로 구를 감쌀 수 있다’고 떠올리면 기억하기 쉽습니다.
부피의 \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\)(세제곱)과 헷갈리기 쉬우므로 ‘넓이는 길이 × 길이라서 제곱, 부피는 길이 × 길이 × 길이라서 세제곱’이라고 단위로 떠올리는 것이 요령입니다.
구의 겉넓이(지름으로 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(2\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
구의 겉넓이 \(S\)
\(=\)
①
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
②
지름 \(d\)
③
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
공식을 말로 읽으면
①
원주율(\(\pi\))
에
②
지름(\(d\))
을
③
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
한 것을 곱하면
④
구의 겉넓이(\(S\))
가 됩니다
간단한 예
지름이 6 cm(반지름 3 cm)인 공의 겉넓이는
구의 겉넓이 \(S\)
\(=\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
지름(6 cm)
제곱
\(\pi \times 6^{2} = \pi \times 36 = 36\pi\)
\(36\pi \fallingdotseq 113\,\mathrm{cm^2}\)
이해의 핵심
이 공식은 공식 1에 ‘반지름 = 지름의 절반(\(r = d \div 2\))’을 대입해 정리한 것입니다(\(4\pi \times \dfrac{d^2}{4} = \pi d^2\)). 공처럼 ‘지름은 잴 수 있지만 반지름은 직접 재기 어려운’ 물건에 편리합니다.
‘구의 겉넓이는 지름을 한 변으로 하는 정사각형의 넓이(\(d^2\))의 \(\pi\)배(약 3.14배)’라고 읽을 수도 있습니다. 지름 6 cm의 예가 공식 1의 반지름 3 cm의 예와 같은 답(\(36\pi\))이 나온다는 것에서도 두 공식이 같은 구를 나타낸다는 것을 알 수 있습니다. 학교에서는 공식 1(반지름으로 나타낸 공식)로 배우므로 먼저 공식 1을 익혀 두세요.
구의 겉넓이는 ‘반지름을 제곱하고 원주율 π와 4를 곱한다’로 구합니다. 단면의 원(대원)의 넓이의 정확히 4배입니다. 지름만 알 때는 2로 나누어 반지름으로 바꾸거나 S = πd²를 쓰세요. 답의 단위는 입력한 단위의 제곱(cm라면 cm²)이고, cm²를 10000으로 나누면 m²가 됩니다.
용어·기호 해설
기호
| \(S\) | 에스 | 넓이·겉넓이를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 영어 surface(겉면)나 square(제곱·넓이)의 첫 글자로, 이 페이지에서는 구의 겉넓이를 나타냅니다. |
| \(r\) | 알 | 구의 반지름입니다. 영어 radius(반지름)의 첫 글자로, 구의 중심에서 겉면까지의 거리를 나타냅니다. |
| \(d\) | 디 | 구의 지름입니다. 영어 diameter(지름)의 첫 글자로, 구의 가장 굵은 곳을 지나는 길이이며 반지름의 2배(\(d = 2r\))입니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율입니다. 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 상수로, 약 3.14159…로 끝없이 이어지는 수입니다. 초등학교에서는 3.14로 계산합니다. |
| \(r^2\) | 알의 제곱 | 같은 수 \(r\)을 2번 곱한 값(\(r \times r\))입니다. 오른쪽 위의 작은 2는 ‘2번 곱한다’는 뜻의 지수입니다(예: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)). |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 제곱센티미터 | 넓이의 단위입니다. 한 변이 1 cm인 정사각형의 넓이가 1 cm²입니다. 부피의 단위 cm³(세제곱센티미터)와 구별하세요. |
| \(\mathrm{m^2}\) | 제곱미터 | 넓이의 단위입니다. 한 변이 1 m인 정사각형의 넓이가 1 m²이며, \(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\)입니다(길이의 환산 비율 100을 제곱한 수입니다). |
용어
| 구 | 한 점(중심)에서 같은 거리에 있는 점을 모두 모아 만든 둥근 입체도형입니다. 공·구슬·비눗방울처럼 어느 쪽에서 보아도 원으로 보이는 모양입니다. |
| 반지름 | 구(나 원)의 중심에서 겉면까지의 거리입니다. 이 계산기에 입력하는 값이며, 지름의 절반입니다. |
| 지름 | 구(나 원)의 중심을 지나 겉면에서 겉면까지 그은 선분의 길이입니다. 반지름의 2배이며, 공은 지름으로 크기를 나타내는 경우가 많습니다. |
| 겉넓이 | 입체도형의 겉면 전체의 넓이입니다. ‘표면적’이라고도 합니다. 구라면 ‘껍질 부분을 모두 펼쳤을 때의 넓이’에 해당하며, 속의 양을 나타내는 부피와는 다른 양입니다. |
| 대원 | 구를 그 중심을 지나는 평면으로 잘랐을 때 생기는 가장 큰 단면의 원입니다. 반지름은 구의 반지름과 같고, 넓이는 \(\pi r^2\)입니다. 구의 겉넓이는 이 대원의 넓이의 정확히 4배입니다. |
| 원주율 | 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 수(약 3.14)입니다. 기호는 \(\pi\)(파이)입니다. 원뿐 아니라 구의 겉넓이나 부피 공식에도 반드시 나옵니다. |
