점1과 점2의 xyz 좌표를 입력하면 3차원 공간에서 두 점 사이의 거리를 계산합니다. x, y, z 각각의 증가량도 함께 표시합니다.
좌표는 숫자(소수·음수도 가능)로 입력해 주세요. 여섯 칸 모두 입력해야 합니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 두 점의 xyz 좌표를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
목차
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 공간(3차원)의 두 점의 xyz 좌표만 넣으면 두 점 사이의 거리 \(d\)를 바로 알 수 있습니다
- 거리와 함께 x의 증가량 \(\Delta x\), y의 증가량 \(\Delta y\), z의 증가량 \(\Delta z\)도 한 번에 계산합니다
- 계산 결과는 마우스로 빙글빙글 돌릴 수 있는 3D 그림으로도 표시되어, 구한 거리가 두 점을 잇는 선분(직육면체의 대각선)의 길이라는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
이 페이지에서 다루는 것은 공간(3차원)의 두 점 사이의 곧은 거리입니다. 좌표가 두 개(x, y)뿐인 평면에서의 거리는 관련 페이지의 ‘두 점 사이의 거리 계산기’로 계산할 수 있습니다. 3차원에서는 직선의 ‘기울기’나 y = mx + b 꼴의 직선의 방정식이 정해지지 않으므로, 이 페이지에서는 거리와 증가량만 표시합니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
3D 게임·VR의 충돌 판정과 거리 판정(프로그래밍)
3D 게임에서는 캐릭터와 총알, 아이템의 위치를 (x, y, z)의 좌표로 관리하고, ‘거리가 일정 값 이하가 되면 충돌’, ‘일정 거리 안으로 들어오면 적이 알아챔’처럼 판정합니다. 예를 들어 내 캐릭터가 (1, 1, 1), 적이 (2, 3, 3)에 있으면 거리는 \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\)입니다. 이 계산을 매 프레임 되풀이하는 것이 3D 게임의 거리 판정의 원리입니다.
평면의 2D 게임에서 쓰는 거리 공식에 \(z\)의 항이 하나 늘었을 뿐입니다.
드론까지의 직선거리(측량·항공 촬영)
드론의 위치는 ‘수평 방향으로 얼마나 떨어져 있는지(x, y)’와 ‘높이(z)’의 세 수로 나타낼 수 있습니다. 조종자에게서 수평으로 동쪽 60 m, 북쪽 80 m, 높이 50 m에 있는 기체까지의 직선거리는 \(\sqrt{60^2 + 80^2 + 50^2} = \sqrt{12500} \fallingdotseq 111.8\) m로 계산할 수 있습니다.
전파가 닿는 범위나 눈으로 볼 수 있는 거리를 생각할 때 이 공간에서의 거리를 씁니다.
3D CAD·3D 프린터 설계에서 두 점 사이의 비스듬한 길이 재기(설계·제조)
3D CAD에서는 부품의 구멍의 중심이나 꼭짓점의 위치를 공간의 좌표로 지정합니다. 도면에 적혀 있지 않은 경우가 많은, 공간에서 비스듬히 떨어진 두 점 사이의 거리는 좌표의 차로 이 페이지의 공식을 써서 구할 수 있습니다. 예를 들어 가로로 30 mm, 안쪽으로 40 mm, 위로 120 mm 떨어진 두 점 사이의 거리는 \(\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = 130\) mm입니다.
보강재의 길이나 배관·배선의 가장 짧은 경로를 어림하는 등 물건을 만드는 현장에서 늘 하는 계산입니다.
분자 속 원자 사이의 거리 구하기(화학·신약 개발)
화학에서는 분자 속 원자 하나하나의 위치를 공간의 좌표로 기록합니다(단백질 데이터베이스도 이 형식입니다). 두 원자의 좌표를 알면 그 사이의 거리(결합 길이나 원자끼리 얼마나 가까운지)를 바로 이 페이지의 공식으로 구할 수 있습니다.
신약 후보 분자가 목표 단백질에 잘 들어맞는지 확인할 때처럼, 신약 개발과 소재 개발을 뒷받침하는 기본 계산입니다.
공식과 그림
공간에서 두 점 사이의 거리 \(d\)(공간에서의 거리 공식)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(d\)
\(=\)
\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
두 점 사이의 거리(\(d\))
\(=\)
①
차의 제곱의 합의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
차의 제곱의 합(\((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2\))의 제곱근
을 구하면(x좌표의 차, y좌표의 차, z좌표의 차를 각각 제곱해서 모두 더하고, 그 제곱근을 구하면)
②
두 점 사이의 거리(\(d\))
가 됩니다
간단한 예
점 (1, 1, 1)과 점 (2, 3, 3) 사이의 거리는
거리(\(d\))
\(=\)
차의 제곱의 합((2−1)² + (3−1)² + (3−1)² = 9)의 제곱근
\(d = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
이해의 핵심
평면(2차원)의 거리 공식에 \((z_2 - z_1)^2\)의 항이 하나 늘어났을 뿐이고, 순서는 똑같습니다. 차를 각각 제곱해서 모두 더한 다음, 마지막에 한 번만 제곱근을 구합니다.
흔히 하는 실수는 \(\sqrt{(x_2-x_1)^2} + \sqrt{(y_2-y_1)^2} + \sqrt{(z_2-z_1)^2}\)처럼 제곱근을 따로따로 구하는 것입니다. 또 좌표의 차가 음수여도 제곱하면 양수가 되므로, 어느 점을 먼저 입력해도 거리는 같습니다. 답이 \(\sqrt{3}\)처럼 딱 떨어지지 않는 수가 되는 경우가 많은데, 이때 이 계산기는 소수(어림한 값)로 표시합니다.
왜 이 식으로 거리를 구할 수 있을까(피타고라스 정리를 두 번 사용)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\Delta x^2\)
\(+\)
\(\Delta y^2\)
\(+\)
\(\Delta z^2\)
\(=\)
\(d^2\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
x의 증가량(\(\Delta x\))의 제곱
\(+\)
②
y의 증가량(\(\Delta y\))의 제곱
\(+\)
③
z의 증가량(\(\Delta z\))의 제곱
\(=\)
④
거리(\(d\))의 제곱
공식을 말로 읽으면
①
x의 증가량(\(\Delta x\), 좌우로 얼마나 떨어져 있는지)의 제곱
,
②
y의 증가량(\(\Delta y\), 앞뒤로 얼마나 떨어져 있는지)의 제곱
과
③
z의 증가량(\(\Delta z\), 위아래로 얼마나 떨어져 있는지)의 제곱
을 모두 더하면
④
두 점 사이의 거리(\(d\), 직육면체의 대각선)의 제곱
과 정확히 같아집니다(공간에서의 피타고라스 정리)
간단한 예
점 (0, 0, 0)과 점 (3, 4, 12)로 확인하면(Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12)
Δx의 제곱(3² = 9)
\(+\)
Δy의 제곱(4² = 16)
\(+\)
Δz의 제곱(12² = 144)
\(=\)
거리의 제곱(169 = 13²)
\(\ell = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(d = \sqrt{\ell^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
이해의 핵심
두 점을 서로 마주 보는 꼭짓점에 둔 직육면체 상자를 떠올려 보세요. 먼저 바닥면만 보면, 평면에서의 피타고라스 정리에 의해 바닥면의 대각선 \(\ell\)은 \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\)을 만족합니다.
다음으로 이 바닥면의 대각선 \(\ell\)과 높이 \(\Delta z\)가 만드는 직각삼각형에 피타고라스 정리를 한 번 더 쓰면 \(d^2 = \ell^2 + \Delta z^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\)이 됩니다.
즉 공간에서의 거리 공식은 ‘피타고라스 정리를 두 번 쓴 것’이고, 두 점 사이의 거리는 직육면체의 대각선의 길이 그 자체입니다. ‘직육면체의 대각선’의 길이를 구하는 문제와 같은 계산이라는 것을 알면, 외울 것이 하나 줄어듭니다.