| 거듭제곱 | 같은 수를 여러 번 곱하는 계산입니다. \(3^2\)처럼 오른쪽 위에 작게 쓴 수(지수)가 곱하는 횟수를 나타냅니다. 넓이 공식에 제곱이 나오는 것은 면이 ‘가로와 세로’의 두 방향으로 퍼져 있기 때문입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 원과 원주율(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 원의 넓이(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 넓이의 뜻과 단위(초등학교 5학년, 10~11세) |
|
| 거듭제곱과 지수(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 구의 성질과 겉넓이 공식(중학교 1학년, 12~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘반지름으로 구의 겉넓이’를 구하는 표
| 구의 반지름 r | 5 |
| 구의 겉넓이 | =4*PI()*B1^2 |
‘지름으로 구의 겉넓이’를 구하는 표
| 구의 지름 d | 10 |
| 구의 겉넓이 | =PI()*B1^2 |
‘cm²를 m²로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm²로 나타낸 겉넓이 | 314.16 |
| m²로 나타낸 겉넓이 | =B1/10000 |
붙여 넣으면 A열에 항목 이름, B열에 수가 들어갑니다. 위쪽 행이 입력 칸이고, 마지막 행의 수식이 입력 칸의 값으로 자동 계산합니다.
‘PI()’는 원주율 π(3.14159…)를 돌려주는 Excel 함수이고, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지)의 기호입니다. ‘=4*PI()*B1^2’는 ‘4 × π × B1의 제곱’이라는 뜻입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B2에 약 314.16이 표시됩니다(반지름 5 cm라면 cm²). 두 번째 표도 같은 구(지름 10 cm)이므로 약 314.16, 세 번째 표는 B2에 0.031416(약 0.03 m²)이 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
‘PI()’는 원주율 π(3.14159…)를 돌려주는 Excel 함수이고, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지)의 기호입니다. ‘=4*PI()*B1^2’는 ‘4 × π × B1의 제곱’이라는 뜻입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B2에 약 314.16이 표시됩니다(반지름 5 cm라면 cm²). 두 번째 표도 같은 구(지름 10 cm)이므로 약 314.16, 세 번째 표는 B2에 0.031416(약 0.03 m²)이 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘반지름으로 구의 겉넓이’를 구하는 표
| 구의 반지름 r | 5 |
| 구의 겉넓이 | =4*PI()*B1^2 |
‘지름으로 구의 겉넓이’를 구하는 표
| 구의 지름 d | 10 |
| 구의 겉넓이 | =PI()*B1^2 |
‘cm²를 m²로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm²로 나타낸 겉넓이 | 314.16 |
| m²로 나타낸 겉넓이 | =B1/10000 |
Excel과 같은 수식(PI() 함수 포함)을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
radius = 5 # 구의 반지름(이 예에서는 cm)
surface_area = 4 * math.pi * radius ** 2 # 구의 겉넓이(입력 단위의 제곱. 이 예에서는 cm2)
surface_area_m2 = surface_area / 10000 # cm로 입력한 경우 m2로 바꾼 겉넓이
print(f"구의 겉넓이: {surface_area} cm2")
print(f"m2로 바꾸면: {surface_area_m2} m2")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘math.pi’가 원주율 π, ‘**’가 거듭제곱(제곱), ‘*’가 곱셈, ‘/’가 나눗셈 기호입니다. 맨 위의 반지름 값을 바꿔 실행하세요(cm로 입력한 경우의 예입니다).
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
구의 겉넓이(반지름으로 구하기)
S = 4πr²
S = 4\pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2
4*Pi*r^2
S := 4*Pi*r^2;
S = 4*pi*r^2;
S = 4πr^2
구의 겉넓이(지름으로 구하기)
S = πd²
S = \pi d^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = pi d^2
Pi*d^2
S := Pi*d^2;
S = pi*d^2;
S = πd^2
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 산수·수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 반지름이 5 cm인 구가 있습니다. 다음 값을 각각 구하세요. 1. 이 구의 겉넓이는 몇 cm²인가(S = 4 × π × r²) 2. 그 겉넓이를 m²로 바꾸면 얼마인가 계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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출처 표기 불필요
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무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
구의 부피 계산기(V = 4/3 × π × 반지름의 세제곱)
같은 구의 ‘속의 양’, 즉 부피를 계산합니다. 겉넓이와 함께 익혀 두세요
원 계산기(반지름·지름·원주·넓이 한 번에 계산)
구를 자른 단면인 원의 반지름·지름·원주·넓이를 한꺼번에 계산합니다