공간에서 두 점 사이의 거리는 ‘x, y, z좌표의 차를 각각 제곱해서 모두 더하고, 그 제곱근을 구하면’ 됩니다. 그 정체는 피타고라스 정리를 두 번 쓴 직육면체의 대각선의 계산입니다. 평면의 거리 공식에 \(\Delta z^2\)의 항이 하나 늘었을 뿐이라고 기억하면 잊지 않습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(d\) | 디 | 공간에서 두 점 사이의 거리입니다. distance(거리)의 첫 글자입니다. |
| \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) | 엑스 일, 와이 일, 제트 일 | 공간의 두 점의 좌표입니다. \(x\), \(y\) 두 개로 평면 위의 위치를, \(z\)로 높이를 나타내며, 오른쪽 아래의 작은 숫자(첨자)는 ‘첫 번째 점·두 번째 점’을 구별합니다. |
| \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\) | 델타 엑스, 델타 와이, 델타 제트 | 증가량(좌표의 차)입니다. \(\Delta\)(델타)는 ‘변화·차’를 나타내는 그리스 문자로, \(\Delta x = x_2 - x_1\), \(\Delta y = y_2 - y_1\), \(\Delta z = z_2 - z_1\)입니다. |
| \(\ell\) | 엘 | 이 해설에서 직육면체의 ‘바닥면의 대각선’의 길이에 붙인 기호입니다. \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\)으로, 피타고라스 정리를 두 번 쓰는 유도 과정의 중간 단계 역할을 합니다. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | 루트(근호) | 제곱근(제곱하면 그 수가 되는 수)을 나타내는 기호입니다. \(\sqrt{9} = 3\)입니다(3² = 9이므로). 공간에서의 거리 공식에서도 마지막에 한 번만 제곱근을 구합니다. |
용어
| 좌표공간 | x축, y축에 높이를 나타내는 z축을 더해, 점의 위치를 (x, y, z)의 세 수의 쌍으로 나타내는 공간입니다. 평면(2차원)의 좌표에 ‘높이’가 하나 더해진 것입니다. |
| 좌표 | 점의 위치를 수의 쌍으로 나타낸 것입니다. 공간에서는 점 (2, 3, 3)처럼 세 수의 쌍이 되며, ‘x 방향으로 2, y 방향으로 3, z 방향(높이)으로 3’인 위치를 나타냅니다. |
| 선분 | 두 점을 양 끝으로 하여 곧게 이은 선입니다. 두 점 사이의 거리는 이 선분의 길이를 말합니다. |
| 피타고라스 정리 | 직각삼각형에서 ‘직각을 낀 두 변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱’이 성립한다는 정리입니다. 공간에서의 거리 공식은 이 정리를 두 번 이어서 쓴 것입니다. 중학교 2학년에서 배웁니다. |
| 직육면체의 대각선 | 직육면체에서 서로 마주 보는 꼭짓점끼리 내부를 지나 이은 선입니다. 가로 a, 세로 b, 높이 c인 직육면체의 대각선의 길이는 \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)이고, 공간에서 두 점 사이의 거리는 이것과 같은 계산입니다. |
| 유클리드 거리 | 이 페이지에서 계산하는 ‘두 점을 곧게 이은 거리’의 정식 이름입니다. 3차원뿐 아니라 데이터 분석이나 AI 분야에서도 점끼리 얼마나 가까운지를 재는 기본 거리로 이 이름이 자주 쓰입니다. |
| 차원 | 위치를 나타내는 데 필요한 수의 개수입니다. 직선 위는 1차원(수직선), 평면은 2차원(x, y), 공간은 3차원(x, y, z)입니다. 거리 공식은 차원이 하나 늘 때마다 근호 안의 항이 하나씩 늘어날 뿐, 모양은 바뀌지 않습니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 좌표평면(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 정수와 유리수의 계산(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 제곱근(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 입체도형과 좌표공간(중학교 1학년·고등학교) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
공간에서 두 점 사이의 거리 d를 구하는 표
| 점1의 x좌표 x₁ | 1 |
| 점1의 y좌표 y₁ | 1 |
| 점1의 z좌표 z₁ | 1 |
| 점2의 x좌표 x₂ | 2 |
| 점2의 y좌표 y₂ | 3 |
| 점2의 z좌표 z₂ | 3 |
| 두 점 사이의 거리 d | =SQRT((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
피타고라스 정리를 두 번 써서 확인하는 표
| 점1의 x좌표 x₁ | 0 |
| 점1의 y좌표 y₁ | 0 |
| 점1의 z좌표 z₁ | 0 |
| 점2의 x좌표 x₂ | 3 |
| 점2의 y좌표 y₂ | 4 |
| 점2의 z좌표 z₂ | 12 |
| x의 증가량 Δx | =B4-B1 |
| y의 증가량 Δy | =B5-B2 |
| z의 증가량 Δz | =B6-B3 |
| 바닥면의 대각선 ℓ=√(Δx²+Δy²) | =SQRT(B7^2+B8^2) |
| 두 점 사이의 거리 d=√(ℓ²+Δz²) | =SQRT(B10^2+B9^2) |
붙여 넣으면 위쪽 행이 입력란이 되고, 아래쪽 행의 수식이 자동으로 계산된 결과가 됩니다.
‘SQRT(…)’는 제곱근, ‘^2’는 제곱입니다.
첫 번째 표는 거리 3을 구합니다. 두 번째 표는 Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12에서 먼저 바닥면의 대각선 ℓ = 5를 구하고, 이어서 거리 d = 13을 구하므로 피타고라스 정리를 두 번 쓰는 중간 값도 확인할 수 있습니다.
‘SQRT(…)’는 제곱근, ‘^2’는 제곱입니다.
첫 번째 표는 거리 3을 구합니다. 두 번째 표는 Δx = 3, Δy = 4, Δz = 12에서 먼저 바닥면의 대각선 ℓ = 5를 구하고, 이어서 거리 d = 13을 구하므로 피타고라스 정리를 두 번 쓰는 중간 값도 확인할 수 있습니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
공간에서 두 점 사이의 거리 d를 구하는 표
| 점1의 x좌표 x₁ | 1 |
| 점1의 y좌표 y₁ | 1 |
| 점1의 z좌표 z₁ | 1 |
| 점2의 x좌표 x₂ | 2 |
| 점2의 y좌표 y₂ | 3 |
| 점2의 z좌표 z₂ | 3 |
| 두 점 사이의 거리 d | =SQRT((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
피타고라스 정리를 두 번 써서 확인하는 표
| 점1의 x좌표 x₁ | 0 |
| 점1의 y좌표 y₁ | 0 |
| 점1의 z좌표 z₁ | 0 |
| 점2의 x좌표 x₂ | 3 |
| 점2의 y좌표 y₂ | 4 |
| 점2의 z좌표 z₂ | 12 |
| x의 증가량 Δx | =B4-B1 |
| y의 증가량 Δy | =B5-B2 |
| z의 증가량 Δz | =B6-B3 |
| 바닥면의 대각선 ℓ=√(Δx²+Δy²) | =SQRT(B7^2+B8^2) |
| 두 점 사이의 거리 d=√(ℓ²+Δz²) | =SQRT(B10^2+B9^2) |
Excel과 같은 수식(SQRT·^2)을 Google 스프레드시트에서도 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력란의 수를 원하는 좌표로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
x1, y1, z1 = 1.0, 1.0, 1.0 # 점1의 좌표
x2, y2, z2 = 2.0, 3.0, 3.0 # 점2의 좌표
delta_x = x2 - x1 # x의 증가량
delta_y = y2 - y1 # y의 증가량
delta_z = z2 - z1 # z의 증가량
distance = math.sqrt(delta_x**2 + delta_y**2 + delta_z**2) # 두 점 사이의 거리
print(f"x의 증가량 Δx: {delta_x}")
print(f"y의 증가량 Δy: {delta_y}")
print(f"z의 증가량 Δz: {delta_z}")
print(f"두 점 사이의 거리 d: {distance}")
# 같은 계산을 math.dist로 한 줄에 쓸 수도 있습니다(Python 3.8 이상)
print(f"math.dist로 확인: {math.dist((x1, y1, z1), (x2, y2, z2))}")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. math.sqrt가 제곱근, ‘**2’가 제곱입니다. 마지막의 math.dist는 ‘두 점의 좌표로 거리를 한 번에 계산해 주는 함수’로, 답이 같은지도 확인할 수 있습니다. 맨 위의 좌표를 바꿔서 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
공간에서 두 점 사이의 거리 \(d\)(공간에서의 거리 공식)
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
Sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
d := sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
왜 이 식으로 거리를 구할 수 있을까(피타고라스 정리를 두 번 사용)
Δx² + Δy² + Δz² = d²
\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 = d^2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>z</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
(Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2 = d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 = d^2;
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
Δx^2 + Δy^2 + Δz^2 = d^2
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 공간(좌표공간)의 두 점 (1, 1, 1)과 (2, 3, 3)에 대해 다음을 각각 구해 주세요. 1. 두 점 사이의 거리 d(공간에서의 거리 공식 d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)를 사용) 2. x의 증가량 Δx, y의 증가량 Δy, z의 증가량 Δz 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
회원가입 불필요
접속 즉시 바로 사용 가능
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
안전하고 안심
통신을 강력하게 암호화
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
빠른 속도
기다림 없는 쾌적한 표시 속도와 변환 속도
워터마크 없음
워터마크 없음
출처 표기 불필요
출처 표기 불필요
상업적 이용 가능
무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
두 점 사이의 거리 계산기(좌표로 거리·직선의 방정식)
평면(2차원)에서 두 점 사이의 거리를 계산합니다. 거리와 함께 직선의 기울기와 직선의 방정식도 표시합니다
피타고라스 정리 계산기(두 변으로 나머지 한 변 구하기)
직각삼각형의 두 변으로 나머지 한 변, 각도, 넓이를 계산합니다. 공간에서의 거리 공식의 바탕입니다
직육면체 부피 계산기(가로 × 세로 × 높이)
직육면체의 세 모서리로 부피를 계산합니다. 공간에서의 거리는 ‘직육면체의 대각선의 길이’와 같은 계산입니다
